Bài giảng phương pháp tính đại học mỏ địa chất

TRƢỜNG ĐẠI HỌC MỎ ĐỊA CHẤT BỘ MƠN TỐN BÀI GIẢNG PHƢƠNG PHÁP TÍNH THÁNG 09/2014 Chƣơng SAI SỐ Trong toán ky thuât, giá trị đa i lượng dùng tính tốn thường ̃ ̣ ̣ khơng được biê t mơ t cách xác Chúng ta làm viê c chu yêu với giá trị gân cu a ́ ̣ ̣ ̉ ́ ̀ ̉ đai lượng mà thơi Khi đó, độ lệch giá trị gần giá trị gọi sai số ̣ Số xấp xỉ Gọi a số xấp xỉ số A, a sai khác A không đáng kể đƣợc dùng thay cho A tính tốn Ký hiệu a ≈ A Sai số tuyệt đối Đại lƣợng ∆a = |a - A| đƣợc gọi sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a Thực tế, số A, nên khơng thể biết xác sai số tuyệt đối Vì vậy, ta gọi sai số tuyệt đối cua số xấp xỉ a đại lƣợng ∆a, bé tốt, cho |a - A| ≤ ∆a ̉ Từ bất đẳng thức trên, ta có a - ∆a ≤ A ≤ a - ∆a Vậy giá trị số A đƣợc viết nhƣ sau: A = a ± ∆a Sai số tƣơng đối Đại lƣợng  a  a gọi sai số tƣơng đối số a a Sai số tƣơng đối cho biết mức độ tin cậy số xấp xỉ Sai số tuyệt đối khơng phản ánh đƣợc điều Giả sử đo chiều dài hai cung đƣờng, đƣợc kết qủa: S1 = 1500m ± 50cm S1 = 10m ± 50cm Hai phép đo có sai sơ tut đơi nhƣng phép đo trƣớc xác phép đo sau ́ ̣ ́ Chữ sô đáng tin Cho số xấp xỉ a với sai số ∆a Giả sử a đƣợc viết dƣới dạng thập phân ́ a   an10n  an 110n1    a0   a1101  a2   a m102  a m10 m  hay a  an an1 a0 , a1a2 a m Chữ số ak đƣợc gọi đáng tin a  10k /  10k  2 a Chữ số ak đƣợc gọi đáng nghi a  10k /  10k  2a Ví dụ: cho a = 21.53674, sai số Δ = 0.004 Có 2≤Các chữ số đáng tin chữ số trƣớc chữ số thập phân thứ 2, 2,1,5,3 Các chữ số cịn lại đáng nghi Nếu sai số Δ = 0.006 Thì 2Δ = 0.012 ≤ 10-1 Chữ số đáng tin chữ số thập phân thứ Các chữ số thập phân lại đáng nghi Cách viết số xấp xỉ Cách thứ nhất: Viết số xấp xỉ kèm theo sai số tuyệt đối Chẳng hạn 12,345 ± 0,005 Cách dùng để biểu diễn kết tính phép đo Cách thứ hai: Viết số xấp xỉ theo quy tắc: Mọi chữ số có nghĩa đáng tin Ví dụ viết a = 1.26 sai số đƣợc hiểu 0.005 (hoặc nhỏ hơn) Cách thƣờng dùng bảng số lập sẵn Sự quy trịn số Khi tiến hành tính tốn, số a có q nhiều chữ số khơng tiện cho tính tốn khơng ghi hết đƣợc vào máy tính, ta phải bỏ vài chữ số cuối để nhận đƣợc số gần a1 Việc làm gọi quy tròn Biểu thức | a - a1| đƣợc gọi sai số quy tròn Quy tròn số phải theo quy tắc: Sai số quy trịn khơng đƣợc vƣợt q nửa đơn vị chữ số giữ lại cuối bên phải Nhƣ vậy, chữ số bỏ lớn thêm vào chữ số giữ lại cuối Nếu chữ số bỏ nhỏ giữ nguyên chữ số giữ lại cuối Ảnh hưởng sai số quy trịn Xét ví dụ: Nếu khai triển nhị thức