Thông tin tài liệu
BÀI PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG MỤC TIÊU Kiến thức: - Nắm cách xác định mặt phẳng, vecto pháp tuyến mặt phẳng - Nắm công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, góc hai mặt phẳng - Nhận biết vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng, mặt phẳng với mặt cầu Kỹ năng: - Viết phương trình tổng quát mặt phẳng - Xác định vectơ pháp tuyến trường hợp - Tính khoảng cách góc - Xác định vị trí tương đối vận dụng vào giải tập I LÝ THUYẾT TRONG TÂM Phương trình mặt phẳng Vectơ pháp tuyến Vectơ n vectơ pháp tuyến giá n vng góc với Cặp vectơ phương mặt phẳng Hai vectơ a, b không phương cặp vectơ phương giá chúng song song nằm Phương trình tổng quát mặt phẳng Ax By Cz D vaø A2 B2 C • Nếu có phương trình AX By Cz D n ( A; B; C) vectơ pháp tuyến • Phương trình mặt phẳng qua M x0 ; y0 ; z0 có vectơ pháp tuyến n ( A; B; C) là: A x x0 B y y0 C z z0 Các trường hợp đặc biệt Trang | Nếu cắt trục toạ độ điểm a; 0; , 0; b; , 0; 0; c với abc ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ) : x y z a b c Chú ý: - Nếu n vectơ pháp tuyến km ( k ) vectơ pháp tuyến - Nếu , a b cặp vectơ phương n [a, b ] vectơ pháp tuyến - Nếu phương trình khơng chứa ẩn song song chứa trục tương ứng Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho điểm A x A ; y A ; zA mặt phẳng : Ax By CZ D Khi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng tính theo cơng thức: d( A,( )) Ax A By A CzA D A2 B C Vị trí tương đối Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1y C1z D1 0;( ) : A2 x B2 y C2 z D2 +) ( ) ( ) A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 +) +) ( ) / l( ) +) ( ) ( ) A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 A1 B1 B C hoaëc A2 B2 B2 C2 +) ( ) ( ) A1 A2 B1B2 C1C2 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng mặt cầu ( ) : Ax By Cz D 0; (S) : ( x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2 Để xét vị trí S ta làm sau: +) Nếu d(I ,( )) R khơng cắt S Trang +) Nếu d(I ,( )) R tiếp xúc S H Khi H gọi tiếp điểm đồng thời H hình chiếu vng góc I lên gọi tiếp diện +) Nếu d(I ,( )) R I cắt S theo đường trịn có phương trình C : ( x a)2 ( y b)2 z c Ax By Cz D R2 Bán kính C r R2 d [l,( )] Tâm J C hình chiếu vng góc I Góc hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1y C1z D1 vaø ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 Góc bù với góc hai vectơ pháp tuyến n , n Tức na n ˆ cos(( ),( )) cos na , n na n A1 A2 B1B2 C, C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22 Chùm mặt phẳng • Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng gọi chùm mặt phẳng • Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1y C1z D1 ( ) : A2 x B2 y C2z D2 Khi P mặt phẳng chứa d mặt phẳng P có dạng m A1 x B1 y C1z D1 n A2 x B2 y C2 z D2 với m2 n2 Trang CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Xác định vectơ pháp tuyến viết phương trình mặt phẳng Bài tốn Viết phương trình mặt phẳng biết điểm thuộc mặt phẳng tìm vectơ pháp tuyến Phương pháp giải Mặt phẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có vectơ pháp tuyến n A; B; C A x x0 B y y0 C z z0 Ví dụ: Phương trình mặt phẳng qua điểm A 1;2;3 có vectơ pháp tuyến v 1;2;1 là: -1(x-1)+2(y-2)+1(z-3)=0 x 2y z Ví dụ mẫu Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, vectơ pháp tuyến mặt phẳng x y z 2 1 A n 3;6; 2 B n 2; 1;3 C n 3; 6; 2 D n 2; 1;3 Hướng dẫn giải Ta có phương trình x y z 1 x y z 3x y 2z 2 1 3 Một vectơ pháp tuyến mặt phẳng n 3;6; 2 Chọn A Trang Ví dụ Cho ba điểm A 2;1; 1 , B 1; 0; , C 0; 2; 1 Phương trình mặt phẳng qua A vng góc với BC A x -2y -5z -5= B x-y 5z -5=0 C x-2y- 5=0 Hướng dẫn giải D x -2y -5z +5= Mặt phẳng P qua A 2;1; 1 vng góc với BC nên nhận BC 1; 2; 5 làm vectơ pháp tuyến Vì ta viết phương trình mặt phẳng P là: x 2(y 1) 5(z 1) x 2y 5z Chọn A Chú ý: Mặt phẳng qua điểm M , vng góc với đường thẳng d , vectơ phương u đường thẳng d vectơ pháp tuyến Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, , cho