BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH mặt PHẲNG

BÀI PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình mặt phẳng Vectơ pháp tuyến r r r Vectơ n  vectơ pháp tuyến    giá n vng góc với    Cặp vectơ phương mặt phẳng r r Hai vectơ a, b không phương cặp vectơ phương    giá chúng song song nằm    Chú ý:   r r Nếu n vectơ pháp tuyến    k n  k   vectơ pháp tuyến    r r r r r Nếu a, b cặp vectơ phương    n   a, b  vectơ pháp tuyến    Phương trình tổng quát mặt phẳng  Ax  By  Cz  D  với A2  B  C  r Nếu ( ) có phương trình Ax  By  Cz  D  n  ( A; B; C ) vectơ pháp tuyến ( )  r Phương trình mặt phẳng qua M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ pháp tuyến n  ( A; B; C ) là: A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   Các trường hợp đặc biệt D 0 Phương trình mặt phẳng    Ax  By  Cz  A0 By  Cz  D  B0 Ax  Cz  D  C 0 Ax  By  D  AB0 Cz  D     qua gốc tọa độ O    / / Ox     Ox    / /Oy     Oy    / /Oz     Oz    / /  Oxy  By  D       Oxy     / /  Oxz  Ax  D       Oxz     / /  Oyz  Các hệ số AC 0 BC 0 Tính chất mặt phẳng         Oyz  Trang 68 Nếu ( ) cắt trục toạ độ điểm (a;0;0), (0; b;0), (0;0; c) với abc  ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ) : x y z    a b c Chú ý: Nếu phương trình ( ) khơng chứa ẩn ( ) song song chứa trục tương ứng Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho điểm A  xA ; y A ; z A  mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  Khi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) tính theo cơng thức: d( A,( ))  Ax A  By A  Cz A  D A2  B  C Vị trí tương đối Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0; (  ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  +) ( )  (  )  A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2 +) ( ) / /(  )  A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2 +) ( )  (  )  A1 B1 B1 C1   A2 B2 B2 C2 +) ( )  (  )  A1 A2  B1B2  C1C2  Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng mặt cầu ( ) : Ax  By  Cz  D  ; ( S ) : ( x  a )2  ( y  b)  ( z  c)  R Để xét vị trí ( ) ( S ) ta làm sau: +) Nếu d  I ,      R ( ) khơng cắt ( S ) +) Nếu d  I ,      R    tiếp xúc  S  H Khi H gọi tiếp điểm đồng thời H hình chiếu vng góc I lên       gọi tiếp diện +) Nếu d  I ,      R    cắt  S  ( x  a )  ( y  b)  z  c (C ) :   Ax  By  Cz  D   theo đường trịn có phương trình  R2 Trang 69 Bán kính  C  r  R  d [ I , ( )] Tâm J (C) hình chiếu vng góc I    Góc hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : A1 x  B1 y  C1 z  D1  (  ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  r r Góc ( ) (  ) bù với góc hai vectơ pháp tuyến n , n Tức cos     ,     r r r· r n n  cos n , n   r r  n n A1 A2  B1 B2  C1C2 A12  B12  C12  A22 B22 C22 Chùm mặt phẳng  Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng ( ) (  ) gọi chùm mặt phẳng  Gọi  d  giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : A1 x  B1 y  C1 z  D1  (  ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  Khi  P  mặt phẳng chứa  d  mặt phẳng  P  có dạng m  A1 x B1 y C1 z D1  n  A2 x B2 y C2 z D2  0 với m  n  SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến viết phương trình mặt phẳng Trang 70 Phương pháp r Mặt phẳng    qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ pháp tuyến n   A; B; C  A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   r r Mặt phẳng ( ) qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có cặp vectơ phương a , b Khi vectơ pháp r r r tuyến ( ) n  [a , b ] Bài tập Bài tập 1: Cho mặt phẳng  Q  : x  y  z   Viết phương trình mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng  Q  , đồng thời cắt trục Ox, Oy điểm M , N cho MN  2 A ( P ) : x  y  z   B ( P ) : x  y  z  C ( P) : x  y  z   D ( P ) : x  y  z   Bài tập 2: Cho điểm M (1; 2;5) Mặt phẳng ( P ) qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy , Oz A, B, C cho M trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng ( P ) A x  y  z   B x  y  z  30  C x y z   0 D x y z   1 Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có đỉnh A(8; 14; 10); AD, AB, AC song song với Ox, Oy , Oz Phương trình mặt phẳng  BCD  