S6 CHUYÊN đề 2 CHỦ đề 1 các TÍNH CHẤT của lũy THỪA

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ĐS6 CHUYÊN ĐỀ - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 1: CÁC TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN n a n a Lũy thừa bậc tích thừa số nhau, thừa số : a n = a.a a n a n∈¥* ( thừa số ) ( ) a gọi số n gọi số mũ MỘT VÀI QUY ƯỚC 1n = 12021 = ví dụ : a =1 20210 = ví dụ : NHÂN HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ a m a n = a m + n Khi nhân hai lũy thừa số, ta nguyên số cộng số mũ CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ a m : a n = a m− n ( a ≠ 0; m ≥ ) Khi chia hai lũy thừa số (khác 0), ta giữ nguyên số trừ số mũ cho LŨY THỪA CỦA LŨY THỪA (a ) m n = a m n (2 ) = 2.4 = 28 Ví dụ : NHÂN HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ, KHÁC SỐ MŨ m a m b m = ( a.b ) 23.43 = ( 2.4 ) = 83 ví dụ : LŨY THỪA TẦNG n n a m = a(m ) 33 = ( ) ( ) = 39 Ví dụ: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ KHÁC SỐ MŨ m a m : bm = ( a : b ) 84 : 4 = ( : ) = 4 ví dụ : 9.LŨY THỪA CỦA MỘT THƯƠNG n ( a : b ) = a n : bn ( b ≠ ) (8 : 4) = 82 : 42 = 64 :16 = Ví dụ: PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI DẠNG 1: Viết gọn biểu thức dạng lũy thừa I Phương pháp giải: Sử dụng công thức sau: * a n = a.a a n a ( n∈¥ ( thừa số ) m n m+ n a a = a a m : bm = ( a : b ) (a ) m n m ( ) a ≠ 0; m ≥ ) = a m n a m b m = ( a.b ) n am = a(m n m ) a m : bm = ( a : b ) m II Bài toán: Bài 1: Viết tích sau dạng lũy thừa a) c) 2.4.8.8.8 34.27 4.812 b) d) y.3 y.3 y ( y ≠ ) e) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 25.43.16 10.100.1003.10005 x1.x x100 ( x ≠ ) f) Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN z1.z z z100 ( z ≠ 0) ( m1 ) ( m )3 ( m3 ) ( m99 )100 ( m ≠ ) h) g) Lời giải a) Ta có: 2.4.8.8.8 = 2.2 2.23.23.23 = 212 ( ) ( ) 25.43.16 = 25 2 b) Ta có: ( ) ( ) 34.274.812 = 34 33 = 25.2 6.28 = 219 = 34.312.38 = 324 c) Ta có: ( ) ( 10 ) 10.100.1003.10005 = 10.10 10 = 10.10 2.10 6.1015 = 10 24 d) Ta có: y.3 y.3 y ( y ≠ ) = ( y ) e) Ta có: x1.x x100 = x1+2 + +100 = x5050 ( x ≠ ) f) Ta có: z1.z z z100 ( z ≠ 0) = z1+ 4+7 + +100 = z (100+1).34:2 = z101.17 g) Ta có: ( m ) ( m ) ( 2 m ) ( m 99 ) ( m≠0) =m 100 1.2 2.3 m m 99.10 =m 99.100.101 ( m≠0) h) Ta có: Bài 2: Viết kết phép chia dạng lũy thừa a) d) 108 :103 :10 b) 1000000 :103 e) ( 4x ) : ( 4x ) : ( 4x ) ( x ≠ ) 2 g) 625 : 53 243 : 33 : c) 265 : 25 : f) ( ) :( y ) a100 : a15 : a 62 ( a ≠ ) h) 75 : 343 y 50 : y 10 i) Lời giải a) Ta có: b) Ta có: 108 :103 :10 = 10 625 : 53 = 54 : 53 = TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN c) Ta có: d) Ta có: e) Ta có: 75 : 343 = : = 1000000 :103 = 10 :103 = 103 243 : 33 : = 35 : 33 : = 265 : 25 : = 28 : 25 : 22 = f) Ta có: ( 4x ) : ( 4x ) : ( 4x ) = ( 4x ) 2 2 g) Ta có: ( ) :( y ) y 50 : y 10 2 2 = ( x )  = ( x ) ( x ≠ )   = y 50 : y15 : y 20 = y15 i) Ta có: Bài 3: Viết kết phép tính sau dạng lũy thừa 1 1  ÷  ÷  4 8 a) 42.32 : 23 b) 25.53 c) ; 56 ; d) 625 3 :125 20 Lời giải a) 2 6 12                  ÷  ÷ =  ÷   ÷  =  ÷  ÷ =  ÷                 42.32 : 23 = ( 22 ) 25 : 23 = 24.25 : 23 = 29 : 23 = 26 b) 25.53 c) 56 d) Bài 4: Cho 510 = 52.53 55 = = 56 625 5 1 56.2 2.33 2.33.56 :125 = 56 .22.33 = = − = 33.52 = 675 20 20 125 5.5 A = + 21 + 22 + + 22015 viết A +1 dạng lũy thừa Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN A = + 21 + 22 + + 22015 = 22016 − ⇒ A + = 22006 = ( 23 ) 672 = 8672 Ta có: DẠNG 2: Tính giá trị biểu thức lũy thừa I Phương pháp giải: Áp dụng công thức: * a n = a.a a n a ( n∈¥ ( thừa số ) m n m+ n a a = a a m : bm = ( a : b ) (a ) m n m ( ) a ≠ 0; m ≥ ) = a m n a m b m = ( a.b ) n am = a(m n m ) a m : bm = ( a : b ) m làm phép tính thơng thường II Bài toán: Bài : Thực phép tính sau cách hợp lý (2 17 + 172 ) ( 915 − 315 ) ( 24 − 42 ) a) (8 2017 − 82015 ) : ( 2104.8 ) b) ( +2 3 + 34 + 55 ) ( 13 + 23 + 33 + 43 ) ( 38 − 812 ) c) (2 + 83 ) : ( 25.23 ) d) Lời giải (2 17 a) ( + 17 ) ( 915 − 315 ) ( 24 − 42 )( ) ) = 217 + 17 915 − 315 ( 16 − 16 ) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN = ( 217 + 17 ) ( 915 − 315 ) =0 (8 2017 − 82015 ) : (8 2104 ) b) = ( 82017 − 82015 ) : 82015 = 82017 : 82015 − 82015 : 82015 = 82 − = 64 − = 63 (1 c) )( )( + 23 + 34 + 45 13 + 23 + 33 + 43 38 − 812 ) = ( 13 + 23 + 34 + 45 ) ( 13 + 23 + 33 + 43 ) 38 − ( 34 )  ( )( )( = 13 + 23 + 34 + 45 13 + 23 + 33 + 43 38 − 38 ) = ( 13 + 23 + 34 + 45 ) ( 13 + 23 + 33 + 43 ) =0 (2 ) : ( 2 ) + 83 d) =  28 + ( 23 )3  : 28 ( ) = 28 + : = ( 28 : 28 ) + ( 29 : 28 ) = 1+ =3 Bài Thực phép tính: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 1 1  ÷  ÷  2  4 a) ; c)  −1   −7   ÷  ÷     b) ( ;    12   −9   ÷  ÷ : ÷  4     d) ;   − )  ÷ 2−5 9 Lời giải a) 1 1 13 13 1  ÷  ÷ = = =  2  4 16 128 b) 1 7 72 = =  ÷  ÷ 7  3 32      12    =    :  ÷  ÷  ÷  ÷          c) ( d) 8 )  ÷ 2−5 9 2 (2 ) =3 (3 ) 2 3 36 (    =  ÷  ÷ = .1:  ÷ ( 32       ) ) 2 = 36.26 = 32 = 33.26 25 = = 3 Bài 3: Thực phép tính 53.2 + ( 23 + 40 ) : 23 1024 : (17.25 + 15.25 ) a ( 5.3 b + 17.34 ) : 62 c Lời giải a Ta có: 1024 : (17.25 + 15.25 ) = 210 : 25 (17 + 15)  = 210 : 25.25 = 53.2 + ( 23 + 40 ) : 23 = 53.2 + 24 : 23 = 250 + = 253 b Ta có: ( 5.3 + 17.3 c Ta có: ) 34.25 