hai điểm A 1; -3;2 , B 3; 5; Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB có dạng x +ay + bz + c=0 Khi a b c A 2 Hướng dẫn giải B 4 C 3 D Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB , ta có M 2;1; AB (2;8; 4) 2(1,4; 2) 2n Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB qua M có vectơ pháp tuyến n nên có phương trình: x 4y 2z Suy a=4, b=-2, c=-6 Vậy a b c –4 Chọn B Ví dụ Trong không gian Oxyz , mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy) qua điểm A 1;1;1 có phương trình A y C x Hướng dẫn giải B x y z D z Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy) qua A 1;1;1 nhận k 0; 0;1 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình z Chọn D Ví dụ Cho mặt phẳng Q : x y z Viết phương trình mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q đồng thời cắt trục Ox , Oy điểm M, N cho MN 2 A P : x y 2z B P : x y z C P : x y 2z D P : x y z Hướng dẫn giải P Q nên phương trình mặt phẳng P có dạng x y 2z D 0(D 2) Khi mặt phẳng P cắt trục Ox , Oy điểm M 2; 0; , N 0; D; Từ giả thiết: MN 2 D 2 D (do D 2) Trang Vậy phương trình mặt phẳng P : x y 2z Chọn A Chú ý: Mặt phẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 song song với mặt phẳng : Ax By CZ D có phương trình A x x B y y C z z Ví dụ Cho điểm M 1;2;5 Mặt phẳng P qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz cho M trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng P A x y z x y z Hướng dẫn giải C 0 A, B, C B x 2y 5z 30 D x y z OA BC BC (OAM ) BC OM (1) AM BC Tương tự AB OM(2) Từ (1) (2) suy OM ( ABC) hay OM (P) Ta có OA (OBC ) Suy OM (t,2;5) vectơ pháp tuyến P Vậy phương trình mặt phẳng P x 2(y 2) 5(z 5) x 2y 5z 30 Chọn B Ví dụ Cho tứ diện ABCD có đỉnh A 8; 14; 10 ; AD, AB, AC song song với Ox, Oy, Oz Phương trình mặt phẳng BCD qua H 7; 16; 15 trực tâm BCD có phương trình A x 2y 5z 100 x y z 16 15 Hướng dẫn giải C B x 2y 5z 100 D x y z 16 15 Theo đề ra, ta có BCD qua H 7; 16; 15 , nhận HA =(1; 2; 5) vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng BCD (x-7)+2(y+16)+5(z+15)=0 x 2y 5z 100 Vậy BCD : x y x 100 Chọn B Bài toán Viết phương trình mặt phẳng biết điểm thuộc mặt phẳng tìm cặp vectơ phương Phương pháp giải Mặt phẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có cặp vectơ phương a, b Khi vectơ pháp tuyến n a, b Ví dụ: Mặt phẳng P qua điểm M 0;2; 2 nhận vectơ a(2,0,1), b (1,1,0) hai vectơ phương Suy P có vectơ pháp tuyến là: n [a, b ] (1;1; 2) Từ ta có P : x y –2z Trang Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hai điểm A 1; 1;1 , B 0; 0;1 Mặt phẳng (P) chứa A, B song song với trục Oy có phương trình A x z B x y z D x z C x z Hướng dẫn giải Do mặt phẳng P chứa A, B song song với trục Oy nên vectơ pháp tuyến P n [ AB; j ] (4; 0; 1) Phương trình mặt phẳng P là: 4( x 0) 0(y 0) 1(z 1) x z Chọn A Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;2; 1 ; B 2;1; mặt phẳng P : x y 3z Gọi Q mặt phẳng chứa A, B vng góc với P Phương trình mặt phẳng Q A x 5y 3z B x 5y 3z C x y z Hướng dẫn giải D x 2y z Phương trình mặt phẳng Q chứa AB vng góc với mặt phẳng P nên có cặp vectơ phương AB (1 1;1) vaø np (2;1 3) Suy n0 [ AB; np ] (2;5;3) Mặt phẳng Q qua A 1;2; 1 nên x 1 x z 1 x 5y 3z Chọn A Chú ý: Mặt phẳng chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng : +) Xác định vectơ phương u d vectơ pháp tuyến n Một vectơ pháp tuyến là: n u , n +) Lấy điểm M thuộc d M ( ) Ví dụ Mặt phẳng qua gốc tọa độ O vng góc với hai mặt phẳng P : x y z 0, Q : 3x y 12z có phương trình A x 3y z B 10 x 15y 5z C 10 x 15y 5z D x 3y z Hướng dẫn giải Ta có P : x y z có vectơ pháp tuyến n1 1; 1; 1 Q : x y 12 z có vectơ pháp tuyến n 3;2; 12 Do ( ) (P) ( ) (Q) nên ( ) có vectơ pháp tuyến Trang n [n1; n2 ] (10;15;5) Vậy có phương trình 10 x 15y x 3y z Chọn D Chú ý: Mặt phẳng qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt ( ),( ) : Chọn vectơ pháp tuyến là: n n , n Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 0; 