BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH mặt PHẲNG

BÀI PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình mặt phẳng Vectơ pháp tuyến r r r Vectơ n ≠ vectơ pháp tuyến ( α ) giá n vng góc với ( α ) Cặp vectơ phương mặt phẳng r r Hai vectơ a, b không phương cặp vectơ phương ( α ) giá chúng song song nằm ( α ) Chú ý: • • r r Nếu n vectơ pháp tuyến ( α ) k n ( k ≠ ) vectơ pháp tuyến ( α ) r r r r r Nếu a, b cặp vectơ phương ( α ) n =  a, b  vectơ pháp tuyến ( α ) Phương trình tổng quát mặt phẳng • Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C > r Nếu (α ) có phương trình Ax + By + Cz + D = n = ( A; B; C ) vectơ pháp tuyến (α ) • r Phương trình mặt phẳng qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) là: A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Các trường hợp đặc biệt D =0 Phương trình mặt phẳng ( α ) Ax + By + Cz = A=0 By + Cz + D = B=0 Ax + Cz + D = C =0 Ax + By + D = A=B=0 Cz + D = ( α ) qua gốc tọa độ O ( α ) / / Ox ( α ) ⊃ Ox ( α ) / /Oy ( α ) ⊃ Oy ( α ) / /Oz ( α ) ⊃ Oz ( α ) / / ( Oxy ) By + D = ( α ) ≡ ( Oxy ) ( α ) / / ( Oxz ) Ax + D = ( α ) ≡ ( Oxz ) ( α ) / / ( Oyz ) Các hệ số A=C =0 B=C =0 Tính chất mặt phẳng ( α ) ( α ) ≡ ( Oyz ) Trang 240 Nếu (α ) cắt trục toạ độ điểm (a;0;0), (0; b;0), (0;0; c) với abc ≠ ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (α ) : x y z + + = a b c Chú ý: Nếu phương trình (α ) khơng chứa ẩn (α ) song song chứa trục tương ứng Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( x A ; y A ; z A ) mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = Khi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α ) tính theo công thức: d( A, (α )) = Ax A + By A + Cz A + D A2 + B + C Vị trí tương đối Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0; ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = +) (α ) ≡ ( β ) ⇔ A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2 +) (α ) / /( β ) ⇔ A1 B1 C1 D1 = = ≠ A2 B2 C2 D2 +) (α ) ∩ ( β ) ⇔ A1 B1 B1 C1 ≠ ≠ A2 B2 B2 C2 +) (α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng mặt cầu (α ) : Ax + By + Cz + D = ; ( S ) : ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R Để xét vị trí (α ) ( S ) ta làm sau: +) Nếu d ( I , ( α ) ) > R (α ) khơng cắt ( S ) +) Nếu d ( I , ( α ) ) = R ( α ) tiếp xúc ( S ) H Khi H gọi tiếp điểm đồng thời H hình chiếu vng góc I lên ( α ) ( α ) gọi tiếp diện +) Nếu d ( I , ( α ) ) < R ( α ) cắt ( S ) ( x − a ) + ( y − b) + z − c (C ) :   Ax + By + Cz + D = ) theo đường tròn có phương trình = R2 Trang 241 Bán kính ( C ) r = R − d [ I , (α )] Tâm J (C) hình chiếu vng góc I ( α ) Góc hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = r r Góc (α ) ( β ) bù với góc hai vectơ pháp tuyến nα , nβ Tức cos ( ( α ) , ( β ) ) r r r· r nα nβ = cos nα , n β = r r = nα ×nβ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 × A22 + B22 + C22 Chùm mặt phẳng • Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng (α ) ( β ) gọi chùm mặt phẳng • Gọi ( d ) giao tuyến hai mặt phẳng (α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Khi ( P ) mặt phẳng chứa ( d ) mặt phẳng ( P ) có dạng m ×( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + n ×( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = với m + n ≠ SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến viết phương trình mặt phẳng Trang 242 Phương pháp r Mặt phẳng ( α ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = r r Mặt phẳng (α ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có cặp vectơ phương a , b Khi vectơ pháp r r r tuyến (α ) n = [a , b ] Bài tập Bài tập 1: Cho mặt phẳng ( Q ) : x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng ( Q ) , đồng thời cắt trục Ox, Oy điểm M , N cho MN = 2 A ( P ) : x − y + z + = B ( P ) : x − y + z = C ( P ) : x − y + z ± = D ( P ) : x − y + z − = Hướng dẫn giải Chọn A ( P ) / /(Q) nên phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng x − y + z + D = ( D ≠ −2) Khi mặt phẳng ( P ) cắt trục Ox, Oy điểm M (− D;0;0) , N (0; D;0) Từ giả thiết: MN = 2 ⇔ D = 2 ⇔ D = (do D ≠ −2) Vậy phương trình mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = Chú ý: Mặt phẳng ( α ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với mặt phẳng ( β ) : Ax + By + Cz + D = ( α ) có phương trình A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Bài tập 2: Cho điểm M (1; 2;5) Mặt phẳng ( P ) qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy , Oz A, B, C cho M trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng ( P ) A x + y + z − = B x + y + z − 30 = C x y z + + =0 D x y z + + =1 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có OA ⊥ (OBC ) ⇒ OA ⊥ BC   ⇒ BC ⊥ (OAM ) ⇒ BC ⊥ OM (1) AM ⊥ BC  Tương tự AB ⊥ OM (2) Từ (1) (2) suy OM ⊥ ( ABC ) hay OM ⊥ ( P ) uuuu r Suy OM = (1; 2;5) vectơ pháp tuyến ( P ) Vậy phương trình mặt phẳng ( P ) Trang 243 x − + ( y − ) + ( z − ) = ⇔ x + y + z − 30 = Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có đỉnh A(8; −14; −10); AD, AB, AC song song với Ox, Oy , Oz Phương trình mặt phẳng ( BCD ) qua H (7; −16; −15) trực tâm ∆BCD có phương trình A x + y + z − 100 = C B x + y + z + 100 = x y z + + = −16 −15 D x y z + + = −16 −15 Hướng dẫn giải Chọn B uuur Theo đề ra, ta có ( BCD) qua H (7; −16; −15), nhận HA = (1; 2;5) vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng ( BCD ) ( x − 7) + 2( y + 16) + 5( z + 15) = ⇔ x + y + z + 100 = Vậy ( BCD) : x + y + z + 100 = Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng ( β ) : x + y − z + = cách ( β ) khoảng A x + y − z + = 0; x + y − z = B x + y − z + = C x − y − z + = 0; x − y − z = D x + y + z + = 0; x + y + z = Hướng dẫn giải Chọn A Gọi (α ) mặt phẳng cần tìm Ta có A(0;0;3) ∈ ( β ) Do (α ) / /( β ) nên phương trình mặt phẳng (α ) có dạng: x + y − z + m = với m ≠ Ta có d((α ), ( β )) = ⇔ d( A, (α )) = ⇔ | m −3| = 3 m = ⇔| m − |= ⇔  (thỏa mãn) m = Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm x + y − z + = x + y − z = Bài tập 5: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P ) : x + 3z + = 0, (Q) : x + z − = Mặt phẳng song song cách ( P ) (Q) có phương trình là: A x + 3z − = B x + 3z − = C x + 3z − = D x + z + = Hướng dẫn giải Chọn A Điểm M ( x; y; z ) cách ( P ) (Q) ⇔ d ( M ;( P )) = d ( M ;(Q)) Trang 244 ⇔  x + 3z + = x + 3z − | x + 3z + | | x + 3z − | = ⇔ 1+ 1+  x + 3z + = − x − z +  = −4 ⇔ ⇔ x + 3z − =  x + 3z − = Vậy M thuộc (α ) : x + 3z − = Nhận thấy (α ) song song với ( P ) (Q) Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 1; 2;1) , B ( 3; 4;0 ) mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz + 46 = Biết khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng ( P ) Giá trị biểu thức T = a + b + c A −3 B −6 C D Hướng dẫn giải Gọi H , K hình chiếu A, B mặt phẳng ( P ) Theo giả thiết, ta có: AB = 3, AH = 6, BK = Do A, B phía với mặt phẳng ( P ) Lại có: AB + BK ≥ AK ≥ AH Mà AB + BK = AH nên H ≡ K Suy A, B, H ba điểm thẳng hàng B trung điểm AH nên tọa độ H (5;6; −1) uuur Vậy mặt phẳng ( P ) qua H (5;6; −1) nhận AB = (2; 2; −1) vectơ pháp tuyến nên có phương trình 2( x − 5) + 2( y − 6) − 1( z + 1) = ⇔ x + y − z − 23 = Theo ra, ta có ( P) : −4 x − y + z + 46 = nên a = −4, b = −4, c = Vậy T = a + b + c = −6 Dạng Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Phương pháp Viết phương trình mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H Giả sử mặt cầu ( S ) có tâm I bán kính R, ta viết phương trình mặt phẳng (α ) qua H r r uuu có vectơ pháp tuyến n = IH Bài tập Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) có phương trình ( x − 1) + ( y + 2) + ( z − 3) = 12 mặt phẳng ( P) : x + y − z − = Viết phương trình mặt phẳng song song với ( P ) cắt ( S ) theo thiết diện đường tròn (C ) cho khối nón có đỉnh tâm mặt cầu đáy hình trịn (C) tích lớn A x + y − z + = x + y − z + = B x + y − z − = x + y − z + 11 = C x + y − z − = x + y − z + = D x + y − z + = x + y − z + = Hướng dẫn giải Trang 245 Chọn B Ta có (α ) / /( P) nên (α ) : x + y − z + d = ( d ≠ −3) Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −2;3), bán kính R = Gọi ( H ) khối nón thỏa mãn đề với đường sinh IM = R = Đặt x = h = d ( I , (α )) Khi bán kính đường trịn đáy hình nón r = 12 − x Thể tích khối nón V( H ) = π 12 − x x với < x < ( ) Xét hàm số: f ( x ) = π 12 − x x với < x < ( ) Khi f ( x) đạt giá trị lớn x = hay d ( I , (α )) = Ta có d ( I , (α )) = ⇔ | 2.1 + ×(−2) − + d | 22 + 22 + (−1) d − =  d = 11 =2⇔ ⇔  d = −1  d − = −6 Chú ý: Cơng thức tính thể tích hình nón: 1 V = hS = 2π R.h 3 Trong R bán kính đáy, h chiều cao Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + ( z − 1) = điểm A(2; 2; 2) Từ A kẻ ba tiếp tuyến AB, AC , AD với mặt cầu ( B, C , D tiếp điểm) Phương trình mặt phẳng ( BCD ) A x + y + z − = B x + y + z − = C x + y + z + = D x + y + z − = Hướng dẫn giải Chọn D Ta có mặt cầu ( S ) có tâm I (0;0;1) bán kính R = Do AB, AC , AD ba tiếp tuyến mặt cầu ( S ) với B, C , D tiếp điểm nên  AB = AC = AD ⇒ IA trục đường tròn ngoại tiếp ∆BCD   