Khái niệm
Xét dãy số {an}
Nếu có một cơng thức biểu diễn an qua một hay nhiều số hạng đi trƣớc của dãy a1, a2, …, an-1 với mọi n nguyên và n ≥ n0 trong đó n là ngun khơng âm thì cơng thức đó đƣợc gọi là hệ thức truy hồi (công thức truy hồi) đối với dãy {an}
Dãy số {an} đƣợc gọi là lời giải hay nghiệm của công thức truy hồi nếu các số hạng của nó thỏa mãn cơng thức truy hồi này
2.2.4.1 KHÁI NIỆM VÀ VÍ DỤ
Ví dụ 1:
Cho {an} là dãy số thỏa mãn công thức truy hồi: an = an-1 - an-2 với n = 2, 3, 4, …,
và giả sử a0 = 5, a1 = 9. Tìm a2 và a3 ?
Giải:
Từ công thức truy hồi ta có a2 = a1 - a0 = 9 - 5 = 4 và
a3 = a2 - a1 = 4 - 9 = -5.
2.2.4.1 KHÁI NIỆM VÀ VÍ DỤ
Ví dụ 2.
Hãy xác định xem dãy số {an} trong đó an = 3n với mọi n ngun khơng âm có phải là nghiệm vủa hệ thức truy hồi an = 2an-1 - an-2 với n = 2, 3, 4,.. hay không?
Lời giải.
Giả sử an = 3n với mọi n≥ 2. Khi đó,
an = 2an-1 – an-2 = 2[(3(n - 1)] - 3(n - 2) = 3n
Do vậy, an = 3n là lời giải của hệ thức truy hồi đã cho
2.2.4.1 KHÁI NIỆM VÀ VÍ DỤ
Sử dụng hệ thức truy hồi, ta có thể mơ hình hóa đƣợc lớp rất rộng trong thực tế.
Mỗi bài toán cụ thể ta có một phƣơng pháp mơ hình hóa khác nhau.
Dƣới đây là một số ví dụ điển hình.
2.2.4.1 KHÁI NIỆM VÀ VÍ DỤ
Ví dụ 1:
Giả sử một ngƣời gửi 10000 đô la vào tài khoản của mình tại một ngân hàng với lãi xuất kép 11% mỗi năm. Sau 30 năm anh ta có bao nhiêu trong tài khoản của mình
Giải
Gọi Pn là tổng số tiền có trong tài khoản sau n năm. Vì số tiền có trong tài khoản sau n năm bằng số có sau n-1 năm cộng lãi suất của năm thứ n, nên ta thấy dãy {Pn} thỏa mãn hệ thức truy hồi sau:
Pn = Pn-1 + 0,11Pn-1 = (1,11)Pn-1