Một số bài toán sử dụng nguyên lý diricle trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6

Nguyờn lý iricle cú ni dung khỏ n gin song nú li l mt cụng c vụ cựng hiu qu vic chng minh nhiu bi toỏn t c th n tru tng m khú cú th cú mt cụng c no thay th Trong rt nhiu trng hp nú giỳp ta thy c mt s vt, mt s vic chc chn tn ti song khụng th ch c mt cỏch tng minh Chớnh iu ú ó kớch thớch t duy, úc tng tng phong phỳ ca hc sinh, lm cho hc sinh cm thy yờu thớch hn vi b mụn toỏn õy cú l cng l mt cỏc lý m cỏc k thi hc sinh gii cỏc cp thng xuyờn cú mt cỏc bi toỏn phi s dng nguyờn lý ny MC LC Phn I t : Tr2 Lý chn ti Tr2 Mc ớch v phm vi nghiờn cu Tr3 Thi gian thc hin ti Tr4 Kho sỏt thc tin Tr4 Phn II Gii quyt Tr5 Gii phỏp thc hin Tr7 H thng bi tp: S trựng lp Tr7 S chia ht Tr9 Toỏn tụ mu Tr13 Toỏn v s tng h Tr15 Toỏn cú ni dung hỡnh hc Tr17 Kt qu thc hin ti Tr19 Kt lun v kin ngh Tr20 PHN I: T VN Lý chn ti: L mt giỏo viờn nhiu nm c nh trng phõn cụng nhim v dy i tuyn v bi dng hc sinh gii toỏn lp tụi luụn suy ngh lm th no va ỏp ng c cỏc kin thc c bn theo chng trỡnh chun ca BGD ng thi phỏt trin t trỡnh cao phự hp vi kh nng v trớ tu ca cỏc em hc sinh T nhng trn tr ú tụi tham kho nhiu thi HSG v cỏc chuyờn bi dng HSG Tụi nhn thy mt th loi toỏn c cp khỏ nhiu c mt quỏ trỡnh hc t Tiu hc cho n vo i hc ú l dng toỏn ng dng nguyờn lý iricle mi cp hc nguyờn lý ny li c phỏt biu bng mt ngụn ng khỏc cho phự hp vi t v la tui ca cỏc em m gi nguyờn c bn cht ca kin thc nguyờn lý Nguyờn lý iricle cú ni dung khỏ n gin song nú li l mt cụng c vụ cựng hiu qu vic chng minh nhiu bi toỏn t c th n tru tng m khú cú th cú mt cụng c no thay th Trong rt nhiu trng hp nú giỳp ta thy c mt s vt, mt s vic chc chn tn ti song khụng th ch c mt cỏch tng minh Chớnh iu ú ó kớch thớch t duy, úc tng tng phong phỳ ca hc sinh, lm cho hc sinh cm thy yờu thớch hn vi b mụn toỏn õy cú l cng l mt cỏc lý m cỏc k thi hc sinh gii cỏc cp thng xuyờn cú mt cỏc bi toỏn phi s dng nguyờn lý ny Vớ d: thi vo lp trng Amsterdam nm 2005: Cú bn thi gii Toỏn, mi ngi phi lm bi Mi bi ỳng c im, mi bi sai b tr im, nhng nu s im b tr nhiu hn s im t c thỡ hc sinh ú b coi l im Cú th chc chn ớt nht hai bn cú s im bng c khụng? Gii thớch ti sao? thi HSG lp Qun H ụng nm 2012: Cho 14 s t nhiờn cú ch s Chng t rng 14 s ó cho tn ti hai s m vit chỳng liờn tip ta c mt s cú ch s chia ht cho 13 thi HSG lp Qun H ụng nm 2012: Ngi ta chia mt hỡnh vuụng thnh 16 ụ vuụng nh bng Vit vo mi ụ vuụng ca bng mt cỏc s 2013; -2013; Sau ú tớnh tng cỏc s theo hng ngang, ct dc v ng chộo Chng t rng cỏc s ú luụn tn ti hai tng cú giỏ tr bng thi HSG lp trng THCS Lờ Li nm 2011: Cú