Bài 6 bất phương trình mũ và bất loga chính thức

BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Bất phương trình mũ Cách giai bất phương trình mũ đơn giản a) Đưa số a f  x  a g  x  0  a    f  x   g  x    a    f  x   g  x   b) Đặt ẩn phụ f  x  a f  x    a f  x     Đặt t  a ,  t   c) Phương pháp logarit hóa  0  a    f  x   log a b f ( x) a b   a    f  x   log a b  a f ( x)  bg ( x)  a   b   f ( x)  g ( x).log a   a 1     f ( x)  g ( x).log ba II BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Bất phương pháp logarit Cách giải số bất phương trình logarit đơn giản a) Đưa số  0  a    f  x   g  x  log a f  x   log a g  x     a    f  x   g  x   b) Phương pháp mũ hóa  af (1x )  ab  log a f ( x)  b   0 a 1   0 f ( x )  ab  B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương đưa số Phương pháp a Bất phương trình mũ Trang 354 éìï a >1 êïí êï f ( x ) £ g ( x ) êïỵ ê f ( x) g( x ) a £ a Û êa = ê êïì < a 1 êïí êï f ( x ) £ log b a êïỵ ê êìïï < a ) ëïỵ éìï a > êïï êïb £ êíï êï êïïỵ f ( x ) có nghia ê êìï a >1 êïï ï Û ê êíï b > êï êïïỵ f ( x ) > log a b ê êìï0 < a êíï êï f ( x) ï ê a > b ëïỵ f ( x ) < log a b ● Bất phương trình ìï a > ï í ïï ( a - 1) éf ( x ) - g ( x ) ù£ ë û ) î b Bất phương trình logarit éìï a >1 êïí êï < f ( x ) £ g ( x ) êï log a f ( x ) £ log a g ( x ) Û êỵ êìïï < a í ïï g ( x ) > ïï ù ïï ( a - 1) é ëf ( x ) - g ( x ) û£ ) ỵ éìï a >1 êïí êï < f ( x) £ a b êï log a f ( x) £ b Û êỵ êìïï < a 1 êïí êï f ( x ) > a b êï log a f ( x) ³ b Û êỵ êïìï < a fé a g( x) ù= ê ë ú û Tổng quát: Ta thường gặp dạng: ( < a 1) ùớ ù ùợ f ( t ) = f ( x) f x + n.a ( ) + p = ● m.a ● m.a f ( x) + n.b f ( x) + p = , a.b = Đặt t = a f ( x) , t > , suy b f ( x) = t ( ) ổa ữ ỗ ữ ỗ ữ =t >0 ỗ ố ứ b v đặt f x m.a f ( x) + n.( a.b) ● b Bất phương logarit Tổng quát: f ( x) + p.b f ( x) = ù fé ëlog a f ( x ) û= Chia hai vế cho b f ( x) ì ï t = log a f ( x ) ( < a ¹ 1) Û ïí ïï f ( t ) = ỵ Bài tập  log 100 x Bài tập Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình 4.3 A 10 B C   9.4log 10 x   13.61log x 11 D Lời giải Chọn C ĐK: x  Trang 362 log  10 x  3  4.  2.log 10 x  2.log  10 x  log  10 x   9.2  13.6 2 PT  4.3 log  10 x  3 t   0 2 Đặt phương trình trở thành: 4t  13t     t  log  10 x   3 1    2 Do  log  10 x  3  13   2 90    log  10 x     x  10 Số nghiệm nguyên bất phương trình Bài tập Xét bất phương trình log 22 x   m  1 log x   bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng   m    ;0  m   0;     A B  2;   Tìm tất giá trị tham số m để    m    ;     C Lời giải D m   ;0  Chọn C Điều kiện: x  log 22 x   m  1 log x      log x    m  1 log x    1 log x  log 2  1  t   ;   2  Do Đặt t  log x Vì x  nên  1 thành   t    m  1 t    t  2mt     1   ;    Cách 1: Yêu cầu tốn tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc  2 Xét bất phương trình (2) có:  '  m   0, m  ¡ f  t   t  2mt   có ac  nên (2) ln có nghiệm