1;2 , B 2; 2;1 , C 2;1; Khi đó, phương trình mặt phẳng ABC ax y z d Hãy xác định a d A a 1, d C a 1, d 6 Hướng dẫn giải B a 6, d 6 D a 6, d Ta có: AB (2; 3; 1); AC (2; 0; 2) 3 1 1 2 3 ; (6;6; 6) [ AB, AC ] ; 0 Chọn n [ AB; AC ] (1;1; 1) vectơ pháp tuyến mặt phẳng ABC Ta có phương trình mặt phẳng ABC là: x y z x y z Vậy a 1, d Chọn A Chú ý: Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C Khi ta xác định vectơ pháp tuyến là: n [ AB, AC ] Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , biết mặt phẳng ax bycz qua hai điểm A 3;1; 1 , B(2; 1; 4) vng góc với (P): x-y+3 z+4=0 Giá trị a b c A Hướng dẫn giải B 12 C 10 D Gọi ( ) : ax by cz Ta coù AB (1; 2;5), np (2; 1;3) Mặt phẳng nhận n [ AB, n ] (1;13;5) làm vectơ pháp tuyến nên có dạng -x + 13y + 5z + D = Mặt phẳng qua A 3;1; 1 nên 3 13.1 (1) D D 5 ( ) : x 13y 5z hay ( ) : x 13y 5z Suy a 1; b 13; c 5 Vậy a b c Chọn A Bài toán Lập phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Phương pháp giải sử dụng công thức liên quan đến khoảng cách: Khoảng cách từ điểm M x0 , y0 , z0 đến mặt phẳng ( ) : ax by cz d Trang d( M ,( )) ax by0 cz0 d a2 b2 c Chú ý: Khoảng cách hai mặt phẳng song song d[( ),( )] d[M,( )] điểm M ( ) 3x – Ví dụ mẫu Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ) : x y z cách khoảng A x y z 0; x y z C x y z 0; x y z B x y D x y z 0; x y z Hướng dẫn giải Gọi mặt phẳng cần tìm Ta có A(0;0;3) ( ) Do ( ) ( ) nên phương trình mặt phẳng có dạng: x y z m với m Ta có d(( ),( )) d( A,( )) | m 3| m | m | (thỏa mãn) m Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm x y z vaø x y z Chon A Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng P : x 3z 0, Q : x 3z Mặt phẳng song song cách P Q có phương trình là: A x 3z Hướng dẫn giải B x 3z C x 3z D x 3z Điểm M x; y; z cách P Q d (M;(P)) d( M;(Q)) | x 3z | 1 | x 3z | 1 x 3z x 3z x 3z x 3z 2 4 x 3z x 3z Vậy M thuộc ( ) : x 3z Nhận thấy song song với P Q Chọn A Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1;2;1 , B 3; 4; mặt phẳng (P): ax+by+cz+46=0 Biết khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng P vaø Giá trị biểu thức T a b c A 3 B 6 Hướng dẫn giải C D 6 Gọi H , K hình chiếu A, B mặt phẳng P Theo giả thiết, ta có: AB 3, AH 6, BK Trang Do A, B phía với mặt phẳng P Lại có: AB BK AK AH Mà AB BK AH nên H K Suy A, B, H ba điểm thẳng hàng B trung điểm AH nên tọa độ H 5; 6; 1 Vậy mặt phẳng P qua H 5;6; 1 nhận AB (2;2; 1) vectơ pháp tuyến nên có phương trình 2( x 5) 2(y 6) 1(z 1) x 2y z 23 Theo ra, ta có P : – x y z 46 neân a 4, b 4, c Vậy T=a+b+c=-6 Chọn B Bài toán Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Phương pháp giải Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S điểm H Giả sử mặt cầu S có tâm I bán kính R , ta viết phương trình mặt phẳng qua H có vectơ pháp tuyến n IH Ví dụ: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu cầu (S): ( x 1)2 y (z 2)2 Gọi mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm A(1;3;2) vaø I (1;0;2) tâm mặt cầu S Mặt mặt phẳng nhận IA (0;3; 0) làm vectơ pháp tuyến Mặt khác, mặt phẳng qua điểm A(1;3;2) nên có phương trình tổng qt y Ví dụ mẫu Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình ( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 12 mặt phẳng (P) : x y z Viết phương trình mặt phẳng song song với P cắt S theo thiết diện đường tròn (C) cho khối nón có đỉnh tâm mặt cầu đáy hình trịn (C) tích lớn A x 2y z hoaëc x 2y z B x 2y z hoaëc x 2y – z 11 C x 2y z hoaëc x 2y z D x 2y z hoaëc x 2y z Hướng dẫn giải Ta có ( ) (P) nên ( ) : x 2y z d 0(d 3) Mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 , bán kính R Gọi (H) khối nón thỏa mãn đề với đường sinh IM R Trang 10 Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;2;3 Gọi A, B, C hình chiếu vng góc điểm M lên trục Ox, Oy, Oz Phương trình mặt phẳng ABC A x y z 1 B x y z Hướng dẫn giải x y z 1 x y z D 1 C Ta có A 1; 0; , B 0;2; , C 0; 0;3 hình chiếu M lên Ox, Oy, Oz Phương trình mặt phẳng ABC có dạng