Newton, đƣợc công thức   1 10  3363  2378 Thay gần giá trị vào hai vế đẳng thức trên, đƣợc kết quả: vế trái vế phải 1.4 0.0001048576 33.8 1.41 0.00013422659 10.02 1.41421 0.00014866399 0.00862 1.414213563 0.00014867678 0.0001472 Sự khác biệt lớn hai vế chứng tỏ sai số quy tròn gây hậu đáng ngại Sai số tính tốn Khi tính tốn biểu thức số học f(x1, ,xn), từ sai số đối số xi, ta nhận đƣợc sai số kết tính biểu thức Sai số lớn a) Cơng thức tổng qt Giả sử phải tính biểu thức u = f(x1, ,xn), với sai số xi Δi Gọi Xi Ui giá trị của số xấp xỉ xi, ui tƣơng ứng Theo cơng thức số gia hữu hạn, có u  U  u  n   X i  xi  i 1 u  u  u u n  i 1 n f  x1 , , xn  f  x1 , , xn   xi xi xi i 1 f  x1 , , xn  xi xi b) Sai số tổng Xét tổng u = x1 + x2 + + xn Theo cơng thức tổng qt, tính trực tiếp, ta đƣợc u  x1   xn u  x1   xn u Chú ý sai số hiệu Nếu x1 - x2 nhỏ sai số Δu lớn Vì ngƣời ta thƣờng tránh thực phép trừ hai số gần cách biến đổi biểu thức Ví dụ: Tính hiệu u = 2, 01  , Nếu lấy 2,01 1,42, 1,42 u = 0,01 Sai số trƣờng hợp Δ = (0,005 + 0,005) / (1,42 - 1,41) = Nếu viết u dƣới dạng u  2.01    2.01  2.01    2.01  0.01   0, 00353 1, 42  1, 41 2,83 Sai số Δ = (0,005 + 0,005) / (1,42 +1,41) = 0,005 Rõ ràng kết tốt sai số trƣờng hợp nhỏ nhiều cách tính trực tiếp c) Sai số tích thương Theo công thức tổng quát: u = x1x2 u = x1/x2, có Δu = |u|(Δx1 + Δx2) Δu = (Δx1 + Δx2) Sai số phƣơng pháp Nói chung phƣơng pháp giải tốn phƣơng pháp gần Sai số xuất cách giải gọi sai số phƣơng pháp Mỗi phƣơng pháp thƣờng có sai số định Loại sai số đƣợc nghiên cứu phƣơng pháp cụ thể Bổ sung: Kỹ sử dụng máy tính Casio - f 500 a) Ơ nhớ tổng Ans: Để gán giá trị cho Ans, ta bấm giá trị cần gán bấm dấu = Từ lúc này, giá trị nhớ tổng được trì gặp lệnh gán khác b) Thực phép tính lặp: Ví dụ cần tính xn+1 = xn2 - 2xn + 4, với x1 = Thực theo thứ tự sau: Gán cho ans / bấm ans ans - 2ans + / bấn dấu = liên tiếp n+1 lần c) Sử dụng ô nhớ khác: Để gán giá trị cho nhớ (có ô nhớ), ta bấm giá trị cần gán, bấm lần lượt Shift / Sto (phím RCL) / bấm chữ tên nhớ Có chữ a (phím (-)), b (phím ,,,), c (phím hyp) v.v Muôn sư dung gia trị cua ô nhơ nao đo, bâm Alpha / bâm phí m chư tương ưng ́ ̉ ̣ ́ ̉ ́ ̀ ́ ́ ́ ̃ ́ Chƣơng GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Chương đưa phương pháp giải gần nghiệm thực phương trình phi tuyến f(x) = Trong đa số trường hợp phương trình khơng có cơng thức tìm nghiệm Ngay có cơng thức tìm nghiệm, hệ số phương trình được đưa cách gần đúng, nên việc xác định