Bài 5 phương trình mũ và loga chính thức

BÀI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I PHƯƠNG TRÌNH MŨ Phương trình mũ Phương trình mũ phương trình có dạng ax  b  a  0; a  1 - x  log a b Nếu b  phương trình có nghiệm ; - Nếu b  b  phương trình vơ nghiệm Cách giải số phương trình mũ a) Đưa số a A x   a B  x   A  x   B  x  ,  a  0, a  1 b) Phương pháp đặt ẩn phụ x  a x   a x    Đặt t  a ,  t   c) Logarit hóa a Nếu phương trình cho dạng f ( x) ìï < a ¹ ïï = b Û ïí b > ïï ïïỵ f (x) = loga b II PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Phương trình logarit bản: phương trình có dạng log a x  b  log a x  b với < a ¹ x  ab Cách giải số phương trình mũ a) Đưa số a  0, a 1  f ( x )  ( hoac g ( x )  0)  log a f  x   log a g  x     f  x   g  x  b) Phương pháp đặt ẩn phụ  log 2a x   log a x    Đặt t  log a x,  x   c) Mũ hóa Trang 138   f ( x)  log a f  x   b   b   f  x  a HỆ THỐNG HÓA BẰNG SƠ ĐỒ Trang 139 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Phương pháp đưa số Phương pháp Phương pháp đưa phương trình mũ số - Biến đổi hàm số có mặt phương trình số, sau rút gọn, đưa dạng dạng: a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x ) (Vớ i  a  1) (Thường gặp) a  a f ( x ) a g ( x )    ( a  1) f ( x)  g ( x) 0 - Nếu số a thay đổi thì: (Ít gặp) Phương pháp đưa phương trình loga số Biến đổi phương trình để đưa dạng nêu dạng: log a M  log a N  M  N Bài tập Bài tập Tìm tích số tất nghiệm thực phương trình A 1 B  Bài tập Cho phương trình 74  C x  x 1   2   x2  x  2  49 D x 2 Mệnh đề sau đúng? A Phương trình có hai nghiệm khơng dương B Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt C Phương trình có hai nghiệm trái dấu D Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt log  x  1   log  x  log8   x  Bài tập Phương trình A Vơ nghiệm B Một nghiệm x 4 Bài tập Tập nghiệm phương trình   7 S  1 S     2 A B x 1 Bài tập Phương trình x 1  0, 25 S   2  2 có nghiệm? C Hai nghiệm x 1 7   4  D Ba nghiệm 16  49 1   ;  C  2    S   ;    D 7x có tích nghiệm bằng? Trang 140 A B Bài tập Tìm số nghiệm phương trình A 27 x 2 x 1 C D C D Vô số 7x  243 B log  x3  1  log  x  1  log Bài tập Cho phương trình phương trình B A  x  1 Tổng nghiệm C D Bài tập Cho n số nguyên dương a  , a  Tìm n cho log a 2019  log A n  2017 a 2019  log a 2019   log n a 2019  2033136.log a 2019 B n  2016 C n  2018 D n  2019 log  x  3  log  x    Bài tập Tổng tất nghiệm thực phương trình B  A C  1     2018 log x log x log 2018 x Bài tập 10 Giải phương trình A x  2018.2018! 2018 2018! B x  Bài tập 11 Số nghiệm phương trình: A B x là: D  có nghiệm C x  2017! log  log x   log  log x   C D x   2018! 2018 D    x      16 có hai nghiệm x1 x2 Tổng S  x1  x2 Bài tập 12 Phương trình     A B C D Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp Loại 1: Phương trình có dạng bk akf(x) + bk -1a(k -1)f(x) + + b1af(x) + b = Khi ta đặt: t = af(x) điều kiện: t > Ta phương trình đại số ẩn t, giải pt đại số ta biết nghiệm phương trình ẩn t Trang 141 Nếu có nghiệm t cần xét xem có thỏa điều kiện t > hay khơng Nếu thỏa điều kiện giải phương f (x) trình t  a để tìm nghiệm phương trình cho x 1 x 1 x 1 x 1 Ví dụ:  6.2    (2 )  6.2   t  t  6t     x1 t  Đặt t = Điều kiện t > Ta có  Với t = ta có x1 =2  x  x1  Với t = ta có =  x  Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x  x  Loại 2: Phương trình đưa dạng: α1af(x) + α2 + α3 = af(x) f ( x) Hướng giải: Đặt t  a Ví dụ 1: Giải phương trình 5x 1  53 x  26  x 125   26  5x n) t  125 (nhaä t 125 t2   26    26t  125    x n) t t  (nhaä Đặt t  ; t  Ta phương trình: x  Với t =125 ta có  125  x   Với t = ta có 5x   x  Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = x = Lưu ý: Một số cặp số nghịch đảo Ví dụ: 1 ;  ;  , 2f(x) f(x) 2f(x) =0 Loại 3: Phương trình có dạng: α1a + α (ab) + α 3b f (x) Hướng giải: Chia hai vế cho b ta phương trình + + = Ta đặt: t =điều kiện: t > 0, giải phương trình ẩn t, sau tìm nghiệm x f ( x) f ( x) Chú ý: Cũng chia hai vế phương trình cho: (ab) hoặc: a x x x Ví dụ: Giải phương trình   2.4 Trang 142   x    x x x 6 2x   2 x x x   2.4  ( )       ( )         x0  x 4 2      2(Vônghiệ m)   Một số dạng phương trình logarit sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ thường gặp:  1 Ví dụ1: Giải phương trình  lg x  lg x Phân tích: Ta nhận thấy phương trình có hàm số lơgarit nhất, lg x Vì ta giải pt cách đặt t  lg x Đặt t  lg x đk t  t  1 Ta phương trình: t   thỏ a điề u kieä n t  11  t  5t         t  11   t  t  1 a điề u kiệ n t   thoû   t   1 t   t 1 t  Với t = ta có lg x   x  100  Với t = ta có lg x   x  1000 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 100; x = 1000 Ví dụ 2: 2 Giải phương trình log ( x  1)  log ( x  1)  Điều kiện: x  log 22 ( x  1)  log ( x  1)3   log 22  x  1  3log  x  1   t  4t  3t     7 t  t  log  x  1  Đặt , ta phương trinh:  Với t =1  Với t ta có log  x  1   x    x  7 7 7 7 log  x  1   x 1   x  1 4 ta có Kết luận: Bài tập Bài tập Phương trình A 1    x 1   x 1  2  B có tích nghiệm là: C D Trang 143 x 1 x x 1 Bài tập Phương trình  13.6   có nghiệm x1 , x2 Phát biểu sau đúng? A Phương trình có nghiệm ngun B Phương trình có nghiệm vơ tỉ C Phương trình có nghiệm dương D Phương trình có nghiệm dương 3 Bài tập Tính tổng tất nghiệm thực phương trình B A Bài tập Phương trình 3 D log x  125 x  log 225 x  630 B 625 log x  log x      x  3   x  3x  12  C Bài tập Tích nghiệm phương trình A 25 x C 125 D 630 A Có hai nghiệm dương B Vơ nghiệm C Có nghiệm âm D Có nghiệm âm nghiệm dương x Bài tập Gọi S tập nghiệm phương trình 2 x  2x  x  4x  x 1 C B A  Số phần tử tập S D Bài tập Gọi a nghiệm phương trình 4.22log x  6log x  18.32log x  Khẳng định sau đánh giá a  a  10  A 1 B a  a   log x 2   C a nghiệm phương trình    D a  10 Bài tập Biết phương trình log x  3log x  có hai nghiệm thực x1  x2 Tính giá trị biểu thức T   x1  x2 A T  64 B T  32 C T  2x Bài tập Tổng tất nghiệm thực phương trình A Bài tập 10 Cho phương trình trình đây? B 10 1  5.2 x D T  16 3 x C log  x  1 log 25  x1    Khi đặt  26 x 1  D t  log  x  1 , ta phương Trang 144 A t   B t  t   C t   D 2t  2t   2log x  6log x  18.32log x  Khẳng định sau Bài tập 11 Gọi a nghiệm phương trình 4.2 đánh giá a ?  