phân biệt t1   t2 1  t2  m  m    m   Khi cần t 1 1  t  2mt    f  t   < m t   2t 2  Cách 2:   m    ;   f  t  0;    ta   Khảo sát hàm số x x   m  1  m   1 Bài tập Cho bất phương trình: Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình m A  1 nghiệm x  m B C m   2 Lời giải D m   2 Chọn A Trang 363 t  f  t     t  2 Bảng biến thiên (Bố sung đầu mũi tên bbt  vào nhé) Dựa vào bảng biến thiên có m  Bài tập 10 Xét bất phương trình log 22 x   m  1 log x    để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng   m    ;0  m   0;     A B 2;   Tìm tất giá trị tham số m    m    ;     C Lời giải D m   ;0  Chọn C Điều kiện: x  log 22 x   m  1 log x      log2 x    m  1 log x   Đặt t  log x Vì x  nên  1  1 t  thành  1 log x  log 2  1  t   ;   2  Do   m  1 t    t  2mt     1   ;    Cách 1: u cầu tốn tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc  Xét bất phương trình (2) có:  '  m   0, m  ¡ f  t   t  2mt   có ac  nên (2) ln có nghiệm phân biệt t1   t2 1  t2  m  m    m   Khi cần t 1 1  t  2mt    f  t   < m t   2t 2  Cách 2: Khảo sát hàm số f  t  0;      m    ;     ta Bài tập 11 Tìm giá trị gần tổng nghiệm bt phng trỡnh sau: ổ ỗ ỗ 22 22 ỗ ç 2log 2x - 2log x +5 ç ç 3 ỗ ỗ ố A 12,3 ữ ữ ÷ ÷ 13 + + ÷ ÷( 24 x - x + 27 x - x +1997 x + 2016) £ log 22 x log 22 x ÷ ÷ ÷ ø 3 B 12 C 12,1 Lời giải D 12, Trang 367 Chọn C Điều kiện:  x  Ta có 24 x  x  27 x  x  1997 x  2016   x3  x    x3  1  22 x  26 x  1997 x  2015  2 , x Do bất phương trình cho tương đương với     22 22  log x  log x   13  log x  log x    22 22   3   Đặt t  log x 22 , ta có bất phương trình 2t  2t   2t  4t   13 2  1 3  t        2 2  1 t   12  13 r  3 r r r r 13 r u  t  ;  u  v  uv  v   t ;1    2  Đặt Ta có t 22     2t    3t  t   x     12, 06   Dấu xảy  t x x 1 Bài tập 12 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình  m.2   2m  có nghiệm thực A m  B m  C m  D m  Lời giải Chọn D x 1 x x   2m      2m.2   2m  Ta có  m.2 2x  t  t  0 Đặt x 2 Ta có bất phương trình tương đương với t  2m.t   2m   t2  m 2t  t2  f  t  2t   0;   Xét 2t  4t  t  f  t     2t   ; f   t   t  3 Bảng biến thiên Trang 368 Vậy để bất phương trình có nghiệm thực m  Bài tập 13 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình x   1; 64  nghiệm với giá trị A m  B m  C m  Lời giải Chọn B    log x   log x  m  D m   log x  m    log x   log x  m  Ta có x   1; 64  t   0;  Đặt log x  t , log x  m  t  t  * Khi đó, ta có t  t  m  f t  t  t t   0;  Xét hàm số   với f  t  2t   0, t   0;6  Ta có   Ta có bảng biến thiên: Bất phương trình cho với t   0;6   m  x   1; 64  bất phương trình Bài tập 14 Có giá trị dương tham số thực log 22 x  log x   m2  log x  3 A B có nghiệm thuộc C m  * với để bất phương trình  32;    ? D Lời giải Chọn D   x   x     log x  log x   x  Điều kiện xác định:  32;    Hàm số xác định  log 22 x  log x   m2  log x  3  log 22 x  log x   m  log x   5;   Đặt t  log x Khi x  