xác nghiệm khơng cịn ý nghĩa Vì việc giải gần nghiệm, với việc đánh giá được sai số đóng vai trò quan trọng I KHOẢNG PHÂN LY NGHIỆM VÀ SAI SÔ TÔNG QUAT ́ ̉ ́ Định nghĩa Gọi [a,b] khoảng phân ly nghiêm phƣơng trình f(x) = khoảng chứa nghiệm phƣơng trình cho Việc xác định khoảng phân ly nghiệm yêu cầu bắt buộc để thực đƣợc phƣơng pháp đƣợc trình bày dƣới Cách xác định khoảng phân ly Để tìm khoảng phân ly nghiêm, ta vẽ đồ thị hàm số y = f(x) Việc đƣợc thực dễ dàng nhờ số phầm mềm thông dụng nhƣ Graph, Mathlable, Dựa vào đồ thị, dễ dàng xác định đƣợc khoảng phân ly Muốn xác, ta dung đị nh ly sau: ̀ ́ Định lý: Nếu hàm f(x) xác định liên tục [a,b], f(a)f(b) < 0, có đạo hàm f '(x) khơng đổi dấu (a,b), [a,b] khoảng phân ly nghiệm Dƣới số đồ thị mà dựa vào đó, bạn đọc dễ dàng xác định đƣợc khoảng phân lý nghiệm tƣơng ứng y -2 y -2 x2 x2 y  4sin x  x 1 4 y 10 x -15 -10 -5 10 15 -10 y= |𝑥| − 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 − Đánh giá sai sô tổng quát Trong phƣơng pháp gần để tìm nghiệm phƣơng trình f(x) = 0, ta sử dụng đánh giá sai số tổng quát sau Định lý: Giả sử hàm số f(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) Gọi x* α nghiệm gần nghiệm khoảng phân ly nghiệm phƣơng trình f(x) = Khi x *   f ( x*) m , m = min{ |f '(x)| ; x  (a,b) } (2.1) Chứng minh Theo định lý Lagrange, có f(x*) = f(x*) - f(α) = f'(c)(x* - α) Từ ta có ĐPCM Đánh giá trƣờng hợp Tuy nhiên, với phƣơng pháp cụ thể, đặc thù khác nhau, có đánh giá tốt II PHƢƠNG PHÁP CHIA ĐÔI Thuật tốn Xét tốn f(x) = Ln giả thiết f(a)f(b) < 0, khoảng phân ly nghiệm [a,b] Bƣớc Chọn khoảng phân ly xuất phát [a1; b1] với a1 = a, b1 = b Tìm trung điểm b a x1  1 Bƣớc Nếu f(x1) = x1 nghiệm Dừng thuật tốn Nếu khơng, xét trƣờng hợp a a Hình x1 x1 b b Hình Nếu f(x1)f(a1) > lập khoảng mới [a2,b2] với a2 = x1, b2 = b1 (hình 1) Hình Nếu f(x1)f(a1) < lập khoảng mới [a2,b2] với a2 = a1, b2Hình12 (hình 2) =x Bƣớc Đối với khoảng [a2,b2], lặp lại trình n lần, đƣợc nghiệm gần xn  bn  an 2 Sự hội tụ Dãy nghiệm gần tìm được theo phương pháp chia đôi hội tụ nghiệm α phương trình f(x) = Thật vậy, có a ≤ an ≤ xn ≤ bn ≤ b, nên dãy {an} bị chặn trên, dãy {bn} bị chặn dƣới Do tồn giới hạn liman, limbn Lại có lim(an-bn) = lim(b-a)/2n = 0, nên liman = limbn Đặt α = liman = limbn Có f(α) = limf(an) = limf(bn) Vì f(an) f(bn) ln trái dấu, nên f(α) = Vậy α nghiêm Lại xn bị kẹt an bn nên có limxn = α ĐPCM Sai số Do xn trung điểm [an,bn] xn-1 hai mút an bn, nên |xn - α| ≤ bn  an