a  10  A 1 log x 2   B a nghiệm phương trình    C a  a   D a  10 Bài tập 12 Tích tất nghiệm phương trình A 1 B log 22 x  log x   C 1 D sin x  21 cos x  m có nghiệm Bài tập 13 Phương trình A  m  Bài tập 14 Cho phương trình thuộc đoạn  10; 20 B  m  1 x   m   1 x C  m   2m   D  m  Có giá trị nguyên m để phương trình có nghiệm? A B C D x x 1 Bài tập 15 Có số nguyên m để phương trình  m.2  2m  có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  ? A Bài tập 16 Cho phương trình B C log 2 x   m  3m  log x   D Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2  16 m   A  m   m  1  B  m   m  1  C  m  m   D  m  4 x x Bài tập 17 Giá trị m để phương trình   m  có nghiệm là: A m  B m  C m  D  m  Trang 145 x x 1 Bài tập 18 Với giá trị tham số m phương trình  m.2  2m  có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1  x2  ? A m  B m  C m  D m  x x Bài tập 19 Với điều kiện sau m phương trình  m.3   có hai nghiệm phân biệt? A Bài 9.9 x tập 2 x m 2 20 B Tìm   2m  1 15 x tất m  m 1 C Bài 4.4 x tập 2 x 21   2m   x A  x 1 1  m  tất 4 x2 C m  giá 0 trị tham D m  m số để phương trình phương trình có nghiệm thực phân biệt 3 3 m 2 B D Tìm   4m   52 x  x 1 A m  m m 3 3 m 2   m   32 x 4 x2 1 giá 0 trị tham m số để có hai nghiệm thực phân biệt B m   m   D m  1 C   m   m 1 3x x  ln  e x ln  m  , với m tham số thực Tất giá trị Bài tập 22 Cho phương trình e  2.e tham số m để phương trình có nghiệm A m  m  B m  m  4 C 4  m  D m  m  4 x x Bài tập 23 Tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình  nghiệm thực phân biệt A  3 B  2 C  3;   2   m có D  2;3 Bài tập 24 Có giá trị nguyên tham số m nhỏ 10 để phương trình m  m  e x  e x có nghiệm thực? A B C 10 D Trang 146 Dạng 3: Phương pháp logarit hóa, mũ hóa Phương pháp Bài tập x 1 x x Bài tập Phương trình 27  72 có nghiệm viết dạng x   log a b , với a , b số nguyên dương Tính tổng S  a  b A S  B S  Bài tập Phương trình log   x    x C S  có hai ngiệm x1 , x2 Tính P  x1  x2  x1 x2 B A 11 D S  C D x x Bài tập Gọi S tổng tất nghiệm thực phương trình  Tìm S A S  log B S  log C S  log D S  log 2 x 1 x  15 có nghiệm dạng x   log a b , với a, b số nguyên dương lớn nhỏ Giá trị P  a  2b x Bài tập Phương trình bao nhiêu? A P  B P  C P  13 D P  Dạng 4: Phương biến đổi thành tích Phương pháp (thường sử dụng trường hợp hai vế không số) Hướng giải: Biến đổi phương trình dạng: a f ( x ) b g ( x )  f ( x) log c a  g ( x) log c b.(  a, b 1,  c 1) Lưu ý: Ta thường lơgarit hóa hai vế với số a b Bài tập Bài tập Giải phương trình log x.log x  x.log3 x   log x  3log x  x Ta có tổng tất nghiệm A 35 B C 10 D Trang 147 2 x     Bài tập Số nghiệm phương trình   A x  25.2 x  100  100 B C log x.log  x  1  2log x Bài tập Số nghiệm phương trình A D vô nghiệm C B D x x Bài tập Biết n số rự nhiên thỏa mãn phương trình   cos nx có 2018 nghiệm Tìm số x x nghiệm phương trình    cos 2nx A 4036 B 2018 Bài tập Cho phương trình C 4035   D 2019   log x  x  log x  x   log x  x  có nghiệm nghiệm cịn lại có dạng x Biết phương trình logb c a  a  logb c (với a , c số   nguyên tố a  c ) Khi giá trị a  2b  3c bằng: A C D Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình Bài tập m.3x B  x 12  32 x  x  9.3105 x  m có ba nghiệm thực phân biệt Tìm số phần tử S A C B Vô số D 1  1  1  1  ln  x  .ln x  .ln x  .ln x   2  2  4  8 Bài tập Phương trình  có nghiệm? A B  26  15 Bài tập Gọi a nghiệm phương trình giá trị biểu thức sau đúng? A a  a  D C B sin a  cos a   x  2 74  C  cos a  x  2 2  x 1 Khi a D  2a  Bài tập Gọi A tập tất giá trị thực tham số m cho tập nghiệm