tn ti hay khụng s t nhiờn l bi s ca 2011 M s t nhiờn ú c vit bi ton ch s v ch s 0? thi HSG lp qun Ba ỡnh nm 1996: Cho s t nhiờn tựy ý Chng minh rng ta cú th chn c hai s m tng hoc hiu ca chỳng chia ht cho thi HSG lp qun Ba ỡnh nm 1997: Cho số tự nhiên tuỳ ý Chứng minh ta chọn đợc số mà tổng chúng chia hết cho thi HSG lp qun Ba ỡnh nm 1999: Chng t rng tn ti s t nhiờn ch gm ch s v ch s chia ht cho 1999 Ch mt phỳt ta cú th tỡm thy hng chc thi HSG lp cỏc nm gn õy cú ng dng nguyờn lý iricle iu ú cho thy s cn thit vi mi giỏo viờn phi nghiờn cu v chuyờn ny õy cng l lý tụi chn ti: Mt s bi toỏn ng dng nguyờn lý iricle bi dng HSG toỏn Mc ớch v phm vi nghiờn cu: Bi dng hc sinh gii lp Phng phỏp nghiờn cu: - Nghiờn cu chng trỡnh toỏn tiu hc, chng trỡnh toỏn lp - Nghiờn cu v c s khoa hc ca nguyờn lý iricle t ú nhn dng c nhng bi toỏn cú th ỏp dng nguyờn lý phự hp vi i tng hc sinh - Phõn loi bi theo mng s hc v hỡnh hc Vi mi mng bi ny li chia tip thnh tng dng vi h thng bi i t n gin n phc - Nghiờn cu v phng phỏp ging v cỏch gii phự hp cho hc sinh - Lng trc nhng khú khn hc sinh thng gp phi, t mỡnh vo v trớ cỏc em hỡnh dung c thỏi hc ca cỏc em, nhng bn khon ca cỏc em t ú cú s iu chnh v phng phỏp, v tỡnh cm, v kin thc phự hp Thi gian thc hin ti: Bt u t tun th 12 n ht tun 36 ca nm hc Xen k vo cỏc gi hc chớnh khúa v bui hc bi dng riờng cho i tuyn Tỡnh hỡnh thc tin trc thc hin ti: * i vi giỏo viờn: Ban u tụi cm thy khỏ khú khn vic la chn ngụn ng trỡnh by li gii cho tng th loi Khú khn vic s dng phng phỏp truyn t ti cỏc em hc sinh, tng th loi bi nờn dy vo thi im no, mc ti õu l phự hp? V nhiu ln tụi cú ý ngh lng trỏnh, b qua dng bi ny Khụng ch quan lm tụi thy ú cng l tõm lý chung ca nhiu giỏo viờn ging dy b mụn toỏn * i vi hc sinh: Kho sỏt s lc vi 25 hc sinh ca i tuyn toỏn 6: S HS ó c lm quen vi nguyờn lý iricle: 02 T l 8% S HS cú nghe tờn nguyờn lý nhng cha c hc: 15 T l 48% S HS cha bit v nguyờn lý: T l 44% Th sc vi bi tp: Cú bn thi gii Toỏn, mi ngi phi lm bi Mi bi ỳng c im, mi bi sai b tr im, nhng nu s im b tr nhiu hn s im t c thỡ hc sinh ú b coi l im Cú th chc chn ớt nht hai bn cú s im bng c khụng? Gii thớch ti sao? thi vo lp trng Amsterdam nm 2005 Kt qu: c 25 em hc sinh i tuyn u khụng lm c 100% hc sinh mong mun c tỡm hiu ni dung nguyờn lý v cỏch gii cho mt s dng bi Phần Ii: giảI vấn đề I Cỏc gii phỏp thc hin: Gii phỏp th nht: Khi gi cỏc em tỡnh yờu vi b mụn Toỏn, s cn thit phi hc b mụn toỏn thụng qua nhiu ng: Gii thiu v nh toỏn hc iricle: Mc ớch: To nim tin, nim c m cho cỏc em cú th tr thnh mt nh toỏn hc tng lai Cho cỏc em thy rng iricle l mt ngi cú tht, vi nhng c gng, n lc khụng