bn 1  an 1 bn 2  an 2 ba     2 2n (2.2) Ví dụ: Giải phƣơng trình x3 - x - = 0, bíêt khoảng phân ly nghiệm [1,2] Giải: f(1) < 0, f(2) > Kết đƣợc ghi bảng sau N an bn xn f(xn) f(an)0 1 1,5 + 0,875 1,5 1,25 - 0,2969 1,25 1,5 1,375 + 0,2246 1,25 1,375 1.3125 - 0,0515 1,3125 1,375 1,3438 + 0,0826 1,3125 1,3436 1,3281 + 0,0146 Nghiệm gần x6 = 1,3281, Sai số = 1/26 = 0,0156 Chú ý cách thưc : + Giá trị hàm mút trái mút phải khơng đổi q trình tính tốn, nên ta cần tìm dấu hàm lần đủ Ở đây, mút trái, giá trị hàm số âm (-), mút phải dương (+) + Nếu giá trị hàm số f(xn) dấu với giá trị hàm đầu mút bên nào, mút đổi thành giá trị mới, mút lại để nguyên Trong bảng, giá trị gạch mút được đổi II PHƢƠNG PHÁP LẶP Thuật tốn Xét tốn f(x) = Ln giả thiết f(a)f(b) < 0, khoảng phân ly nghiệm [a,b] Bước Đƣa phƣơng trình dạng x = φ(x), φ(x) hàm số liên tục, thoả mãn điều kiện hội tụ : i) |φ'(x)| ≤ q < ii) φ(x)  [a,b] Bước Chọn điểm xuất phát tuỳ ý x0  [a,b] Bước Lập dãy nghiệm xấp xỉ theo công thức sau: x1 = φ(x0), x2 = φ(x1), , xn = φ(xn-1) (2.3) Khi dãy {xn} hội tụ nghiệm phƣơng trình cho Thật Gọi x* nghiệm, x* = φ(x*) Vậy xn - x* = φ(xn-1) - φ(x*) = (công thức số gia hữu hạn đƣợc) = φ'(c)(xn-1- x*) Từ có dãy đánh giá liên tiếp |xn - x*| ≤ q|xn-1 - x*| ≤ q2|xn-2 - x| ≤ ≤ qn|x0 - x*| (2.4) Vì q < nên dãy {xn } hội tụ nghiệm x* ĐPCM Mơ tả hình học a x1 x2 x0 b Chú ý: Ở bƣớc 1, thay điều kiện φ(x)  [a,b] (ii) cách chọn điểm xuất phát theo cách sau: + Nếu [a,b], φ'(x) > chọn x0 tùy ý [a,b] ab   x0  a f (a) f ( )   + Nếu φ'(x) < 0, chọn   x  b f (b) f ( a  b )    Chú ý rằng, cách chọn x0 nhƣ theo quy tắc: đầu mút gần nghiệm chọn mút làm điểm xuất phát Sai số Gọi x* nghiệm nghiệm xn thoả mãn đánh giá sau xn  x *  q xn  xn 1 1 q qn xn  x *  x1  x0 1 q 1 (2.5)  2 Thật vậy, theo (2.4) có |xn - x*| ≤ q|xn-1 - x*| = q|xn-1 - xn + xn - x*| ≤ q|xn-1 - xn|+ q|xn - x*| Chuyển vế nhận đƣợc cơng thức (1) Lại có |xn - xn-1| = |φ'(c)| |xn-1 - xn-2| ≤ q|xn-1 - xn-2| ≤ ≤ qn-1|x1 - x0| Thay vào (1) nhận đƣợc (2) ĐPCM Ví dụ: Tìm nghiệm gần phƣơng trình x3 - x - - 0, bíết khoảng phân ly [1,2] Giải: Đƣa phƣơng trình dạng x  x  Có ' 3  x  1 , có   '  , x  1, 2 Ngoài ra, đoạn [1, 2] có   x   x   1, 2 Vậy chọn điểm xuất phát tuỳ ý khoảng [1,2], chẳng hạn x0 = 1, đƣợc x0 = x3 = 1.32235 x1 = 1.25992 x4 = 1.32427 x2 = 1.31229 x5 = 1.32463 Có q = 1/3, q/(1-q) = 1/2 , x5 - x4 = 0.00036, nên sai số 0.0002 III PHƢƠNG PHÁP DÂY CUNG Thuật toán Biết trƣớc [a,b] khoảng phân ly