phương trình x.2 x  x  x  m  1  m  x  1 A có hai phần tử Tìm số phần tử A B Vơ số C D Trang 148 Dạng 5: Phương pháp sử dụng tính đơn điệu Phương pháp * Ta thường sử dụng tính chất sau:  Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khỏang (a;b) phương trình f(x) = C có khơng q nghiệm khoảng (a;b) ( tồn x0  (a;b) cho f(x0) = C nghiệm phương trình f(x) = C)  Tính chất : Nếu hàm f tăng khoảng (a;b) hàm g hàm hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm khoảng (a;b) ( tồn x0  (a;b) cho f(x0) = g(x0) nghiệm phương trình f(x) = g(x)) Bài tập x Bài tập Số nghiệm phương trình 2018  x  2016  2017  2018 A Bài tập Tập nghiệm phương trình A C B  1 B D log  x  x    x  log  x     4 C  3 là: D  2 log x  3log y  3log  x  y  Bài tập Cho x , y số thực thỏa Tìm giá trị T  x  y A T  28 2 sin x  3cos x  4.3sin Bài tập Phương trình A 1284 C T  34 B T  22 x có nghiệm thuộc B 4034 C 1285 D T  30  2017; 2017 D 4035 x x x x x Bài tập Tìm số nghiệm phương trình     2017  2018  2017  x A B 2016 C 2017 D a  3x  3 x x Bài tập Tìm tất giá trị tham số a để phương trình  có nghiệm x A a  ¡ B 1  a  C a  D không tồn a x2  x  ln  x    2018 Bài tập Số nghiệm phương trình A B C D Trang 149 x   a3x cos   x  Bài tập Tìm số thực a để phương trình: , có nghiệm thực A a  6 B a  C a  3 D a  Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số Bài tập  x; y  thỏa mãn 2 e x  y 1  e3 x y  x  y  , đồng thời thỏa mãn log  x  y  1   m   log x  m   A C B Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số Bài tập 10 e3 x 5 y  e x 3 y 1   x  y , đồng log 32  x  y  1   m   log x  m   A Bài tập D  3 Gọi x x0  a b c thỏa C thỏa mãn mãn B 11  2x   thời  x; y  nghiệm D lớn phương trình 1 x  1     1  x  3  Giá trị P  a  b  c A P  B P  C P  D P  ln m  ln  m  x    x Bài tập 12 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình  có nhiều nghiệm A m  B m  D m  1 C m  e Bài tập 13 Có số ngun m để phương trình 3x  3x  m  log  x2  x   m 2x  x 1 Có hai nghiệm phân biệt lớn A Bài tập 14 Cho phương trình C B Vơ số   D     log x  x  log x  x   log m x  x  Có giá trị nguyên dương khác m cho phương trình cho có nghiệm x lớn ? A Vơ số B C D Trang 150 Bài tập 15 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình nghiệm thực? A B C Vô số D Không tồn m 3m  27 3m  27.2 x  x có x x Bài tập 16 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình  m.2  2m   có hai nghiệm trái dấu? A Vơ số B C D Bài tập 17 Có giá trị nguyên dương tham số m để phương trình nghiệm nhất? A B Vơ số C x   m x   * có D Bài tập 18 Có giá trị nguyên dương tham số m để phương trình 2.4 x 1 A  5.2 x 1  m  0,  * B có nghiệm? C D Trang 151 ... gặp) Phương pháp đưa phương trình loga số Biến đổi phương trình để đưa dạng nêu dạng: log a M  log a N  M  N Bài tập Bài tập Tìm tích số tất nghiệm thực phương trình A 1 B  Bài tập Cho phương. .. SƠ ĐỒ Trang 139 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Phương pháp đưa số Phương pháp Phương pháp đưa phương trình mũ số - Biến đổi hàm số có mặt phương trình số, sau rút gọn, đưa dạng... 1 x x 1 Bài tập Phương trình  13.6   có nghiệm x1 , x2 Phát biểu sau đúng? A Phương trình có nghiệm ngun B Phương trình có nghiệm vơ tỉ C Phương trình có nghiệm dương D Phương trình có nghiệm