ngng ngh cuc i ca mỡnh ụng ó li cho nhõn loi nhng sn phm trớ tu vụ cựng quý giỏ m chỳng ta l nhng ngi ang c tha hng Giỏo dc lũng bit n sõu sc vi th h i trc cho xó hi loi ngi ngy cng minh, tin b Cỏch tin hnh: - Hc sinh su tm, vit thnh bi thuyt trỡnh trờn phn mm Powerpoint v nh toỏn hc iricle gi sinh hot i Dirichlet (1805 1859) l nh toỏn hc ngi c Ngay t 12 tui ụng ó dựng tin tit kim ca mỡnh mua sỏch v toỏn hc Ngi bỏn hng núi vi ụng rng ụng s khụng hiu c ni dung ca quyn sỏch ú õu ễng tr li: Dự tụi cng s c chỳng cho ti tụi hiu chỳng Nim am mờ mụn toỏn ó theo ụng sut cuc i Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v ging dy cỏc trng ph thụng ụng ó a mt nguyờn lý rt hu hiu v c s dng nhiu tt c cỏc b mụn s hc, hỡnh hc v i s Ngy ta thng gi nguyờn lý ny theo tờn ca ụng: Nguyờn lý Dirichlet Th sc vi mt bi cỏc em cha nghiờn cu v nguyờn lý ny: Cú bn thi gii Toỏn, mi ngi phi lm bi Mi bi ỳng c im, mi bi sai b tr im, nhng nu s im b tr nhiu hn s im t c thỡ hc sinh ú b coi l im Cú th chc chn ớt nht hai bn cú s im bng c khụng? Gii thớch ti sao? thi vo lp trng Amsterdam nm 2005 Khi cỏc em khụng lm c bi ny iu ú s thỳc y cỏc em phi tỡm hiu v ni dung kin thc ỏp dng õy cng l lý chớnh ỏng GV bt u quỏ trỡnh a ni dung chuyờn vo hc Gii phỏp th hai: Giỏo viờn phi nghiờn cu v chuyờn cung cp cho cỏc em nhng kin thc cn thit I- Lí THUYT Ni dung nguyờn lý: Cú th phỏt biu di dng c bn sau * Dng n gin: Nu nht th vo cỏi lng thỡ tn ti mt lng cha ớt nht th * Dng tng quỏt: Nu nht n th vo m cỏi lng, m n > m (n, m ẻ N*) thỡ tn ti mt lng cha ớt nht Nu nht n th vo k cỏi lng (n, k ẻ N*, k 0) m phộp chia n: k c thng l q v cũn d thỡ tn ti mt lng cha ớt nht q + th gii cỏc bi toỏn ỏp dng nguyờn lý iricle ta cn lu ý mt s c im sau : - Cỏc bi toỏn s dng nguyờn lý iricle thng l cỏc bi toỏn chng minh s tn ti ca mt s vt, s vic m khụng cn phi ch mt cỏch tng minh s vt, s vic ú - gii bi toỏn ỏp dng nguyờn lý iricle nhiu ta phi ỏp dng phng phỏp chng minh phn chng - Khi gii bi toỏn ỏp dng nguyờn lý iricle hoc d oỏn phi ỏp dng nguyờn lý ny ta cn suy ngh hoc bin i bi toỏn lm xut hin khỏi nim th v lng, khỏi nim nht th vo lng nhng trỡnh by ta c gng trỡnh by theo ngụn ng riờng ca bi toỏn - Nhiều toán áp dụng đợc nguyên lý iricle sau bin i qua mt bc trung gian hoc thành lập dãy số (hoặc phải tạo chuồng nhốt thỏ) Gii phỏp th ba: Giỏo viờn xõy dng h thng bi theo tng mc phự hp vi tng giai on hc ca hc sinh H thng bi gm: Bi cng c kin thc Bi dng kin thc Bi phỏt trin t II BI TP: PHN I: S HC DNG 1: S TRNG LP õy l dng bi ng dng nguyờn lý mt cỏch n gin nht giỳp cỏc em lm quen vi nguyờn lý mt cỏch t nhiờn v d hiu Yờu cu: - Hc sinh thuc ni dung nguyờn lý c bi toỏn v phõn bit c yu t no úng vai trũ l th, yu t no úng vai trũ l lng Hc sinh ch c s th, s lng - Cỏch phõn bit n gin nht: S th luụn ln hn s lng Bi cú phõn tớch v cỏch gii: Bài Mt trng hc cú 24 lp gm 900 hc sinh Chng minh rng cú mt lp vi s s 38 hc sinh tr lờn Phõn tớch: Chia 900 hc sinh vo 24 lp cú ý ngha tng t nh nht 900 th vo 24 cỏi lng T ú cú th ỏp dng ni dung nguyờn lý gii bi toỏn: Gii: Cú 900 hc sinh c chia vo 24 lp, m 900: 24 = 37 (d 12) ị Theo nguyờn lý iricle s tn ti mt lp cú t 37 + = 38 (hc sinh) tr lờn Bài Trong lp hc cú 30 hc sinh Khi vit chớnh t mt em phm 14 li, cỏc em khỏc phm s li ớt hn CMR cú ớt nht hc sinh mc s li bng (k c nhng ngi mc li) Phõn tớch: Trong bi toỏn ny th l 29 hc sinh (tr i em mc 14 li), lng l cỏc loi li (gm 14 loi: li, li, li, , 13 li) Gii: Cú 30 hc sinh ú em phm 14 li, s cũn li l 29 em phm cỏc li t n 13 li (14 loi li) Do 29: 14 = (d 1) Theo Nguyờn lý iricle cú ớt nht em mc cựng s li nh Bài Trong 45 hc sinh lm bi kim tra khụng cú b im di 2, ch cú hc sinh c im 10 CMR ớt nht cng tỡm c hc sinh cú im kim tra bng (im kim tra l mt s t nhiờn t n 10) Phõn tớch: th l 43 hc sinh, lng l cỏc loi im t n Gii: Cú 45 = 43 (hc sinh) c loi im t n Do 43 : = (d 3) Theo Nguyờn lý iricle cú ớt nht hc sinh cú im kim tra bng Bài Trong mt k thi toỏn hc cú thớ sinh c vo chung kho Th l ca cuc thi nh sau: Mi thớ sinh phi gii bi toỏn Mi bi toỏn ỳng c tớnh im Mi bi toỏn sai hoc khụng lm c u b tr im Hóy chng t rng thớ sinh ú cú ớt nht thớ sinh bng im Bit rng im thp nht l im Phõn tớch: s th dng nh l hc sinh, nhng lng l gỡ nh? Ta phi c bit chỳ ý n ni dung cõu hi ớt nht2 thớ sinh bng im v liờn tng n ni dung nguyờn lý nú ging nh th nht chung mt lng T ú tỡm yu t lng õy l s im t c Gii: Vỡ mi thớ sinh phi gii bi toỏn Mi bi toỏn ỳng c tớnh im Mi bi toỏn sai hoc khụng lm c u b tr im nờn ta cú trng hp sau: Nu ỳng bi thỡ s im c l: = 20 (im) Nu ỳng bi thỡ s im c l: 4 - = 14 (im) Nu ỳng bi thỡ s im c l: = (im) Nu ỳng bi thỡ s im c l: = (im) Nu ỳng bi hoc khụng ỳng bi no thỡ u c im Nh vy cú thớ sinh d thi nhng ch cú loi im nờn theo nguyờn lý iricle s cú ớt nht thớ sinh bng im Bi t luyn: Bài Lp 6A cú 30 hc sinh Khi lm bi trc nghim cú em lm sai 12 cõu Cỏc em khỏc lm sai ớt hn Chng minh rng cú ớt nht hc sinh cú s cõu lm sai nh Bài Lp 6A cú 49 hc sinh Chng t rng luụn cú ớt nht em hc sinh cú cựng thỏng sinh Bài Mt trng hc cú 1115 hc sinh Chng t rng luụn cú ớt nht em cú cựng ngy sinh Bài T cú 13 hc sinh u phi trc nht mt tun hc Chng t rng tn ti mt ngy cú ớt nht hc sinh cựng trc nht (mt tun hc c tớnh t th hai n th by) DNG 2: S CHIA HT õy l loi toỏn c xut hin khỏ nhiu cỏc thi HSG cỏc cp Yờu cu: Ngoi vic nm vng nguyờn lý iricle cỏc em cn nm c cỏc du hiu chia ht v cỏc tớnh cht chia ht Z + Du hiu chia ht cho 2; 3; 5; 8; 9; 11; 25; 125 + Tớnh cht chia ht ca tng, hiu, tớch v mt s tớnh cht m rng Tớnh cht chia ht ca tng, hiu, tớch: Tớnh cht m rng: Hai s cú cựng s d phộp chia cho m thỡ hiu ca chỳng chia ht cho m Tng cỏc s d ca cỏc s phộp chia cho m m chia ht cho m thỡ tng cỏc s ú chia ht cho m Nu , m CLN(a,m) = thỡ DNG 3: BI TON Tễ MU Bài Trong mt phng cho im phõn bit khụng cú im no thng hng Cỏc im ny c ni vi bng cỏc on thng mu xanh hoc mu Chng minh rng luụn cú mt tam giỏc m cỏc cnh cựng mu Phõn tớch: Cú nờn tớnh s tam giỏc hay tớnh s on thng hay khụng? Cõu tr li l khụng vỡ tam giỏc ABC l hỡnh to bi on thng liờn kt vi AB, BC, CA im A, B, C khụng thng hng nờn vic tỡm s tam giỏc hay s on thng khụng gii quyt c cõu hi ca bi Hóy th ni im vi im cũn li bng mu xem sao? Gii: Gi im ú l O, A, B, C, D, E T im O ni vi im cũn li ị Cú on thng m ch cú mu ị Theo nguyờn lý Dirichlet cú ớt nht on thng cựng mu, gi s ú l on thng OA, OB, OC cựng mu xanh Xột tam giỏc ABC (cú cnh AB, AC, BC c v bi mu): TH1: nu cnh ca tam giỏc cựng mu thỡ bi toỏn ó c gii TH2: cnh ca tam giỏc khụng cựng mu thỡ s cú ớt nht cnh cú mu xanh gi s ú l cnh AB tam giỏc OAB cú ba cnh cựng mu xanh Tng t vi on thng OA, OB, OC cú cựng mu Vy bi toỏn ó c chng minh Bài Cho 17 im nm mt phng ú khụng cú im no thng hng Ni cỏc im ú bng cỏc on thng mu xanh; ; vng Chng t rng tn ti mt tam giỏc cú cỏc cnh cựng mu Phõn tớch: T tng t nh trờn Th ni im vi 16 im cũn li bng mu xem sao? Gii: Gi s t im A 17 im ó cho ni vi 16 im cũn li bng loi mu ị Theo nguyờn lý Dirichlet cú ớt nht on thng cựng mt mu, gi s ú l cỏc on thng AB1; AB2; ;AB6 cựng c tụ mu Nu cú im B 1; B2; ; B6 c ni vi bng mu thỡ bi toỏn c chng minh Nu khụng cú im no c ni vi bng mu thỡ im ny c ni vi bng hai mu xanh hoc vng T im B1 ta ni vi im cũn li ị Cú on thng m ch cú mu ị Theo nguyờn lý Diricle cú ớt nht on thng cựng mu, gi s ú l on thng B1B2, B1B3, B1B4 cú cựng mu xanh Xột tam giỏc B2B3B4 TH1: nu cnh ca tam giỏc ny cựng mu thỡ bi toỏn ó c gii xong TH2: cnh ca tam giỏc khụng cựng mu thỡ s cú ớt nht cnh cú mu xanh gi s ú l cnh B2B3 ị Tam giỏc B1B2B3 cú ba cnh cựng mu xanh Vy bi toỏn c chng minh Bài Cho 66 im mt phng ú khụng cú im no thng hng Ni cỏc im ny bng cỏc on thng v tụ cỏc mu xanh; ; vng hoc tớm Chng minh rng luụn tn ti mt tam giỏc cú cỏc cnh cựng mu (3 ln Diricle) Bi toỏn tng quỏt ca cỏc bi 1; 2; 3: im tng ng mu s dng ln iricle (6 1) + = 17 (im) tng ng mu s dng ln iricle (17 1) + = 66 (im) tng ng 5mu s dng ln iricle (66 1) + = 327 (im) tng ng mu s dng ln iricle Bài Cho im trờn mt phng cho im bt k chỳng to nờn mt tam giỏc cú di cnh khỏc Chng minh rng tn ti mt cnh va l cnh nh nht ca tam giỏc ny va l cnh ln nht ca tam giỏc khỏc Hng dn: Xột cỏc tam giỏc c to t im ó cho Trong mi tam giỏc ny ta tụ mu cho cnh ngn nht, cỏc cnh khỏc khụng tụ mu Ta chng t cú tam giỏc cú cnh u mu thỡ cnh ln nht ca tam giỏc ny l cnh cn tỡm Tht vy t im A im ó cho vi im cũn li bng cỏc on thng mu hoc khụng cú mu tn ti on thng cựng mu hoc khụng cú mu Gi s ú l on thng AB, AC, AD TH1 : Nu on thng ú cú mu ta xột tip tam giỏc BCD phI tn ti cnh nht cú mu gi s ú l cnh CD tam giỏc ACD cú cnh cựng mu cnh ln nht ca ACD ng thi l cnh nh nht ca mt tam giỏc khỏc TH2 : Nu on thng ú khụng c tụ mu ABC cú AB, AC khụng c tụ mu thỡ BC phi c tụ mu ABD cú AB, AD khụng c tụ mu thỡ BD phi c tụ mu ACD cú AD, AC khụng c tụ mu thỡ DC phi c tụ mu BCD cú cnh c tụ mu PCM DNG TON V S TNG H (TON LM QUEN) Chỳ ý: A quen B thỡ B cng quen A Nhng A quen B, B quen C thỡ khụng th khng nh A quen C Tng t vi thi u hoc trao i vi v cụng vic Mt s bi cú th liờn h tng t nh toỏn tụ mu VD: A ni vi B bng mu xanh thỡ B ni vi A cng bng mu xanh Bi cú phõn tớch v cỏch gii: Bi Cho ngi tựy ý CMR s ú cú ớt nht ngi cú s ngi quen nh (hiu rng A quen B thỡ B quen A) Phõn tớch: Chỳ trng n cõu hi ngi cú s ngi quen nh T ú hiu rng ngi úng vai trũ l s th Ta cú th to cỏc lng nh sau: Hng dn: Gi lng cha nhng ngi cú s ngi quen l Gi lng cha nhng ngi cú s ngi quen l Gi lng cha nhng ngi cú s ngi quen l Nh vy ta cú lng Nu lng cú cha ú thỡ lng phi trng Ngc li nu lng cú cha ú thỡ lng phi trng Vy thc cht ch cú lng nht th nờn cú ớt nht ngi cựng mt phũng tc l hai ngi ú cú s ngi quen nh Bi Cú 10 i búng thi u vi mi i phi u mt trn vi cỏc i khỏc CMR vo bt c lỳc no cng cú hai i ó u s trn nh (k c s trn u l 0) Phõn tớch: Hiu tng t nh bi toỏn trờn Gi A0 l phũng cha cỏc i cú s trn u l Gi A1 l phũng cha cỏc i cú s trn u l Gi A9 l phũng cha cỏc i cú s trn u l Nu phũng A0 cú ớt nht i thỡ phũng A9 khụng cú i no v ngc li phũng A9 cú ớt nht i thỡ phũng A0 khụng cú i no Vy thc cht ch cú phũng c s dng m li cú i nờn cú ớt nht i vo chung mt phũng hay cú ớt nht i cú cựng s trn u nh Bi Cú i búng thi u vi (mi i phi u trn vi i khỏc) CMR vo bt c lỳc no cng cú i ú tng cp ó u vi hoc cha u vi trn no Hng dn: Gi s i búng ú l A, B, C, D, E, F Xột i A: Theo nguyờn lý iriclờ ta suy ra: A phi u hoc khụng u vi ớt nht i khỏc Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s A ó u vi B, C, D Nu B, C, D tng cp cha u vi thỡ bi toỏn c chng minh Nu B, C, D cú i ó u vi nhau, vớ d B v C thỡ i A, B, C tng cp ó u vi Nh vy bt c lỳc no cng cú i ú tng cp ó u vi hoc cha u vi trn no Bi Cú 17 nh toỏn hc trao i vi v Mi ngi tra i vi mt ngi v CMR cng cú ớt nht nh toỏn hc trao i vi v cựng mt (A v B, B v C, C v A) Phõn tớch: Tng t nh 17 im c ni vi bng mu luụn tn ti mt tam giỏc vi cnh cựng mu tc l nh toỏn hc trao i vi v cựng mt Gii: Mt nh toỏn hc trao i vi 16 nh toỏn hc khỏc v ị Theo nguyờn lý iricle cú ớt nht ngi s c mt ngi trao i v cựng mt , gi s ú l I ngi ny li trao i vi v : TH1: Nu cú ngi no ú cựng trao i v I thỡ bi toỏn c chng minh TH2: Nu khụng cú ngi no cựng trao i v thỡ ngi ny ch trao i v II v III ị Mt ngi trao i vi ngi cũn li v II v III Theo nguyờn lý iricle cú ớt nht ngi cựng c mt ngi trao i v , gi s ú l II Ba ngi ny li tip tc trao i vi nhau: TH1: Nu cú ngi no ú cựng trao i vi v II thỡ bi toỏn c chng minh TH2: Nu khụng cú ngi no cựng trao i vi v II thỡ c ngi ny trao i vi v III ị Bi toỏn cng ó c chng minh Vy luụn cú ớt nht nh toỏn hc trao i vi v cựng mt Bi t luyn Bi Cho 2009 ngi tựy ý CMR s ú cú ớt nht ngi cú s ngi quen nh s 2009 ngi ú Bi Cho n ngi tựy ý (n ẻ N, n > 1) CMR s ú cú ớt nht ngi cú s ngi quen nh s n ngi ú Bi Chng t rng nhúm ngi ta luụn tỡm c nhúm ngi ụi mt quen hoc ụi mt khụng quen PHN II: MT S BI TON Cể NI DUNG HèNH HC Bi Cho xễy = 720 v tia Om, On, Op, Ok xễy Ch xột cỏc gúc khụng cú im chung hóy chng t rng tn ti mt gúc cú s o ln hn 140 Gii: Cú tia chung gc O (tớnh c tia Ox, Oy) to thnh gúc khụng cú im chung Tng s o gúc ny l 720 M 72: = 14 (d 2) Theo nguyờn lý iricle tn ti mt gúc cú s o ln hn 14 Bi Cho đờng thẳng đồng quy O Chỉ xét góc điểm chung Chứng tỏ tồn góc có số đo lớn 250 Gii: đờng thẳng đồng quy O xét góc điểm chung ta cú 14 góc Tổng số đo 14 góc 360 M 360: 14 = 25 (d 10) nên theo nguyên lý Diricle tồn góc có số đo lớn 250 Mà góc lại có góc (do cựng k bự vi mt gúc th ba) nên hình tồn góc có số đo lớn 25 Bi Trong hỡnh vuụng cú cnh 1m ngi ta gieo vo ú cỏch tựy ý 51 im Chng minh rng ớt nht cng cú im s 51 im ó cho nm hỡnh vuụng cnh di 0,2m (k c trng hp nm trờn cnh hỡnh vuụng) Hng dn: Chia hỡnh vuụng cnh m thnh 25 hỡnh vuụng nh bng cnh 0,2m Gieo 51 im (51 thỏ) vo 25 hỡnh vuụng (25 lồng) Vỡ 51: 25 = (d 1) Theo nguyờn lý Diricle s tn ti mt hỡnh vuụng cha ớt nht im Bi Mt hỡnh vuụng cú din tớch S Ngi ta gieo vo bờn hỡnh vuụng 101 im mt cỏch tựy ý Chng minh rng luụn tỡm im s 101 im ú l nh ca mt tam giỏc cú din tớch khụng ln hn Hng dn: Chia hỡnh vuụng thnh 50 hỡnh ch nht cú din tớch bng nhau, mi hỡnh ch nht nh ny cú din tớch bng tn ti ớt nht im nm cựng mt hỡnh ch nht nh ny M din tớch ca mt tam giỏc cú nh nm mt hỡnh ch nht nh ú luụn nh hn hoc bng din tớch hỡnh ch