IB = IC = ID = R Trang 246 ⇒ IA ⊥ ( BCD) r r uu Khi mặt phẳng ( BCD ) có vectơ pháp tuyến n = IA = (2; 2;1) Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD ⇒ J ∈ IA IJ ⊥ BJ Ta có ∆IBA vng B BJ ⊥ IA nên uu r uu r IB IB = IJ IA ⇒ IJ = = ⇒ IJ = IA IA uu r uu r Đặt J ( x; y; z ) Ta có IJ = ( x; y; z − 1); IA = (2; 2;1) uu r uu r  8 13  Từ IJ = IA suy J  ; ; ÷ 9 9  r  8 13  Mặt phẳng ( BCD) qua J  ; ; ÷ nhận vectơ pháp tuyến n = (2; 2;1) có phương trình: 9 9  8    13    x − ÷+  y − ÷+  z − ÷ = ⇒ x + y + z − = 9  9  9  Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1)2 + ( y − 1)2 + ( z − 1)2 = 12 mặt phẳng ( P ) : x − y + z + 11 = Xét điểm M di động ( P ) điểm A, B, C phân biệt di động ( S ) cho AM , BM , CM tiếp tuyến ( S ) Mặt phẳng ( ABC ) qua điểm cố định đây? 1 1 A  ; − ; − ÷ 4 2 3  C  ;0; ÷ 2  B (0; −1;3) D ( 0;3; −1) Hướng dẫn giải Chọn D Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;1;1) bán kính R = Xét điểm M (a; b; c ) ∈ ( P ); A( x; y; z ) ∈ ( S ) nên ta có hệ điều kiện: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 12  2  AI + AM = IM  a − 2b + 2c + 11 =  ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 12 (1)  ⇔ 12 + ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c) = (a − 1) + (b − 1) + (c − 1) (2) a − 2b + 2c + 11 = (3)  Lấy (1) − (2) ta có: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) − 12 + ( x − a) + ( y − b) + ( z − c)  = 12 − (a − 1) + (b − 1) + (c − 1)  ⇔ (a − 1) x + (b − 1) y + (c − 1) z − a − b − c − = Vậy mặt phẳng qua ba tiếp điểm là: (Q) : ( a − 1) x + (b − 1) y + (c − 1) z − a − b − c − = Trang 247 Kết hợp với (3) suy mặt phẳng qua điểm cố định (0;3;-1) Dạng Phương trình mặt phẳng đoạn chắn Phương pháp Phương trình mặt phẳng (α ) qua ba điểm A( a;0;0), B(0; b;0) C (0;0; c) với abc ≠ là: x y z + + = a b c Bài tập Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (3;0;0), N (2; 2; 2) Mặt phẳng ( P ) thay đổi qua M , N cắt trục Oy, Oz B (0; b;0), C (0;0; c) với b, c ≠ Hệ thức đúng? B bc = 3(b + c ) A b + c = C bc = b + c D 1 + = b c Hướng dẫn giải Chọn D Mặt phẳng ( P ) qua M (3;0;0), B (0; b;0), C (0;0; c) với b, c ≠ nên phương trình mặt phẳng ( P ) theo đoạn chắn là: x y z + + =1 b c Mặt phẳng ( P ) qua N (2; 2; 2) suy 2 1 + + =1⇔ + = b c b c Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm G ( 1; 4;3) Phương trình mặt phẳng cắt trục tọa độ Ox, Oy , Oz A, B, C cho G trọng tâm tứ diện OABC A x y z + + =1 12 C x + 12 y + z − 78 = B x y z + + = 16 12 D x + 16 y + 12 z − 104 = Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C (0;0; c) x A + xB + xC + xD   xG =  y + y  B + yC + y D G (1; 4;3) trọng tâm tứ diện OABC ⇔  yG = A  z + z + zC + z D  A B  xG =  0 + a + + = 4.1 a =   ⇔ 0 + + b + = 4.4 ⇔ b = 16 0 + + + c = 4.3 c = 12   Ta có phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: x y z + + = 16 12 Trang 248 Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm M (1; 2;3) cắt trục Ox, Oy , Oz ba điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O