x y z 1 Chon A Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm M 3; 0; , N 2;2;2 Mặt phẳng P thay đổi qua M, N cắt trục Oy, Oz B 0; b; , C 0; 0; c với b, c = Hệ thức đúng? A b c B bc b c C bc b c D 1 b c Hướng dẫn giải Mặt phẳng P qua M 3; 0; , B 0; b; , C 0; 0; c với b, c nên phương trình mặt phẳng P theo đoạn chắn là: x y z 1 b c Mặt phẳng P qua N 2;2;2 suy 2 1 1 b c b c Chọn D Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho điểm G(1;4;3) Phương trình mặt phẳng cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C cho G trọng tâm tứ diện OABC x y z 12 C 3x+12y+9z-78=0 A x y z 16 12 D 4x+16y+12z-104= B Hướng dẫn giải Giả sử A(a,0,0); B(0,0,0); C(0;0;c) x A xB xC xD xG y yB yC yD G(1;4;3) trọng tâm tứ diện OABC yG A zA zB zC zD xG 0 a 4.1 a 0 b 4.4 b 16 0 c 4.3 c 12 Trang 13 Ta có phương trình mặt phẳng ( ABC) là: x y z 16 12 Chọn B Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng P qua điểm M 1;2;3 cắt trục Ox, Oy, Oz ba điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O cho biểu thức 1 có giá trị nhỏ 2 OA OB OC A P : x y z 14 B P : x y 3z –14 C P : x y 3z 11 D P : x y 3z –14 Hướng dẫn giải Gọi H trực tâm ABC BH AC AC (OBH ) AC OH (1) Ta có OB AC Chứng minh tương tự, ta có: BC OH (2) Từ (1), (2) ta có OH ( ABC) Suy 1 1 2 OA OB OC OH 1 đạt giá trị nhỏ OH đạt giá trị lớn 2 OA OB OC Mà OH OM nên OH đạt giá lớn OM hay H M Vậy để biểu thức Khi OM ( ABC) nên (P) có vectơ pháp tuyến OM (1;2;3) Phương trình mặt phẳng (P) 1( x 1) 2(y 2) 3(z 3) x 2y 3z 14 Chọn B Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , có mặt phẳng qua điểm M 4; 4;1 chắn ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội A Hướng dẫn giải B C ? D Gọi A a; 0; , B 0; 0; , C 0; 0; c với abc giao điểm mặt phẳng (P) trục tọa độ Khi (P) có phương trình x y z a b c M (P) Theo giả thiết ta có: 1 OC OB OA 4 a b c | c | | b | | a | a 8, b 4, c a 8, b 4, c 2 a 16, b 8, c Vậy có ba mặt phẳng thỏa mãn Chọn C Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 0; , B 0;1; Mặt phẳng Trang 14 x+ay+bz+c=0 qua điểm A, B đồng thời cắt tia Oz C cho tứ diện OABC tích Giá trị a 3b –2c A 16 B Hướng dẫn giải C 10 D Mặt phẳng qua điểm A, B đồng thời cắt tia Oz C 0; 0; t với t có phương trình x y z 1 t Mặt khác: VOABC 1 OA OB OC t 6 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng x y z x y z 1 t Vậy a b 1, c 1 Suy a 3b 3.1 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình x – y 2z Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) A n (1;1; 2) B n (1;1; 2) C n (1;2; 3) D n (1;2; 3) Câu 2: Cho ba điểm A 2;1; 1 , B 1; 0; , C 0; 2 1 Phương trình mặt phẳng qua A vng góc với BC A x 2y 5z C x 2y B x y 5z D x 2y 5z Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 3;2;1 Mặt phẳng (P) qua M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ cho M trực tâm tam giác ABC Trong mặt phẳng sau, mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) A 3x 2y z 14 B x y z C 3x 2y 14 D x y 3z Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y 2z hai điểm A 3; 0;1 , B 0; 1;3 Phương trình mặt phẳng Q qua A song song với mặt phẳng (P) A x 2y 2z B x 2y –2z C x 2y –2z D x 2y 2z Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho A 0;11 , B 1; 0; mặt phẳng P : x y z Q mặt phẳng song song với (P) đồng thời đường thẳng AB cắt Q C cho CA 2CB Mặt phẳng Q có phương trình là: A x y z x y z B x y z Trang 15 D x+y+z-2=0 x y z Câu 6: Trong khơng gian Oxyz , phương trình mặt phẳng (P) song song cách mặt phẳng C x y z (Q): x+2y+2z-3=0 khoảng đồng thời (P) không qua O A x 2y 2z C x 3y 2z B x 2y 2z D x 2y 2z Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho A 2; 0; , B 0; 4; , C 0; 0;6 , D 2; 4;6 Gọi (P) mặt phẳng song song với ABC , cách D mặt phẳng ABC Phương trình (P) A x 3y 2z 24 C x 3y 2z B x 3y 2z 12 D x 3y 2z 36 Câu 8: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 3;2;3 , B 2;1;2 , C 4;1;6 Phương trình mặt phẳng ABC A x y z B x y z C x y 2z D x y z Câu 9: Trong không gian