32 , ta có miền giá trị t  Bất phương trình có dạng: t  2t   m  t  3  m  t  2t  t 1  m2  t 3 t 3 Trang 369 4 t 1 f  t   f  t  t  3 5;      t  Xét hàm số có nên hàm số nghịch biến  5;    lim f  t   f 3 1 f  t  Do x    nên ta có t x Do với có giá trị nên để bất phương trình đãcho có nghiệm 32;    thuộc  bất phương trình f  t m2  có nghiệm  5;    Khi đó: m   m  Do khơng có số ngun dương m thỏa mãn Bài tập 15 Có giá trị nguyên dương tham số m x2 3 x  m x2 3 x  m   x  2.3 A x 3 3 để bất phương trình có nghiệm? C Lời giải B D Chọn D Điều kiện x  3x  m  (*) x 3 x  m 03  2.3 x 3 x  m  2 x x 3 x  m  x x 3 3 3  x 3 x  m  x   x2 3 x  m  x  32  x  3x  m  x  2   0 27 x  3x  m  x   x  3x  m   x  3x  m     x    x   x  3x  m  x  x  x   m    4m  2 m  Do m nguyên dương nên m  thỏa mãn (*) Bài tập 16 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log  5x  1 log  2.5 x    m có nghiệm với x  B m  C m  Lời giải A m  D m  Chọn C Điều kiện bất phương trình: x  Ta có log  x  1 log  2.5x    m  log  x  1 1  log  x  1   m  1 t  log   1 2 , với x  ta có t  Khi   trở thành m  t  t   f t  t2  t 2;   f  t  2t   t   2;   Xét hàm số    ta có   , m  f  t   2;   Do để bất phương trình cho có nghiệm với t  hay m  Bài tập 17 Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình x Đặt m.4 x   m  1 x   m   A m  nghiệm x  ¡ ? B m  C 1  m  Lời giải D m  Chọn B Trang 370 Bất phương m trình   x x x  m.4 x   m  1 x  m    m  4.2    4.2  4.2 x x  4.2 x  4t  m t  4t  Để bất phương trình ban đầu nghiệm Đặt  t (Điều kiện t  ) Khi x 4t  m t  4t  nghiệm t  x  ¡ bất phương trình f  t  Đặt 4t  t  4t   f  t    t 4t  2t   4t   0, t  4t  m 0;   t  4t  t  m  f    Hàm số nghịch biến  Khi x 1  m  x  1  m Bài tập 18 Tìm tất giá trị tham số bất phương trình có nghiệm x  ¡ m   ;0 m   0;    A B m   0;1 m   ;0    1;    C D Lời giải Chọn A x 1 4x x 1  m  x  1   m  x m 1  x  1 Ta có: t2 m , t   0;    x  t  1 t  , t  Đặt Yêu cầu toán tương đương với  2t  t  1  t  t  2t t2  f  t  , t  f   t      t  1   t  1   t  1 Đặt , t  f  t     t  2 Bảng biến thiên (Bố sung đầu mũi tên bbt  vào nhé) Dựa vào bảng biến thiên có m  Trang 371 Dạng 3: Phương pháp logarit hóa Phương pháp a f ( x) >b g( x ) Với bất phương tình éìï a >1 êïí êï f ( x) > g ( x ) log b a êï Û êỵ êìïï < a f ( v ) Û u > v, " u , v Ỵ D ln đồng biến D y = f ( x) f ( u ) > f ( v ) Û u < v, " u , v Ỵ D Nếu hàm số ln nghịch biến D Nếu hàm số y = f ( x) Bài tập 2 x 15 x 100  2x Bài tập 1.Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình A B C Lời giải 10 x  50  x  25 x  150  D Trang 374 Chọn B 2 Đặt a  x  15 x  100 ; b  x  10 x  50 ta có bất phương trình: a  b  a  b   a  a  2b  b  a  b x (do hàm số y   x hàm số đồng biến ¡ ) 2 Với a  b  x  15 x  100  x  10 x  50  x  25 x  150   x   10;15  Vậy bất phương trình có nghiệm ngun log  x  x  1  x3  x  log x  m  m Bài tập 2.Tìm số nguyên nhỏ để bất phương trình (ẩn x ) có hai nghiệm phân biệt A m  B m  C m  D m  1 Lời giải Chọn B log  x  x  1  x  3x  log x  m   1 Điều kiện x   x2  x   1   log    x  x  m   log 1  x   x  x  m  3 x x    1  f  x   log 1  x   x  3x x  Xét , với x  1 x f  x   6x2  6x 1  1  x  ln f  x   x 1 x  ;   Với x   0;1  f   x   ; với x   1;    f   x   Vậy bất phương trình có hai nghiệm  m    m  Vậy m  x  x   a ln  x  x  1  a Bài tập 3.Gọi số thực lớn để bất phương trình nghiệm với x  ¡ Mệnh đề sau đúng? A a   2;3 B a   8;    C a   6;7  D a   6;  5 Lời giải Chọn C 1  t  x2  x    x    t  suy  Đặt x  x   a ln  x  x  1   t  a ln t    a ln t  t  Bất phương trình Trường hợp 1: t  a ln t  t  với a Trang 375  t 1 Trường hợp 2: t  3  3  a ln t  t  1, t   ;1  a  , t   ;1  ln t 4  4  Ta có ln t   t  t  0, t   ;1  f  t   f  t      ln t ln t  Xét hàm số t  7 3  , t   ;1  a  ln t 4  ln Trường hợp 3: t  a Ta có a ln t  t  1, t   1;     a  t  , t   1;    ln t ln t   t  t , t   1;    f  t   f  t    ln t ln t Xét hàm số 1 g  t   ln t   t  g   t   t  t  Xét hàm số g t 0 Vậy   có tối đa nghiệm g  1  2; lim g  t    g t 0 1;    t  Vì   có nghiệm  t 1 ln t0  f t 0 t0 suy f  t0   t0 Do   có nghiệm t0 Khi Bảng biến thiên Vậy a t  , t   1;     a  t0 ln t t0  a  Vậy 7 ln a   6;7  Vậy số thực a thỏa mãn yêu cầu toán là: 2 sin x  5cos x  m.7cos Bài tập 4.Biết tập hợp tất giá trị tham số m để bất phương trình x có nghiệm a  a m   ;   b  với a, b số nguyên dương b tối giản Tổng S  a  b là: A S  13 B S  15 C S  Lời giải D S  11 Chọn A Trang 376 cos x 2 sin x  5cos x  m.7 cos x Ta có:       28  cos x 5   7 m      28  28   cos2 x   5    f  x   7 28 hay với x  ¡ Do   nên cos2 x cos x   f  x      28  Xét f  x  Vậy cos x 5   7 Dấu đẳng thức xảy cos x   sin x   x  k f  x   ¡ 6 m  f  x   m  Bất phương trình có nghiệm hay ¡ 6  m ;  7   S  13 2 sin x  3cos x  m.3sin x có nghiệm? Bài tập 5.Với giá trị tham số m bất phương trình A m  B m  C m  D m  Lời giải Chọn A sin Chia hai vế bất phương trình cho sin x 2   3 x  , ta sin x 1    9 m sin x sin x 2 1 y       3 9 Xét hàm số Ta có:  sin x  nên  y  hàm số nghịch biến Vậy bất phương trình có nghiệm m  Chọn đáp án A log  x  x  1  x3  x  log x  m  Bài tập 6.Tìm số nguyên m nhỏ để bất phương trình (ẩn x ) có hai nghiệm phân biệt A m  B m  C m  D m  1 Lời giải Chọn B log  x  x  1  x  3x  log x  m   1 Điều kiện x   x2  x   1   x  x  m   log3 1  x   x  3x  m  x x     1  log3  1  f  x   log 1  x   x  x x  Xét , với x  Trang 377 x2 f  x   6x2  6x 1  1  x  ln f  x   x 1 x  ;   1 Với x   0;1  f   x   ; với x   1;    f   x   Vậy bất phương trình có hai nghiệm  m    m  Vậy m  log Bài tập Biết tập nghiệm bất phương trình Khi tổng a  2b A   x  x    log  x  x    B C  a; b  D Lời giải Chọn C Xét hàm số f  x   log  f   x    x  1  2   g  x  Dễ đánh giá Bảng biến thiên: Có     x  x    log  x  x       x  x   x  x  ln  x  x   ln    0 x  x   x  x  ln  x  x   ln   f    f  1  