BÀI PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình mặt phẳng Vectơ pháp tuyến r r r Vectơ n vectơ pháp tuyến giá n vng góc với Cặp vectơ phương mặt phẳng r r Hai vectơ a, b không phương cặp vectơ phương giá chúng song song nằm Chú ý: r r Nếu n vectơ pháp tuyến k n k vectơ pháp tuyến r r r r r Nếu a, b cặp vectơ phương n a, b vectơ pháp tuyến Phương trình tổng quát mặt phẳng Ax By Cz D với A2 B C r Nếu ( ) có phương trình Ax By Cz D n ( A; B; C ) vectơ pháp tuyến ( ) r Phương trình mặt phẳng qua M x0 ; y0 ; z0 có vectơ pháp tuyến n ( A; B; C ) là: A x x0 B y y0 C z z0 Các trường hợp đặc biệt D 0 Phương trình mặt phẳng Ax By Cz A0 By Cz D B0 Ax Cz D C 0 Ax By D AB0 Cz D qua gốc tọa độ O / / Ox Ox / /Oy Oy / /Oz Oz / / Oxy By D Oxy / / Oxz Ax D Oxz / / Oyz Các hệ số AC 0 BC 0 Tính chất mặt phẳng Oyz Trang 68 Nếu ( ) cắt trục toạ độ điểm (a;0;0), (0; b;0), (0;0; c) với abc ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ) : x y z a b c Chú ý: Nếu phương trình ( ) khơng chứa ẩn ( ) song song chứa trục tương ứng Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho điểm A xA ; y A ; z A mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D Khi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) tính theo cơng thức: d( A,( )) Ax A By A Cz A D A2 B C Vị trí tương đối Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1 y C1 z D1 0; ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 +) ( ) ( ) A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 +) ( ) / /( ) A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 +) ( ) ( ) A1 B1 B1 C1 A2 B2 B2 C2 +) ( ) ( ) A1 A2 B1B2 C1C2 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng mặt cầu ( ) : Ax By Cz D ; ( S ) : ( x a )2 ( y b) ( z c) R Để xét vị trí ( ) ( S ) ta làm sau: +) Nếu d I , R ( ) khơng cắt ( S ) +) Nếu d I , R tiếp xúc S H Khi H gọi tiếp điểm đồng thời H hình chiếu vng góc I lên gọi tiếp diện +) Nếu d I , R cắt S ( x a ) ( y b) z c (C ) : Ax By Cz D theo đường trịn có phương trình R2 Trang 69 Bán kính C r R d [ I , ( )] Tâm J (C) hình chiếu vng góc I Góc hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1 y C1 z D1 ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 r r Góc ( ) ( ) bù với góc hai vectơ pháp tuyến n , n Tức cos , r r r· r n n cos n , n r r n n A1 A2 B1 B2 C1C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22 Chùm mặt phẳng Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng ( ) ( ) gọi chùm mặt phẳng Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1 y C1 z D1 ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 Khi P mặt phẳng chứa d mặt phẳng P có dạng m A1 x B1 y C1 z D1 n A2 x B2 y C2 z D2 0 với m n SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến viết phương trình mặt phẳng Trang 70 Phương pháp r Mặt phẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có vectơ pháp tuyến n A; B; C A x x0 B y y0 C z z0 r r Mặt phẳng ( ) qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có cặp vectơ phương a , b Khi vectơ pháp r r r tuyến ( ) n [a , b ] Bài tập Bài tập 1: Cho mặt phẳng Q : x y z Viết phương trình mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng Q , đồng thời cắt trục Ox, Oy điểm M , N cho MN 2 A ( P ) : x y z B ( P ) : x y z C ( P) : x y z D ( P ) : x y z Bài tập 2: Cho điểm M (1; 2;5) Mặt phẳng ( P ) qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy , Oz A, B, C cho M trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng ( P ) A x y z B x y z 30 C x y z 0 D x y z 1 Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có đỉnh A(8; 14; 10); AD, AB, AC song song với Ox, Oy , Oz Phương trình mặt phẳng BCD qua H (7; 16; 15) trực tâm BCD có phương trình A x y z 100 C B x y