i. Chuyển n-1 đĩa từ cọ ca đến cọc b sử dụng cọc c làm trung gian Bƣớc này đƣợc thực hiện nhờ giả thiết quy nạp.
2.2.4.2 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒ
Định nghĩa 1 .
Một hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc k với hệ số hằng số là hệ thức truy hồi có dạng:
an = c1an -1 + c2an -2 + .. + ckan –k (1)
Trong đó, c1, c2,..,ck là các hằng số và ck≠0. Theo nguyên lý thứ 2 của qui nạp tốn học thì hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc k sẽ thỏa mãn k điều kiện đầu:
a0 = C0, a1 = C1,.., ak-1 = Ck-1.
2.2.4.2 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI
Một số dạng hệ thức truy hồi
Hệ thức truy hồi Pn = (1 .11 ) Pn-1 là hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc 1
Hệ thức truy hồi fn = fn-1 + fn-2 là hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc 2
Hệ thức truy hồi an = an-5 là hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc 5.
Hệ thức truy hồi an = an-1 + (an-2)2 là khơng tuyến tính.
Hệ thức truy hồi Hn = 2Hn-1+ 1 là không thuần nhất.
Hệ thức Bn = nBn-1 khơng có hệ số hằng số.
2.2.4.2 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI
Phƣơng pháp chung để giải các hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhẩt là tìm nghiệm dƣới dạng an = rn, trong đó r là hằng số. Chú ý rằng, an = rn là nghiệm của hệ thức truy hồi khi và chỉ khi
rn = c1rn-1 + c2rn-2 + … + ckrn-k (2) rk - c1rk-1 - c2rk-2 + … + ck = 0 (3)
Phƣơng trình (3) cịn gọi là phƣơng trình đặc trƣng của hệ thức truy hồi (1). Dƣới đây là một số định lý áp dụng cho các hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc 2, sau đó mở rộng cho các hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc k
2.2.4.2 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI
Định lý 1.
Cho c1, c2 là hai số thực. Giải phƣơng trình đặc trƣng
r2 – c1r – c2 =0
có hai nghiệm phân biệt r1, r2. Khi đó, dãy {an} là nghiệm của hệ thức truy hồi
an = c1an-1 + c2an-2
Khi và chỉ khi 𝑎𝑛 = 𝛼1𝑟1𝑛 + 𝛼2𝑟2𝑛 với n = 0, 1, 2… và α1, α2 là các hằng số
2.2.4.2 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI
Ví dụ 1:
Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi an = an-1+ 2an-2 với a0 = 2, a1 = 7
Giải
Bƣớc 1: Tìm nghiệm của phương trình đặc trưng
𝑟2 − 𝑟 − 2 = 0 ⟺ 𝑟1 = 2 𝑟2 = −1
Bƣớc 2. Xây dựng công thức tổng quát cho an
2.2.4.2 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI
Bƣớc 3. Xác định các hằng số thông qua điều kiện đầu: a0
=2, a1 =7.
𝛼1 + 𝛼2 = 2
2𝛼1 − 𝛼2 = 7 ⟺
𝛼1 = 3 𝛼2 = −1
Bƣớc 4. Hoàn chỉnh nghiệm của hệ thức truy hồi.
𝑎𝑛 = 𝛼1𝑟1𝑛 + 𝛼2𝑟2𝑛 = 3.2𝑛 − (−1)𝑛