dựa vào bảng biến thiên ta có Vậy a  0; b  ; suy a  2b  f  x    x   0;1 2017  a  2  a  a  0   a Bài tập Tìm tất giá trị thực tham số thỏa mãn  A  a  B  a  2017 , x  ¡ C a  2017 a    22017  2017    D  a  2017 Lời giải Chọn D Trang 378 2017  a  2  a   Ta có  a    22017  2017         2017log  2a  a  alog 22017  2017       log  2a  a   a    2017  log 2  2017     2017   log  x  x  log x   x log x      1 2   y  f  x   x x x Xét hàm số   x  1 '  x  ln  x  1   x  x ln4.x   x  1 ln  x  1   1   0 y  x ln2  x2  ln2  x          Ta có x x x x  ln4    1 ln   1   0 y  x ln2  x      , x  Nên y  f  x Do hàm giảm f  a   f  2017  , a  0  0;    a  2017 Bài tập Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình x   1; 64  nghiệm với giá trị A m  B m  Chọn B   C m  Lời giải  log x   log x  m  D m   log x  m    log x   log x  m  Ta có x   1; 64  t   0;  Đặt log x  t , log x  m  t  t  * Khi đó, ta có t  t  m  f t  t  t t   0;  Xét hàm số   với f  t  2t   0, t   0;6  Ta có   Ta có bảng biến thiên: Trang 379 Bài x   1; 64  * Bất phương trình cho với bất phương trình   với t   0;6   m  S   a, b  tập 10 Giả sử tập nghiệm bất phương trình x  x  x3  x log x   x  x  log x    x  x A B Khi b  a C Lời giải D Chọn A x  x    6 x x  2  x  D   0;3 Điều kiện:  x  x  x3  x log x   x  x  log x    x  x  x  x  x  x log x  x  x  1 log x    x  x   x  1   x log x    x  x  x log x         x log x  x    x  x   5  x log x    I  x    x  x   5  x log x   II   x    x  x     Giải hệ (I) 5  x log x   1   x    x  x    Giải    x log x  5  f  x   x   log x  x   xg  x  với x   0;3 Xét hàm số g x     0x   0;3 x x ln Ta có Lập bảng biến thiên 5  f  x   x   log x   0x   0;3 x  Vậy Trang 380 Xét bất phương trình (2):   x  1     x    x   x   I Vậy nghiệm hệ II  Hệ   vô nghiệm 5  S   ,3 2  Vậy 2 6  x  x   x  1 2 x  3x      x   x  x2  x 1 x  5  D   ;3 2   2 b  a  3 Bài tập 11 Có giá trị nguyên thuộc khoảng  3log x  log m x  x    x   x A B  9;9  tham số m để bất phương trình  có nghiệm thực? C 10 Lời giải D 11 Chọn B 0  x   0  x  0  x    1 x    m   m x  x   1 x 1 x  m x    x   x  Điều kiện  Bất phương trình cho tương đương  log x  log m x  x    x   x   x3  m x  x    x   x    x x  m x  x2    x   x m x x   1 x 1 x xx    x 1 x  1 x x Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có  x   1 x    x    x  x   x   1 x   x  Vì m  x   x f  x  x  1 x f  x    1, 414 0;1 Khảo sát hàm số   ta Vậy m nhận giá trị 2,3, 4,5,6, 7,8 Trang 381 ... bảng biến thiên: Trang 379 Bài x   1; 64  * Bất phương trình cho với bất phương trình   với t   0 ;6   m  S   a, b  tập 10 Giả sử tập nghiệm bất phương trình x  x  x3  x log x... 366 t  f  t     t  2 Bảng biến thiên (Bố sung đầu mũi tên bbt  vào nhé) Dựa vào bảng biến thiên có m  Bài tập 10 Xét bất phương trình log 22 x   m  1 log x    để bất phương. .. b ê ëïỵ ● Bất phương trình éìï a >1 êïí êï f ( x ) > a b êï log a f ( x) ³ b Û êỵ êïìï < a