cho biểu thức 1 + + có giá trị nhỏ 2 OA OB OC A ( P ) : x + y + z − 14 = B ( P ) : x + y + z − 14 = C ( P ) : x + y + z − 11 = D ( P ) : x + y + z − 14 = Hướng dẫn giải Chọn B Gọi H trực tâm ∆ABC  BH ⊥ AC ⇒ AC ⊥ (OBH ) ⇒ AC ⊥ OH ( 1) Ta có  OB ⊥ AC Chứng minh tương tự, ta có: BC ⊥ OH ( 2) Từ (1), (2) ta có OH ⊥ ( ABC ) Suy 1 1 + + = 2 OA OB OC OH 1 + + đạt giá trị nhỏ OH đạt giá trị lớn Mà OH ≤ OM 2 OA OB OC nên OH đạt giá lớn OM hay H ≡ M uuuu r Khi OM ⊥ ( ABC ) nên ( P ) có vectơ pháp tuyến OM = (1; 2;3) Vậy để biểu thức Phương trình mặt phẳng ( P ) 1( x − 1) + 2( y − 2) + 3( z − 3) = ⇔ x + y + z − 14 = Bài tập 4: Trong khơng gian Oxyz, có mặt phẳng qua điểm M ( 4; −4;1) chắn ba trục tọa độ Ox, Oy , Oz theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội A B C ? D Hướng dẫn giải Chọn C Gọi A(a;0;0), B (0; b;0), C (0;0; c) với abc ≠ giao điểm mặt phẳng ( P ) trục toạ độ Khi ( P ) có phương trình x y z + + = a b c Theo giả thiết ta có:  4  a = −8, b = −4, c = − + =1  M ∈ ( P )  a b c ⇔ ⇔  a = 8, b = −4, c = −2  1 OC = OB = OA | c |= | b |= | a |  a = 16, b = −8, c = 4   Vậy có ba mặt phẳng thỏa mãn Trang 249 Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) Mặt phẳng x + ay + bz + c = qua điểm A, B đồng thời cắt tia Oz C cho tứ diện OABC tích Giá trị a + 3b − 2c A 16 B C 10 D Hướng dẫn giải Chọn D Mặt phẳng qua điểm A, B đồng thời cắt tia Oz C ( 0;0; t ) với t > có phương trình x y z + + =1 1 t Mặt khác: VOABC = 1 ⇔ OA.OB.OC = ⇔ t = 6 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng x y z + + = ⇔ x + y + z −1 = 1 Vậy a = b = 1, c = −1 Suy a + 3b − 2c = + 3.1 + = Dạng Vị trí tương đối hai mặt phẳng Phương pháp Cho hai mặt phẳng: ( P ) : Ax + By + Cz + D = ; ( P′ ) : A′x + B′y + C ′z + D′ = Khi đó: • ( P ) cắt ( P′ ) ⇔ A : B : C ≠ A′ : B′ : C ′ • ( P ) / / ( P′ ) ⇔ A B C D = = ≠ A′ B′ C ′ D′ A B C D = = = A′ B′ C ′ D′ r r r r • ( P ) ⊥ ( P′ ) ⇔ n( P ) ⊥ n( P′) ⇔ n( P ) n( P′) = • ( P ) ≡ ( P′ ) ⇔ ⇔ AA′ + BB′ + CC ′ = Chú ý: • Nếu A = tương ứng A′ = • Nếu B = tương ứng B′ = • Nếu C = tương ứng C ′ = Ví dụ: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α ) : x + y − z − = ( β ) : x + y − mz − = Tìm m để ( α ) ( β ) song song với Trang 250 Hướng dẫn giải Ta có (α ) / /( β ) ⇔ (vơ lý −1 −1 = = ≠ −m −2 −2 = = ) −1 Vậy không tồn m để hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) song song với Bài tập Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) có phương trình mx + (m − 1) y + z − 10 = mặt phẳng (Q) : x + y − z + = Với giá trị m ( P ) (Q) vng góc với nhau? A m = −2 B m = C m = D m = −1 Hướng dẫn giải Chọn C r ( P ) : mx + (m − 1) y + z − 10 = có vectơ pháp tuyến n1 = ( m; m − 1;1) uu r (Q) : x + y − z + = có vectơ pháp tuyến n2 = (2;1; −2) r r ( P ) ⊥ (Q) ⇔ n1 ×n2 = ⇔ 2m + m − − = ⇔ m = Dạng Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Phương pháp Cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = mặt cầu tâm I ; bán kính R • (α ) ( S ) khơng có điểm