Một-số-dạng-bài-tập-về-viết-phương-trình-mặt-phẳng-1-Phản-biện

I Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.

Ví dụ 1 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm (1;1; 2)A  và cóvectơ pháp tuyến n  (1; 1; 2)

Mặt phẳng ( )P đi qua điểm (1;2;3)M nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng phải

thỏa mãn Ta được: 2.1 2.2 3.3  D 0 D (thỏa mãn 7 D  ).1Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là: 2 2 3 7 0x y z 

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua 3 điểm A , B , C không thẳng hàng.

Ví dụ 3 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm (1;0; 1),A  B(1;1;1),(0;1;2)

  

nên n

cùng phương với AB AC,  

.

Chọn n  (1; 2;1)

ta được phương trình mặt phẳng (ABC là: 1( 1) 2( 0) 1( 1) 0) x  y  z 

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng 

Ví dụ 4 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm O và vuông góc

 

  

Lời giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: u d (2;2;1).

Mặt phẳng ( ) vuông góc với đường thẳng d nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là: n   ud (2;2;1).

Đồng thời ( ) đi qua điểm O nên có phương trình là: 2x2y z  0

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng  chứa đường thẳng  , vuông góc với mặt phẳng   .

Ví dụ 5 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng2

: 1 22

 

 

Phương trình mặt phẳng   là: 4xy16z 2  0 4x y 6z13 0

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng   qua hai điểm A , B và vuông góc với mặt phẳng  

Ví dụ 6 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm (1;2;2), (1;1;4)AB

   

 và song song với đường thẳng 2

Gọi n

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P , ta có:

n un u

 

  

Chọn n  ( 6;1; 2)

Mặt phẳng ( )P đi qua điểm M1(1;1;1) và nhận vectơ pháp tuyến n   ( 6;1; 2)có phương trình:6(x 1) 1(y 1) 2(z 1) 0

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  và 1 điểm M

Ví dụ 8 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng1

 

Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng   chứa 2 đường thẳng cắt nhau  và 

Ví dụ 9 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng

1: 1 2

   

1 3: 1 2

   

Lời giải

Đường thẳng d đi qua điểm 1 M1(1;1;1) vectơ chỉ phương u 1(0; 2;1).

Đường thẳng d đi qua điểm 2 M2(1;1;1) vectơ chỉ phương u2(3; 2;1)

Ta có u u 1, 2  0;3;6

, M M  12 0;0;0

Do M M u u  12 1, 2  0

nên đường thẳng d d cắt nhau.1, 2

Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d d cắt nhau nên ( )1, 2  có một vectơ pháp tuyến là:

Phương trình mặt phẳng   là: y2z 3 0

Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng   chứa 2 song song  và 

Ví dụ 10 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng

   

4: 3 2

   

nên đường thẳng d d song song1, 2

Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d d song song nên ( )1, 2  có một vectơ pháp tuyến là:

Phương trình mặt phẳng   là: x1  y1  z1  0 x y z    1 0

Dạng 11:Viết phương trình mặt phẳng  đi qua một điểm M và song song với hai đường thẳng và  chéo nhau cho trước.

Ví dụ 11 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm (1;0; 2)A  và ( )P

song song với hai đường thẳng

1: 1 2

   

Gọi n

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P , ta có:

n un u

 

  

Chọn n  ( 6;1; 2)

Ví dụ 12 : Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm ( 1; 2;5)M   và

vuông góc với hai mặt phẳng ( ) :Q x2y 3z  và ( ) : 21 0 Rx 3y z   1 0

Lời giải

VTPT của ( )Q là (1;2; 3)n Q 

, VTPT của ( )R là (2; 3;1).n R Ta có n nQ, R   ( 7; 7; 7) 

 

nên mặt phẳng ( )P nhận n  (1;1;1) là một VTPT và ( )P đi qua điểm

( 1; 2;5)

M   nên có phương trình là: x y z   2 0

Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng   song song với mặt phẳng   và cách

  :Ax By Cz D    một khoảng k cho trước.0

Ví dụ 13: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng

31 2 ( 2)

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x2y 2z 8 0 và x2y 2z10 0

Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng   song song với mặt phẳng   :Ax By Cz D    cho0

trước và cách điểm M một khoảng k cho trước.

Ví dụ 14 : Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x2y 2z 4 0 và x2y 2z14 0

Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  S.

Ví dụ 15: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng

( ) :Q x2y 2z  và tiếp xúc với mặt cầu 1 0 ( ) :S x2y2z22x 4y 2z 3 0

Vì ( )P tiếp xúc với mặt cầu ( )S nên ( ,( ))d I P  R 3 2 2 2

31 2 ( 2)

   

   |1D| 910

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x2y 2z10 0 và x2y 2z  8 0

Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng   chứa một đường thẳng  và tạo với một mặt phẳng

  :Ax By Cz D    cho trước một góc  cho trước.0

Ví dụ 16 : Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt phẳng  P và đường thẳng d lần lượt có phương trình

ĐỀ BÀI

Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M3; 1; 2   và mặt phẳng   : 3 x y 2z 4 0

Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với   ?

Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho A2;0;0 , B0;4;0 , C0;0;6, D2; 4;6 Gọi  P là mặt phẳng

song song với mp ABC ,  P cách đều D và mặt phẳng ABC Phương trình của  P là

A 6x3y2z 24 0 B 6x3y2z12 0

C 6x3y2z 0 D 6x3y2z 36 0

Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho điểm M1;2;3

Gọi , ,A B C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểmM lên các trục Ox Oy Oz Viết phương trình mặt phẳng , , ABC

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P

đi qua điểm M9;1;1

cắt các tia, ,

Ox Oy Oz tại , ,A B C ( , ,A B C không trùng với gốc tọa độ ) Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ

sao cho MN  Giá trị nhỏ nhất của1.

biểu thức 2AM23BN2 bằng

Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A a b c ; ;  với a , b , c là các số thực dương thỏa

có giá trị lớn nhất Gọi M, N ,P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các tia Ox , Oy, Oz Phương trình mặt phẳng MNP

A x4y4z12 0 B 3x12y12z1 0

C x4y4z0 D 3x12y12z 1 0.

ĐÁP ÁN

một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxy?

Do mặt phẳng Oxy vuông góc với trục Oz nên nhận véctơ k  0;0;1

là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M1;2; 3 

và có một vectơ pháp tuyến n   1; 2;3

A x 2y3z12 0 B x 2y 3z 6 0 C x 2y3z12 0 D x 2y 3z 6 0

Lời giảiChọn A

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M1;2; 3 

và có một vectơ pháp tuyến n   1; 2;3

là

1 x1  2 y 2 3 z3 0 x 2y3z12 0

Câu 4 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A4;0;1

và B  2;2;3 Mặt

phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là

A 3x y z  0 B 3x y z   6 0. C x y 2z 6 0. D 6x 2y 2z 1 0.

Lời giảiChọn A

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có véctơ pháp tuyến là AB   6; 2;2

và đi qua trung điểm1;1;2

I của đoạn thẳng AB. Do đó, phương trình mặt phẳng đó là:

Gọi   //  , PT có dạng   : 3x y 2z D  (điều kiện 0 D  );4

Ta có:   qua M3; 1; 2   nên 3.3  12 2 D 0  D (thoả đk);6Vậy   : 3x y 2z 6 0

Câu 6. Mặt phẳng  P đi qua A3;0;0 , B0;0; 4 và song song trục Oy có phương trình

A 4x3z12 0 B 3x4z12 0 C 4x3z12 0 D 4x3z0

Lời giảiChọn A

Do đó  P : 4x 33z 0 4x3z12 0

Câu 7 (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ

trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  Q x: 2y2z 3 0 , mặt phẳng  P không qua O , song song

 

   d A P ,  d D P , 

mặt phẳng ABC.

viết phương trình mặt phẳng  P đi qua A1;1;1 và B0;2;2 đồng thời cắt các tia Ox , Oy lầnlượt tại hai điểm M N ( không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho , OM 2ON

A  P : 3x y 2z 6 0

B  P : 2x3y z  4 0

C  P : 2x y z   4 0 D  P x: 2y z  2 0

Lời giảiChọn D

2 2

aa b c

b cb c

Theo giả thuyết ta có OM 2ON  a 2b  b 1

TH1: b  1  c suy ra 2  P x: 2y z  2 0

TH2: b  1

 

suy ra  P x:  2y 3z 2 0

, N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A2; 3;1 

lên các mặt phẳng tọa độ Phương trình mặtphẳng MNP

, Oxz

, Oyz.

M thuộc trục Oy và cách đều hai mặt phẳng:  P x y z:     và 1 0  Q x y z:    5 0 có tọađộ là

A M0; 3;0 

B M0;3;0

C M0; 2;0 

D M0;1;0.

Lời giải

Ta có M Oy  M0; ;0y .

.

Vậy M0; 3;0 

Oxyz cho mặt phẳng  P

đi qua điểm M9;1;1

cắt các tia Ox Oy Oz tại , ,, , A B C ( , ,A B C khôngtrùng với gốc tọa độ ) Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

có phương trình ( theo đoạn chắn): 1

HM 

Vậy Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2AM 3BN bằng 47, 7

Câu 16 (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

;

f t

16 t

(vì t0).Ta có bảng biến thiên

Vậy Qmax 16  a13; b c 121 .

Suy ra tọa độ điểm

1 1 1; ;3 12 12

;0;03