Oxyz cho điểm M 1;2;3 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho M trọng tâm tam giác ABC A P : x 3y z 18 B P : x 3y z C P : x 3y z 18 D P : x 3y z Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 3;2 Hỏi có mặt phẳng qua M cắt trục tọa độ A, B, C mà OA OB OC 0? A B C D Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) : x y z2 x y 6z Viết phương trình mặt phẳng chứa Oy cắt mặt cầu S theo thiết diện đường trịn có chu vi 8 A ( ) : 3x – z B ( ) : 3x z C ( ) : x –3z D ( ) : 3x z Bài tập nâng cao Câu 12: Cho điểm M (4;-7;-5), N (3;-9;-10) đường thẳng d1 , d2 , d3 qua điểm N song song với Ox, Oy, Oz Mặt phẳng ( P ' ) qua M ' cắt d1 , d2 , d3 A', B', C' cho M' trực tâm A' B'C ' Phương trình mặt phẳng ( P ' ) A x y 5z 35 B x y 5z 35 x y z x y z D 0 1 7 5 7 5 Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;1) Xét ba mặt cầu tiếp xúc đối mặt với tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) A,B,C Tổng diện tích ba mặt cầu là: 33 31 A B 36 C D 54 2 C Trang 16 Câu 14: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x y 2z 1 , điểm A(0;1;1), B(1;0;0) với A B nằm mặt phẳng (P) mặt cầu (S ) : ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 2)2 CD đường kính thay đổi (S) cho CD / /(P) bốn điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện Giá trị lớn thể tích tứ diện ABCD A 2 B C D ĐÁP ÁN 1-A 2-A 3-A 4-D 11-A 12-B 13-A 14-A 5-A 6-C 7-A 8-A 9-C 10-A Dạng Vị trí tương đối hai mặt phẳng, mặt cầu mặt phẳng Bài toán Vị trí tương đối hai mặt phẳng Phương pháp giải Cho hai mặt phẳng: P : Ax By Cz D P : A x B y C z D 0 Khi đó: • P cắt P ' A : B : C A : B : C • ( P) / / P A B C D A B C D A B C D • ( P) P A B C D • ( P) P n( p ) n( p' ) n( ) n( p' ) AA BB CC Chú ý : • Nếu A = tương ứng A' = • Nếu B = tương ứng B ' = • Nếu C = tương ứng C ' Ví dụ: Trong khơng gian với hệ trục tọa đô 0xyz, cho hai mặt phẳng ( ) : x y z 1 ( ) : x y mz Tìm m để a song song với Hướng dẫn giải 1 1 m 2 2 ( vơ lý ) 1 Vậy không tồn m để hai mặt phẳng ( ),( ) song song với Ta có ( ) / /( ) Ví dụ mẫu Trang 17 Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, mặt phẳng p x y z vng góc với mặt phẳng đây? A 2x y z C z y z Hướng dẫn giải B x y z D x y z Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến np (2;1;1) Mặt phẳng Q : x y z có vectơ pháp tuyến nQ (1; 1; 1) Mà n p nQ n p nQ ( P) (Q) Vậy mặt phẳng x y z mặt phẳng cần tìm Chọn B Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình mx m 1 y z 10 mặt phẳng Q : x y z Với giá trị m (P) (Q) vng góc với nhau? A m 2 B m C m Hướng dẫn giải P : mx m 1 y z 10 có vectơ pháp tuyến n1 (m; m 1;1) Q : x y z có vectơ pháp tuyến n2 (2;1; 2) D m 1 ( P) (Q) n1 n2 2m m 1 m Chọn C Bài toán Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Phương pháp giải Cho mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D mặt cầu tâm I ; bán kính R • S khơng có điểm chung d (l ,( )) R • tiếp xúc với (S ) d (l ,( )) R Khi a tiếp diện • S cắt d (l;( )) R Khi (O) có tâm hình chiếu I a bán kính r R d (l ;( )) Ví dụ mẫu Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x2 y z 6x y 12 Mặt phẳng cắt (S) theo đường trịn có bán kính r = 3? A x y z 26 B x y z 12 C 3x y z 17 20 D x y z Hướng dẫn giải Phương trình mặt cầu (S) x2 y z 6x y 12 Suy tâm I (3;-2;0) bán kính R = Ta gọi khoảng cách từ tâm I mặt cầu tới mặt phẳng đáp án h, để mặt phẳng cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính r = h R r 25 Đáp án A loại h |18 26 | 4 26 Trang 18 14 4 Chọn đáp án C h Đáp án B loại h Đáp án D loại h 1 4 Chọn C Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (1;2;-2) mặt phẳng P : x y z Phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường trịn có diện tích 16 A ( x 2)2 ( y 2)2 ( z 1)2 36 B ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 2)2 C ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 2)2 25 D ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 2)2 16 Hướng dẫn giải Ta có a d (l ;( P)) | 2.1 2.2 | 22 22 