nghiệm phƣơng trình f(x) = Ngồi ra, f(x) hàm số liên tục đạo hàm f '(x), f ''(x) có dấu khơng đổi (a,b) Trƣớc tiên ta xây dựng thuật toán hai trƣờng hợp riêng a) Trường hợp f(a).f ''(x)>0 Chọn điểm xuất phát x0 = b Lập phƣơng trình dây cung AB: y  f  x0  f  a   f  x0  B a x x1  x  x0 a  x0 A b a x x1 b x0 B A Hoành độ giao điểm dây AB với trục hoành x1  x0  f  x0   a  x0  f  a   f  x0  ; x1 có tính chất: a < x1 < b, f(x1) ln dấu với f(x0) (do tính lồi hàm f(x)) Vậy chọn khoảng mới [a,x1] khoảng nằm [a,x0] bảo toàn điều kiện f(x1)f ''(x) > Lặp lại trình n lần, đƣợc x0  b, xn  xn1  f  xn1   a  xn1  f  a   f  xn 1  (2.6) 0,5 0,7712 0,1095 0,7906 7,834.103 (thỏa mãn) Bài Phƣơng trình  x3  3x2   0;   102 Lời giải Tìm khoảng phân ly nghiệm: f   x   3x2  x   x  0, x  - x +  - f  x + - x -2 -1 f(x) + + + + + + - - Vậy chọn khoảng phân ly nghiệm 3, 4 f  x    x3  3x  f   x   3x  x  0, x  3, 4 f   x   6 x  0, x  3, 4 Vì f    f     nên ta chọn d   xn 1   xn   15   x3  3x    xn 1  3xn 1   xn 1 Phép lặp :  n 1 n 1 x       Sai số: m  f   x   f   3  3,4 M  max f   x   f     24 3,4  n M m 15 xn  xn 1  xn  xn 1 m Sai số xn 64 3,0625 0,1042 3,0877 0,042 3,0975 0,0163 3,1014 6,5 103 Dạng Nội suy đa thức Sử dụng phƣơng pháp bình phƣơng cực tiểu: y  aebx x 10 y 10 20 30 40 50 Lời giải Ta có y  aebx  ln y  ln aebx  ln y  ln a  bx Đặt ln y  Y , ln a  A hàm cho trở thành Y  A  bx Ta có bảng sau I xi yi xi2 xi yi ln10 2ln10 ln20 16 4ln20 ln30 36 6ln30 ln40 64 8ln40 10 ln50 100 10ln50  30 ln 12.106 220 ln 7, 46496.1045     i  Yi   A  bxi  , i  0,1, 2,3, 4; S   Yi  A  bxi  i 0 4  A  b xi   Yi  5 A  30b  ln12.106  i 0  i 0 i 0 S    45 4  A x  b x2  x Y  30 A  220b  ln 7, 46496.10 i ii   i i 0 i 0  i 0   a  e A  8,053  y  8,053  e0,196 x Bài Tìm số liệu thiếu bảng 65   A  2, 086  b  0,196  x y ? 81 Lời giải Sử dụng nội suy Lagrange ta có:  x  1 x   x   1   x   x   x       1     1  1  1    x   x  1 x      x   x  1 x    81     1       1   P3  x   x  x  x  P3  3  2.33  4.32  4.3   31 P3  x   Bài Cho bảng x 50 52 ? 54 56 y 3,684 3,732 3,756 3,779 3,825 2 y 3 y Tìm x để f  x   3,756 Lời giải Sử dụng nội suy Newton tiến ta có bảng sau y I xi yi 50 3, 684 52 3,732 0, 048 54 3,779 0,047 0, 001 56 3,825 0, 046 0, 001 x  x0  th  x  50  2t 0, 048 0, 001 t t  t  1 1! 2!  