4 2   : = 3 ( 5.3 + 17 )  : ( 3.2 ) = 32 : = 2 = 9.8 = 72 ( ) Bài 4: Thực phép tính ( 10 ) ( + 112 + 122 : 132 + 142 ) a) ( ) ( + 93.45 : 2.10 + 2.3 ) b) Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ( 10 + 112 + 122 ) : ( 132 + 142 ) = ( 100 + 121 + 144 ) : ( 169 + 196 ) = 365 : 365 = a) Ta có: b) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) + 45 : 10 + = + : 10 + 3 = 2 8 4 38 ( + ) 34.13 34.13 = = 34 = 81 13 Bài 5: Tính giá trị biểu thức sau: A= c) E= 10 a) C= B= 10 + 10 22 ( 2.3 ) 14 b) 3610.2515 308 D= d) 11.322.37 − 915 ( 2.3 ) 14 11.322.37 − 915 e) f) 212.14.126 355.6 49.36 + 64 F= 100.164 Lời giải A= a) Ta có: B= 310.10 + 310.6 39.22 = 11.322.37 − 915 ( 2.3 ) 14 310 ( 10 + ) 310.24 = =3 39.24 29 11.329 − 330 ( 11 − ) 3.8 = = = =6 4.328 4.328 b) Ta có: 2 3610.2515 ( ) ( ) C= = 308 ( 6.5) 10 15 = 620.530 = 612.522 68.58 c) Ta có: d) Ta có: 212.14.126 32.7 2.2.7.2.32.7 2.34.7 D= = = = 5 35 2.3 2.3 7 E= 11.322.37 − 915 ( 2.3 ) 14 =2 e) Ta có: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN f) Ta có: 10 49.36 + 64 49.4.9 + 412 ( + ) F= = = =4 100.164 100.48 48.100 Bài Thực phép tính: 5.230.318 − 22.320.2 27 5.29.219.319 − 7.229.318 Lời giải 229.318 ( 5.2 − ) 5.230.318 − 22.320.227 = =2 5.29.219.319 − 7.229.318 228.318 ( 5.3 − 7.2 ) Bài 7: Tính tổng sau: a) c) A = + 21 + 2 + + 22015 b) C = + 32 + 34 + 36 + + 32020 d) B = + 31 + 32 + + 32016 D = 31 + 32 + 33 + + 32021 Lời giải A = + 21 + 2 + 2015 a) Ta có: ⇒ A = + 22 + 23 + + 22016 ⇒ A − A = A = 2016 − B = + 31 + 32 + + 32016 b) Ta có: ⇒ 3B = + 32 + + 32017 ⇒ B = 32017 − ⇒B= 32017 − C = + 32 + 34 + 36 + + 32020 c) Ta có: => 32 C = 32 ( + 32 + 34 + 36 + + 32020 ) => 9C = 32 + 34 + 36 + + 32022 ( ) ( => 9C − C = 32 + 34 + 36 + + 32022 − + 32 + 34 + 36 + + 32020 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ) Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN => 8C = 32022 − 32022 − => C = d) D = 31 + 32 + 33 + + 32021 ⇒ A = 32 + 33 + + 32021 ⇒ A = A − A = 32021 − ⇒ A= Bài 8: Tính 32021 − S = + + + + + 8192 Lời giải Ta có: S = 20 + 21 + + 213 ⇒ S = + 22 + + 214 ⇒ S = 214 − = 16383 Bài 9: Cho biết: a) Tính 12 + 22 + 32 + + 102 = 385 A = 22 + 42 + 62 + + 202 ; B = 12 + 14 + 16 + 18 + 202 − 12 + 32 + 52 + + ( 2 2 ) ( b)Tính ) Lời giải a) Ta có A = 22 + 42 + 62 + + 202 = ( 1.2 ) + ( 2.2 ) + ( 2.3 ) + + ( 2.10 ) 2 = ( 12 + 22 + 32 + + 10 2 ) = 4.385 = 1540 B = ( 122 + 142 + 162 + 182 + 202 ) − ( 12 + 32 + 52 + + ) b) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN = ( + + 22 ) + 24 ( + + 22 ) + + 22014 ( + + 22 ( ) ) = 2.7 + 24.7 + + 22014.7 = + + + 2014 M7 Bài 