TIẾP TỤC CHƯƠNG 1 CỦA MÔN TOÁN RỜI RẠC MÌNH SẼ GỬI DẾN D CÁC BẠN SLIDE BÀI GIẢNG CHƯƠNG 2.3MÔN TOÁN RỜI RẠC CỦA TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ ĐỊA CHẤT MONG RẰNG VỚI CÁC SLIDE NÀY SẼ GIÚP CÁC BẠN DỄ DÀNG CHINH PHỤC ĐƯỢC MÔN TOÁN RỜI RẠC NÀY
CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT TỔ HỢP Gv: Đặng Hữu Nghị NỘI DUNG 2.1 Sơ lược tổ hợp 2.2 Bài toán đếm 2.4 Bài toán liệt kê 2.5 Bài toán tối ưu 2.3 BÀI TOÁN TỒN TẠI 2.3.1 Giới thiệu tốn 2.3.1 GIỚI THIỆU BÀI TỐN Xét có hay khơng tồn cấu hình tổ hợp thỏa mãn tính chất cho trước Lời giải toán đơn cấu hình tổ hợp thỏa mãn tính chất cho trước chứng minh khơng tồn cấu hình tổ hợp thỏa mãn tính chất đặt 2.3.1.1 BÀI TỐN VỀ 36 SĨ QUAN Có lần người ta triệu tập từ trung đoàn, trung đồn sĩ quan có cấp bậc khác thiếu úy, trung úy, thượng úy, đại úy, thiếu tá, trung tá tham dự duyệt binh sư đồn Hỏi xếp 36 sĩ quan thành đội ngũ hình vng cho hàng ngang, hàng dọc có đại diện trung đoàn với cấp bậc khác Dùng chữ in hoa A, B, C, D, E, F để phiên hiệu trung đồn cịn chữ thường a, b, c, d, e, f để cấp bậc Tổng quát hoá toán cách thay số n 2.3.1.1 BÀI TOÁN VỀ 36 SĨ QUAN Trường hợp n = 4, lời giải toán 16 sỹ quan 2.3.1.1 BÀI TOÁN VỀ 36 SĨ QUAN Một lời giải trường hợp n = 2.3.1.1 BÀI TOÁN VỀ 36 SĨ QUAN Bài tốn tổng qt đặt cịn biết tên gọi tốn hình vng la tinh trực giao Euler đề giả thuyết cách xếp không tồn Euler vào không tồn lời giải n=2 n=6 đề giả thuyết tổng quát là: khơng tồn hình vng la tinh trực giao cấp n = 4k + Năm 1960 Boce, Parker, Srikanda (Mỹ) lời giải với n = 10 sau phương pháp xây dựng hình vng la tinh trực giao cho n = 4k + 2, với k>1 Vấn đề có ứng dụng vào quy hoạch thực nghiệm, xếp lịch thi đấu giải cờ quốc tế, hình học xạ ảnh, 2.3.1.2 BÀI TỐN MÀU Bài tốn phát biểu trực quan sau: chứng minh đồ mặt phẳng tơ màu cho khơng có hai nước láng giềng lại bị tô màu Chú ý rằng, ta xem nước vùng liên thông hai nước gọi láng giềng chúng có chung biên giới đường liên tục Người ta chứng minh đồ tô với số mầu lớn 4, cịn với số mầu khơng tơ được, chẳng hạn đồ gồm nước hình khơng thể tơ với số mầu 2.3.1.2 BÀI TOÁN MÀU Năm 1976 hai nhà toán học Mỹ K.Appel W.Haken chứng minh giả thuyết bàng máy tính điện tử Cuối năm 1990 tác giả cho cơng bố sách trình bày phương pháp chứng minh Vào năm cuối kỷ 20, nhóm nhà tốn học Mỹ đưa chứng minh cỏ thể kiếm tra tay 10 2.3.3 NGUYÊN LÝ DIRICHLET Ví dụ Trong số 367 người tìm hai người có ngày sinh nhật giống có tất 366 ngày sinh nhật khác Ví dụ Trong kỳ thi học sinh giỏi điểm thi đánh giá số nguyên khoảng từ đến 100 Hỏi phải có học sinh dự thi chấn tìm hai học sinh có kết thi nhau? Giải Theo nguyên lý Dirichlet, số học sinh cần tìm 102, ta có 101 kết điểm thi khác 20 2.3.3 NGUYÊN LÝ DIRICHLET Ví dụ Trong số người có mặt trái đất ln tìm hai người có hàm giống nhau, có tất 232 = 294 967 296 hàm khác mà số người hành tinh vượt tỷ Ví dụ Trong 100 người có người sinh tháng Giải: Xếp người sinh tháng vào nhóm Có 12 tháng tất Vậy theo ngun lý Dirichlet, tồn nhóm có khơng 100/12 = 8,3 Nghĩa người 21 2.3.3 NGUYÊN LÝ DIRICHLET Ví dụ Có năm loại học bổng khác Hỏi phải có sinh viên để chắn có sáu người nhận học bổng nhau? Giải: Số sinh viên cần có để đảm bảo chắn có sinh viên nhận học bổng số nguyên nhò n cho n/5 > Số nguyên nhỏ n=5x5+1 = 26 Vậy 26 số lượng sinh viên nhỏ đảm bảo chắn có sáu sinh viên hưởng loại học bổng 22 2.3.3 NGUYÊN LÝ DIRICHLET Ví dụ Biển số xe máy phân khối lớn gồm ký tự: NN - NNN – XX hai ký tự đầu mã số địa danh, ba ký tự số hiệu xe, ký tự số từ đến 9, hai ký tự cuối mã đăng ký gồm hai chữ lấy bảng chữ la tinh gồm 26 chữ Hỏi rằng, để có triệu biển số xe máy khác cần phải có mã địa danh khác nhau? 23 2.3.3 NGUYÊN LÝ DIRICHLET Giải: Với mã địa danh ta có 103.262 = 676.103 biển số xe máy khác Vì để có triệu biển số xe máy khác nhau, cần có 2.106/(676.103), nghĩa mã địa danh khác 24 2.3.3 NGUYÊN LÝ DIRICHLET Ví dụ Trong phịng họp tìm hai người có số người quen số người dự họp Giải: Gọi số người dự họp n, số người quen người phịng họp nhận giá trị từ đến n-1 Rõ ràng phịng khơng thể đồng thời có người có số người quen (tức không quen cả) có người có số người quen n-1 (tức quen tất cả) 25 2.3.3 NGUYÊN LÝ DIRICHLET Vì vậy, theo số lượng người quen ta phân n người thành n-1 nhóm Theo ngun lý Dirichlet suy có nhóm phải có khơng hai người, tức ln tìm hai người có số người quen Bài tốn phát biểu dạng ngơn ngữ hình học sau: mặt phẳng cho n điểm , chúng có số điểm nối với đoạn thẳng Khi tìm hai điểm có số cạnh nối phát từ chúng 26 2.3.3 NGUYÊN LÝ DIRICHLET Ví dụ 8: Trong tháng gồm 30 ngày đội bóng chuyển thi đấu ngày trận, khơng chơi q 45 trận Hãy chứng minh phải tìm giai đoạn gồm số ngày liên tục tháng cho giai đoạn đội chơi 14 trận Giải: Giả sử aj tổng số trận thi đấu hết ngày thứ j đội Khi a1, a2,…, a30 dãy tăng số nguyên dương đồng thời 1≤ai ≤45 Suy dãy a1+ 14, a2+14,…, a30+14 dãy tăng số nguyên dương 15 ≤ ai+ 14 ≤ 59 27 2.3.3 NGUYÊN LÝ DIRICHLET Tất có 60 số nguyên dương a1, a2,…, a30, a1+ 14, a2+14,…, a30+14 Trong tất nhỏ 59 Vì vậv theo nguvên lý Dirichlet, hai số số nguyên phải Vì số a1, a2,…, a30 đôi khác số a1+ 14, a2+14,…, a30+14 đôi khác nhau, nên suy phải tìm số i j cho = aj +14 Điều có nghĩa có 14 trận đấu giai đoạn từ ngày j+1 đến ngày i 28 2.3.3 NGUYÊN LÝ DIRICHLET Ví dụ 9: Chứng minh rằng, số n+ số nguyên dương, số không lớn 2n, tìm hai số cho số chia