3, 684  0, 0485t  0, 0005t t  1,508 f  x   3, 756    x  53, 016  50 t  95, 492(loai) P3  50  2t   3, 684  Bài Sử dụng nội suy để phân tích phân thức sau thành tổng phân thức đơn giản 66 x2  6x   x  1 x  1 x   x   Lời giải Sử dụng nội suy Lagrange tìm dạng đa thức nội suy Lagrange đa thức tử mốc nội suy nghiệm đa thức mẫu có x -1 y= x  x  -4 41 73 y  x2  6x   x  1 x   x    4   x  1 x   x        1  1 1   1   1  11  1    x  1 x  1 x    41   x  1 x  1 x    73     1  1     1  1     x  1 x   x     x  1 x   x    35 15 41 73  x  1 x  1 x     x  1 x  1 x   30 70 41 73 P    35 1  x  15  x  1 30  x   70  x    Bài Cho bảng x y a) Xác định đa thức nội suy tiến b) Tính sai số x  1,5 biết f   x   0, 001, x  1, 4 Lời giải y 2 y x y 2 3 y 67 x  x0  th   t P 1  t     2t   2t 1! M 0, 001   x   x  1 x   x  3 x   5!  n  1!  1,5   0, 001 1,5  11,5  1,5  31,5    7,813 108 5! Dạng Tìm nghiệm gần hệ phƣơng trình tuyến tính Phƣơng pháp lặp đơn Bài Tìm gần nghiệm hệ phƣơng trình sau phƣơng pháp lặp đơn với sai số  103 0, 02 x1  0, 05 x2  0,1x3  0, 795  a) 0,11x1  1, 03x2  0, 05 x3  0,849 ; 0,11x  0,12 x  1, 04 x  1,398  24, 21x1  2, 42 x2  3,55 x3  30, 24  b) 2,31x1  31, 49 x2  1,52 x3  40,95 3, 49 x  4,85 x  28, 72 x  42,81  Lời giải a) 0, 02 x1  0, 05 x2  0,1x3  0, 795  x1  0, 02 x1  0, 05 x2  0,1x3  0, 795   0,11x1  1, 03x2  0, 05 x3  0,849   x2  0, 03 x2  0,11x1  0, 05 x3  0,849 0,11x  0,12 x  1, 04 x  1,398  x  0,11x  0,12 x  0, 04 x  1,398   Vậy ta có x  Bx  g 0,1   0, 02 0, 05  0,11 0, 03 0, 05  , B   0,11 0,12 0, 04     b1 j  0,17, j 1  b2 j  0,19, j 1 0, 795 g  0,849 1,398 b j 1 3j  0, 27 Do B  max 0,17;0,17;0, 27  0, 27  Ta chọn x2   0, 0,  ; x10   0, 795;0,849;0,1398 T Số lặp lại tối thiểu là: x n    T 0, 27 n 0, 27 n x n  x n 1  1,397  103  n   0, 27  0, 27 68 k x1k k x2 k x3 0 0 0,795 0,849 1,398 0,961 0,980 1,531 0,977 1,00 1,560 0,981 1,005 1,563 0,982 1,005 1,564 0,982 1,005 1,564 Vậy 1  0,982 10 3;  1,005 10 3 3 1,564  ; 10 3 24, 21x1  2, 42 x2  3,55 x3  30, 24  x1  0, 0999587 x2  0,1590252 x3  1, 2490706   b) 2,31x1  31, 49 x2  1,52 x3  40,95  0, 0733566 x1  x2  0, 0482693x3  1,3004128 3, 49 x  4,85 x  28, 72 x  42,81 0, 0121581x  0,1688719 x  x  1, 4905929 3   0,999587 0,1590252 B  0, 0733566 0, 0482693 ; 0, 012158 0,1688719  b1 j  0, 2589838; j 1  b2 j  0,1216259; j 1 1, 2490706 g  1,3004128 1, 490929 b j 1 3j  0, 290390 Ta chọn x10   0, 0,  ; x1  1, 2490706;1,33004128;1, 4905929  T T 0, 29039n 1, 49058889  103  n  Số lặp lại tối thiểu là: x     0, 29039 n k x1k k x2 k x3 0 0 1,2490706 1,3004128 0,4905989 0,8954956 1.1368351 1,119211 0,9574515 1,1806988 1,1898005 0,941968 1,1727460 1,1748649 0,9450116 1,1746033 