qua H (7; 16; 15) trực tâm BCD có phương trình A x  y  z  100  C B x  y  z  100  x y z    16 15 D x y z    16 15 Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (  ) : x  y  z   cách (  ) khoảng A x  y  z   0; x  y  z  B x  y  z   C x  y  z   0; x  y  z  D x  y  z   0; x  y  z  Bài tập 5: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P ) : x  z   0, (Q ) : x  z   Mặt phẳng song song cách ( P ) (Q) có phương trình là: A x  z   B x  z   C x  z   D x  z   Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  1; 2;1 , B  3; 4;0  mặt phẳng ( P) : ax  by  cz  46  Biết khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng ( P ) Giá trị biểu thức T  a  b  c A 3 B 6 C D Dạng Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Phương pháp Trang 71 Viết phương trình mặt phẳng    tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H Giả sử mặt cầu  S  có tâm I bán kính R, ta viết phương trình mặt phẳng ( ) qua H r r uuu có vectơ pháp tuyến n  IH Bài tập Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S  có phương trình ( x  1)  ( y  2)2  ( z  3)  12 mặt phẳng ( P) : x  y  z   Viết phương trình mặt phẳng song song với ( P ) cắt ( S ) theo thiết diện đường tròn (C ) cho khối nón có đỉnh tâm mặt cầu đáy hình trịn (C) tích lớn A x  y  z   x  y  z   B x  y  z   x  y  z  11  C x  y  z   x  y  z   D x  y  z   x  y  z   Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x  y  ( z  1)  điểm A(2; 2; 2) Từ A kẻ ba tiếp tuyến AB, AC , AD với mặt cầu ( B, C , D tiếp điểm) Phương trình mặt phẳng  BCD  A x  y  z   B x  y  z   C x  y  z   D x  y  z   Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S  : ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)  12 mặt phẳng ( P ) : x  y  z  11  Xét điểm M di động ( P ) điểm A, B, C phân biệt di động  S  cho AM , BM , CM tiếp tuyến  S  Mặt phẳng  ABC  qua điểm cố định đây? 1 1 A  ;  ;   4 2 B (0; 1;3) 3  C  ;0;  2  D  0;3; 1 Dạng Phương trình mặt phẳng đoạn chắn Phương pháp Phương trình mặt phẳng ( ) qua ba điểm A(a;0;0), B (0; b;0) C (0;0; c ) với abc  là: x y z    a b c Bài tập Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (3;0;0), N (2; 2; 2) Mặt phẳng ( P ) thay đổi qua M , N cắt trục Oy, Oz B (0; b;0), C (0;0; c) với b, c  Hệ thức đúng? A b  c  B bc  3(b  c ) C bc  b  c D 1   b c Trang 72 Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm G  1; 4;3 Phương trình mặt phẳng cắt trục tọa độ Ox, Oy , Oz A, B , C cho G trọng tâm tứ diện OABC A x y z   1 12 B C x  12 y  z  78  x y z    16 12 D x  16 y  12 z  104  Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng  P qua điểm M (1; 2;3) cắt trục Ox, Oy , Oz ba điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O cho biểu thức 1   có giá trị nhỏ 2 OA OB OC A ( P) : x  y  z  14  B ( P ) : x  y  3z  14  C ( P ) : x  y  z  11  D ( P ) : x  y  z  14  Bài tập 4: Trong khơng gian Oxyz, có mặt phẳng qua điểm M  4; 4;1 chắn ba trục tọa độ Ox, Oy , Oz theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội A B C ? D Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A  1;0;0  , B  0;1;0  Mặt phẳng x  ay  bz  c  qua điểm A, B đồng thời cắt tia Oz C cho tứ diện OABC tích Giá trị a  3b  2c A 16 B C 10 D Dạng Vị trí tương đối hai mặt phẳng Phương pháp Cho hai mặt phẳng: ( P ) : Ax  By  Cz  D  ;  P  : Ax  By  C z  D  Khi đó:  ( P ) cắt  P   A : B : C  A : B  : C   ( P ) / /  P   A B C D    A B C  D A B C D    A B C  D r r r r  ( P )   P   n( P )  n P  n( P ) n P   ( P )   P    AA  BB  CC   Chú ý: Nếu A  tương ứng A  Nếu B  tương ứng B  Trang 73 Nếu C  tương ứng C   Ví dụ: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : x  y  z   (  ) : x  y  mz   Tìm m để       song song với Hướng dẫn giải Ta có ( ) / /(  )  (vơ lý 1 1    m 2 2   ) 1 Vậy không tồn m để hai mặt phẳng    ,    song song với Bài tập Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  có phương trình mx  (m  1) y  z  10  mặt phẳng (Q) : x  y  z   Với giá trị m ( P ) (Q) vng góc với nhau? A m  2 B m  C m  D m  1 Dạng Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Phương pháp Cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  mặt cầu