chung ⇔ d ( I , (α )) > R • (α ) tiếp xúc với ( S ) ⇔ d ( I , (α )) = R Khi (α ) tiếp diện • (α ) ( S ) cắt ⇔ d ( I ;(α )) < R Khi ( O ) có tâm hình chiếu I ( α ) bán kính r = R − d ( I ;(α )) Bài tập Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y − 12 = Mặt phẳng cắt ( S ) theo đường trịn có bán kính r = 3? A x − y − z − 26 = B x + y − z + 12 = C x − y + z − 17 + 20 = D x + y + z + = Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình mặt cầu ( S ) x + y + z − x + y − 12 = Suy tâm I ( 3; −2;0 ) bán kính R = Ta gọi khoảng cách từ tâm I mặt cầu tới mặt phẳng đáp án h, để mặt phẳng cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn có bán kính r = h = R − r = 25 − = Trang 251 Đáp án A loại h = |18 − 26 | ≠ 26 Đáp án B loại h = 14 ≠ Chọn đáp án C h = Đáp án D loại h = 1+ ≠ Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I ( 1; 2; −2 ) mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = Phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng ( P ) theo giao tuyến đường trịn có diện tích 16π A ( x − 2) + ( y − 2) + ( z − 1) = 36 B ( x − 1) + ( y − 2) + ( z + 2) = C ( x − 1) + ( y − 2) + ( z + 2) = 25 D ( x − 1) + ( y − 2) + ( z + 2) = 16 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có a = d ( I ;( P )) = | 2.1 + 2.2 − + | 22 + 22 + 12 =3 Bán kính đường trịn giao tuyến là: r = S = 16 = π Mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng ( P ) theo giao tuyến đường tròn nên ta có R = a + r = + 16 = 25 ⇒ R = Vậy phương trình mặt cầu tâm I , bán kính R = là: ( x − 1) + ( y − 2) + ( z + 2) = 25 Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) có phương trình x + y + z − x − y − z − = mặt phẳng (α ) : x + y − 12 z + 10 = Tìm phương trình mặt phẳng ( β ) thỏa mãn đồng thời điều kiện: tiếp xúc với ( S ) ; song song với (α ) cắt trục Oz điểm có cao độ dương A x + y − 12 z − 78 = B x + y − 12 z − 26 = C x + y − 12 z + 78 = D x + y − 12 z + 26 = Hướng dẫn giải Chọn C Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2;3), bán kính R = 12 + 22 + 32 + = Vì (α ) / /( β ) nên phương trình (α ) có dạng: x + y − 12 z + d = 0, d ≠ 10 Vì ( β ) tiếp xúc mặt cầu ( S ) nên Trang 252 d ( I ,( β )) = R ⇔ | 4.1 + 3.2 − 12.3 + d | 42 + 32 + (−12)  d = −26 = ⇔| d − 26 |= 52 ⇔   d = 78 Do ( β ) cắt trục Oz điểm có cao độ dương nên chọn d = 78 Vậy phương trình mặt phẳng ( β ) : x + y − 12 z + 78 = Dạng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = d ( M0 ,( α) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C Bài tập Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, khoảng cách hai mặt phẳng ( Q ) : x + y + 2z − = A ( P ) : x + y + z − 10 = B C D Hướng dẫn giải Chọn D Vì ( P ) / / ( Q ) nên d ( ( P ) , ( Q ) ) = d ( A, ( Q ) ) với A ∈ ( P ) Chọn A ( 0;0;5 ) ∈ ( P ) d ( A ( Q ) ) = + 2.0 + 2.5 − 12 + 22 + 22 = Chú ý: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng không song song khoảng cách chúng Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho A ( 1; 2;3) , B ( 3; 