1,1780888 0,9443132 1,1742244 1,1774054 69 0,9444598 1,1743087 1,1775542 Phƣơng pháp lặp kép Bài Tìm gần nghiệm hệ phƣơng trình sau phƣơng pháp lặp kép với sai số  103 : 0, 02 x1  0, 05 x2  0,1x3  0, 795  0,11x1  1, 03x2  0, 05 x3  0,849 0,11x  0,12 x  1, 04 x  1,398  Lời giải Theo phƣơng pháp lặp đơn ta có:  x1  0, 02 x1  0, 05 x2  0,1x3  0, 795   x2  0, 03x2  0,11x1  0, 05 x3  0,849  x  0,11x  0,12 x  0, 04 x  1,398  B   0,08  n 1 k Chọn x   0, 0,  ta có xn 1  g n   Bnj x k 1 j T j 1 Dạng Tính gần tích phân xác định Phƣơng pháp hình thang Bài Tính gần tích phân dx  1 x phƣơng pháp hình thang với 10 đoạn chia Lời giải Ta có f  x   x 0,1 y 0,99 I   x2 0,2 0,3 0,9615 0,9174 0,4 0,5 0,862 0,8 0,6 0,7 0,8 0,9 0,7353 0,6711 0,6097 0,5524  0,99  0,9615  0,9174  0,862  0,8    0,1  1  0,5       0, 7353  0, 6711  0, 6097  0,5524   0, 78494 Đánh giá sai số: I  I   mh2  b  a  , m  max f   x  0,1 180 2 x x4  x2   x    x    m  max f   x   0,5 f  x   f  f 2 0,1  x2 1  x  1  x  70 0,5 Do I  I   0,5  0,12 1  4,1667 104 , 12 Trong I giá trị gần tích phân, I  giá trị tích phân Phƣơng pháp Simpson Bài Tính gần tích phân dx  1 x phƣơng pháp Simpson với 10 đoạn chia Lời giải I Từ bảng kết ta có: 0,1 1  0,5    0,99  0,9174  0,8  0, 6711  0,5524        0,9615  0,862  0, 7353  0, 6097      0, 785353 Đánh giá sai số: I  I   f  x  f  4 mh4  b  a  , M  max f  4  x  0,1 180 2 x  f  x  1 x  x2   x     f   x   x4  x2    x2  , ,  24 15 x  x  x  1  x   m  max f  4  x   24 0,1  0,1 1  1,33 105 mh4 I I   b  a   24  180 180  Bài Bằng phƣơng pháp Simpson cần chia  2,1;3,1 thành đoạn nhỏ để sai số  104 Lời giải Ta có I  I   Mh4 M  104 , M  max f  4  x   b  a   104   2,1;3,1 180 180n4 f  x  Do x3 24  f  4  x   x 1  x  1  M  max f  4  x   8, 6928  2,1;3,1 M 8, 6928  104  n   n  4, 687  n  180n 180 104 Dạng Tính gần nghiệm tốn Cauchy phƣơng trình vi phân thƣờng 71 Phƣơng pháp Euler cho phƣơng trình vi phân Bài Tình nghiệm gần toán Cauchy sau y  3x  y 1  f  x, y   3x  Lời giải y ,  x  2, x y , x0  1, X  2,  x Bài tốn có nghiệm là: y  x Bƣớc 1: Chọn N=10 Bƣớc 2: h  X  x0    0,1 N 10 Bƣớc 3: xi  x0  ih   0,1i Bƣớc 4: Đặt u0     y  Bƣớc 5: Tính ui 1  ui  hf  xi , ui   ui  0,1 3xi  i  , i  0,1, 2, , N  xi   Kết quả: I xi Nghiệm y  xi  Nghiệm gần ui Sai số 1,0 1,1 1,200 1,210 0,010 1,2 1,421 1,440 0,019 1,3 1,663 1,690 0,027 1,4 1,925 1,960 0,035 1,5 2,208 2,250 0,042 1,6 2,511 2,560 0,049 1,7 2,834 2,890 0,056 1,8 3,177 3,240 0,063 1,9 3,541 3,610 0,069 72 10 