Đang tải... (xem toàn văn)
TOANMATH com Trang 1 BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Mục tiêu Kiến thức + Nắm được cách xác định mặt phẳng, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng + Nắm được công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, g.
BÀI PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Mục tiêu Kiến thức + Nắm cách xác định mặt phẳng, vectơ pháp tuyến mặt phẳng + Nắm công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, góc hai mặt phẳng + Nhận biết vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng, mặt phẳng với mặt cầu Kĩ + Viết phương trình tổng quát mặt phẳng + Xác định vectơ pháp tuyến trường hợp + Tính khoảng cách góc + Xác định vị trí tương đối vận dụng vào giải tập I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình mặt phẳng Vectơ pháp tuyến Vectơ n vectơ pháp tuyến giá n vng góc với Cặp vectơ phương mặt phẳng Hai vectơ a, b không phương cặp vectơ phương giá chúng song song nằm Chú ý: Nếu n vectơ pháp tuyến k n k vectơ pháp tuyến Nếu a, b cặp vectơ phương n a, b vectơ pháp tuyến Phương trình tổng quát mặt phẳng Ax By Cz D với A2 B C Nếu ( ) có phương trình Ax By Cz D n ( A; B; C ) vectơ pháp tuyến ( ) Phương trình mặt phẳng qua M x0 ; y0 ; z0 có vectơ pháp tuyến n ( A; B; C ) là: A x x0 B y y0 C z z0 Các trường hợp đặc biệt Các hệ số Phương trình mặt phẳng D Ax By Cz qua gốc tọa độ O A0 By Cz D / / Ox TOANMATH.com Tính chất mặt phẳng Ox Trang B0 Ax Cz D / /Oy Oy C 0 Ax By D / /Oz Oz A B0 Cz D / / Oxy Oxy AC 0 / / Oxz By D Oxz BC 0 / / Oyz Ax D Oyz Nếu ( ) cắt trục toạ độ điểm (a;0;0), (0; b;0), (0;0; c) với abc ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ) : x y z a b c Chú ý: Nếu phương trình ( ) khơng chứa ẩn ( ) song song chứa trục tương ứng Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho điểm A x A ; y A ; z A mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D Khi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) tính theo cơng thức: d( A, ( )) Ax A By A Cz A D A2 B C Vị trí tương đối Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1 y C1 z D1 0; ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 +) ( ) ( ) A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 +) ( ) / /( ) A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 +) ( ) ( ) A1 B1 B C A2 B2 B2 C2 +) ( ) ( ) A1 A2 B1 B2 C1C2 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng mặt cầu TOANMATH.com Trang ( ) : Ax By Cz D ; ( S ) : ( x a ) ( y b) ( z c ) R Để xét vị trí ( ) ( S ) ta làm sau: +) Nếu d I , R ( ) khơng cắt ( S ) +) Nếu d I , R tiếp xúc S H Khi H gọi tiếp điểm đồng thời H hình chiếu vng góc I lên gọi tiếp diện +) Nếu d I , R cắt S ( x a ) ( y b) z c (C ) : Ax By Cz D theo đường tròn có phương trình R2 Bán kính C r R d [ I , ( )] Tâm J (C) hình chiếu vng góc I Góc hai mặt phẳng Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1 y C1 z D1 ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 Góc ( ) ( ) bù với góc hai vectơ pháp tuyến n , n Tức n n cos , cos n , n n n A1 A2 B1 B2 C1C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22 Chùm mặt phẳng Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng ( ) ( ) gọi chùm mặt phẳng Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1 y C1 z D1 ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 Khi P mặt phẳng chứa d mặt phẳng P có dạng m A1 x B1 y C1 z D1 n A2 x B2 y C2 z D2 với m n SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA TOANMATH.com Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến viết phương trình mặt phẳng Bài tốn Viết phương trình mặt phẳng biết điểm thuộc mặt phẳng tìm vectơ pháp tuyến Phương pháp giải Mặt phẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có vectơ pháp tuyến n A; B; C A x x0 B y y0 C z z0 Ví dụ: Phương trình mặt phẳng qua điểm A 1; 2;3 có vectơ pháp tuyến v 1; 2;1 là: 1 x 1 y 1 z 3 x y z Ví dụ mẫu x y z 2 1 C n 3; 6; 2 D n 2; 1;3 Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, vectơ pháp tuyến mặt phẳng A n 3; 6; 2 B n 2; 1;3 Hướng dẫn giải Ta có phương trình x y z 1 1 x y z 3x y z 2 1 3 Một vectơ pháp tuyến mặt phẳng n 3;6; 