4: Cho A = + 22 + 23 + + 260 AM3; AM5; AM7 Chứng minh Lời giải Ta có: ( ) ( ) ( )( A = + 22 + 23 + + + 257 + 259 • 59 + 260 ) = ( + ) + 23 ( + ) + + 259 ( + ) = ( + ) ( + 23 + + 259 ) = ( + 23 + + 259 ) M ( ) ( ) ( A = + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + + 258 + 259 + 260 • = ( + + 22 ) + 24 ( + + 22 ) + + 258 ( + + 2 ( = + + 22 ) ( 2+2 ) ) ) ( ) + 27 + + 258 = + 24 + + 258 M7 A = (2 + 23 ) + (22 + 24 ) + + (258 + 260 ) = 2(1 + 2 ) + 22 (1 + 22 ) + + 258 (1 + 2 ) • = (1 + 22 )(2 + 22 + + 257 + 258 ) = 5.(2 + 22 + + 258 ) M5 Bài 5: Cho A = + + 42 + 43 + 498 Chứng tỏ A chia hết cho 21 Lời giải A = + + + 43 + 498 ( ) ( có 99 số hạng ) ( = + + 42 + 43 + 4 + 45 + + 496 + 497 + 498 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ) có 33 nhóm Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ( = 21 + 21.43 + + 21.496 496 + 497 + 498 A= 2020 2019 Bài 6: Cho − 32016 ) chia hết cho 21 2015 A Chứng tỏ chia hết cho Lời giải Ta có Ta có 20202019 M4 20162015 M4 2020 Khi đó: ⇒ A= Vậy A 72020 2019 2019 20202019 = 4k ( k ∈ N *) ⇒ 2020 2019 = ( ) = 2401k k nên đặt ln có tận 2016 2015 = 4k ' ( k ' ∈ N *) ⇒ 32020 2019 = ( 34 ) = 81k k nên đặt − 32016 − 32016 ln có tận 2015 ln có tận 2015 2, 4, 6,8 ln tận ln chia hết cho Bài 7: Cho số A = + + 43 + + 416 + 417 Tìm số dư A chia cho 17 Lời giải A = + + 43 + + 416 + 417 có 17 số hạng = + ( 42 + 4 ) + ( 43 + 45 ) + + ( 414 + 416 ) + ( 415 + 417 ) có cặp nhóm thừa số hạng = + ( + 42 ) + 43 ( + 42 ) + + 414 ( + ) + 415 ( + ) = + 42.17 + 43.17 + + 414.17 + 415.17 = + 17 ( 42 + 43 + + 414 + 415 ) Vậy A chia cho 17 dư TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN A = ( 2014 + 1) ( 2014 + ) ( 2014 + 3) ( 2014 + 2014 ) Bài 8: Cho Chứng minh AM 22013 Lời giải A = ( 2014 + 1) ( 2014 + ) ( 2014 + 3) ( 2014 + 2014 ) = 2015.2016.2017 4028 Số A tích 2014 thừa số có Đặt tích thừa số chẵn A 1007 B (có thừa số chẵn 1007 thừa số chẵn) 1007 B = 2016.2018.2020 4028 4 44 4 43 = 1008.1009.1010 2014 1007 thõasè ch½n Đặt tích thừa số chẵn B là: C (có 504 thừa số chẵn) 504 C = 1008.1010.1012 2014 4 44 4 43 = 504.505.506 1007 504 thõasè ch½n Đặt tích thừa số chẵn C là: D (có 252 thừa số chẵn) 252 D = 504.506.508 1006 4 4 43 = 252.253.254 503 252 thõa sèch½n Đặt tích thừa số chẵn D là: E (có 126 thừa số chẵn) 126 E = 252.254.256 502 44 4 43 = 126.127.128 251 126 thõasè ch½n Đặt tích thừa số chẵn E là: F (có 63 thừa số chẵn) 63 F = 126.128.130 250 44 4 43 = 63.64.65 125 63thõasè ch½n Đặt tích thừa số chẵn F là: G (có 31 thừa số chẵn) 31 G = 64.66.68 124 4 43 = 32.33 62 31thõa sè ch½n Đặt tích thừa số chẵn G TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC là: H (có 16 thừa số chẵn) Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 16 H = 32.34.36 62 44 43 = 16.17.18 31 16 thõa sè ch½n = 216.24.17.2.9.19.22.5.21.2.11.23.23.3.25.2.13.27.2.19.29.2.15.31 = 230.3.5.9.11.13.15.17.19 2.21.23.25.27.29.31 Như Vậy A A 21007.2504.2 252.2126.2 63.2 31.2 30 = 2013 có tích thừa số: chia hết cho 22013 PHẦN III BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG 212.35 − 46.92 ( ) − 510.73 − 252.492 ( 125.7 ) + 59143 Bài 1: Thực phép tính: Lời giải 212.35 − 46.92 ( ) + 510.73 − 252.49 ( 125.7 ) + 59143 = 212.35 − ( 22 ) ( ) 212.36 2 + 510.73 − ( 52 (5 ) 3 ) ( ) 2 + 59.23.7 212.34 ( − ) 510.73 ( − ) 5.6 32 212.35 − 212.34 510.73 − 510.74 = + 9 3= + = + = 212.36 + 212.36 ( + ) 32 9 Bài 2: Thực phép tính: 46.95 + 69.120 84.312 − 611 Lời giải 2 9 212.310 ( + ) 46.95 + 69.120 ( ) ( ) + 3.5 212.310 + 212.310.5 2.6 = = 12 12 11 11 = 11 11 = = 4 12 11 − − 3 ( 2.3 − ) 3.5 ( 23 ) 1312 − 211.311 Bài Thực phép tính: 9.520.279 − 3.915.259 7.329.1256 − 3.39.1519 Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ( ) 29 18 2 329 520 − 331.518 5 − 32.520.327 − 330 518 9.520.27 − 3.915.259 = = =8 = 7.329.518 − 329.519 329 518 ( − ) 329.1256 − 3.39.1519 7.329.518 − 310.319.519 Bài Thực phép tính: 52.611.162 + 2.126.152 2.612.104 − 812.9603 Lời giải 52.611.162 + 62.126.152 ( 2.3 ) ( ) + ( 2.3 ) ( ) ( 3.5 ) = 12 2.612.104 − 812.9603 ( 2.3 ) ( 2.5 ) − ( 34 ) ( 26.3.5 ) 11 2 2 10 14 52.219.311 + 214.310.53 ( + ) 25.3 + = 17 12 11 18 = 17 11 = − 5 ( 5.3 − ) 5.3.12 = 32.3 + 96 + 101 = = 8.15.12 120.12 1440 Bài Thực phép tính: 7.610.210.36 − 219.615 9.619.29 − 4.317.2 26 Lời giải 10 10 20 19 15 15 7.610.220.36 − 219.615 7.2 3 − 2 = 32.219.319.29 − 22.2 26.317 9.619.29 − 4.317.2 26 230.316.7 − 234.315 230.315.(7.3 − 24 ) 22 (21 − 16) = = 28 21 28 17 = 28 17 (3 − 1) (81 − 1) − = 2 (21 − 16) 4.5 = = 3 (81 − 1) 9.80 36 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Bài Tính: A = + 22 + 23 + 24 + + 20 Lời giải A = + 22 + 23 + + + 20 ⇒ A = + 23 + 24 + + 21 ⇒ A = A − A = 221 + − (4 + 22 ) + (23 − 23 ) + (24 − 24 ) + + ( 20 − 220 ) = 21 1 1 A = + + + + 100 3 3 Bài Tính Lời giải 1 A = + + + + 99 3 Vậy:  1 1   1 A − A =  + + + + 99 ÷−  + + + 100 ÷  3 3   3 2A =1− => A = Bài Tính 3100 − = 3100 3100 3100 − 2.3100 A = + 52 + … + 596 Lời giải A = + 52 + …… + 596 => A = 52 + 53 + …… + 596 + 597 => A = A – A = 597  − 5  597 - => A = TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Bài Tính S = + 52 + 53 + ………+ 2020 Lời giải 5S = 52 + 53 + 54 +………+ 52021 Ta có ⇒ 5S – S = (5 + 53 + 54 +………+ 52021 ) – ( + 52 + 53 + ………+ 52020 ) ⇒ 4S = 52021 − 52021 − ⇒S= Bài 10: Tính C = 22 + 42 + 62 + + 202 Lời giải Ta có: ( C = 22 + 42 + 62 + + 202 = 22 12 + 22 + 32 + + 102 t Đặ ) A = 12 + 22 + 32 + 102 = 1.1 + 2.2 + 3.3 + + 10.10 A = 1( − 1) + ( − 1) + ( − 1) + + 10 ( 11 − 1) A = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 10.11) − ( + + + + + 10 ) = 10.11.12 10.11 − = 10.11.4 − 5.11 = 385 ⇒ C = 4.385 = 1540 Bài 11: Tính B = 1.22 + 2.32 + 3.4 + + 99.1002 Lời giải Ta có: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN B = 1.2 + 2.32 + 3.4 + + 99.1002 B = 1.2.2 + 2.3.3 + 3.4.4 + + 99.100.100 B = 1.2 ( − ) + 2.3 ( − ) + + 99.100 ( 100 − ) B = ( 1.2.3 − 1.2 ) + ( 2.3.4 − 2.3 ) + + ( 99.100.101 − 99.100 ) B = ( 1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101 ) − ( 1.2 + 2.3 + + 99.100 ) N = ( 1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101 ) , M = ( 1.2 + 2.3 + + 99.100 ) Đặt Tính N , ta có: N = 1.2.3 ( − ) + 2.3.4 ( − ) + + 99.100.101 ( 102 − 98 ) N = ( 1.2.3.4 − 0.1.2.3 ) + ( 2.3.4.5 − 1.2.3.4 ) + + ( 99.100.101.102 − 98.99.100.101 ) N = 99.100.101.102 => N = 99.100.101.102 Tương tự tính B= Vậy M M= ta có 99.100.101 99.100.101.102 99.100.101 − Bài 12: Chứng minh rằng: a 102008 + 125 88 + 220 c chia hết cho 45 chia hết cho 17 b d 52008 + 52007 + 52006 3135.299 − 3136.36 chia hết cho 31 chia hết cho Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 21 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN a) Ta có: ⇒A 102008 + 125 = 102008 + 125 = 100 + 125 = 100 0125 43 2008 so 2005 so , A có tận chia hết cho Tổng chữ số A là: 1+ + +1 = ⇒ A ( 5,9 ) = ⇒ A chia hết cho 9, mà chia hết cho 45 52008 + 52007 + 52006 = 52006 ( 52 + 51 + 1) = 52006.31 b) Ta có: chia hết cho 31 88 + 220 = ( 23 ) + 220 = 224 + 220 = 20 ( 24 + 1) = 17.2 20 c) Ta có: chia hết cho 17 d) Ta có: 3135.299 − 3136.36 = 3135.299 − 3136 − 35.3136 = 3135 ( 299 − 313) − 35.3136 = −14.3135 − 35.3136 Chia hết cho số hạng hiệu chia hết cho Bài 13: A = + a + a + a + a + + a n ( a ≥ 2, n ∈ N ) a) Viết cơng thức tổng qt tính a n +1 − ( n ∈ N , a ≥ ) b)Viết cơng thức tính c) Chứng minh rằng: 20152015 − chia hết cho 2014 Lời giải a) A = + a + a + a + a + + a n ( a ≥ 2, n ∈ N ) Ta có a A = a + a + a + a + + a n + a n +1 a A − A = a n +1 − ( a − ) A = a n+1 − TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 22 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN A = + a + a + a + a + + a n = ( a n +1 − ) : ( a − ) Vậy ( ) A = + a + a + a + a + + a n = a n +1 − : ( a − ) ( a ≥ 2, n ∈ N ) b) Ta có (a n +1 − ) = ( a − 1) ( + a + a + a + a + + a n ) ( a ≥ 2, n ∈ N ) Từ ta có cơng thức: c) Nhận thấy 2015 − = 2014 Với công thức tìm câu 1, ta thấy A = + a + a + a + a + + a n (a n +1 −1 ) : ( a −1 ) có giá trị số nguyên nên Do để làm câu ta nghĩ đến cách làm sau: Xét A = + 2015 + 20152 + 20153 + 20154 + + 20152014 2015 A = 2015 + 20152 + 20153 + 20154 + + 20152015 Do 2015 A − A = 2015 2015 − ⇒ 2014 A = 2014 2015 − 20152015 − = 2014 ( + 2015 + 20152 + 20153 + 2015 + + 2015 2014 ) Nên Mà + 2015 + 20152 + 20153 + 20154 + + 20152014 Vậy có giá trị số tự nhiên 20152015 − 1M2014 Bài 14: a, Tính tổng : M = + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3112 M = + a + a + a + a8 + + a n ( n∈ N ,a ≥ ) b, Viết công thức tổng quát tính a2n+2 − ( n∈ N ,a ≥ ) c, Viết cơng thức tính d, Chứng minh rằng: 2018 − 92018 – chia hết cho 80 Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 23 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN a, Tương tự M = + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3112 Ta có: 32.M = 32 + 34 + 36 + 38 + + 3112 + 3114 Do đó: 32.M − M = 3114 − ( ) M 32 − = 3114 − ⇒ M = b, Ta có: 3114 − 3114 − = 32 − M = + a + a + a + a + + a n a M = a + a + a + a8 + + a n + a n + a M − M = a n + − ⇒ M ( a − ) = a 2n + − M = + a + a + a + a8 + + a n = ( a n + − ) : ( a −1 ) Vậy c, Từ kết câu b: + M = + a + a + a + a8 + + a n = ( a n+ − ) : ( a −1 ) ( n∈ N ,a ≥ ) a n + − = ( a −1 ) ( + a + a + a + a + + a n ) ( n∈ N ,a ≥ ) Từ ta có: d, Nhận thấy 92 − = 80 Hơn ta thấy (a Nên Xét 2n+ Với cơng thức tìm câu c M = + a + a + a + a + + a n có giá trị số nguyên − ) : ( a −1 ) Do để làm câu d ta nghĩ đến cách làm sau: M = + + + 96 + 98 + + 92016 92.M = 92 + 94 + 96 + 98 + + 92016 + 92018 92.M − M = 92018 − ⇒ M ( 92 − ) = 92018 − TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 24 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 92018 − = 80 ( + + + 76 + 78 + + 2016 ) Do Mà + 92 + 94 + 96 + 98 + + 92016 Vậy có giá trị số tự nhiên 92018 − 1M 80 Bài 15: a, Tính tổng : B = + 83 + 85 + 87 + 89 + + 899 A = a + a + a + a + a + + a n +1 ( n∈ N ,a ≥ ) b, Viết cơng thức tổng qt tính a n +3 − a ( n∈ N ,a ≥ ) c, Viết cơng thức tính d, Chứng tỏ rằng: 62017 − chia hết cho 35 Lời giải a, Tương tự Ta có: B = + 83 + 85 + 87 + 89 + + 899 82.B = 83 + 85 + 87 + 89 + + 899 + 8101 B − B = 101 ( ) − ⇒ B − = 101 Do b, Ta có: 8101 − 8101 − −8 ⇒ B = = −1 63 A = a + a + a + a + a + + a n +1 a A = a + a + a + a + + a n +1 + a n +3 a A − A = a n+3 − a ⇒ A ( a − ) = a n+3 − a A = a + a + a + a + a9 + + a n +1 = ( a n +3 − a ) : ( a − ) c, Từ kết câu b: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 