2,0 3,925 4,000 0,075 Phƣơng pháp Euler cho hệ phuơng trình vi phân Bài Tính nghiệm gần hệ phƣơng trình sau  y  x  yz, y     ,  x   z  x  y , z      Lời giải Bƣớc 1: Chọn số khoảng chia n=10 Bƣớc 2: Tính h  1  0,1 10 Bƣớc 3: Tính xi  x0  ih   0,1i Bƣớc 4: Đặt u0  1, v0  ui 1  ui  0,1 xi  ui vi   Bƣớc 5:  , i  0,1, 2, , n  vi 1  vi  0,1 xi2  ui2     i xi ui vi 0,000000 1,000000 0,000000 0,100000 1,000000 -0,100000 0,200000 1,000000 -0,199000 0,300000 1,000100 -0,295000 0,400000 1,000597 -0,386020 0,500000 1,001972 -0,470139 0,600000 1,004865 -0,545534 0,700000 1,010047 -0,610510 0,800000 1,018381 -0,663529 0,900000 1,030809 -0,703239 10 1,000000 1,048318 -0,728496 Phƣơng pháp Rung-Kutta (R-K) cho hệ phƣơng trình vi phân Bài Tính nghiệm gần hệ phƣơng trình sau 73  y  x  yz, y     ,  x   2  z  x  y , z     Lời giải Bƣớc Chọn số khoảng chia n=10 Bƣớc 2: Tính h  1  0,1 10 Bƣớc 3: Tính xi  x0  ih   0,1i Bƣớc 4: Đặt u0  1, v0  Bƣớc 5: Tính k1  h  xi  ui vi  k2  h  xi  0,5h    ui  0,5k1  vi  0,5l1     k3  h  xi  0,5h    ui  0,5k2  vi  0,5l2     k4  h  xi  h    ui  k3  vi  l3      l1  h xi2  ui2 Và Bƣớc Tính  2 l2  h  xi  0,5h    ui  0,5k1     2 l3  h  xi  0,5h    ui  0,5k2     l4  h  xi  h    ui  k3      ui 1  ui   k1  2k2  2k3  k4   ,  v  v   l  2l  2l  l   i 1 i  i xi k1 k2 k3 k4 0 0,000000 0,000000 1,3.105 2,5.105 0,1 3,3.105 8,3.105 1, 45.104 2,54.104 0,2 3,323.103 3,687.103 3,779.103 4,010.103 74 i  0,1, 2, , n  ui l1 l2 l3 l4 vi 0,3 4,022.103 4,355.103 4, 493.103 0,4 4,948.103 5,533.103 5,711.103 0,5 6, 451.103 7,356.103 7,569.103 0,6 0,012661 0,013909 0,014132 0,7 0,015628 0,017247 0,017495 0,8 0,019278 0,012129 0,021560 0,9 0,023783 0,086496 0,024617 10 1,0 \ \ \ 75 4,937.103 BÀI TẬP THỰC HÀNH MÔN: PHƢƠNG PHÁP TÍNH (Năm học 2014 – 2015) Họ tên: ………………………………………………………………… Lớp: ……………………………… Mã số SV:……………………………… Cán giảng dạy:…………………………………………………………… ... đáng ngại Sai số tính tốn Khi tính toán biểu thức số học f(x1, ,xn), từ sai số đối số xi, ta nhận đƣợc sai số kết tính biểu thức Sai số lớn a) Công thức tổng quát Giả sử phải tính biểu thức u... Chương đưa phương pháp giải gần nghiệm thực phương trình phi tuyến f(x) = Trong đa số trường hợp phương trình khơng có cơng thức tìm nghiệm Ngay có cơng thức tìm nghiệm, hệ số phương trình... số tính tốn số phép nhân cần sử dụng so với tính trực tiếp Để minh hoạ, xét ví dụ: Tính giá trị đa thức P = x4 + x3 + 2x2 + x + x = 2,01 Chỉ giữ lại hai chữ số lẻ phép tính trung gian - Tính