2 Chọn A TOANMATH.com Trang Ví dụ 2: Cho ba điểm A 2;1; 1 , B 1;0; , C 0; 2; 1 Phương trình mặt phẳng qua A vng góc với BC A x y z B x y z C x y D x y z Hướng dẫn giải Mặt phẳng P qua A 2;1; 1 vng góc với BC nên nhận BC 1; 2; 5 làm vectơ pháp tuyến Vì ta viết phương trình mặt phẳng P là: x y 1 z 1 x y z Chọn A Chú ý: Mặt phẳng qua điểm M , vng góc với đường thẳng d , vectơ phương u đường thẳng d vectơ pháp tuyến Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 3; , B 3;5; 2 Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB có dạng x ay bz c Khi a b c A 2 B 4 C 3 D Hướng dẫn giải Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB, ta có M (2;1; 0) AB (2;8; 4) 2(1; 4; 2) 2n Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB qua M có vectơ pháp tuyến n nên có phương trình: x y z Suy a 4, b 2, c 6 Vậy a b c 4 Chọn B Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy qua điểm A(1;1;1) có phương trình A y B x y z C x D z Hướng dẫn giải Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy ) qua A(1;1;1) nhận k (0;0;1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình z Chọn D Ví dụ 5: Cho mặt phẳng Q : x y z Viết phương trình mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng Q , đồng thời cắt trục Ox, Oy điểm M , N cho MN 2 A ( P) : x y z B ( P) : x y z C ( P ) : x y z D ( P ) : x y z Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang ( P ) / /(Q) nên phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng x y z D ( D 2) Khi mặt phẳng ( P) cắt trục Ox, Oy điểm M ( D; 0;0) , N (0; D; 0) Từ giả thiết: MN 2 D 2 D (do D 2) Vậy phương trình mặt phẳng ( P ) : x y z Chọn A Chú ý: Mặt phẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 song song với mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D có phương trình A x x0 B y y0 C z z0 Ví dụ 6: Cho điểm M (1; 2;5) Mặt phẳng ( P ) qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy , Oz A, B, C cho M trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng ( P ) A x y z B x y z 30 C x y z D x y z 1 Hướng dẫn giải Ta có OA (OBC ) OA BC BC (OAM ) BC OM (1) AM BC Tương tự AB OM (2) Từ (1) (2) suy OM ( ABC ) hay OM ( P ) Suy OM (1; 2;5) vectơ pháp tuyến ( P) Vậy phương trình mặt phẳng P x y z x y z 30 Chọn B Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD có đỉnh A(8; 14; 10); AD, AB, AC song song với Ox, Oy, Oz Phương trình mặt phẳng BCD qua H (7; 16; 15) trực tâm BCD có phương trình A x y z 100 C x y z 16 15 B x y z 100 D x y z 16 15 Hướng dẫn giải Theo đề ra, ta có ( BCD ) qua H (7; 16; 15), nhận HA (1; 2;5) vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng BCD ( x 7) 2( y 16) 5( z 15) x y z 100 Vậy ( BCD ) : x y z 100 Chọn B TOANMATH.com Trang Bài tốn Viết phương trình mặt phẳng biết điểm thuộc mặt phẳng tìm cặp vectơ phương Phương pháp giải Mặt phẳng ( ) qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có cặp vectơ phương a , b Khi vectơ pháp tuyến ( ) n [a , b ] Ví dụ: Mặt phẳng ( P) qua điểm M (0; 2; 2) nhận vectơ a (2, 0,1), b (1,1, 0) hai vectơ phương Suy P có vectơ pháp tuyến là: n [a , b ] (1;1; 2) Từ ta có ( P ) : x y z Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1; 1;5), B(0;0;1) Mặt phẳng ( P) chứa A, B song song với trục Oy có phương trình A x z B x y z C x z D x z Hướng dẫn giải Do mặt phẳng ( P ) chứa A, B song song với trục Oy nên vectơ pháp tuyến ( P) n [ AB; j ] (4;0; 1) Phương trình mặt phẳng ( P) là: 4( x 0) 0( y 0) 1( z 1) x z Chọn A Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 1 ; B 2;1;0 mặt phẳng ( P) : x y z Gọi (Q) mặt phẳng chứa A; B vng góc với ( P) Phương trình mặt phẳng (Q) A x y z B x y 3z C x y z D x y z Hướng dẫn giải Phương trình mặt phẳng Q chứa AB vng góc với mặt phẳng ( P ) nên có cặp vectơ phương AB (1; 1;1) nP (2;1; 3) Suy nQ [ AB; nP ] (2;5;3) Mặt phẳng (Q) qua A(1; 2; 1) nên 2( x 1) 5( y 2) 3( z 1) x y 3z Chọn A Chú ý: Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng : +) Xác định vectơ phương u ( d ) vectơ pháp tuyến n TOANMATH.com Trang Một vectơ pháp tuyến ( ) là: n u , n +) Lấy điểm M thuộc d M ( ) Ví dụ 3: Mặt phẳng ( ) qua gốc tọa độ O vuông góc với hai mặt phẳng ( P ) : x y z 0, (Q) : x y 12 z có phương trình A x y z B 10 x 15 y z C 10 x 15 y z D x y z Hướng dẫn giải Ta có ( P) : x y z có vectơ pháp tuyến n1 (1; 1;1) (Q) : x y 12 z có vectơ pháp tuyến n2 (3; 2; 12) Do ( ) ( P) ( ) (Q ) nên ( ) có vectơ pháp tuyến n [n1 ; n2 ] (10;15;5) Vậy ( ) có phương trình 10 x 15 y z x y z Chọn D Chú ý: Mặt phẳng qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt , : Chọn vectơ pháp tuyến là: n n , n Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(0;1; 2), B (2; 2;1) , C (2;1; 0) Khi đó, phương trình mặt phẳng ( ABC ) ax y z d Hãy xác định a d A a 1, d B a 6, d 6 C a 1, d 6 D a 6, d Hướng dẫn giải Ta có: AB 2; 3; 1 ; AC 2; 0; 2 3 1 1 2 3 AB; AC ; ; 6; 6; 6 2 2 2 2 Chọn n AB; AC 1;1; 1 vectơ pháp tuyến mặt phẳng ABC Ta có phương trình mặt phẳng ABC là: x y z x y z Vậy a 1, d Chọn A Chú ý: Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C Khi ta xác định vectơ pháp tuyến là: n AB, AC TOANMATH.com Trang Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz , biết mặt phẳng ax by cz qua hai điểm A(3;1; 1), B(2; 1; 4) vng góc với ( P) : x y z Giá trị a b c A B 12 C 10 D Hướng dẫn giải Gọi ( ) : ax by cz Ta có AB (1; 2;5), nP (2; 1;3) Mặt phẳng ( ) nhận n [ AB, nP ] (1;13;5) làm vectơ pháp tuyến nên ( ) có dạng x 13 y z D Mặt phẳng ( ) qua A(3;1; 1) nên 3 13.1 5.( 1) D D 5 ( ) : x 13 y z hay ( ) : x 13 y z Suy a 1; b 13; c 5 Vậy a b c Chọn A Bài tốn Lập phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Phương pháp giải Sử dụng công thức liên quan đến khoảng cách: Khoảng cách từ điểm M x0 , y0 , z0 đến mặt phẳng ( ) : ax by cz d d( M , ( )) ax0 by0 cz0 d a b2 c2 Chú ý: Khoảng cách hai mặt phẳng song song: d [( ), ( )] d[ M , ( )] điểm M ( ) Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , lập phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ) : x y z cách ( ) khoảng A x y z 0; x y z B x y z C x y z 0; x y z D x y z 0; x y z Hướng dẫn giải Gọi ( ) mặt phẳng cần tìm Ta có A(0; 0;3) ( ) Do ( ) / /( ) nên phương trình mặt phẳng ( ) có dạng: x y z m với m Ta có d(( ), ( )) d( A, ( )) | m 3| 3 m | m | (thỏa mãn) m Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm TOANMATH.com Trang x y z x y z Chọn A Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x 3z 0, (Q ) : x z Mặt phẳng song song cách ( P ) (Q) có phương trình là: A x z B x z C x z D x z Hướng dẫn giải Điểm M ( x; y; z ) cách ( P ) (Q) d ( M ;( P )) d ( M ; (Q )) x 3z x 3z | x 3z | | x 3z | 1 1 x 3z x 3z 4 x z x 3z Vậy M thuộc ( ) : x 3z Nhận thấy ( ) song song với ( P ) (Q) Chọn A Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;1 , B 3; 4; mặt phẳng ( P ) : ax by cz 46 Biết khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng ( P ) Giá trị biểu thức T a b c A 3 B 6 C D Hướng dẫn giải Gọi H , K hình chiếu A, B mặt phẳng ( P ) Theo giả thiết, ta có: AB 3, AH 6, BK Do A, B phía với mặt phẳng ( P ) Lại có: AB BK AK AH Mà AB BK AH nên H K Suy A, B, H ba điểm thẳng hàng B trung điểm AH nên tọa độ H (5; 6; 1) Vậy mặt phẳng ( P) qua H (5;6; 1) nhận AB (2; 2; 1) vectơ pháp tuyến nên có phương trình 2( x 5) 2( y 6) 1( z 1) x y z 23 Theo ra, ta có ( P ) : 4 x y z 46 nên a 4, b 4, c Vậy T a b c 6 Chọn B Bài tốn Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Phương pháp giải Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H Giả sử mặt cầu S có tâm I bán kính R, ta viết phương trình mặt phẳng ( ) qua H có vectơ pháp tuyến n IH Ví dụ: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x 1) y ( z 2)2 TOANMATH.com Trang 10 ... trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Phương pháp giải Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H Giả sử mặt cầu S có tâm I bán kính R, ta viết phương trình mặt phẳng. .. Xác định vectơ pháp tuyến viết phương trình mặt phẳng Bài tốn Viết phương trình mặt phẳng biết điểm thuộc mặt phẳng tìm vectơ pháp tuyến Phương pháp giải Mặt phẳng qua điểm M x0 ; y0... B1 B2 C1C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22 Chùm mặt phẳng Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng ( ) ( ) gọi chùm mặt phẳng Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : A1