Một phƣơng pháp khác để giải bài toán đếm là qui về các bài tốn con đơn giản hơn. Điều này khơng phải lúc nào cũng làm đƣợc vì ta cần phải phân tích sâu sắc các cấu hình cần đếm.
2.2.3. QUY VỀ CÁC BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN
Ví dụ 1 . Trong các số tự nhiên có 7 chữ số hãy đếm số các số thuận nghịch (số đối xứng) có tổng các chữ số là 18?
Lời giải.
Gọi số X =x1x2x3x4x5x6x7 là một số tự nhiên có 7 chữ số. Khi đó, x1 1 , xi =0,1 ,2,..,9; i=2,..,7.
Vì X =x1x2x3x4x5x6x7 tạo thành một số đối xứng, nên x1 = x7, x2=x6, x3=x7. Do vậy, số các số thuận nghịch có 7 chữ số là số các số có 4 chữ số sau đó lấy đối xứng sang bên phải.
Gọi N là số các số thuận nghịch có tổng là 18. Khi đó, N chính là số các nghiệm ngun khơng âm của phƣơng trình:
2.2.3. QUY VỀ CÁC BÀI TỐN ĐƠN GIẢN
Vì 2x1, 2x2, 2x3 là những số chẵn nên x4 cũng phải là một số chẵn. Do đó x4 là số chẵn: 0, 2, 4, 6, 8.
Gọi N0 là số nghiệm nguyên không âm ứng với x4 =0, N2 là số nghiệm nguyên không âm ứng với x4 =2, N4 là số nghiệm nguyên không âm ứng với x4 =4, N6 là số số nghiệm nguyên không âm ứng với x4 =6, N8 là số số nghiệm ngun khơng âm ứng với x4 =8. Khi đó theo nguyên lý cộng ta có:
N = N0 + N2 + N4 + N6 + N8 (3)
Trong đó N0, N2, N4, N6, N8 là các nghiệm ngun khơng âm của phƣơng trình (4, 5, 6, 7, 8).
2.2.3. QUY VỀ CÁC BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN
2.2.3. QUY VỀ CÁC BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN
Giải các bài toán cơ bản (4), (5), (6), (7), (8) ta có: N0 = C(3 + 8 -1, 8 ) = C(10,8) = (9 x 10):2 = 45 N2 = C(3 + 7 -1, 7) = C(9,7) = (8 x 9):2 = 36 N4 = C(3 + 6 -1,6) = C(8,6) = (7 x 8):2 = 28 N6 = C(3 + 5 -1,5) = C(7,5) = ( 6 x 7):2 = 2 N8 = C(3 + 4 -1,4) = C(6,4) = (5 x 6):2 = 15 Từ đó ta có N = 45 + 36 + 28 + 21 + 15 = 145 29
2.2.3. QUY VỀ CÁC BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN
Ví dụ 2: Bài tốn sếp khách của Lucas
Có một bàn trịn xung quanh có 2n ghế.
Cần sắp chỗ cho n cặp vợ chồng sao cho các ông ngồi xen kẽ các bà và khơng có cặp vợ chồng nào ngồi cạnh nhau.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp ?
2.2.3. QUY VỀ CÁC BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN