Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6

MỤC LỤC Tên đề mục Trang MỤC LỤC PHỤ LỤC: CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ PHẦN THỨ HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Những nội dung lí luận liên quan Thực trạng vấn đề Các biện pháp tiến hành 3.1 Nghiên cứu, phân loại dạng tập cho phù hợp với đối tượng học sinh phần kiến thức cụ thể 3.1a Quy tắc nhân, quy tắc cộng, chỉnh hợp lặp 3.1b Chỉnh hợp 3.1c Hoán vị 3.1d Tổ hợp 3.1e Một số dạng tập 10 3.2.Thực giảng dạy theo phương pháp hướng người học làm trung tâm 32 3.3 Thường xuyên động viên, khuyến khích học sinh trình giảng dạy lớp để em thêm tự tin, hứng thú học tập 32 Kết thực 33 Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị Tài liệu tham khảo 34 35 PHỤ LỤC: CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI 1) THCS: trung học sở 2) THPT: trung học phổ thông 3) SKKN: sáng kiến kinh nghiệm PHẦN THỨ NHẤT ĐẶT VẤN ĐỀ Căn vào thực tế dạy học hệ thống tập đại số tổ hợp (chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp, thấy hệ thống tập SGK, SBT Bộ giáo dục – Đào tạo ấn hành đơn điệu, chưa sâu, chưa đáp ứng đủ yêu cầu dạng toán Bởi thực tế tập đại số tổ hợp đa dạng, phong phú (chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp) loại toán khó Đại số THCS Khi dạy phần này, học sinh khá, giỏi đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn dạng tập, ví dụ Vì mà nội dung giảng dạy chưa có hệ thống, chưa chuyên sâu Là giáo viên mong muốn cung cấp cho học sinh “chiếc chìa khóa” để giải dạng tập Chính nhìn thấy tầm quan trọng việc khải thác có hệ thống đơn vị kiến thức theo dạng tập liên quan hướng dẫn, giúp đỡ tận tình tập thể giáo viên dạy môn Toán nhà trường, mạnh dạn sâu suy nghĩ khai thác đúc kết thành sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng tập áp dụng đại số tổ hợp công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6” dạy học PHẦN THỨ HAI GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Những nội dung lý luận liên quan 1.1.Cơ sở lý luận: Muốn đổi phương pháp dạy học phù hợp với mục tiêu chương trình cải cách nội dung SGK giáo viên trước hết phải dạy cho học sinh tri thức, phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách đọc tài liệu, biết cách suy luận, biết cách tìm lại quên phát kiến thức Bên cạnh đòi hỏi học sinh phải cố gắng, có trí tuệ nghị lực cao trình nghiên cứu kiến thức Muốn dạy cho học sinh nắm tri thức phương pháp học tập người giáo viên phải thường xuyên suy nghĩ dạy vấn đề, đơn vị kiến thức đặt trước mắt theo cách nào, theo hướng nào, để học sinh hiểu vận dụng hiệu cao 1.2 Cơ sở thực tiễn: Trong chương trình toán THCS THPT đại số tổ hợp đề tài hay khó học sinh Các toán đại số tổ hợp thường xuyên có mặt kì thi Đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi khối lớp THCS Đây dạng tập tương đối khó áp dụng vào đối tượng học sinh khá, giỏi Vì vậy, qua trình bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi tích luỹ số kinh nghiệm với mong muốn giúp em học sinh khá, giỏi, đặc biệt học sinh lớp làm quen với dạng toán này, bước đầu hình thành cho số vấn đề số dạng tập áp dụng đại số tổ hợp Thực trạng vấn đề Trong chương trình môn toán cấp THCS nhiều tập, đặc biệt thi học sinh giỏi có liên quan nhiều đến đại số tổ hợp, thời lượng chương trình dành cho học sinh vận dụng không nhiều Các dạng toán áp dụng đại số tổ hợp tương đối trừu tượng, khó nên học sinh ngại học, ngại nghiên cứu dạng toán Ngoài tài liệu chuyên sâu việc áp dụng đại số tổ hợp giải toán chưa nhiều, thiếu chưa có hệ thống Vì muốn học sinh đọc hiểu có khả vận dụng kiến thức vào giải tập liên quan nên mạnh dạn thực sưu tầm, lựa chọn số dạng tập áp dụng đại số tổ hợp tiến hành nghiên cứu đề tài: “Một số dạng tập áp dụng đại số tổ hợp công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6” giúp cho việc dạy học, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi đạt kết cao Các biện pháp tiến hành 3.1 Nghiên cứu, phân loại dạng tập cho phù hợp với đối tượng học sinh phần kiến thức cụ thể 3.1.a Quy tắc nhân, quy tắc cộng, chỉnh hợp lặp: 3.1.a1 Quy tắc nhân: Giả sử hành động H tiến hành gồm k giai đoạn liên tiếp Ở giai đoạn có m1 cách chọn, giai đoạn có m cách chọn, , giai đoạn k có m k cách * chọn (với m1 ; m2 ; ; mk ∈ N ) Khi có tất cả: m1m2 mk cách chọn để thực hành động H Ví dụ: Khi từ A đến B phải qua C, biết từ A đến C có đường từ C đến B có đường Như có 3.2 = đường từ A đến B 3.1.a2 Quy tắc cộng: Một hành động H tiến hành gồm k hành động H 1, H2, ,Hk độc lập hành động Hi có mi cách chọn Khi hành động H có m1 + m2 + m3 + +mk cách chọn Ví dụ: Khi từ A đến B phải qua C D Biết từ A đến C có đường đi, từ C đến B có đường đi, từ A đến D có hai đường từ D đến B có đường Hỏi có đường từ A đến B, biết C D đường Bài giải: Từ A đến B qua C có: 3.2 = đường Từ A đến B qua D có : 2.4 = đường Vậy từ A đến B có tất cả: + = 14 đường 3.1.a3 Chỉnh hợp lặp: a) Định nghĩa: cho tập hợp X gồm n phần từ Một dãy có độ dài m phần tử X, phần tử lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập m n phần tử Kí hiệu chỉnh hợp lặp chập m n phần tử Fnm Ví dụ: dãy: (a, a, d); (b, d, d); (d, a, b); ; chỉnh hợp lặp chập phần tử tập hợp {a, b, c, d} m m b) Định lí: Fn = n 3.1.b Chỉnh hợp: 3.1.b1 Định nghĩa: Cho tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) lấy k phần tử (1 ≤ k ≤ n) xếp k phần tử theo thứ tự định gọi chỉnh hợp chập k n phần tử 3.1.b2 Công thức: Tính số chỉnh hợp chập k n phần tử: Ta có n cách chọn phần tử đứng đầu, có n – cách chọn phần tử thứ hai, có n – cách chọn phần tử thứ ba, , có n – (k – 1) cách chọn phần tử thứ k Do chỉnh hợp chập k n phần tử là: Ank = n! = n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) (n − k )! 3.1.b3 Tính chất: n! Nếu k = An = (n − 1)! = n n! n Nếu k = n An = (n − n)! = n! Ví dụ 1: Có số tự nhiên có ba chữ số, chữ khác nhau, lập ba chữ số năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5? Bài giải: Các số phải đếm có dạng: abc Có cách chọn chữ số a (là 1, 2, 3, 4, 5) Với cách chọn a, có cách chọn b (là 1, 2, 3, 4, khác a) Với cách chọn ab , có cách chọn c (là 1, 2, 3, 4, khác a b) Vậy có tất cả: 5.4.3 = 60 (số phải đếm) Ví dụ 2: Có cách xếp thứ tự nhất, nhì, ba sáu đội bóng thi đấu? Bài giải: Có cách xếp đội đứng thứ Với cách trên, có cách xếp đội đứng thứ nhì Với cách xếp nhất, nhì, có cách xếp đội đứng thứ ba Vậy số cách xếp phải tìm là: 6.5.4 = 120 cách xếp 3.1.c Hoán vị: 3.1.c1 Định nghĩa: Mỗi cách đặt phần tử tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) theo thứ tự định gọi hoán vị n phần tử Kí hiệu: số hoán vị n phần tử là: Pn 3.1.c2 Công thức: Tính số hoán vị n phần tử: Số hoán vị n phần tử số chỉnh hợp chập n n phần tử Do số hoán vị n phần tử tích n thừa số Pn = n! = 1.2.3 (n – 2).(n – 1) n Ví dụ 1: Có cách gọi tên tam giác có ba đỉnh A, B, C? Bài giải: Có cách chọn đỉnh (là A, B, C) Với cách chọn trên, có cách chọn đỉnh thứ hai Với cách chọn đỉnh trên, có cách chọn đỉnh thứ ba Vậy có tất cả: 3.2.1 = cách gọi tên Ví dụ 2: Có cách giao hoán thừa số tích abcd? Bài giải: Có cách chọn số đứng đầu (a) Với cách chọn a, có cách chọn thừa số thứ hai b Với cách chọn số trên, có cách chọn thừa số thứ ba c Với cách chọn thừa số trên, có cách chọn thừa số thứ tư d Vậy có tất cả: 4.3.2.1 = 24 (cách giao hoán) Ví dụ 3: Có cách xếp người ngồi: a) Trên ghế dài b) Chung quanh bàn tròn Bài giải: a) người ngồi ghế dài hoán vị Nên có tất cả: 5! = 5.4.3.2.1 = 120 cách xếp b) Khác với ngồi ghế dài, người ngồi quanh bàn tròn ngồi vị trí Còn lại người , có 4! = 4.3.2.1 = 24 cách xếp chỗ Vậy tất có 24 cách xếp chỗ 3.1.d Tổ hợp: 3.1.d1 Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập hợp A gồm k phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi tổ hợp chập k n phần tử k Kí hiệu: tổ hợp chập k n phần tử là: C n 3.1.d2 Công thức: Tính số tổ hợp chập k n phần tử Trước hết ta đếm số nhóm có k phần tử n phần tử cho, phần tử xếp theo thứ tự, chỉnh hợp chập k n phần tử n(n – 1)(n – 2) (n – k + 1) Do yêu cầu k phần tử xếp theo thứ tự nên nhóm tính k! lần Vậy số tỏ hợp chập k n phần tử là: C nk = n! n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) = k!(n − k )! k! Đặc biệt, số tổ hợp chập n phần tử là: n(n – 1) : Số tổ hợp chập n phần tử là: n(n – 1)(n – 2) : 3.1.d3 Tính chất: a )C n0 = C nn = b)C kn = C nn −k c)C nk = C nk−1 + C nk−−11 d)C kn = n − k + k −1 C n (1 ≤ k ≤ n) k Ví dụ 1: Có đoạn thẳng mà hai đầu hai điểm năm điểm cho? Bài giải: Qua điểm ta nối đoạn thẳng với đoạn thẳng lại Có tất điểm nên kẻ được: 4.5 = 20 (đoạn thẳng) Do đoạn thẳng tính hai lần nên số đoạn thẳng 20 : = 10 Ví dụ 2: Cho điểm mặt phẳng, ba điểm thẳng hàng Có tam giác mà đỉnh ba chín điểm ấy? Bài giải: Có cách chọn đỉnh thứ Với đỉnh trên, có cách chọn đỉnh thứ hai Với cách chọn hai đỉnh trên, có cách chọn đỉnh thứ ba Do tam giác tính 3! lần nên số tam giác có là: 9.8.7 = 84 3! Ví dụ 3: Có m đường thẳng đứng n đường thẳng nằm ngang đôi cắt Chúng tạo thành hình chữ nhật? (Hình vuông hình chữ nhật) Bài giải: Số cặp đường thẳng đứng số tổ hợp chập m phần tử bằng: m(m − 1) Số cặp đường thẳng nằm ngang số tổ hợp chập n phần tử bằng: n(n − 1) Mỗi cặp đường thẳng đứng cặp đường thẳng nằm ngang cắt tạo thành hình chữ nhật Vậy có tất cả: mn(m − 1)(n − 1) hình chữ nhật Ví dụ 4: Trong số học sinh giỏi Văn học sinh giỏi Toán, lập nhóm gồm học sinh, có học sinh giỏi Văn Hỏi có cách lập nhóm? Bài giải: Số cách chọn học sinh giỏi Văn số tổ hợp chập phần tử bằng: 4.3 : = Chọn xong học sinh trên, học sinh giỏi Văn học sinh giỏi Toán, cần chọn người số 11 học sinh, số tổ hợp chập 11 phần tử 11 10.9.8.7 = 462 bằng: 5! Vậy có tất cả: 462 = 2772 (cách lập nhóm) 3.1.e Một số dạng tập 3.1.e1 Áp dụng đại số tổ hợp số học: Dạng 1: Các toán liên quan đến phép đếm, tính số phần tử tập hợp Phương pháp giải: Xác định dạng tập nói chỉnh hợp, hoán vị hay tổ hợp để áp dụng công thức tính toán phù hợp Bài toán 1: Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 10 Bài giải: Gọi số cần tìm là: abcde (Trong a, b, c, d, e số tự nhiên) Vì số chia hết cho 10 nên có cách chọn e e = Vì a chữ số hàng chục nghìn nên a có cách chọn (a từ đến 9) Với cách chọn a, e ta có cách chọn b (b từ đến phải khác a, e) Với cách chọn số trên, có cách chọn c (c từ đến phải khác a,b,e) Với cách chọn số trên, có cách chọn d (d từ đến phải khác a, b, c, e) Vậy tất có: 9.8.7.6.1 = 3024 số cần tìm (theo quy tắc nhân) Bài toán 2: Có số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác Bài giải: Gọi số cần tìm là: x = abcd (Với a, b, c, d số tự nhiên) Vì x số lẻ nên d có cách chọn ( d ∈ {1,3,5,7,9} ) Do a chữ số hàng nghìn nên a có cách chọn (a từ đến phải khác d) Với cách chọn số trên, có cách chọn b (b từ đến phải khác a,d) 10 Số trận hòa là: : = trận Lưu ý: toán thuộc loại giả thiết tạm Bài toán 2: Một số học sinh dự thi học sinh giỏi toán Nếu xếp 25 học sinh phòng thi thừa học sinh chưa có chỗ Nếu xếp 28 học sinh phòng thừa phòng Tính số học sinh dự thi? Bài giải: Nếu xếp 28 học sinh phòng thừa phòng, tức thiếu 28 học sinh Số học sinh chênh lệch hai trường hợp xếp phòng là: + 28 = 33 học sinh Số học sinh chênh lệch phòng hai trường hợp là: 28 – 25 = học sinh Số phòng thi là: 33 : = 11 phòng Số học sinh là: 25.11 + = 280 học sinh Lưu ý: toán thuộc loại tìm số biết hai hiệu số Bài toán 3: Một câu lạc lúc đầu có thành viên, sau tháng thành viên phải tìm thêm thành viên Cứ thành viên (cả cũ lẫn mới) sau tháng phải tìm thêm hai thành viên Nếu kế hoạch phát triển hội viên thực số thành viên câu lạc bao nhiêu? a) Sau tháng b) Sau 12 tháng Bài giải: a) Cứ sau tháng số thành viên lại tắng gấp lần Sau tháng số thành viên câu lạc là: 36 = 729 người b) Sau 12 tháng, số thành viên câu lạc là: 312 = 36.36 = 729.729 = 531441 (người) Bài toán 4: Trong thi có 20 câu hỏi Mỗi câu trả lời 10 điểm , sai bị trừ 15 điểm Một học sinh tất 50 điểm Hỏi bạn trả lời câu? 22 Bài giải: Giả sử bạn học sinh trả lời 20 câu Như vậy, tổng số điểm bạn đạt 10.20 = 200 điểm Nhưng thực tế 50 điểm nghĩa thiếu: 200 – 50 = 150 điểm Sở dĩ hụt 150 điểm số 20 câu có số câu bạn trả lời sai Giữa câu trả lời câu trả lời sai chênh lệch là: 10 + 15 = 25 điểm Do đó, số câu trả lời sai là: 150 : 25 = câu Số câu trả lời là: 20 – = 14 câu Bài tập tự luyện: Bài 1: Một cửa hàng có sáu hòm hàng có khối lượng 316kg, 327 kg, 336kg, 338kg, 349kg, 351 kg Trong ngày, cửa hàng bán năm hòm, khối lượng hàng bán buổi sáng gấp bốn lần khối lượng hàng bán buổi chiều Hỏi hòm lại hòm nào? Bài 2: Trong hội thảo, người tham dự biết ba ngoại ngữ Anh, Pháp, Nga Có 21 người biết tiếng Anh, 19 người biết tiếng Pháp, 17 người biết tiếng Nga, 13 người biết tiếng Anh tiếng Pháp, 12 người biết tiếng Anh tiếng nga, 11 người biết tiếng Nga tiếng Pháp, 10 người biết ba thứ tiếng Tính số người tham dự hội thảo Bài 3: Một lớp học có 90% thích bóng đá, 60% thích bóng chuyền Hỏi có phần trăm học sinh lớp thích hai môn? Bài 4: Có bi đỏ, bi xanh để hộp Không nhìn vào hộp, lấy viên bi chắn có bi đỏ, bi xanh? Gợi ý + đáp án: Bài 1: Chú ý tổng số lượng hòm số chia cho dư 2, số hàng bán số chia hết cho 5, nên hòm lại có khối lượng số chia hết cho dư 2, hòm 327 kg Bài 2: 31 người 23 Bài 3: Gọi số phần trăm học sinh thích hai môn x Số phần trăm học sinh thích hai môn là: 90 + 60 – x hay 150 – x Ta có: 150 – x ≤ 100 Do x ≥ 50 Vậy có 50% số học sinh thích hai môn (chú ý có học sinh không thích môn nào) Bài 4: Lập luận thử trường hợp lấy đến viên bị không thỏa mãn yêu cầu, lấy 10 viên bi chắn đạt yêu cầu 3.1.e2 Áp dụng đại số tổ hợp hình học: Tìm số phần tử tập hợp (Số điểm, số cạnh, số đường thẳng, số đoạn thẳng ) Để đếm số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng, nhiều trường hợp ta đếm trực tiếp mà phải dùng lập luận Bài toán 1: a) Cho 100 điểm ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Có tất đường thẳng? b) Cũng hỏi câu a 100 điểm có ba điểm thẳng hàng Bài giải: a) Chọn điểm Qua điểm điểm 99 điểm lại, ta vẽ 99 đường thẳng Làm với 100 điểm, ta 99.100 đường thẳng Nhưng đường thẳng tính hai lần, tất có 99.100:2 = 4950 đường thẳng Chú ý: tổng quát, có n điểm ba điểm thẳng hàng số đường thẳng có là: n.(n – 1) : b) Giả sử ba điểm thẳng hàng có 4950 đường thẳng Vì có ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi: – = (nếu ba điểm không thẳng hàng vẽ đường thẳng, ba điểm thẳng hàng vẽ đường thẳng) Vậy có tất cả: 4950 = = 4948 đường thẳng Bài toán 2: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng Số giao điểm đường thẳng bao nhiêu? Bài giải: Ta xét trường hợp sau: 24 Trường hợp 1: Bốn đường thẳng đồng quy: có giao điểm (H.1a) Trường hợp 2: Có ba đường thẳng đồng quy: Có hai đường thẳng song song: giao điểm (H.1b) Không có hai đường thẳng song song: giao điểm (H.1c) Trường hợp 3: Không có ba đường thẳng đồng quy: Bốn đường thẳng song song: giao điểm ( H.2a) Có ba đường thẳng song song: giao điểm (H.2b) Có hai cặp đường thẳng song song: giao điểm (H.2c) Có cặp đường thẳng song song: giao điểm (H.2d,e) Không có hai đường thẳng song song: giao điểm (H.2g) Bài toán 3: Cho n điểm (n ≥ 2) Nối cặp hai điểm n điểm thành đoạn thẳng 25 a) Hỏi có đoạn thẳng n điểm ba điểm thẳng hàng? b) Hỏi có đoạn thẳng n điểm có ba điểm thẳng hàng c) Tính n biết có tất 1770 đoạn thẳng? Bài giải: a) Chọn điểm Nối điểm với điểm n – điểm lại, ta vẽ n – đoạn thẳng Làm với n điểm, ta n(n – 1) đoạn thẳng Như đoạn thẳng tính hai lần, tất có n ( n – 1) : đoạn thẳng b) Tuy hình vẽ có ba điểm thẳng hàng, số đoạn thẳng phải đếm không thay đổi, có n.(n – 1):2 đoạn thẳng c) Ta có: n.(n – 1) : = 1770 Suy ra: n = 60 Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho 10 điểm mặt phẳng, ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm, ta kẻ đường thẳng Có tất đường thẳng? Bài 2: Có n điểm mặt phẳng Kẻ đoạn thẳng nối hai n điểm Có tất 91 đoạn thẳng Tính số n Bài 3: Vẽ n tia chung gốc Có góc hình vẽ? Bài 4: Cho n tia chung gốc tạo thành tất 153 góc Tính n Bài 5: Có cách gọi tên hình vuông ABCD? Bài 6: Cho hình vuông kích thước 4x4 Trên hình vẽ: a) Có hình chữ nhật (kể hình vuông) b) Có hình vuông Bài 7: Có 12 điểm mặt phẳng ba điểm thẳng hàng Hai điểm nối với đoạn thẳng Có tam giác có đỉnh 12 điểm nói trên? Bài 8: Cho góc xAy (khác góc bẹt) Trên tia Ax lấy điểm khác A, tia Ay lấy điểm khác A Trong 12 điểm nói kể điểm A hai điểm nối với 26 thành đoạn thẳng Có tam giác mà đỉnh 12 điểm Bài 9: Cho 100 điểm có bốn điểm thẳng hàng, ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi có tất đường thẳng Bài 10: Cho n điểm ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Biết có tất 105 đường thẳng Tính n Gợi ý + đáp số: Bài 1: có 10.9:2 = 45 (đường thẳng) Bài 2: Ta có: n(n-1): = 91 nên n(n – 1) = 91.2= 182 Mà 182 = 2.7.13 = 13.14 Vậy n = 14 Bài 3: Có n ( n – 1): góc Bài 4: Ta có: n(n – 1):2 = 153 Từ tìm n = 18 Bài 5: Có cách gọi tên đỉnh Với cách trên, có hai cách gọi tên ba đỉnh lại (chẳng hạn A đỉnh có hai cách gọi tên ba đỉnh lại BCD DCB Vậy có tất cả: 4.2 = cách Bài 6: a) Có 100 hình chữ b) Hình vuông cạnh có 16 hình, cạnh có hình, cạnh có hình, cạnh có hình Vậy tất có: 30 hình Bài 7: Số tam giác là: 12.11.10 : 3! = 220 Bài 8: Số cách chọn 12 điểm là: 12.11.10 : 3! = 220 Số điểm thẳng hàng điểm thuộc tia Ax là: 7.6.5 : 3! = 35 Số điểm thẳng hàng điểm thuộc tia Ay là: 6.5.4 : 3! = 20 Vậy có tất cả: 220 – 35 – 20 = 165 tam giác Bài 9: có 4945 đường thẳng 27 Bài 10: Ta có: n.(n – 1) : = 105 suy n = 15 3.1.e3 Áp dụng đại số tổ hợp giải toán có nội dung thực tế: Bài toán 1: Có số mèo chui vào chuồng bồ câu Người ta đếm chuồng bồ câu thấy tổng cộng có 34 đầu 80 chân Tính số mèo Bài giải: Giả sử mèo vào chuồng dấu chân Khi có: 34 = 68 chân Số chân mèo bị dấu 80 – 68 = 12 chân Số mèo có là: 12 : = Bài toán 2: Một ô tô có chỗ kể chỗ người lái xe Có cách xếp chỗ người xe, biết có hai người biết lái xe Bài giải: Ở chỗ người lái xe, có cách xếp Ở chỗ lại có 7! = 5040 cách xếp Do có 2.5040 = 10080 cách xếp Bài toán 3: Có hai cặp bạn ngồi ghế băng có bốn chỗ để chụp ảnh Có cách xếp cho hai người cặp phải ngồi cạnh Bài giải: Có cách xếp vị trí số Ứng với cách, có cách xếp vị trí số Ứng với cách, có cách xếp vị trí số Ứng với cách, có cách xếp vị trí số Vậy có tất cả: 4.1.2.1 = cách xếp Bài toán 4: Có cách xếp năm bạn A, B, C, D, E ngồi ghế dài cho A B phải ngồi cạnh nhau? Bài giải: 28 Cách 1: Bốn cặp vị trí mà hai bạn A B ngồi cạnh (1; 2); (2, 3); (3, 4); (4,5) Ứng với cặp vị trí đó, có cách xếp A B, có 3! Cách xếp ba bạn lại, nên có 2.3! = 12 cách xếp Vậy có tất cả: 4.12 = 48 cách xếp năm người mà A B ngồi cạnh Cách 2: Không xét A B ba người lại có 3! Cách xếp chỗ ghế dài Khi A B ngồi vào ghế ngồi cạnh nhau, họ ngồi vào bốn chỗ trống (mỗi chỗ trống ghi mũi tên hình vẽ đây) chỗ trống có cách xếp A B Vậy tất có: 3!.4.2 = 48 cách xếp Bài toán 5: Có cách xếp năm bạn A, B, C, D, E ngồi chung quanh bàn tròn cho A B phải ngồi cạnh nhau? Bài giải: Không xét A B ba người lại có 2! Cách xếp chỗ quanh bàn tròn Khi A B ngồi vào bàn cạnh nhau, họ ngồi vào ba chỗ trống Mỗi chỗ trống có cách xếp A B Vậy có tất cả: 2.3.2 = 12 cách xếp Bài toán 6: Một nhóm bạn gồm ba nam hai nữ xếp thành hàng ngang để chụp ảnh, cho hai bạn nữ không đứng cạnh Hỏi có cách xếp? Bài giải: 29 Cách 1: Số cách xếp năm bạn thành hàng ngang 5! = 120 cách Ta xét xem có cách xếp năm bạn mà hai bạn nữ đứng cạnh Có bốn cập vị trí mà hai bạn nữ đứng cạnh Ứng với vị trí đó, có cách xếp hai bạn, có 3! Cách xếp ba bạn lại nên có: 2.3! = 12 cách xếp Vậy có 4.12 = 48 cách xếp Do số cách xếp năm bạn mà hai bạn nữ không đứng cạnh là: 120 – 48 = 72 cách xếp Cách 2: Có cặp vị trí mà hai bạn nữ không đứng cạnh (1,3); (1,4); (1, 5); (2, 4); (2, 5); (3; 5) Trong cặp vị trí đó, có cách xếp hai bạn nữ, có 3! Cách xếp ba bạn nam nên có: 2.3! = 12 cách xếp Vậy số cách xếp năm bạn mà hai bạn nữ không đứng cạnh là: 6.12 = 72 cách xếp Bài toán 7: Bạn Thúy có ảnh khác Thúy muốn chọn ba ảnh đem tặng bạn Thúy có cách chọn? Bài giải: Số cách chọn số tổ hợp chập phần tử Vậy có tất cả: 6.5.4 : 3! = 20 cách chọn Bài toán 8: Một tổ có 10 người Có cách lập nhóm ba người để làm nhiệm vụ trực nhật? Bài giải: Số cách lập nhóm số tổ hợp chập 10 phần tử Vậy có tất cả: 10.9.8 : 3! = 120 cách chọn 30 Bài toán 9: Một tổ học sinh có nam, nữ Có cách lập nhóm người gồm nam, nữ? Bài giải: Số cách chọn bạn nam bạn nam là: 5.4.3 : 3! = 10 cách chọn Số cách chọn bạn nữ bạn nữ Vậy có tất cả: 10.3 = 30 cách chọn Bài toán 10: Tâm có tờ tiền mệnh giá 2000 đồng tờ tiền mệnh giá 5000 đồng Tâm có cách khác để trả tiền cách dùng hai loại tiền trên? Bài giải: Tâm có cách chọn tờ tiền mệnh giá 2000 đồng (chọn 0, 1, 2, 3, 4, tờ), có cách chọn tờ tiền mệnh giá 5000 đồng nên có 6.5 = 30 cách chọn Loại cách chọn tờ tiền 2000 đồng tờ tiền 5000 đồng nên có tất 30 -1 = 29 cách chọn Bài tập tự luyện: Bài 1: Có chín đội bóng tham dự giải bóng đá, đội phải đấu hai trận với đội khác (ở sân nhà sân khách) Có tất trận đấu? Bài 2: Có hai viên bi đỏ giống viên bi xanh giống Có cách xếp thành hàng gồm 10 viên bi ấy? Bài 3: Ở bến cảng có 15 tàu, tàu có cột buồm cột buồm, tổng cộng có 68 cột buồm Hỏi có tàu có cột buồm? Bài 4: Đội tuyển trường tham dự thi đấu chia thành nhóm, học sinh dự thi đạt điểm 10 điểm Tổng số điểm đội 160 điểm Tính số học sinh đạt điểm 10? Bài 5: Có 64 bạn tham gia giải bóng bàn theo thể thức đấu loại trực tiếp Những người chọn vòng chia thành nhóm hai người, hai người nhóm đấu với trận để chọn lấy người Tìm số trận đấu ở: a) Vòng b) Vòng 31 Gợi ý + đáp án: Bài 1: có tất cả: 9.8 = 72 (trận đấu) Bài 2: Chỉ cần xem có cách xếp bi đỏ 10 vị trí, tổ hợp chập 10 phần tử (Đáp số: có 45 cách xếp) Bài 3: có tàu có cột buồm Bài 4: Giải phương pháp giả thiết tạm, tìm số học sinh đạt điểm 10 học sinh Bài 5: a)Vòng có: 64 : = 32 trận b)Vòng có: 64 : 25 = trận 3.2.Thực giảng dạy theo phương pháp hướng người học làm trung tâm Trong giảng dạy, đổi phương pháp, lấy học sinh làm trung tâm Tôi quan tâm đến việc làm để phát huy học sinh tính tự giác tích cực sáng tạo, độc lập chủ động trình tìm tòi chiếm lĩnh tri thức Trong buổi ôn tập phải cho em học sinh có hội làm việc thật nhiều, tự tìm dạng tìm cách giải dạng đó, nên giảm bớt vị trí công việc người giáo viên lớp – giáo viên đóng vai trò người “trọng tài” chốt lại kiến thức mà em vừa khám phá ra, tránh tình trạng dạy học áp đặt “Thầy giảng trò biết lắng nghe làm theo” làm cho em thụ động trình tiếp thu bài, không khắc sâu kiến thức cho học sinh 3.3 Thường xuyên động viên, khuyến khích học sinh trình giảng dạy lớp để em thêm tự tin, hứng thú học tập Với giải em có cách giải hay, tìm dạng tập thường khen tặng điểm em tự tin tạo hứng thú buổi học Với học sinh chưa hiểu chưa tích cực ý giảng kỹ với riêng em động viên để em cố gắng Với nhóm hoàn thành tốt nhiệm vụ có phần quà nhỏ để khuyến khích em hoạt động 32 Kết thực Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm mang lại nhiều hiệu việc giải toán có liên quan toán thuộc dạng Phần đông em có hứng thú giải tập tập có phương pháp giải vận dụng phương pháp giải loại toán khác giải Đối với học sinh đại trà việc học em dừng lại phạm vi sách giáo khoa, sách tập khóa Còn dạng toán em học sinh khá, giỏi áp dụng vào cấp học mà em vận dụng vào toán THPT nhiều, phục vụ cho cấp học cao Kết quả: Qua thời gian tham gia giảng dạy thử nghiệm sáng kiến kinh nghiệm đạt số kết định Qua lần khảo sát năm học 2014 – 2015 học kì năm học 20152016 có kết sau: Số H/S Giỏi Khá Trung Bình Yếu Lần 28 = 28,6% 10 = 35,7% = 28,6 % = 7,1% Lần 28 = 28,6 % 12 = 42,6% = 25 % = 3,6% Lần 28 10 = 35,7% 13 = 46,4% = 17,6% 33 PHẦN THỨ BA KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: Là giáo viên trẻ, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, nhận thấy thân phải thường xuyên tìm hiểu, tích lũy kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy toán hay, sáng tạo việc dạy học nhằm phát huy tính tích cực , chủ động, yêu thích học toán học sinh Đặc biệt vận dụng linh hoạt học sinh đội tuyển học sinh giỏi khối, lớp Từ việc nghiên cứu lý luận qua thực tiễn giảng dạy làm việc với học sinh khá, giỏi học sinh đại trà nhận thấy việc hệ thống các dạng tập áp dụng đại số tổ hợp hữu ích người dạy người học Từ giúp giáo viên có hệ thống phương pháp giúp em học sinh dễ dàng nghiên cứu học tập dạng toán 2.Kiến nghị: Qua đề tài trình bày lượng kiến thức phạm vi nhỏ nên nhiều khiếm khuyết mong đồng nghiệp đóng góp ý kiến giúp hoàn thiện đề tài, từ áp dụng rộng rãi công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Tôi xin trân trọng cảm ơn! 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO Vũ Hữu Bình: Nâng cao phát triển Toán – NXB Giáo dục Việt Nam Vũ Hữu Bình – Tôn Thân – Đỗ Quang Thiều: Toán bồi dưỡng học sinh lớp – NXB giáo dục Việt Nam Vũ Hữu Bình – Nguyễn Tam Sơn: Tài liệu chuyên Toán THCS Toán – Số học – NXB Giáo dục Việt Nam Vũ Hữu Bình – Đàm Hiếu Chiến: Tài liệu chuyên Toán THCS Toán – hình học – NXB giáo dục Việt Nam Vũ Hữu Bình – Đàm Hiếu Chiến: Tài liệu chuyên Toán THCS Toán – đại số – NXB giáo dục Việt Nam Nguyễn Vũ Thanh: chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS – Số học – NXB giáo dục Việt Nam 35 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Một số dạng tập áp dụng đại số tổ hợp công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lĩnh vực / Môn: Toán Cấp học : THCS Năm học 2015 – 2016 36 ... tập liên quan nên mạnh dạn thực sưu tầm, lựa chọn số dạng tập áp dụng đại số tổ hợp tiến hành nghiên cứu đề tài: Một số dạng tập áp dụng đại số tổ hợp công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 ... số dạng tập 3.1.e1 Áp dụng đại số tổ hợp số học: Dạng 1: Các toán liên quan đến phép đếm, tính số phần tử tập hợp Phương pháp giải: Xác định dạng tập nói chỉnh hợp, hoán vị hay tổ hợp để áp dụng. .. chữ nhật Ví dụ 4: Trong số học sinh giỏi Văn học sinh giỏi Toán, lập nhóm gồm học sinh, có học sinh giỏi Văn Hỏi có cách lập nhóm? Bài giải: Số cách chọn học sinh giỏi Văn số tổ hợp chập phần tử