12 3 Bán kính đường trịn giao tuyến là: r S 16 Mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường trịn nên ta có R2 a2 r 16 25 R Vậy phương trình mặt cầu tâm I , bán kính R=5 là: ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 2)2 25 Chọn C Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2 y z 2x y 6z mặt phẳng ( ) : x y 12 z 10 Tìm phương trình mặt phẳng thỏa mãn đồng thời điều kiện: tiếp xúc với (S); song song với (a) cắt trục Oz điểm có cao độ dương A x y 12 z 78 B x y 12 z 26 C x y 12 z 78 Hướng dẫn giải D x y 12 z 26 Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3), bán kính R 12 22 32 Vì ( ) / /( ) nên phương trình (a) có dạng: x y 12 z d 0, d 10 Vi ( ) tiếp xúc mặt cầu (S) nên d (I,( )) R | 1 12 d | 42 32 (12) d 26 | d 26 | 52 d 78 Do ( ) cắt trục Oz điểm có cao độ dương nên chọn d =78 Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : x y 12 z 78 Chọn C Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxz)? A P : x B Q : y C R : z D S : x z Trang 19 Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : x y z ( ) : x y mz m , với m tham số thực Giá trị m để ( ) ( ) A -1 B C D -4 Câu3: Trong khơng gian Oxyz, có số thực m để mặt phẳng P : x y z song song với mặt phẳng Q x m y 2mz m ? A B C Vô số D Câu 4: Cho mặt cầu (S) có đường kính 10 cm mặt phẳng (P) cách tâm mặt cầu khoảng cm Khẳng định sau sai? A P S có vơ số điểm chung B P tiếp xúc với S C P cắt S theo đường tròn bán kính cm D P cắt (S) Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) : ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 1)2 12 Mặt phẳng sau cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn? A P1 : x y z B P2 : x y z C P3 : x y z 10 D P4 : x y z 10 Câu 6: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 2)2 mặt phẳng (P) có phương trình 4x - 3y - m = Tìm tất giá trị thực tham số m để mặt phẳng (P) mặt cầu (S) có điểm chung A m = B m = -1 m = -21 C m =1 m =21 D m = -9 m = 31 Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ( x 2)2 ( y 4)2 ( z 1)2 mặt phẳng (P) có phương trình x my z 3m Tìm tất giá trị thực tham số m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn có đường kính A m = B m = -1 m = -2 C m =1 m = D m = -1 Bài tập nâng cao Câu : Biết khơng gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng (P) ( Q ) thỏa mãn điều kiện sau: qua hai điểm A(1; 1;1) B(0;-2;2) đồng thời cắt trục tọa độ Ox, Oy hai điểm cách Giả sử (P) có phương trình x b1 y c1 z d1 (Q) có phương trình x b2 y c2 z d2 Giá trị biểu thức b1b2 c1c2 A B -9 C -7 D Câu 9: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : 2mx m 1 y m 1 z 10 điểm A 2;11; 5 Biết m thay đổi ln tồn hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng (P) qua A Tổng bán kính hai mặt cầu A B 15 C D 12 2 2 Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) : ( x 1) ( y 1) ( z 1) tiếp xúc với hai mặt phẳng P : x y z Q : x y z điểm A, B Độ dài đoạn AB A B C D Trang 20 1-B 2-A 3-B 4-C ĐÁP ÁN 5-A 6-C 7-A 8-B 9-D 10-C Dạng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp giải Khoảng cách từ điểm M x0 ; y0 ; z0 đến mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D d M , ( ) Ax0 By0 Cz0 D A2 B C Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, khoảng cách từ A 1; 2;3 đến mặt phẳng (P) có phương trình x y z d ( A, ( P)) |1 (2) | (4) 2 26 13 Ví dụ mẫu Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, khoảng cách hai mặt phẳng P x y z 10 Q : x y 2z B C 3 Hướng dẫn giải Vì (P) / /(Q) nên d (( P),(Q)) d ( A,(Q)) với A ( P) A Chọn A(0;0;5) ( P) d( A, (Q)) | 2.0 2.5 | 12 22 22 D 7 Chọn D Chú ý: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng không song song khoảng cách chúng Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3), B(3;4;4) Tìm tất giá trị tham số m cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P : x y mz độ dài đoạn thẳng AB A m Hướng dẫn giải B m 2 C m 3 D m 2 Ta có AB (2; 2;1) AB 22 22 12 (1) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) | 