BỘ ĐỀ GIÁO ÁN LOGIC ĐẠI CƯƠNG ĐƯỢC TỔNG HỢP TỪ NHỮNG MẪU ĐỀ THI GIỮA KÌ VÀ CUỐI NĂM MONG SẼ GIÚP CHO AE ĐỄ DÀNG CHINH PHỤC ĐƯỢC MÔN NÀY ,,,, ..... .... ... ..........................................................
Chương Suy luận logic 1.1 Các ví dụ Ví dụ 1.1 Trong buổi học nữ công, ba bạn Cúc, Đào, Hồng làm ba hoa cúc, hồng, đào Bạn làm hoa hồng nói với Cúc "Thế chẳng làm loại hoa trùng với tên cả" Hỏi làm hoa gì? Lời giải Cúc làm hoa đào Đào làm hoa hồng Hồng làm hoa cúc Ví dụ 1.2 Trong ngơi đền cổ có ba vị thần giống hệt Thần Thật ln nói thật, thần Dối trá ln nói dối thần Khơn ngoan lúc nói thật lúc nói dối Có nhà hiền triết đến thăm đền Ông hỏi vị thần nhận câu trả lời hỏi thần bên trái: - Ai ngồi cạnh ngài? - Đó thần Thật Ơng hỏi thần ngồi giữa: - Ngài ai? - Ta thần Khôn ngoan Sau ông hỏi thần bên phải: - Ai ngồi cạnh ngài? - Đó thần Dối trá Nghe xong, nhà hiền triết xác định vị thần Hỏi nhà hiền triết suy luận nào? Lời giải Nếu bên trái thần Thật ông nói nên không trả lời bên cạnh ông thần Thật Nếu ông ngồi thần Thật ơng trả lời là: - Ta thần Thật Vì khả không xảy nên bên phải thần Thật Vì ơng ln nói thật nên thần Dối trá Từ suy bên trái thần Khơn ngoan Ví dụ 1.3 Ba bạn Quân, Hùng, Mạnh đạt giải nhất, nhì, ba thi tốn quốc tế Biết - Khơng có học sinh chuyên đạt giải cao Quân - Nếu Quân đạt giải thấp bạn Qn khơng phải học sinh trường chun - Chỉ có bạn khơng học trường chun - Nếu Hùng Mạnh đạt giải nhì Mạnh đạt giải cao bạn quê Hải Phòng Hãy cho biết bạn đạt giải nào? Lời giải Nếu Quân đạt giải hai hay ba từ giả thiết suy vô lý Nên Quân đạt giải Mạnh đạt giải nhì, Hùng giải ba Hùng người Hải Phịng Ví dụ 1.4 Nhà trường cử thầy A học sinh Lê, Huy, Hằng, Tiến thi Có người đạt giải nhất, nhì, ba người không đạt giải Khi hỏi giải mà nhận được, em trả lời sau BỘ MƠN TỐN Hướng dẫn ơn tập logic Lê: Nhì ba Huy: Mình có đạt giải Hằng: Giải Tiến: Khơng đạt giải Biết có bạn nói đúng, bạn nói đùa Hãy nói đùa, giải nhất, khơng giải? Lời giải Lê, Huy, Tiến người nói dối nên Hằng người nói dối Tiến khơng đạt giải, Huy giải Ví dụ 1.5 Có ba học sinh thơng minh chơi trị đội mũ Cơ giáo có chiêc mũ có xanh, đỏ Cô bịt mắt em sau đội cho em mũ Hai mũ cịn lại cất Sau tháo bịt mắt em cô cho em quan sát nói màu mũ đội Chứng minh có em nói xác màu mũ Lời giải Giải sử em A, B, C • Nếu A thấy B, C đội mũ đỏ A đốn màu đội • Nếu A đốn sai màu mũ mình, tức B C phải có người đội mũ xanh Nếu B thấy C đội mũ đỏ B đốn đội mũ xanh • Nếu A, B đốn sai màu mũ C đốn đội mũ xanh Ví dụ 1.6 Tiến hành trị chơi, em chia làm hai đội quân xanh quân đỏ Đội qn xanh ln nói dối, đội qn đỏ ln nói thật Có thiếu niên tới An, Cường, Dũng Thầy phụ trách hỏi An: "Em quân gì" Sau thầy hỏi Cường Dũng: "An vừa trả lời An quân gì?" Cường trả lời: "An quân đỏ" Dũng trả lời: "An quân xanh" Hỏi Cường, Dũng quân gì? Lời giải Dù An đội An ln trả lời đội đỏ Do đó, Cường thuộc đội quân đỏ, Dũng thuộc đội quân xanh Nguyên lý Dirichlet • Nguyên lý Dirichlet bản: Nếu nhốt n + thỏ vào n chuồng có chuồng chứa hai thỏ • Ngun lý Dirichlet tổng quát: Nếu nhốt m thỏ vào n chuồng (m > n), có m m chuồng chứa thỏ (nếu m chia hết cho n) , + thỏ (nếu m n n khơng chia hết cho n) Ví dụ 1.7 Trong phịng họp có n người, tìm người có số người quen số người dự họp Ví dụ 1.8 Có 33 chim đậu sân hình vng có cạnh mét Chứng minh có chim đậu đường trịn bán kính mét Ví dụ 1.9 Trong hộp có 70 cà vạt có 20 xanh, 20 đỏ, 20 vàng 10 nâu, đen lẫn lộn Hỏi phải lấy để chắn lấy 10 màu BỘ MƠN TỐN Hướng dẫn ơn tập logic Ví dụ 1.10 Giả sử điểm mặt phẳng tô hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn hình chữ nhật mà bốn đỉnh tơ màu Lời giải Kẻ dịng kẻ ngang, dịng kẻ dọc hình vẽ, ta điểm Vì điểm tơ hai màu nên có cách để tơ điểm Mà có điểm nên có tơ giống hệt màu Với hai ta có hình chữ nhật mà bốn đỉnh tơ màu Ví dụ 1.11 Có người khách Biết người có người quen người không quen Hãy xếp người ngồi vào bàn tròn cho người quen người kề bên Chứng minh Đầu tiên ta chứng thấy người người quen người khơng quen người Thật vậy, giả sử ngược lại Nếu người A quen người B, C, D Xét nhóm (A, B, C), (A, B, D), (A, C, D) có người quen Do đó, B khơng quen C, B khơng quen D, C khơng quen D Vậy nhóm (B, C, D) khơng quen ai–> vô lý Nếu người A quen người B, khơng quen C, D, E xét nhóm (A, C, D), (A, C, E), (A, D, E) phải có C quen D, C quen E, D quen E Vậy nhóm (C, D, E) ba người quen lẫn nhau–> vô lý Vậy người người quen người không quen người Tiếp theo xếp chỗ ngồi theo nguyên tắc xếp hai người quen người ngồi kế bên họ Ta cách xếp thỏa mãn Ví dụ 1.12 Trong hội nghị, người có số người quen định Người A quen người B người B quen người A Chứng minh số người có lẻ số người quen số chẵn Lời giải Số người quen người số nguyên không âm Ta cộng tất số lại Vì cặp người quen tính lần nên tổng số chẵn Suy số lẻ tổng phải số chẵn Ta có đpcm Lời giải Ví dụ 1.13 Có trường, trường có n sinh viên Mỗi sinh viên từ trường quen n+1 sinh viên trường lại Chứng minh rằng, tồn sinh viên trường quen đôi Lời giải Giả sử trường A, B, C Giả sử sinh viên a quen số sinh viên trường nhiều k sinh viên, khơng tính tổng qt giả sử a sinh viên trường A k sinh viên trường B Vì sinh viên từ trường quen n+1 sinh viên trường cịn lại nên có (n+1-k) sinh viên A quen thuộc trường C Trường hợp 1: ∃c ∈ C nằm số (n+1-k) sinh viên A quen quen bạn thuộc k sinh viên trường B mà A quen → xong BỘ MƠN TỐN Hướng dẫn ôn tập logic Trường hợp 2: ∀c ∈ C thuộc (n+1-k) sinh viên a quen khơng có quen k sinh viên trường B mà a quen Khi đó, c quen nhiều n-k sinh viên trường B Như số sinh viên c quen trường A n + − (n − k) = k + Suy ra, vô lý với điều giả sử Vậy ko xảy trường hợp Ví dụ 1.14 Một hệ thống đèn trang trí gồm đèn Mỗi đèn màu xanh phút chuyển sang màu đỏ phút Bắt đầu từ đèn thứ bật màu xanh, sau 10 giây đèn bật màu xanh Tính thời gian đèn bật màu xanh phút hệ thống đèn Lời giải Giải Trong phút hệ thống đèn đèn thứ màu xanh phút Đổi phút = 120 giây Ta thấy giây thứ 70, đèn bật màu xanh Suy thời gian đèn bật màu xanh phút hệ thống 120 – 70 = 50 (giây) Ví dụ 1.15 Một người dọc theo đường tàu, ngược chiều tàu chạy phút lại gặp đồn tàu , chiều tàu chạy phút lại thấy đoàn tàu Hỏi sau phút có đồn tàu khởi hành biết tàu chuyển động đều, người khoảng cách chuyến tàu ga không đổi Chứng minh Cách Gọi s khoảng cách tàu chạy Khi chiều với tàu phút một, tàu ơn quảng đường s, ta có: s = 7(vt – vng) (*) với vt tốc tàu; vng vận tốc người Tương tự ngược chiều với tàu phút một, tàu người quãng đường s, nên có: s = 5(vt + vng) (**) Từ (*) (**) suy vt = vng thay vào (*) có s = 35/6 vt => thời gian chuyến tàu liên tiếp: t = s/vt = 35/6 phút (5 phút 50 giây) tức phút 50 giây lại có chuyến tàu xuất phát Cách Ví dụ 1.16 Để lọt vào đội tuyển toán tuổi thơ, An tham gia số kiểm tra Bạn tính rằng: thêm điểm 10 điểm điểm trung bình điểm, thêm điểm điểm 10 điểm trung bình 7,5 điểm Hỏi An kiểm tra bài? Lời giải Trường hợp 1: Được thêm điểm 10 điểm số tăng thêm số điểm tăng thêm 57 điểm Để trung bình bù cho 57-(8.6)=9 điểm cho kiểm tra trước Trường hợp 2: Được thêm điểm điểm 10 số tăng thêm bài, số điểm tăng thêm 29 Để trung bình 7,5 bù 29-7,5.3=6,5 điểm cho kiểm tra trước Vậy để tăng thêm điểm trung bình từ 7,5 lên phải bù thêm 9-6,5=2,5 điểm cho kiểm tra trước Do số kiểm tra làm 2,5:0,5=5 Ví dụ 1.17 Có người A, B, C chọn cây, ghi số 09 Vậy lần đầu A nhận r kẹo, B nhận p kẹo C nhận q kẹo Ví dụ 1.18 Có 26 que diêm, người chơi người bốc từ đến que Người bốc phải que cuối người thua Tìm cách chơi cho người sau để người ln người thắng Lời giải Đề người sau thắng người đầu phải người bốc que cuối Tức người sau sau bốc lần cuối để lại que Cách chơi sau: người trước bốc k que (1 ≤ k ≤ 4) người sau phải bốc − k que diêm Như sau lượt bốc lại que diêm đến người trước bốc Như người trước thua Ví dụ 1.19 Có 27 que diêm, người chơi người bốc từ đến que Đến hết, tay có số diêm chẵn thắng Tìm cách chơi cho người trước để người ln người thắng Lời giải Đề A thắng phải bốc nốt số diêm cuối chẵn que A bốc số chẵn que, lại que cuối Cách chơi: A theo nguyên tắc • Nếu B bốc số lẻ que đến lượt A A cần bốc cho cịn lại 6k que (tức 6, 12, 18, 24) 6k-1 que (tức 5, 11, 17, 23) • Nếu B bốc số chẵn que đến lượt A A cần bốc cho cịn lại 6k+1 que (tức 7, 13, 19) 1.2 Bài tập luyện tập Bài 1.1 Trên bàn ba sách giáo khoa Văn, Tốn Địa lí bọc ba màu khác xanh, đỏ vàng Cho biết bọc bìa đỏ đặt Văn Địa lí, Đại lí màu xanh mua ngày Hãy xác định màu bìa sách Bài 1.2 Có 200 học sinh xếp thành 10 hàng dọc, hàng 20 học sinh Lần thứ chọn 10 học sinh cao hàng dọc sau chọn người thấp 10 người cho 10 học sinh lại chỗ.Lần thứ hai chọn 20 học sinh thấp 20 hàng ngang sau chọn người cao 20 người Hỏi người chọn lần thứ thứ hai, cao hơn? BỘ MƠN TỐN Hướng dẫn ơn tập logic Bài 1.3 Có chim đậu đỉnh lục giác Nghe tiếng động, bay lên sau lại đậu lại đỉnh lục giác Chứng minh tìm ba chim mà tam giác tạo ba chim lúc trước bay lên với tam giác sau chúng đậu xuống Bài 1.4 Trong hội nghị, người ta nhận thấy điều thú vị sau đây: Trong hội nghị có nhiều người quen biết hai người có số người quen khơng có chung người quen Hãy chứng tỏ hội nghị có người có người quen Bài 1.5 Hai sinh viên chơi cờ tự tạo sau: • Vẽ mặt đất hình vng chia hình vng làm hình vng sau cắt tiếp hình vng hình vng Trên hình vng ghi số tự nhiên lớn bắt đầu chơi • Người thứ lấy mảnh giấy có số đặt vào hình vng người thứ hai lấy số đặt vào hình vng cịn lại Cứ tiếp tục hết vng • Sau cộng hàng ngang hàng ngang số kết t1 người thứ Cộng hàng dọc tận bên trái hàng dọc tận bên phải kết t2 người hai Nếu t1 > t2 người thứ thắng, t1 = t2 hịa, t1 < t2 người thứ hai thắng Chứng minh tồn cách chơi mà người đầu không thua Chương Đại số mệnh đề 2.1 2.1.1 Các phép toán công thức Mệnh đề, giá trị chân lý bảng giá trị chân lý Định nghĩa 2.1 Mệnh đề câu mang nội dung phán đoán Mỗi phán đốn giả thiết có giá trị chân lý định sai, vừa vừa sai khơng thể khẳng định tính sai Các mệnh đề thường kí hiệu chữ in hoa A, B, C, , X, Y, Z gọi biến mệnh đề Môn học nghiên cứu mệnh đề gọi đại số mệnh đề Giá trị chân lý giá trị đúng, sai mệnh đề Giá trị chân lý kí hiệu T, giá trị chân lý sai kí hiệu F Bảng chân lý bảng gồm trường hợp sai mệnh đề Ví dụ 2.2 Bảng chân lý mệnh đề, hai mệnh đề ba mệnh đề A B C T T T A B T T F A T T T F T T T F T F F F F T F T T F F F T F F F T F F F Chú ý: Nếu có n mệnh đề có 2n khả xảy Định nghĩa 2.3 Mệnh đề sơ cấp mệnh đề khơng có liên từ "và", "hoặc", "nếu thì" Ví dụ 2.4 A="Hà Nội thủ đô nước Việt Nam" (T) B="Thành phố HCM thủ đô nước Việt Nam" (F) BỘ MƠN TỐN Hướng dẫn ơn tập logic C="11 số nguyên tố" (T) D="cos x ≤ 2" (T) E="Hãy cố gắng học tốt" Không mệnh đề F="Nếu trời nắng tơi chơi" Đây khơng phải mệnh đề sơ cấp mà mệnh đề phức hợp 2.1.2 Các phép toán đại số mệnh đề Phép phủ định "-" Giả sử X mệnh đề, X phủ định mệnh đề, kí hiệu X X sai, sai X X F T X T F Phép hội "∧" Giả sử X, Y mệnh đề X hội Y mệnh đề, kí hiệu X ∧ Y X, Y X T T F F Y T F T F X∧ Y T F F F Phép tuyển"∨" Giả sử X, Y mệnh đề X tuyển Y mệnh đề, kí hiệu X ∨ Y sai X, Y sai X T T F F Y T F T F X∨ Y T T T F Phép kéo theo"→" Giả sử X, Y hai mệnh đề X kéo theo Y mệnh đề kí hiệu X → Y sai X đúng, Y sai X T T F F Y T F T F X→Y T F T T BỘ MƠN TỐN Hướng dẫn ơn tập logic Phép tương đương"↔" Giả sử X, Y hai mệnh đề X tương đương Y mệnh đề kí hiệu X ↔ Y X kéo theo Y Y kéo theo X X T T F F 2.1.3 Y T F T F X↔Y T F F T Công thức đại số mệnh đề Định nghĩa 2.5 Công thức đại số mệnh đề định nghĩa theo quy nạp sau Mỗi mệnh đề sơ cấp công thức mệnh đề Nếu A công thức A cơng thức Nếu A, B cơng thức A ∧ B, A ∨ B, A → B, A ↔ B công thức Khơng có cơng thức khác ngồi cơng thức có từ mục Ví dụ 2.6 H = A ∨ B → (C ∧ D) ∨ B ∨ D công thức * Quy ước: Có thể bỏ dấu ngoặc tận bên trái bên phải Có thể bỏ dấu ngoặc trước dấu hội Ví dụ 2.7 H = A ∨ B → C ∧ D ∨ B ∨ D Khi thực phép toán đại số mệnh đề thực theo thứ tự ưu tiên sau • Trong ngoặc trước, ngồi ngoặc sau • Nếu khơng có ngoặc thứ tự ưu tiên phép tốn là: Phủ định, phép hơi, phép tuyển, kéo theo, tương đương * Giá trị công thức Để tính giá trị cơng thức, người ta thay mệnh đề có cơng thức mệnh đề cụ thể Ví dụ 2.8 H = (A → B) ∧ C Thay mệnh đề cụ thể A := ”15 5”, có giá trị (T ) B := ” Hà Nội thủ đô nước Việt Nam ”, có giá trị (T ) C:=”13 số nguyên tố ”, có giá trị (T ) Khi H = ”15 5” → ”Hà Nội thủ đô nước Việt Nam” ∧ ”13 số ngun tố ” Ta nói, giá trị cơng thức H theo mệnh đề cho (T ) BỘ MƠN TỐN Hướng dẫn ơn tập logic Tổng quát: Cho H(X1 , X2 , , Xn ) Thay X1 , X2 , , Xn mệnh đề cụ thể giá trị H nhận được gọi giá trị công thức H theo mệnh đề cụ thể Tuy nhiên tính giá trị H lại tính theo giá trị mệnh đề cụ thể Do đó, thay biến mệnh đề công thức H giá trị cụ thể biến Tóm lại, Nếu H(X1 , X2 , , Xn ), Xi nhận mệnh đề cụ thể X1 = B1 , X2 = B2 , , Xn = Bn có giá trị tương ứng β1 , β2 , , βn H(B1 , B2 , , Bn ) = H(β1 , β2 , , βn ) 2.1.4 Công thức đồng Một vấn đề quan trọng lập luận tốn học trình bày văn pháp lý việc thay mệnh đề mệnh đề khác có giá trị chân lý Hai mệnh đề có giá trị chân lý hiểu theo cách thơng thường chúng tương đương ngữ nghĩa Định nghĩa 2.9 Giả sử H, K hai công thức đại số mệnh đề biến mệnh đề H(X1 , X2 , , Xn ) ≡ K(X1 , X2 , , Xn ) gọi đồng H, K nhận giá trị (đúng sai nhau) với biến mệnh đề X1 , X2 , , Xn Mệnh đề 2.10 Bảng công thức đồng nhau: A ≡ A A ∨ B ≡ B ∨ A A ∧ B ≡ B ∧ A (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C) ≡ A ∨ B ∨ C (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C) ≡ A ∧ B ∧ C A ∨ B = A ∧ B A ∧ B = A ∨ B A ∧ (B ∨ C) = A ∧ B ∨ A ∧ C A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) 10 A → B ≡ A ∨ B 11 A ∨ A ≡ A; A ∨ A ≡ (T ) 12 A ∨ (T ) ≡ (T ); A ∨ (F ) ≡ A 13 A ∧ A ≡ A; A ∧ A ≡ (F ) 14 A ∧ (F ) ≡ (F ); A ∧ (T ) ≡ A 15 A ∨ A ∧ B ≡ A 16 A ∧ (A ∨ B) ≡ A 10 BỘ MƠN TỐN Hướng dẫn ôn tập logic Ví dụ 2.17 Đưa dạng chuẩn tắc công thức sau a) (A → B) ∨ C ∨ D b) (A → B) ∧ C ∨ D Lời giải Định lí 2.18 Điều kiện cần đủ để công thức đại số mệnh đề đồng (TSC) (DCTH) chứa mệnh đề sơ cấp phủ định Điều kiện cần đủ để công thức đại số mệnh đề đồng sai tất (HSC) (DCTT) chứa mệnh đề sơ cấp phủ định Chứng minh A ≡ (T ) ⇔ (DCTH) ≡ (T ) ⇔ ∀i, (T SC)i ≡ (T ) ⇔ ∀(T SC)i chứa X, X A ≡ (F ) ⇔ (DCTT) ≡ (F ) ⇔ ∀i, (HSC)i ≡ (F ) ⇔ ∀(T SC)i chứa X, X Ví dụ 2.19 Cơng thức (A ∨ A ∨ C) ∧ (B ∨ A ∨ B ∨ C) ≡ (T ) Hệ 2.20 Để chứng minh công thức đại số mệnh đề đồng đúng, ta đưa công thức dạng chuẩn tắc hội kiểm tra tuyển sơ cấp (DCTH) Ngược lại muốn chứng minh công thức đồng sai, ta đưa công thức (DCTT) kiểm tra hội sơ cấp (DCTT) Ví dụ 2.21 Chứng minh công thức sau a) (A → B) ∧ (B → C) ∧ C → A ≡ (T ) b) (X → Y ) ∧ (Y → Z) ∧ X ∧ (Z → K) → K ≡ (T ) Lời giải: 2.3 2.3.1 Các phương pháp chứng minh đẳng thức Phương pháp lập bảng Ví dụ 2.22 Cho X ∧ Y ≡ T Tìm giá trị chân lý công thức sau a) (X ∨ Y ) ∧ (X → Y ) b) X ∧ Y → (Y → X) Chứng minh Ta chứng minh hai câu hai cách khác 14 BỘ MƠN TỐN Hướng dẫn ơn tập logic X Y X X ∧Y X ∧Y Y →X X ∧ Y → (Y → X) T T F F T F F T F F F F T T F T T T F T T F F T F F T T a) Vì X ∧ Y ≡ T nên X ≡ T Y ≡ T Suy X ≡ F Y ≡ T Do đó, ((X ∨ Y ) ∧ (X → Y )) ≡ T b) dùng phương pháp lập bảng Nhìn vào bảng ta thấy, X ∧ Y ≡ T nên X ∧ Y → (Y → X) ≡ T Dùng bảng giá trị chân lý để chứng minh tính tương đương logic hai mệnh đề phức hợp cho ta phương pháp trực quan dễ hiểu Tuy nhiên, với mệnh đề logic phức hợp có k mệnh đề thành phần cần tới 2n giá trị chân lý khác Do đó, dùng bảng chân lý để chứng minh tính tương đương logic hai mệnh đề phức hợp gặp nhiều khó khăn Trong trường hợp ta chứng minh tính tương logic việc thay mệnh đề phức hợp tương đương logic có trước 2.3.2 Phương pháp biến đổi tương đương Phương pháp: Muốn chứng minh công thức (sai) ta đưa cơng thức dạng chuẩn tắc hội (tuyển) kiểm tra tuyển (hội) sơ cấp Ví dụ 2.23 Chứng minh cơng thức sau a) (A → B) → ((A → C) → (A → (B ∧ C))) ≡ (T ) b) (A → B) ∧ (A → C) ∧ (C → D) → (B → D) ≡ (T ) Lời giải 2.3.3 Phương pháp suy diễn Suy diễn lôgic (lập luận diễn dịch hay suy diễn) lập luận mà kết luận rút từ kiện biết trước theo kiểu: có số tiền đề (điều kiện) cho trước, đòi hỏi rút kết luận Suy diễn logic có vai trị vơ quan trọng tư khoa học có mặt hoạt động đời sống xã hội Một mặt, suy luận logic dùng phương thức nhận thức khứ, điều xảy khơng cịn quan sát trực tiếp Mặt khác, suy luận logic quan trọng để hiểu tương lai, dự báo, đoán điều chưa xảy sở kết luận xác định khứ 15 BỘ MÔN TỐN Hướng dẫn ơn tập logic Mơ hình suy diễn Một lập luận tính đắn mệnh đề phát biểu định lý gọi chứng minh Logic xem cơng cụ cho phép phân tích tính chứng minh Các quy tắc suy diễn logic sở để biết lập luận chứng minh hay sai Một phương pháp dùng để chứng minh mệnh đề tốn học thường có lý luận dẫn dắt sau: Giả thiết: A1 , A2 , , An Kết luận: B Mơ hình A1 ∧ A2 ∧ ∧ An → B ≡ (T ) Viết A1 A2 An ∴B Các quy tắc suy diễn Quy tắc 1: A → (A ∨ B) ≡ (T ) A ∴ (A ∨ B) Ví dụ 2.24 a) Nam học giỏi tốn Do đó, Nam giỏi toán tin b) a Suy ab 2 Quy tắc 2: A ∧ B → A ≡ (T ) A∧B ∴ (A) Ví dụ 2.25 Hai đứa anh A gái Suy thứ hai anh A gái Quy tắc 3: A ∧ (A → B) → B ≡ (T ) A A→B ∴B Ví dụ 2.26 Nếu trời mưa đường ướt Chiều trời mưa Suy chiều đường ướt Quy tắc 4:(A → B) ∧ B → A ≡ (T ) A→B B ∴A 16 BỘ MƠN TỐN Hướng dẫn ơn tập logic Ví dụ 2.27 Nếu chủ nhật trời khơng mưa mẹ đưa Nam chơi Chủ nhật mẹ không đưa Nam chơi Vậy hôm trời mưa Quy tắc 5: (A ∨ B) ∧ A → B ≡ (T ) A∨B A ∴B Ví dụ 2.28 Những số tận chia hết cho Số A chia hết cho khơng có tận Vậy A có tận Quy tắc 6: (A → B) ∧ (B → C) → (A → C) ≡ (T ) A→B B→C ∴ (A → C) Ví dụ 2.29 Nếu bạn làm tập thật chăm bạn nắm vững giáo trình Nếu bạn nắm vững giáo trình bạn thi đỗ kỳ thi tốt nghiệp Vậy bạn làm tập thật chăm bạn thi đỗ kỳ thi tốt nghiệp Quy tắc 7:A1 ∧ A2 ∧ ∧ An → B ≡ (T ) ⇔ A1 ∧ A2 ∧ ∧ An ∧ B ≡ (F ) A1 A2 A1 A2 An An B ≡ ∴B ∴ (F ) Ví dụ 2.30 Vụ án vòng cổ bị đánh cắp Giả sử người phụ nữ khai báo đúng, kẻ trộm đột nhập vào nhà, kẻ trộm phá vỡ cửa kính vào nhà mảnh thủy tinh cửa kính phải cịn vương sàn Nhưng thật mảnh thủy tinh khơng có sàn nên điều giả sử sai Quy tắc 8:(A → B) ∧ (D → B) → ((A ∧ D) → B) ≡ (T ) A→B D→B ∴ (A ∧ D) → B Ví dụ 2.31 Chứng minh dùng phương pháp suy diễn chứng minh a) (X → Y ) ∧ (Y → Z) ∧ X ∧ (Z → K) → K ≡ (T ) 17 BỘ MÔN TỐN Hướng dẫn ơn tập logic b) (A → B) ∧ (A → C) ∧ (C → D) → (B ∨ D) c) (A ∨ B) ∧ (A → C) ∧ (C → D) → (B → D) ≡ (T ) d) (A → B) ∧ (B → C) ∧ (D ∨ C) ∧ (D ∨ E) ∧ E → A ≡ (T ) e) A ∧ (A → B) ∧ (C ∨ D) ∧ (D → B) → (C ∨ E) ≡ (T ) Lời giải Muốn chứng minh suy luận khơng, ta giá trị mệnh đề giả thiết làm cho mệnh đề suy luận có giá trị sai Ví dụ 2.32 Kiểm tra xem suy luận sau có khơng: Ơng A nói khơng tăng lương ơng ta nghỉ việc Mặt khác, ông nghỉ việc vợ ông việc phải bán xe Biết vợ ơng A hay làm trễ trước sau bị việc cuối ơng A tăng lương Suy ra, ông A khơng bán xe vợ ơng ta khơng làm trễ Lời giải Đặt A="Ông A tăng lương" B="Ơng A nghỉ việc" C="Vợ ơng A bị việc" D="Gia đình ơng A phải bán xe" E="Vợ ơng A hay làm trễ" Suy luận mơ tả mơ hình sau A→B B∧C →D E→C A ∴D→E Chọn giá trị (A, B, C, D, E) = (T, F, T, F, T ) ta thấy suy luận sai Ví dụ 2.33 Chứng minh đẳng thức sau hai phương pháp suy diễn biến đổi tương đương a) C → A ∨ B ∧ (D → C) ∧ D → A ∧ B ≡ (T ) b) (A ∨ B) ∧ (A ∨ B ∨ C ∨ D) → C ∧ D ≡ (T ) Lời giải 2.4 Bài tập luyện tập Bài 2.1 Đặt X=“Tuấn xe không cẩn thận” , Y=“Tuấn xe an toàn”, Z=“Tuấn xe giỏi” Hãy viết mệnh đề phức hợp sau dạng công thức logic mệnh đề Tuấn xe cẩn thận, giỏi an toàn Tuấn xe cẩn thận, giỏi an tồn Tuấn xe giỏi khơng cẩn thận an tồn 18 BỘ MƠN TỐN Hướng dẫn ơn tập logic Tuấn xe giỏi không cẩn thận không an toàn Tuấn xe giỏi cẩn thận an tồn Bài 2.2 Chứng minh cơng thức sau đồng phương pháp lập bảng phương pháp biến đổi X ∧ (X ∨ Y ) → Y (X ∧ (X → Y )) → Y Bài 2.3 Chứng minh công thức sau phương pháp biến đổi (A → B) ∧ (B → C) ∧ (D ∨ C) ∧ (D ∨ E) ∧ E → A ≡ (T ) A ∧ (A → B) ∧ (C ∨ D) ∧ (D → B) → (C ∨ E) ≡ (T ) Bài 2.4 Dùng phương pháp suy diễn chứng minh (A ∨ B) → C ∧ D ∧ (C → E) ∧ E → A ≡ (T ) (A ∧ B) ∧ (B ∨ A) ∧ A → A ≡ (T ) (A → B) ∧ (A → C) ∧ (C → D) → (B → D) ≡ (T ) (A ∨ B) ∧ (B ∨ C) ∧ (D ∨ C) ∧ (D ∨ E) ∧ A → E ≡ (T ) A ∧ (A → B) ∧ (C ∨ D) ∧ (B → C ∧ D) → D ≡ (T ) Bài 2.5 Chứng minh đẳng thức sau hai phương pháp suy diễn biến đổi tương đương (A ∨ B) ∧ (B → C ∧ D) ∧ C → A ≡ (T ) (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) ∧ (C → D) → (B ∨ D) ≡ (T ) (A ∨ B) → (C ∧ D) ∧ (C → E) ∧ E → A ≡ (T ) (A ∨ B) ∧ (A ∨ B ∨ C ∨ D) → C ∧ D ≡ (T ) A ∧ (A → B) ∧ (C ∨ D) ∧ (B → C ∧ D) → D ≡ (T ) (B → A) ∧ (D → C) ∧ (A ∧ E → D ∧ B) ∧ (E ∨ A) → (C → A) ≡ (T ) 19 Chương Đại số Boole Đại số Boole đặt tên theo George Boole (1815–1864), nhà toán học người Anh - người đặt móng đại số Boole vào năm 1854 với quy tắc logic, trình bày hai sách ơng "Giải tích tốn học logic" "Các định luật tư duy" Năm 1938 Claude Shannon chứng tỏ dùng quy tắc lôgic George Boole đưa để thiết kế mạch điện Đại số Boole làm việc với đại lượng nhận giá trị Đúng Sai thể hệ thống số nhị phân, mức điện mạch điện logic Do đại số Boole có nhiều ứng dụng kỹ thuật điện khoa học máy tính, logic toán học 3.1 Hàm Boole 3.1.1 Đại số Boole Định nghĩa 3.1 Một tập I = {0, 1} với ba phép toán ” − ”, ” ∧ ”, ” ∨ ”, định nghĩa đại số mệnh đề, gọi đại số Boole Với x ∈ I x∨0=x x∧0=0 x∨1=1 x∧1=x x∨x=1 x ∧ x = 3.1.2 Hàm Boole Định nghĩa 3.2 Hàm Boole ánh xạ f : I n → I, (x1 , x2 , , xn ) → x ∈ I Các cách cho hàm Boole Lập bảng Ví dụ 3.3 f (x, y) cho bảng 20 BỘ MƠN TỐN Hướng dẫn ơn tập logic x y f 1 1 0 0 Từ bảng ta thấy f (1, 1) = 1; f (0, 1) = f (1, 0) = 0; f (0, 0) = Cho biểu thức Ví dụ 3.4 f (x, y) = x ∧ y ∨ x ∧ y Từ biểu thức f, ta có bảng giá trị f x y f 1 1 0 0 Nhận xét: Nếu cho biểu thức f, ta dễ dàng suy bảng giá trị f Bài toán đặt từ cho bảng giá trị f , tìm biểu thức f Ví dụ 3.5 Lập bảng giá trị hàm Boole biểu diễn quy tắc ba công tắc điều khiển bóng đèn biết thay đổi trạng thái cơng tắc trạng thái bóng đèn thay đổi Quy ước cơng tắc đóng 1, mở 0, bóng đèn sáng 1, tắt Lời giải k1 1 1 0 0 3.1.3 k2 1 0 1 0 k3 1 1 f 0 1 Các hàm Boole f0 (x) = f1 (x) = f2 (x, y) = x ∧ y f3 (x, y) = x ∨ y f4 (x) = x 21 BỘ MƠN TỐN Hướng dẫn ơn tập logic Bảng giá trị hàm Boole x y f0 1 0 0 0 3.2 f1 1 1 f2 0 f3 1 f4 0 1 Dạng chuẩn tắc hàm Boole 3.2.1 Dạng chuẩn tắc tuyển hàm Boole Định lí 3.6 Mọi hàm đại số Boole biểu diễn dạng (xσ1 ∧ xσ2 ∧ ∧ xσnn ) , f (x1 , x2 , , xn ) = (σ1 ,σ2 , ,σn ) f (σ1 ,σ2 , ,σn )=1 σi ∈ I, tức σ ∈ {0, 1} quy ước x0j = xj , x1j = xj Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề: Cho x, a ∈ I Khi xa = ⇔ a = x Thật • Nếu x = xa = ⇔ 1a = = 11 ⇔ a = • Nếu x = xa = ⇔ 0a = = 00 ⇔ a = Trở lại chứng minh định lý, ta chứng minh với (α1 , α2 , , αn ) ∈ I n , V T (α1 , α2 , , αn ) = V P (α1 , α2 , , αn ) = ngược lại, V P (α1 , α2 , , αn ) = V T (α1 , α2 , , αn ) = Thật Giả sử V T (α1 , α2 , , αn ) = 1, tức f (α1 , α2 , , αn ) = Suy (α1 , α2 , , αn ) (σ1 , σ2 , , σn ) vế phải Do thành phần tuyển vế phải có thành phần α1α1 ∧ α2α2 ∧ ∧ αnαn Theo bổ đề, α1α1 ∧ α2α2 ∧ ∧ αnαn = ∧ ∧ ∧ = Vậy V P (α1 , α2 , , αn ) = Giả sử (α1σ1 ∧ α2σ2 ∧ ∧ αnσn ) = V P (α1 , α2 , , αn ) = (σ1 ,σ2 , ,σn ) f (σ1 ,σ2 , ,σn )=1 Suy tồn (σ1 , σ2 , , σn ) cho α1σ1 ∧ α2σ2 ∧ ∧ αnσn = ⇒α1σ1 = α2σ2 = = αnσn = ⇒α1 = σ1 ; α2 = σ2 ; ; αn = σn Vậy V T (α1 , α2 , , αn ) = f (α1 , α2 , , αn ) = f (σ1 , σ2 , , σn ) = 22 BỘ MƠN TỐN 3.2.2 Hướng dẫn ơn tập logic Dạng chuẩn tắc hội hàm Boole Định lí 3.7 Mọi hàm Boole biểu diễn dạng xσ1 ∨ xσ2 ∨ ∨ xσnn f (x1 , x2 , , xn ) = (σ1 ,σ2 , ,σn ) f (σ1 ,σ2 , ,σn )=0 Chứng minh Đầu tiên ta có bổ đề Bổ đề xσ = xσ Thật • Nếu x = 1, σ = V T = 11 = = 0; V P = 11 = 10 = • Nếu x = 1, σ = V T = 10 = = 1; V P = 10 = 11 = • Nếu x = 0, σ = V T = 01 = = 1; V P = 01 = 00 = • Nếu x = 0, σ = V T = 00 = = 0; V P = 00 = 01 = Trở lại định lý, đặt F (x1 , x2 , , xn ) = f (x1 , x2 , , xn ) Theo định lý 3.6, F biểu diễn dạng F (x1 , x2 , , xn ) = (xσ1 ∧ xσ2 ∧ ∧ xσnn ) (σ1 ,σ2 , ,σn ) F (σ1 ,σ2 , ,σn )=1 Suy (xσ1 ∧ xσ2 ∧ ∧ xσnn ) f (x1 , x2 , , xn ) = (σ1 ,σ2 , ,σn ) f (σ1 ,σ2 , ,σn )=1 xσ1 ∨ xσ2 ∨ ∨ xσnn ⇒ f (x1 , x2 , , xn ) = (σ1 ,σ2 , ,σn ) f (σ1 ,σ2 , ,σn )=0 Chú ý Khi thiết lập biểu thức hàm Boole, hàm nhận giá trị thường dùng định lý 3.6, hàm nhận nhiều giá trị thường dùng định lý 3.7 Ví dụ 3.8 Lập hàm Boole có giá trị cho bảng sau x 1 1 0 0 y 1 0 1 0 z 1 1 23 f 0 1 BỘ MƠN TỐN Hướng dẫn ôn tập logic Lời giải Cách Áp dụng định lý 3.6 ta có f (x, y, z) = x1 ∧ y ∧ z ∨ x1 ∧ y ∧ z ∨ x0 ∧ y ∧ z ∨ x0 ∧ y ∧ z = (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) Cách Áp dụng định lý 3.7 ta có f (x, y, z) = (x1 ∨ y ∨ z ) ∧ (x1 ∨ y ∨ z ) ∧ (x0 ∨ y ∨ z ) ∧ (x0 ∨ y ∨ z ) = (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z) Ví dụ 3.9 Lập hàm Boole biểu diễn công tắc điều khiển bóng đèn biết đèn sáng trạng thái công tắc 1, công tắc giống khác công tắc Lời giải Lập bảng giá trị hàm Boole x 1 1 0 0 y 1 0 1 0 z 1 1 f 0 0 Áp dụng định lý 3.6 ta có f (x, y, z) = (x1 ∧ y ∧ z ) ∨ (x0 ∧ y ∧ z ) = x ∧ y ∧ z ∨ x ∧ y ∧ z 3.3 Ứng dụng đại số Boole Đại số Boole thường dùng để mơ hình hóa sơ đồ mạch dụng cụ điện tử Các sơ đồ mà nghiên cứu đầu phụ thuộc vào đầu vào, không phụ thuộc vào trạng thái thời mạch Mỗi đầu vào đầu mạch điện điện tử có khái niệm khơng được, có khơng có Vì vậy, tương ứng với hai số tập I = {0, 1} Chẳng hạn, mạch điện gồm bóng đèn cơng tắc Cơng tắc đóng, mở tương ứng với 1,0; bóng đèn sáng, không sáng tương ứng với giá trị 1,0 Nói tóm lại, trường hợp tổng quát, mạch điện điện tử thiết kế quy tắc đại số Boole, phần tử mạch gọi phần tử logic hay cịn gọi cổng logic 24 BỘ MƠN TỐN 3.3.1 Hướng dẫn ơn tập logic Các phần tử logic Bộ đảo chiều Cổng AND Cổng OR Cổng NAND Cổng NOR Ví dụ 3.10 Thiết kế mạch điện có đầu a) (x ∨ y) ∧ x b) x ∧ y ∨ x ∧ y Lời giải a) n b) nn Chú ý Để có sơ đồ thiết kế với toán cụ thể, ta thực bước • Bước 1: Lập bảng giá trị • Bước 2: Lập hàm theo bảng giá trị • Bước 3: Đơn giản cơng thức hàm • Bước 4: Thiết kế mạch Ví dụ 3.11 Chỉ dùng cổng NAND để thiết kế hệ thống có đầu sau 25 BỘ MƠN TỐN a) x Hướng dẫn ơn tập logic b) x ∨ y c) x ∧ y Lời giải nn nn nn Ví dụ 3.12 Thiết kế điều khiển gồm cơng tắc, điều khiển bóng đèn đáp ứng yêu cầu: Đèn sáng công tắc thứ trạng thái với công tắc thứ ba công tắc thứ hai khác trạng thái công tắc thứ tư Lời giải Bước 1: Lập bảng giá trị hàm Boole f (x, y, z, t) hàm giá trị đầu ra: x y z 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 26 t f BỘ MƠN TỐN Hướng dẫn ơn tập logic Bước 2, 3:Lập hàm theo giá trị bảng rút gọn công thức: f (x, y, z, t) = x1 ∨ y ∨ z ∨ t0 ∧ x1 ∨ y ∨ z ∨ t0 ∧ x0 ∨ y ∨ z ∨ t1 ∧ x0 ∨ y ∨ z ∨ t1 =(x ∨ y ∨ z ∨ t) ∧ (x ∨ y ∨ z ∨ t) ∧ (x ∨ y ∨ z ∨ t) ∧ (x ∨ y ∨ z ∨ t) = [(x ∨ y ∨ t) ∨ (z ∧ z)] ∧ (x ∨ y ∨ t) ∨ (z ∧ z) =(x ∨ y ∨ t) ∧ (x ∨ y ∨ t) Bước 4: Thiết kế mạch 3.4 Bài tập luyện tập Bài 3.1 Cho hàm Boole f (x, y, z) dạng bảng sau x y z f 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 Tìm dạng chuẩn tắc tuyển hàm Boole f (x, y, z) Tìm dạng chuẩn tắc hội hàm Boole f (x, y, z) Bài 3.2 Cho hàm Boole f (x, y, z) dạng bảng sau x y z 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 27 f BỘ MƠN TỐN Hướng dẫn ơn tập logic Tìm dạng chuẩn tắc tuyển hàm Boole f (x, y, z) Tìm dạng chuẩn tắc hội hàm Boole f (x, y, z) Bài 3.3 Thiết kế mạch điện với đầu sau x ∧ y ∧ z ∨ x ∧ y ∧ z x ∧ y ∨ y ∧ z ∨ z ∧ x Bài 3.4 Thiết kế điều khiển gồm công tắc, điều khiển bóng đèn đáp ứng yêu cầu: Đèn sáng trạng thái công tắc số hai giống trạng thái công tắc thứ ba trạng thái công tắc thứ ba khác trạng thái công tắc thứ tư Bài 3.5 Thiết kế điều khiển gồm công tắc, điều khiển bóng đèn đáp ứng yêu cầu: Đèn sáng trạng thái công tắc thứ giống trạng thái công tắc thứ ba trạng thái công tắc thứ ba khác trạng thái công tắc thứ hai Bài 3.6 Thiết kế điều khiển có đầu f (x, y, z, t) biết f (x, y, z, t) = x = y t = z Thiết kế điều khiển có đầu f (x, y, z, t) biết f (x, y, z, t) = x = t y = z 28 ... Có thiếu niên tới An, Cường, Dũng Thầy phụ trách hỏi An: "Em qn gì" Sau thầy hỏi Cường Dũng: "An vừa trả lời An quân gì?" Cường trả lời: "An quân đỏ" Dũng trả lời: "An quân xanh" Hỏi Cường, Dũng... Một hệ thống đèn trang trí gồm đèn Mỗi đèn màu xanh phút chuyển sang màu đỏ phút Bắt đầu từ đèn thứ bật màu xanh, sau 10 giây đèn bật màu xanh Tính thời gian đèn bật màu xanh phút hệ thống đèn... số Boole, phần tử mạch gọi phần tử logic hay gọi cổng logic 24 BỘ MƠN TỐN 3.3.1 Hướng dẫn ơn tập logic Các phần tử logic Bộ đảo chiều Cổng AND Cổng OR Cổng NAND Cổng NOR Ví dụ 3.10 Thiết kế mạch