z 100 x y z 16 15 D x y z 16 15 Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ) : x y z cách ( ) khoảng A x y z 0; x y z B x y z C x y z 0; x y z D x y z 0; x y z Bài tập 5: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P ) : x z 0, (Q ) : x z Mặt phẳng song song cách ( P ) (Q) có phương trình là: A x z B x z C x z D x z Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 2;1 , B 3; 4;0 mặt phẳng ( P) : ax by cz 46 Biết khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng ( P ) Giá trị biểu thức T a b c A 3 B 6 C D Dạng Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Phương pháp Trang 71 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H Giả sử mặt cầu S có tâm I bán kính R, ta viết phương trình mặt phẳng ( ) qua H r r uuu có vectơ pháp tuyến n IH Bài tập Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình ( x 1) ( y 2)2 ( z 3) 12 mặt phẳng ( P) : x y z Viết phương trình mặt phẳng song song với ( P ) cắt ( S ) theo thiết diện đường tròn (C ) cho khối nón có đỉnh tâm mặt cầu đáy hình trịn (C) tích lớn A x y z x y z B x y z x y z 11 C x y z x y z D x y z x y z Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x y ( z 1) điểm A(2; 2; 2) Từ A kẻ ba tiếp tuyến AB, AC , AD với mặt cầu ( B, C , D tiếp điểm) Phương trình mặt phẳng BCD A x y z B x y z C x y z D x y z Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1) 12 mặt phẳng ( P ) : x y z 11 Xét điểm M di động ( P ) điểm A, B, C phân biệt di động S cho AM , BM , CM tiếp tuyến S Mặt phẳng ABC qua điểm cố định đây? 1 1 A ; ; 4 2 B (0; 1;3) 3 C ;0; 2 D 0;3; 1 Dạng Phương trình mặt phẳng đoạn chắn Phương pháp Phương trình mặt phẳng ( ) qua ba điểm A(a;0;0), B (0; b;0) C (0;0; c ) với abc là: x y z a b c Bài tập Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (3;0;0), N (2; 2; 2) Mặt phẳng ( P ) thay đổi qua M , N cắt trục Oy, Oz B (0; b;0), C (0;0; c) với b, c Hệ thức đúng? A b c B bc 3(b c ) C bc b c D 1 b c Trang 72 Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm G 1; 4;3 Phương trình mặt phẳng cắt trục tọa độ Ox, Oy , Oz A, B , C cho G trọng tâm tứ diện OABC A x y z 1 12 B C x 12 y z 78 x y z 16 12 D x 16 y 12 z 104 Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng P qua điểm M (1; 2;3) cắt trục Ox, Oy , Oz ba điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O cho biểu thức 1 có giá trị nhỏ 2 OA OB OC A ( P) : x y z 14 B ( P ) : x y 3z 14 C ( P ) : x y z 11 D ( P ) : x y z 14 Bài tập 4: Trong khơng gian Oxyz, có mặt phẳng qua điểm M 4; 4;1 chắn ba trục tọa độ Ox, Oy , Oz theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội A B C ? D Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A 1;0;0 , B 0;1;0 Mặt phẳng x ay bz c qua điểm A, B đồng thời cắt tia Oz C cho tứ diện OABC tích Giá trị a 3b 2c A 16 B C 10 D Dạng Vị trí tương đối hai mặt phẳng Phương pháp Cho hai mặt phẳng: ( P ) : Ax By Cz D ; P : Ax By C z D Khi đó: ( P ) cắt P A : B : C A : B : C ( P ) / / P A B C D A B C D A B C D A B C D r r r r ( P ) P n( P ) n P n( P ) n P ( P ) P AA BB CC Chú ý: Nếu A tương ứng A Nếu B tương ứng B Trang 73 Nếu C tương ứng C Ví dụ: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : x y z ( ) : x y mz Tìm m để song song với Hướng dẫn giải Ta có ( ) / /( ) (vơ lý 1 1 m 2 2 ) 1 Vậy không tồn m để hai mặt phẳng , song song với Bài tập Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P có phương trình mx (m 1) y z 10 mặt phẳng (Q) : x y z Với giá trị m ( P ) (Q) vng góc với nhau? A m 2 B m C m D m 1 Dạng Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Phương pháp Cho mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D mặt cầu tâm I ; bán kính R ( ) ( S ) khơng có điểm chung d ( I , ( )) R ( ) tiếp xúc với ( S ) d ( I , ( )) R Khi ( ) tiếp diện ( ) ( S ) cắt d ( I ;( )) R Khi O có tâm hình chiếu I bán kính r R d ( I ; ( )) Bài tập Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x y z x y 12 Mặt phẳng cắt S theo đường tròn có bán kính r 3? A x y z 26 B x y z 12 C x y z 17 20 D x y z Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 1; 2; 2 mặt phẳng ( P) : x y z Phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng ( P ) theo giao tuyến đường trịn có diện tích 16 A ( x 2) ( y 2) ( z 1) 36 B ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 2) C ( x 1) ( y 2) ( z 2) 25 D ( x 1)2 ( y 2) ( z 2)2 16 Trang 74 Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình x y z x y z mặt phẳng ( ) : x y 12 z 10 Tìm phương trình mặt phẳng thỏa mãn đồng thời điều kiện: tiếp xúc với S ; song song với ( ) cắt trục Oz điểm có cao độ dương A x y 12 z 78 B x y 12 z 26 C x y 12 z 78 D x y 12 z 26 Dạng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp Khoảng cách từ điểm M x0 ; y0 ; z0 đến mặt phẳng : Ax By Cz D d M0 , Ax0 By0 Cz0 D A2 B C Bài tập Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, khoảng cách hai mặt phẳng Q : x y 2z A P : x y z 10 B C D Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho A 1; 2;3 , B 3; 4; Tìm tất giá trị tham số m cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P : x y mz độ dài đoạn thẳng AB A m B m 2 C m 3 D m 2 Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A 1; 2;1 , B 2;1;3 , C (3; 2; 2), D (1;1;1) Độ dài chiều cao DH tứ diện A 14 14 B 14 14 C 14 D 14 Bài tập 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A a; b; c với a, b, c Xét P mặt phẳng thay đổi qua điểm A Khoảng cách lớn từ điểm O đến mặt phẳng ( P ) A a b2 c2 B a b c C a b c D a b c Dạng Góc hai mặt phẳng Phương pháp Cho hai mặt phẳng , có phương trình: : A1 x B1 y C1 z D1 : A2 x B2 y C2 z D2 ur uu r Góc , bù với góc hai vectơ pháp tuyến n1 , n2 Trang 75 ur uu r n1.n2 cos · , ur uu r n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22 o o · Chú ý: , 90 Bài tập Bổ sung sau Dạng Một số toán cực trị Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1;1;1 , B 1; 2;0 , C 3; 1; M điểm thuộc mặt phẳng : x y z uuur uuur uuuu r Tính giá trị nhỏ P 3MA 5MB MC A Pmin 20 B Pmin C Pmin 25 D Pmin 27 Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 3;5; 5 , B 5; 3;7 mặt phẳng ( P) : x y z Tìm toạ độ điểm M mặt phẳng ( P ) cho MA2 2MB lớn A M (2;1;1) B M (2; 1;1) C M (6; 18;12) D M (6;18;12) Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (m;0;0), N (0; n;0), P(0;0; p) không trùng với gốc tọa độ thỏa mãn m n p Giá trị lớn khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP A B C D 27 Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x y z mặt cầu uuuu r ( S ) : x y z x y z Giả sử M ( P ) N ( S ) cho MN phương với vectơ r u (1;0;1) khoảng cách M N lớn Tính MN A MN B MN 2 C MN D MN 14 Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi P : ax by cz (với a, b, c số nguyên không đồng thời 0) mặt phẳng qua hai điểm M 0; 1; , N 1;1;3 không qua điểm H (0;0; 2) Biết khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( P ) đạt giá trị lớn Giá trị tổng T a 2b 3c 12 A 16 B C 12 D 16 Trang 76 ... D1 A2 B2 C2 D2 +) ( ) ( ) A1 B1 B1 C1 A2 B2 B2 C2 +) ( ) ( ) A1 A2 B1B2 C1C2 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng mặt cầu (... C1C2 A 12 B 12 C 12 A 22 B 22 C 22 Chùm mặt phẳng Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng ( ) ( ) gọi chùm mặt phẳng Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1... ur uu r n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1C2 A 12 B 12 C 12 A 22 B 22 C 22 o o · Chú ý: , 90 Bài tập Bổ sung sau Dạng Một số toán cực trị Bài tập 1: Trong không