2.1 m 1| | 3m | d ( A, ( P )) (2) 22 12 m m2 | 3m | m 9(m 1) m Vì AB d ( A, ( P)) 5 m Chọn A Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A = (1;2;1), B = (2;1;3), C = (3;2;2), D ={1;1;1) Độ dài chiều cao DH tứ diện Trang 21 14 14 Hướng dẫn giải A 14 14 B C 14 D 14 Ta có AB (1; 1; 2), AC (2;0;1) [ AB; AC ] (1;3; 2) vectơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) 1( x 1) 3( y 2) 2( z 1) x y z Độ dài chiều cao DH tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến (ABC) Suy DH d ( D, ( ABC )) | 1.1 3.1 2.1 | (1) 2 2 14 14 Chọn A Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(a;b;c) với a, b, c Xét (P) mặt phẳng thay đổi qua điểm A Khoảng cách lớn từ điểm đến mặt phẳng (P) A a b c B a b c C a b c Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu vng góc lên mặt phẳng (P) Khi D a b c d (O,( P)) OH OA a b2 c Chọn A Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P) : x y z 10 (Q) : x y z Điểm M giao điểm mặt phẳng (P) với trục Oz Khoảng cách từ M tới mặt phẳng (Q) A B C D 3 Câu 2: Trong không gian cho hệ trục tọa độ Oxyz, tất điểm M nằm Oz có khoảng đến mặt phẳng p : x y z A M 0;0; 4 C M 0;0; B M 0;0;0 , M 0;0; 2 D M 0;0; , M 0;0; 4 Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P x y z điểm A(1;-2;3) Gọi M (a; b; c) ( P) cho AM = Giá trị a + b + c A B C D 12 ĐÁP ÁN 1-D 2-C 3-A Trang 22 Bài tập nâng cao 3 1 Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3), B ; ; Gọi S1 mặt cầu 2 2 tâm A, bán kính S cầu tâm B, bán kính Gọi (P) mặt phẳng tiếp xúc với hai mặt cầu S1 , S Khoảng cách lớn từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) 11 61 58 36 61 B 127 Dạng Góc hai mặt phẳng Phương pháp giải A C 11 61 D 63 61 89 169 Cho hai mặt phẳng a , có phương trình: ( ) : A1 x B1 y C1z D1 ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 Góc a , bù với góc hai vecto pháp tuyến n1 , n2 cos(( ), ( )) n1n2 n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22 Chú ý: 0 (( ), ( )) 90 Ví dụ: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x – z - = Tính góc (P) mặt phẳng (Oxy) Hướng dẫn giải Mặt phẳng P : x z có vectơ pháp tuyến n1 (1;0; 1) mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến n2 (0;0;1) Gọi góc mặt phẳng (P) mặt phẳng (Oxy) Ta có cos | n1 n2 | 45 | n1 | | n2 | Ví dụ mẫu Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, biết hình chiếu O lên mặt phẳng (P) điểm H(2;-1;-2) Số đo góc mặt phẳng (P) với mặt phẳng (Q): x - y - = A 30° B 90° C 60° D 45° Hướng dẫn giải Gọi a góc mặt phẳng (P) với mặt phẳng (Q) Ta có OH (2; 1; 2) vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) n (1; 1;0) vectơ pháp tuyến mặt phẳng (Q) Ta có cos | cos(OH , n ) | OH n 45 | OH | | n | Chọn D Bài tập tự luyện dạng Bài tập Trang 23 Câu 1: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm H (2; 1; 2) Điểm H hình chiếu vng góc gốc toạ độ xuống mặt phẳng (P), số đo góc mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q): x + y -11= A 90° B 30° C 60° D 45° Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: ax + by + cz - 1= với c < qua điểm A(0;1;0), B(1;0;0) tạo với mặt phẳng (Oyz) góc 60° Khi a + b + c thuộc khoảng đây? A (5; 8) B (8; 11) C (0; 3) D (3; 5) Bài tập nâng cao Câu 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình bình hành AB 3, AD 4, BAD 120 Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Gọi M, N, P trung điểm cạnh SA, SD BC, a góc hai mặt phẳng (SAC) (MNP) Chọn khẳng định khẳng định sau đây: A 60 ;90 B 0 ;30 C 30 ; 45 D 45 ;60 Dạng Một số toán cực trị Ví dụ mẫu Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 2; 0), C(3; -1; 2) M điểm thuộc mặt phẳng ( ) : x y z Tính giá trị nhỏ P | 3MA 5MB MC | Pmin 20 A B Pmin C Pmin 25 D Pmin 27 Hướng dẫn giải Gọi điểm I (x,y,z) cho 3IA 5IB IC 3(1 x) 5(1 x) 7(3 x) x 23 Khi 3(1 y ) 5(2 y ) 7(1 y ) y 20 1(23; 20; 11) 3(1 z ) 5(0 z ) 7(2 z ) z 11 Xét P | 3MA 5MB 7MC || 3(MI ∣ IA) 5(MI ∣ IB) 7(MI IC ) | | MI (3IA 5IB IC ) || MI | MI pmin MI ngắn hay M hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng ( a ) Khi đó: Pmin d ( I , ( )) | (23) 20 (11) | 22 (1)2 22 27 Chọn D Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3;5;-5), B(5;–3;7) mặt phẳng P : x y z Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (P) cho MA2 2MB lớn A M 2;1;1 B M 2; 1;1 C M 6; 18;12 D M 6;18;12 Hướng dẫn giải Gọi I thỏa mãn IA IB Khi I OA 2( I OB) OI 2OB OA I (13; 11;19) Ta có MA2 2MB ( MA) 2( MB)2 ( MI IA) 2( MI IB) Ml IA2 IB MA2 2MB lớn MI nhỏ Khi I hình chiếu vng góc M lên (P) Ta tìm M 6; 18;12 Trang 24 Chọn C Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho điểm M m;0;0 , N 0; n;0 , P 0;0; p không trùng với gốc tọa độ thỏa mãn m2 n2 p2 Giá trị lớn khoảng cách từ đến mặt phẳng (MNP) A B C D 27 Hướng dẫn giải Do M, N, P không trùng với gốc tọa độ nên m 0, n 0, p Phương trình mặt phẳng (MNP) Suy d O, MNP x y z 1 x y z 1 m n p m n p 1 1 2 2 m n p Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương m2 , n2 , p ba số dương m2 n2 p 3 m2 n2 p 1 , , ta có: m n p 1 1 33 2 2 m n p mn p 1 Suy m n p p m n 1 m2 n p 3 p m n 1 1 1 3 2 2 m n p m n p 1 1 2 2 m n p Dấu "=" xảy m2 n2 p2 Vậy giá trị lớn khoảng cách từ đến mặt phẳng (MNP) Chọn C Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z mặt cầu Vậy d(O, ( MNP)) (S ) : x2 y z 2x y 2z Giả sử M ( P) N (S ) cho MN phương với vectơ u (1;0;1) khoảng cách M N lớn Tinh MN A MN B MN 2 C MN D MN 14 Hướng dẫn giải (S) có tâm I (-1;2;1) bán kính R =1 | 1 2.2 2.1 | 2R Ta có: d( I , ( P)) 12 22 22 Gọi H hình chiếu vng góc N mặt phẳng (P) a góc MN NH Vì MN phương với u nên góc a có số đo khơng đổi MNH vng H có HNM nên HN MN cos MN HN cos Do MN lớn HN lớn HN d ( I ,( P)) R Trang 25 Có cos | cos(u , n ) | 1 nên MN HN cos Chọn C Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi P ax by cz (với a, b, c số nguyên không đồng thời 0) mặt phẳng qua hai điểm M (0;-1;2), N(-1;1;3) không qua điểm H(0;0;2) Biết khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn Giá trị tổng T a 2b 3c 12 A -16 B C 12 D 16 Hướng dẫn giải Gọi K hình chiếu H lên (P), E hình chiếu H lên MN Ta có d ( H ;( P)) HK d ( H ; MN ) HE, HK HE (không đổi) Vậy d H ; P lớn K E , với E hình chiếu H lên MN 1 1 Suy E ; ; 3 3 1 1 Vậy mặt phẳng (P) cần tìm mặt phẳng nhận HE ; ; làm vecto pháp tuyến qua M có 3 3 phương trình x y z a 1 Suy b 1 c Vậy T =16 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2;1;3), B(1;-1;2), C(3;-6;1) Điểm M (x; y; z) thuộc mặt phẳng (Oyz) cho MA2 MB2 MC đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức P x y z A P = B P = C P = D P = -2 Câu 2: Cho A 4;5;6 ; B 1;1; , M điểm di động mặt phẳng P : x y z Khi MA MB nhận giá trị lớn A 77 B 41 C D 85 Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z hai điểm A(1;0;2), B(2;-1;4) Tập hợp điểm M nằm mặt phẳng (P) cho tam giác MAB có diện tích nhỏ x y 4z x y z 14 A B 3x y z 3 x y z x y 4z C 3x y z x y 4z D 3 x y z Bài tập nâng cao Câu : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;-2;4) mặt phẳng ( P) : m2 2m x m2 4m 1 y 2(3m 1) z m Tìm giá trị lớn khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) Trang 26 A B 29 C 33 D 21 Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x2 ( y 3)2 ( z 6)2 45 M(1;4;5) Ba đường thẳng thay đổi d1 , d2 , d3 đôi vng góc với O cắt mặt cầu điểm thứ hai A, B, C Khoảng cách lớn từ M đến mặt phẳng (ABC) A 1-A B 2-B 3-C 4-B C D ĐÁP ÁN 5-D Trang 27 ... n A1 A2 B1B2 C, C2 A 12 B 12 C 12 A 22 B 22 C 22 Chùm mặt phẳng • Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng gọi chùm mặt phẳng • Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng. .. ( y 2) 2 ( z 2) 2 C ( x 1 )2 ( y 2) 2 ( z 2) 2 25 D ( x 1 )2 ( y 2) 2 ( z 2) 2 16 Hướng dẫn giải Ta có a d (l ;( P)) | 2. 1 2. 2 | 22 22 12 3 Bán kính đường... 1 )2 ( y 1 )2 ( z 1 )2 12 2 Al AM IM a 2b 2c 11 ( x 1 )2 ( y 1 )2 (z 1 )2 12 (1) 12 ( x a )2 ( y b )2 (z c )2 (a 1 )2 (b 1 )2 (c 1)2
Ngày đăng: 18/08/2021, 15:34
Xem thêm:
