Chúng ta có thể dùng phƣơng pháp lặp để tìm cơng thức trên Pn P1 = (1,11)P0 P2 = (1,11)P1 = (1,11)2P0 ……. Pn = (1,11)Pn-1 = (1,11)nP0
Thế điều kiện đầu P0=10000 vào ta sẽ nhận đƣợc Pn = (1,11)n 10000.
2.2.4.1 KHÁI NIỆM VÀ VÍ DỤ
Từ cơng thức truy hồi và giả thiết quy nạp ta có Pn+1 = (1,11)Pn
= (1,11)(1,11)n.10000 = (1,11)n10000
Thay n = 30 vào công thức Pn = (1,11)n10000 cho ta P30 = (1,11)3010000 = 228922,97 đô la
2.2.4.1 KHÁI NIỆM VÀ VÍ DỤ
Ví dụ 2. Tính số mất thứ tự Dn
Giải:
Đánh số thƣ và phong bì từ 1 đến n (thƣ i gửi đúng địa chỉ nếu bỏ vào phong bì i). Một cách bỏ thƣ đƣợc đồng nhất với hoán vị (a1, …, an) của (1,2......n)
Một mất thứ tự đƣợc định nghĩa là một hoán vị vị (a1,…,an) sao cho ai≠ i, với mọi i.
Thành phần a1 có thể nhận n-1 giá trị ngoài 1. Với mỗi giá trị k (k ≠ 1) của a1, xét 2 trƣờng hợp:
2.2.4.1 KHÁI NIỆM VÀ VÍ DỤ
TH1: ak= 1, khi đó các thành phần còn lại đƣợc xác định nhƣ một mất thứ tự của n-2 phần tử, tức là số các mất thứ tự thuộc loại này bằng Dn-2
TH2: ak ≠ 1, khi đó các thành phần từ 2 đến n đƣợc xác định nhƣ một mất thứ tự của n-1 phần tử (xem giá trị 1 nhƣ là giá trị k), tức là số mất thứ tự thuộc loại này bằng
Dn-1
Từ đó nhận đƣợc cơng thức:
Dn = (n-1)(Dn-2 + Dn-1), n≥3.
2.2.4.1 KHÁI NIỆM VÀ VÍ DỤ
Các giá trị ban đầu dễ dàng đƣợc tìm trực tiếp: D1= 0, D2= 1. Mọi giá trị cịn lại đƣợc tìm đơn giản nhờ luật kế
thừa: D3 = (3 - 1)(0 + 1) = 2 D4 = (4 - 1)(1 + 2) = 9 D5 = (5 - l)(2 + 9) = 44 D6 = (6 - 1)(9 + 44) = 265 D7 = (7 - 1)(265 + 44) = 1854 D8 = (8 – 1)(1854 + 265) = 14833 ……………………
Để công thức truy hồi đúng cả đối với n = 2, ta xem nhƣ D0=1
2.2.4.1 KHÁI NIỆM VÀ VÍ DỤ
Ví dụ 3. Trên mặt phẳng, kẻ n đƣờng thẳng sao cho
khơng có 2 đƣờng nào song song và 3 đƣờng nào đồng quy. Hỏi mặt phẳng đƣợc chia thành mấy phần?
Giải:
Gọi số phần mặt phẳng đƣợc chia bởi n đƣờng thẳng là
Sn.
Giả sử đã kẻ n-1 đƣờng thẳng.
Kẻ thêm đƣờng thẳng thứ n thì số phần đƣợc thêm sẽ
bằng số giao điểm đƣợc thêm cộng với 1.
Số giao điểm đƣợc thêm là số giao điểm mà đƣờng thẳng
2.2.4.1 KHÁI NIỆM VÀ VÍ DỤ
Từ đó nhận đƣợc cơng thức truy hồi Sn = Sn-1 + n, n ≥ 1
Với giá trị ban đầu S0 = 1. Từ công thức này. dễ dàng tính mọi giá trị của Sn, n = 1, 2, ...
S1 = 1 + 1 = 2 S2 = 2 + 2 = 4 S2 = 2 + 2 = 4 S3 = 4 + 3 =7 S4 = 7 + 4 =11 S5 = 11 +5 =16 S6 = 16 + 6 =22 ………………… 53
2.2.4.1 KHÁI NIỆM VÀ VÍ DỤ
Để tìm cơng thức trực tiếp, ta cộng các hệ thức
Sk=Sk-1 + k với k = 1, 2, …, n.
Sau khi khử các số hạng giống nhau ở hai vế, ta nhận đƣợc 𝑆𝑛 = 𝑆0 + 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = 1 + 𝑛 𝑛 + 1
2 =
𝑛2 + 𝑛 + 22 2
2.2.4.1 KHÁI NIỆM VÀ VÍ DỤ
Ví dụ 4. (Bài tốn tháp Hà nội)
Có 3 cọc a, b, c. Trên cọc a có một chồng gồm n cái đĩa đường kính giảm dẩn lừ dưới lên trèn. Cần phải chuyển chổng đĩa từ cọc a sang cọc c tuân thủ quì tắc: mỗi lần chỉ chuyển 1 đĩa và chỉ được xếp đĩa có đường kính nhó hơn lên trên đĩa cố đường kính lớn hơn. Trong quá trình
chuyển dược phép dùng cọc b làm cọc trung gian
Tim số lần di chuyển đĩa ít nhất cần thực hiện để thực hiện xong nhiệm vụ đặt ra trong trò chơi tháp Hà nội
2.2.4.1 KHÁI NIỆM VÀ VÍ DỤ
Giải:
Gọi hn là số lần di chuyển đĩa ít nhất cần thực hiện để giải xong bài tốn tháp Hà nội. Ta xây dựng cơng thức đệ qui để tính hn. Rõ ràng:
h1 = 1
Giả sử n ≥ 2. Việc di chuyển đĩa gổrn các bƣớc;