hết cho số Giải: Gọi số cho a1, a2, …, an+1 Viết số aj n+1 số dạng: aj = 2kj.qj, j = 1, 2, …, n+1 kj nguyên không âm, qj số lẻ Các số q1, q2, …, qn+1 số nguyên lẻ số không lớn 2n 29 2.3.3 NGUYÊN LÝ DIRICHLET Do đoạn từ đến 2n có n số lẻ, nên từ nguyên lý Dirichlet suy hai số số q1, q2, …, qn+1 nhau, tức tìm hai số i j cho qi = qj = q Khi = 2k.q, aj = 2k.q Suy ki < kj aj chia hết cho ai, cịn ki ≥ kj chia hết cho aj 30 2.3.3 NGUYÊN LÝ DIRICHLET Ví dụ 10 Trong mật phẳng cho điểm nối với đôi cung màu xanh màu đỏ Chứng minh ln tìm điểm cho cung nối chúng có màu (ta nói chúng tạo thành tam giác xanh đỏ) Giải: Chọn điểm p Từ có cung nối với điểm lại Theo nguyên lý Dirichlet, có số cung phải có màu, chẳng hạn màu xanh Giả sử cung PA, PB, PC Nếu số cung AB, AC, BC có màu xanh với hai sơ' ba cung PA, PB, PC tạo thành tam giác xanh Nếu ngược lại tam giác ABC tam giác đỏ 31 2.3.3 NGUYÊN LÝ DIRICHLET Ví dụ 11 Trên mặt phẳng cho điểm nối với đơi đoạn nối có mầu xanh đỏ cho số điểm tìm hai điểm nối với đoạn nối màu đỏ Chứng minh số điểm cho ln tìm điểm mà đoạn thẳng nối chúng có màu đỏ Giải: Gọi điểm cho A, B, C , D, E, F, G, H, I Xét trường hợp: a) Tim đuợc điểm đầu mút đoạn nối màu xanh chẳng hạn điểm A đoạn màu xanh AB, AC, AD, AE Theo giả thiết, số đoạn nối điểm có đoạn màu đỏ, suy đoạn BC, BE, BD, CD, CE, ED màu đỏ Vậy B, C , D, E bốn điểm cần tìm 32 2.3.3 NGUYÊN LÝ DIRICHLET b) Mỗi điểm đầu mút nhiều !à đoạn nối màu xanh Trong trường hợp này, tất điểm đầu mút đoạn nối màu xanh, từ suy phải tìm điểm (I chẳng hạn) đầu mút nhiều đoạn nối màu xanh Khi I đầu mút đoạn màu đỏ, chẳng hạn lA , IB, IC, ID, lE , IF Theo kết thí dụ 10, số điểm A, B, C, D, E, F phải có điểm, chẳng hạn A, B, c, cho đoạn nối chúng có màu, từ giả thiết suy màu phải màu đỏ Vậy I, A, B, c bốn điểm cần tìm 33 BÀI TẬP Bài 1: Mỗi sinh viên trường đại học có quê 50 thành phố Cần phải tuyển sinh viên để đảm bảo có 100 người thành phố Bài 2: Một mạng máy tính gồm có máy Mỗi máy nối trực tiếp không nối với máy khác Chỉ có hai máy tính mà số máy khác nối với chúng 34 ...NỘI DUNG 2. 1 Sơ lược tổ hợp 2. 2 Bài toán đếm 2. 4 Bài toán liệt kê 2. 5 Bài toán tối ưu 2. 3 BÀI TOÁN TỒN TẠI 2. 3. 1 Giới thiệu tốn 2. 3. 1 GIỚI THIỆU BÀI TỐN Xét có hay khơng tồn cấu hình tổ... toán cách thay số n 2. 3. 1.1 BÀI TOÁN VỀ 36 SĨ QUAN Trường hợp n = 4, lời giải toán 16 sỹ quan 2. 3. 1.1 BÀI TOÁN VỀ 36 SĨ QUAN Một lời giải trường hợp n = 2. 3. 1.1 BÀI TOÁN VỀ 36 SĨ QUAN Bài. .. ≤ 13 k10 = x10 + x1 + x2 ≤ 13 16 2. 3 .2 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Từ suy k1 + k2 + …+ k10 ≤ 130 Mặt khác k1 + k2 + …+ k10 = 3( x1 + x2 + …+ x10) = 3( 1 +2+ …+9) = 135 Suy 135 = k1 + k2 + …+ k10 ≤ 130