4; ) Tìm tất giá trị tham số m cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( P ) : x + y + mz − = độ dài đoạn thẳng AB A m = B m = −2 C m = −3 D m = ±2 Hướng dẫn giải Chọn A uuur Ta có AB = ( 2; 2;1) ⇒ AB = 22 + 22 + 12 = ( 1) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( P ) d ( A, ( P )) = | 2.1 + + m ×3 − 1| +1 + m 2 = | 3m + | + m2 (2) Trang 253 Vì AB = d ( A, ( P )) ⇔ = | 3m + | 5+ m ( ) ⇔ + m = 9(m + 1) ⇔ m = Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A = ( 1; 2;1) , B = ( 2;1;3) , C = (3; 2; 2), D = (1;1;1) Độ dài chiều cao DH tứ diện A 14 14 B 14 14 C 14 D 14 Hướng dẫn giải Chọn A uuur uuur uuur uuur Ta có AB = (1; −1; 2), AC = (2;0;1) ⇒ [ AB; AC ] = (−1;3; 2) vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABC ) Vậy phương trình mặt phẳng ( ABC ) −1( x − 1) + 3( y − 2) + 2( z − 1) = ⇔ − x + y + z − = Độ dài chiều cao DH tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến ( ABC ) Suy DH = d ( D, ( ABC )) = | −1.1 + 3.1 + 2.1 − | (−1) + 32 + 22 = 14 14 Bài tập 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A ( a; b; c ) với a, b, c ≠ Xét ( P ) mặt phẳng thay đổi qua điểm A Khoảng cách lớn từ điểm O đến mặt phẳng ( P ) A a + b2 + c B a + b + c C a + b + c D a + b + c Hướng dẫn giải Chọn A Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng ( P ) Khi d (O, ( P )) = OH ≤ OA = a + b + c Dạng Góc hai mặt phẳng Phương pháp Cho hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) có phương trình: ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = ur uu r Góc ( α ) , ( β ) bù với góc hai vectơ pháp tuyến n1 , n2 ur uu r n1.n2 A1 A2 + B1 B2 + C1C2 cos (·α ) , ( β ) = ur uu r = A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 n1 n2 ( ) ( ) o o · Chú ý: ≤ ( α ) , ( β ) ≤ 90 Bài tập Trang 254 Bổ sung sau Dạng Một số toán cực trị Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A ( 1;1;1) , B ( −1; 2;0 ) , C ( 3; −1; ) M điểm thuộc mặt phẳng ( α ) : x − y + z + = uuur uuur uuuu r Tính giá trị nhỏ P = 3MA + 5MB − MC A Pmin = 20 B Pmin = C Pmin = 25 D Pmin = 27 Hướng dẫn giải Chọn D uur uur uur r Gọi điểm I ( x; y; z ) cho 3IA + IB − IC = 3 ( − x ) + ( −1 − x ) − ( − x ) =  x = −23   Khi 3 ( − y ) + ( − y ) − ( −1 − y ) = ⇔  y = 20 ⇒ I ( −23; 20; −11)   z = −11  3 ( − z ) + ( − z ) − ( − z ) = uuur uuur uuuu r uuu r uur uuu r uur uuu r uur Xét P = 3MA + 5MB − MC = MI + IA + MI + IB − MI + IC ( ) ( ) ( ) uuu r uur uur uur uuu r = MI + 3IA + IB − IC = MI = MI ( ) Pmin MI ngắn hay M hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng ( α ) Khi đó: Pmin = d ( I , ( α ) ) = ( −23) − 20 + ( −11) + 22 + ( −1) + 22 = 27 Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( −3;5; −5 ) , B ( 5; −3;7 ) mặt phẳng ( P ) : x + y + z = Tìm toạ độ điểm M mặt phẳng ( P ) cho MA2 − MB lớn A M (−2;1;1) B M (2; −1;1) C M (6; −18;12) D M (−6;18;12) Hướng dẫn giải Chọn C uu r uur r Gọi I thỏa mãn IA − IB = uur uuu r uur uuur r uur uuu r uuu r Khi IO + OA − 2( IO + OB ) = ⇔ OI = 2OB − OA ⇔ I (13; −11;19) uuur uuur uuu r uu r uuu r uur Ta có MA2 − MB = MA − MB = MI + IA − MI + IB = − MI + IA2 − IB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MA2 − MB lớn MI nhỏ Khi I hình chiếu vng góc M lên ( P ) Ta tìm M (6; −18;12) Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (m;0;0), N (0; n;0), P(0;0; p) không trùng với gốc tọa độ thỏa mãn m + n + p = Giá trị lớn khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( MNP ) A B C D 27 Hướng dẫn giải Trang 255 Chọn C Do M , N , P không trùng với gốc tọa độ nên m ≠ 0, n ≠ 0, p ≠ Phương trình mặt phẳng ( MNP ) là: Suy x y z 1 + + = ⇔ x + y + z −1 = m n p m n p 1 1 + 2+ 2 m n p d (O, ( MNP )) = Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương m , n , p ba số dương m + n + p ≥ 3 m n p 1 1 + + ≥ 33 2 m n p mn p 1 2  Suy m + n + p  + + n p m ( )  ÷≥   1  ⇔ × + + ÷ ≥ m + n + p = p  m n ( ⇔ 1 + + ≥3⇔ m n p Vậy d (O, ( MNP )) ≤ 1 , ta có: m2 n p ) 1 + + ≥ 3⇔ m n p 1 ≤ 1 + 2+ 2 m n p Dấu "=" xảy m = n = p = Vậy giá trị lớn khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( MNP ) Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = mặt cầu uuuu r ( S ) : x + y + z + x − y − z + = Giả sử M ∈ ( P ) N ∈ ( S ) cho MN phương với vectơ r u = (1;0;1) khoảng cách M N lớn Tính MN A MN = B MN = + 2 C MN = D MN = 14 Hướng dẫn giải Chọn C ( S) có tâm I (−1; 2;1) bán kính R = Ta có: d ( I , ( P)) = | −1 − 2.2 + 2.1 − | 12 + 22 + 22 = 2> R Gọi H hình chiếu vng góc N mặt phẳng ( P ) α góc MN NH uuuu r r Vì MN phương với u nên góc α có số đo khơng đổi · ∆MNH vng H có α = HNM nên HN = MN cos α ⇒ MN = HN cos α Do MN lớn ⇔ HN lớn ⇔ HN = d ( I , ( P )) + R = Trang 256 r uur 1 HN = Có cos α = cos(u , nP ) = nên MN = cos α Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi ( P ) : ax + by + cz − = (với a, b, c số nguyên không đồng thời 0) mặt phẳng qua hai điểm M ( 0; −1; ) , N ( −1;1;3) không qua điểm H (0;0; 2) Biết khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( P ) đạt giá trị lớn Giá trị tổng T = a − 2b + 3c + 12 A −16 B C 12 D 16 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi K hình chiếu H lên ( P ), E hình chiếu H lên MN Ta có d ( H ;( P )) = HK d ( H ; MN ) = HE , HK ≤ HE (không đổi) Vậy d ( H ;( P )) lớn K ≡ E , với E hình chiếu H lên MN  −1 −1  Suy E  ; ; ÷  3 3 uuur  1  Vậy mặt phẳng ( P ) cần tìm mặt phẳng nhận HE =  − ; − ; ÷ làm vectơ pháp tuyến qua M  3 3 có phương trình − x − y + z − =  a = −1  Suy b = −1 c =  Vậy T = 16 Trang 257 ... D1 = = ≠ A2 B2 C2 D2 +) (α ) ∩ ( β ) ⇔ A1 B1 B1 C1 ≠ ≠ A2 B2 B2 C2 +) (α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng mặt cầu (α... + C1C2 A 12 + B 12 + C 12 × A 22 + B 22 + C 22 Chùm mặt phẳng • Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng (α ) ( β ) gọi chùm mặt phẳng • Gọi ( d ) giao tuyến hai mặt phẳng (α ) : A1 x + B1... ) ) = + 2. 0 + 2. 5 − 12 + 22 + 22 = Chú ý: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng khơng song song khoảng cách chúng Bài tập 2: Trong