tâm I ; bán kính R  ( ) ( S ) khơng có điểm chung  d ( I , ( ))  R  ( ) tiếp xúc với ( S )  d ( I , ( ))  R Khi ( ) tiếp diện  ( ) ( S ) cắt  d ( I ;( ))  R Khi  O  có tâm hình chiếu I    bán kính r  R  d ( I ; ( )) Bài tập Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  12  Mặt phẳng cắt  S  theo đường tròn có bán kính r  3? A x  y  z  26  B x  y  z  12  C x  y  z  17  20  D x  y  z   Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I  1; 2; 2  mặt phẳng ( P) : x  y  z   Phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng ( P ) theo giao tuyến đường trịn có diện tích 16 A ( x  2)  ( y  2)  ( z  1)  36 B ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  2)  C ( x  1)  ( y  2)  ( z  2)  25 D ( x  1)2  ( y  2)  ( z  2)2  16 Trang 74 Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S  có phương trình x  y  z  x  y  z   mặt phẳng ( ) : x  y  12 z  10  Tìm phương trình mặt phẳng    thỏa mãn đồng thời điều kiện: tiếp xúc với  S  ; song song với ( ) cắt trục Oz điểm có cao độ dương A x  y  12 z  78  B x  y  12 z  26  C x  y  12 z  78  D x  y  12 z  26  Dạng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp Khoảng cách từ điểm M  x0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  d  M0 ,    Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C Bài tập Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, khoảng cách hai mặt phẳng  Q  : x  y  2z   A  P  : x  y  z  10  B C D Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho A  1; 2;3 , B  3; 4;  Tìm tất giá trị tham số m cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P  : x  y  mz   độ dài đoạn thẳng AB A m  B m  2 C m  3 D m  2 Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A   1; 2;1 , B   2;1;3 , C  (3; 2; 2), D  (1;1;1) Độ dài chiều cao DH tứ diện A 14 14 B 14 14 C 14 D 14 Bài tập 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A  a; b; c  với a, b, c  Xét  P  mặt phẳng thay đổi qua điểm A Khoảng cách lớn từ điểm O đến mặt phẳng ( P ) A a  b2  c2 B a  b  c C a  b  c D a  b  c Dạng Góc hai mặt phẳng Phương pháp Cho hai mặt phẳng    ,    có phương trình:    : A1 x  B1 y  C1 z  D1     : A2 x  B2 y  C2 z  D2  ur uu r Góc    ,    bù với góc hai vectơ pháp tuyến n1 , n2 Trang 75 ur uu r n1.n2 cos ·  ,     ur uu r  n1 n2    A1 A2  B1 B2  C1C2 A12  B12  C12 A22  B22  C22  o o · Chú ý:     ,     90 Bài tập Bổ sung sau Dạng Một số toán cực trị Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A  1;1;1 , B  1; 2;0  , C  3; 1;  M điểm thuộc mặt phẳng    : x  y  z   uuur uuur uuuu r Tính giá trị nhỏ P  3MA  5MB  MC A Pmin  20 B Pmin  C Pmin  25 D Pmin  27 Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  3;5; 5  , B  5; 3;7  mặt phẳng ( P) : x  y  z  Tìm toạ độ điểm M mặt phẳng ( P ) cho MA2  2MB lớn A M (2;1;1) B M (2; 1;1) C M (6; 18;12) D M (6;18;12) Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (m;0;0), N (0; n;0), P(0;0; p) không trùng với gốc tọa độ thỏa mãn m  n  p  Giá trị lớn khoảng cách từ O đến mặt phẳng  MNP  A B C D 27 Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x  y  z   mặt cầu uuuu r ( S ) : x  y  z  x  y  z   Giả sử M  ( P ) N  ( S ) cho MN phương với vectơ r u  (1;0;1) khoảng cách M N lớn Tính MN A MN  B MN   2 C MN  D MN  14 Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi  P  : ax  by  cz   (với a, b, c số nguyên không đồng thời 0) mặt phẳng qua hai điểm M  0; 1;  , N  1;1;3 không qua điểm H (0;0; 2) Biết khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( P ) đạt giá trị lớn Giá trị tổng T  a  2b  3c  12 A 16 B C 12 D 16 Trang 76 ... D1    A2 B2 C2 D2 +) ( )  (  )  A1 B1 B1 C1   A2 B2 B2 C2 +) ( )  (  )  A1 A2  B1B2  C1C2  Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng mặt cầu (...  C1C2 A 12  B 12  C 12  A 22 B 22 C 22 Chùm mặt phẳng  Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng ( ) (  ) gọi chùm mặt phẳng  Gọi  d  giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : A1 x  B1...     ur uu r  n1 n2    A1 A2  B1 B2  C1C2 A 12  B 12  C 12 A 22  B 22  C 22  o o · Chú ý:     ,     90 Bài tập Bổ sung sau Dạng Một số toán cực trị Bài tập 1: Trong không