25 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN A = a + a + a + a + a + + a n +1 = ( a n+3 − a ) : ( a − ) ( a n + − a = ( a − ) ( a + a + a + a + a + + a n +1 n∈ N ,a ≥ ) ) ( n∈ N ,a ≥ ) Từ ta có : d, Nhận thấy Hơn (a 62 − = 35 Với cơng thức tìm câu c A = a + a + a + a + a + + a n +1 n+3 có giá trị số nguyên −a )M ( a2 −1 ) Nên Do để làm câu d ta nghĩ đến cách làm: Xét M = + 63 + 65 + 67 + 69 + + 2015 62.M = 63 + 65 + 67 + 69 + + 62015 + 2017 ⇒ 2.M − M = 2017 − ⇒ M ( 62 − ) = 62017 − 62017 − = 35 ( + 63 + 65 + 67 + 69 + + 2015 ) Do Mà + 63 + 65 + 67 + 69 + + 2015 có giá trị số tự nhiên Vậy 62017 − 6M35 Bài 16: 1, Tính B = − + 52 − 53 + 54 − − 599 + 5100 A = − a d + a d − a3d + + a nd ( a ≥ 2, n ∈ N ) 2, Tính 3, Chứng tỏ 20182009 + chia hết cho 2019 Lời giải 1, Tương tự Ta có B = − + 52 − 53 + 54 − − 599 + 5100 5.B = − 52 + 53 − 54 + 55 − − 5100 + 5101 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 26 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Quan sát quy luật dấu số hạng tổng B B + B = 5101 + ⇒ B = 5101 + ⇒ B = ta nghĩ đến tính 5B Để lũy thừa bị triệt tiêu hàng loạt 5101 + A = − a d + a d − a 3d + + a nd 2, Ta có: a d A = a d + a d − a3 d + + a ( a d A + A = a ( n +1 ) d + ⇒ A = 3, Nhận thấy Hơn n +1 ) d a ( n +1 ) d + ad + 2018 + = 2019 Với cơng thức tìm câu A = − a d + a d − a 3d + + a nd có giá trị số nguyên a ( n +1 ) d + 1M( a d + ) Nên Do để làm câu d ta nghĩ đến cách làm sau: S = − 2018 + 20182 − 20183 + + 20182008 Xét 2018.S = 2018 − 20182 + 20183 − 20184 + + 20182009 2018.S + S = 20182009 + ⇒ 2019.S = 20182009 + 20182009 + = 2019 ( − 2018 + 20182 − 20183 + + 20182008 ) Mà − 2018 + 20182 − 20183 + + 20182008 Suy 20182009 + chia hết cho có giá trị số nguyên 2019 ………… HẾT ……… TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 27 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 28 ... 32. 34.36 62 44 43 = 16 .17 .18 31 16 thõa sè ch½n = 21 6 .24 .17 .2. 9 .19 .22 .5 . 21 .2. 11 .23 .23 .3 .25 .2. 13 .27 .2. 19 .29 .2. 15 . 31 = 23 0.3.5.9 .11 .13 .15 .17 .19 2. 21 .23 .25 .27 .29 . 31 Như Vậy A A 21 007 .25 04 .2 2 52. 2 12 6 .2. .. 10 20 19 15 15 7. 610 .22 0.36 − 21 9. 615 7 .2 3 − 2 = 32. 219 . 319 .29 − 22 .2 26. 317 9. 619 .29 − 4. 317 .2 26 23 0. 316 .7 − 23 4. 315 23 0. 315 .(7.3 − 24 ) 22 ( 21 − 16 ) = = 28 21 28 17 = 28 17 (3 − 1) ( 81 − 1) ... − 20 18 + 20 1 82 − 20 18 3 + + 20 1 820 08 Xét 20 18 .S = 20 18 − 20 1 82 + 20 18 3 − 20 18 4 + + 20 1 820 09 20 18 .S + S = 20 1 820 09 + ⇒ 20 19 .S = 20 1 820 09 + 20 1 820 09 + = 20 19 ( − 20 18 + 20 1 82 − 20 18 3 + + 20 1 820 08