Giải: Gọi số phải tìm là Mn. Xếp cho các bà trƣớc (cứ một ghế xếp thì một ghế để trống dành cho các ông). Số cách xếp cho các bà là 2n!
Gọi số cách xếp các ông ứng với một cách xếp các bà là Un ta đƣợc số cách xếp là
𝑀𝑛 = 2𝑛! 𝑥 𝑈𝑛
Vấn để còn lại là đếm số Un.
2.2.3. QUY VỀ CÁC BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN
Đánh số các bà (đã xếp) từ 1 đến n, đánh số các ông tƣơng ứng với các bà (ông i là chồng bà i)
đánh số các ghế trống theo nguyên tắc: ghế số i nằm giữa bà i và bà i+1 (n+1 = 1).
Mỗi cách xếp các ông đƣợc biểu diễn bằng một phép thế
Ψ trên tập {1, 2,…, n} với quy ƣớc Ψ(i) = j có nghĩa là
ghế i đƣợc xếp cho ông j.
Theo đầu bài, Ψ phải thoả mãn
Ψ(i) ≠ i và Ψ(i) ≠ i +1 (*)
Nhƣ vậy Un là số tất cả các phép thế Ψ thoả mãn điều kiện
2.2.3. QUY VỀ CÁC BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN
Xét tập hợp tất cả các phép thế Ψ của {1, 2,…, n}. Trên tập này, gọi Pi là tính chất Ψ(i) = i và Qị là tính chất Ψ(i) = i+1.
Đặt Pn+i = Qi, và ta đƣợc, theo nguyên lý bù trừ (tƣơng ứng với 2n tính chất pi)
𝑈𝑛 = 𝑁 = 𝑛! − 𝑁1 + 𝑁2 − ⋯
trong đó Nk. là tổng số tất cả các phép thế thoả mãn k
tính chất, lấy từ 2n tính chất đang xét.
2.2.3. QUY VỀ CÁC BÀI TỐN ĐƠN GIẢN
Khơng thể xảy ra đồng thời thỏa mãn:
Pi và Qi hoặc Pi+1 và Qi
Nhƣ vậy, trong các cách lấy ra k tính chất từ 2n tính chất đang xét cần thêm vào điều kiện các Pi và Qi hoặc Pi+1 và Qi khơng đƣợc đồng thời có mặt.
Gọi số các cách này là g(2n, k) (nói riêng g(2n,k)=0 khi k>n).
Với mỗi cách lấy ra k tính chất nhƣ vậy (k ≤ n), ta có (n-
k)! phép thế thoả mãn chúng.
Từ đó nhận đƣợc Nk= g(2n, k)(n-k)! Và
𝑈𝑛 = 𝑛! − 𝑔 2𝑛, 1 𝑛 − 1 ! + 𝑔 2𝑛, 2 𝑛 − 2 ! − ⋯ + −1 𝑛𝑔(2𝑛, 𝑛)
2.2.3. QUY VỀ CÁC BÀI TỐN ĐƠN GIẢN
Xếp 2n tính chất đang xét trên một vòng tròn theo thứ tự
P1, Q1, P2, Q2......Pn,Qn
Ta thấy rằng g(2n, k) chính là số cách lấy ra k phần tử trong 2n phần tử xếp thành vịng trịn sao cho khơng có 2 phần tử nào kề nhau cùng đƣợc lấy ra.
Để tính g(2n, k) ta giải 2 bài toán con sau đây:
2.2.3. QUY VỀ CÁC BÀI TỐN ĐƠN GIẢN
Bài tốn 1. Có bao nhiêu cách lấy ra k phần tử trong n
phần tử xếp trên đƣờng thẳng sao cho khơng có 2 phần tử kề nhau cùng đƣợc lấy ra ?
Giải:
Khi lấy ra k phần tử, ta còn n-k phần tử.
Giữa n-k phần tử này có n- k+ 1 khoảng trống (kể cả 2 đầu).
Mỗi cách lấy ra k khoảng từ các khoảng này, sẽ tƣơmg ứng với một cách chọn k phẩn tử thoả mãn yêu cầu đã nêu.
Vậy số cách cần tìm là Cn−k+1k
2.2.3. QUY VỀ CÁC BÀI TỐN ĐƠN GIẢN
Bài toán 2. Giống nhƣ bài toán 1, nhƣng với n phần tử
xếp trên vòng tròn.
Giải:
Cố định phần tử a trong n phần tử. Chia các cách lấy
thành 2 lớp:
1. Các cách mà a đƣợc chọn, khi đó 2 phần tử kề a sẽ khỏng đƣợc chọn và ta phải lấy k-1 phần tử từ n-3 phần tử còn lại. Các phần tử này đƣực xem nhƣ trên đƣờng thẳng. Theo bài toán 1, số cách thuộc lớp này là Cn−k+1k−1
2.2.3. QUY VỀ CÁC BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN
2. Các cách mà a khơng đƣợc chọn, khi đó bỏ a đi, ta đƣa
về bài toán lấy k phần tử từ n- 1 phần tử xếp trên đƣờng thẳng. Theo bài tốn 1, sơ’ cách thuộc lớp này là Cn−kk
Vậy, theo nguyên lý cộng, số cách cần tìm là
𝐶𝑛−𝑘+1𝑘 + 𝐶𝑛−𝑘𝑘 = 𝑛
𝑛 − 𝑘 𝐶𝑛−𝑘
𝑘
Từ kết quả của bài toán 2, ta nhận đƣợc
g(2n, k)= 2𝑛