nht nh  Bi Trong hỡnh trũn cú din tớch bng ly 17 im bt k ú khụng cú im no thng hng Chng minh rng cú ớt nht im lp thnh tam giỏc cú din tớch nh hn Hng dn: Chia hình tròn thành hình quạt thỡ mi hỡnh qut cú din tớch l Gieo 17 điểm vào hình quạt (17: = d 1) nên có điểm rơi vào hình quạt, diện tích tam giác tạo thành từ điểm nhỏ diện tích hình quạt hay tức diện tích nhỏ Bi t luyn Bi Cho tia gốc O thuộc nửa mặt phẳng bờ xy có chứa điểm O Chỉ xét góc đỉnh O điểm chung Chứng tỏ tồn góc có số đo lớn 320 Bi 2: Cho 21 ng thng ng quy ti O a) Cú bao nhiờu gúc nh O b) Ch xột cỏc gúc khụng cú im chung Chng t rng tn ti gúc cú s o ln hn 80 Bi 3: Ngi ta chia mt hỡnh vuụng thnh 16 ụ Vit vo mi ụ mt cỏc s -2013; 0; 2013 Sau ú tớnh tng cỏc s theo hng ngang, ct dc, ng chộo Chng minh rng cỏc tng ú luụn tn ti hai tng bng phần III: Kết THựC HIệN Đề TàI Vi ln kim tra kho sỏt cht lng i tuyn nm hc 2014 2015 m mi u cú bi toỏn ng dng nguyờn lý iricle: Bi kim tra ln 1: Chng minh rng số nguyên tố lớn tồn số có tổng hiệu chia hết cho 18 Bi kim tra ln 2: Trong cuc thi Rung chuụng vng ca mt trng THCS cú thớ sinh c vo vũng chung kho Mi thớ sinh phi tr li cõu hi, mi cõu ỳng c tớnh im, mi cõu sai hoc khụng tr li c u b tr im Bit rng im thp nht l im Hóy chng t rng cú ớt nht thớ sinh bng im Bi kim tra ln 3: Mt hỡnh vuụng c chia thnh 25 ụ vuụng nh (hỡnh bờn) Vit vo mi ụ vuụng ba s 2015; -2015; ri tớnh tng ca cỏc s mi hng, mi ct, mi ng chộo Hóy chng t rng cỏc tng ú cú ớt nht hai tng bng Kt qu kim tra trờn 25 hc sinh i tuyn: Lm c bi Lm c bi Lm c bi Trc thc hin ti 0/25 T l 0% 0/25 T l 0% 0/25 T l 0% Sau thc hin ti 15/25 T l 60% 7/25 T l 28% 3/25 T l 14% KT LUN Tụi nhn thy: Vic bi dng hc sinh gii l nhng bc u rt quan trng o to nhõn ti cho t nc ú l nhim v quan trng ca ngnh GD núi chung v ca mi giỏo viờn núi riờng Vic bi dng HSG ch thc s cú hiu qu ngi thy thc s am mờ, yờu ngh, tõm huyt vi ngh nghiờn cu a c chng trỡnh hc phự hp nhm phỏt trin t cho cỏc em Nguyờn lý iricle l mt nhng chuyờn ỏp ng c iu ú Mc dự rt c gng chn lc a c cỏc bi phự hp vi i tng hc sinh lp nhng chc chn khụng th trỏnh c nhng thiu sút Tụi rt mong c s úng gúp ý kin ca BGK, ca ng nghip Xin trõn trng cm n! [...]... cú 14 góc Tổng số đo 14 góc này là 360 0 M 360 : 14 = 25 (d 10) nên theo nguyên lý Diricle sẽ tồn tại ít nhất một góc có số đo lớn hơn 250 Mà góc này lại có một góc bằng nó (do cựng k bự vi mt gúc th ba) nên trên hình tồn tại ít nhất 2 góc có số đo lớn hơn 25 0 Bi 3 Trong hỡnh vuụng cú cnh 1m ngi ta gieo vo ú 1 cỏch tựy ý 51 im Chng minh rng ớt nht cng cú 3 im trong s 51 im ó cho nm trong hỡnh vuụng... minh rng trong cỏc tng ú luụn tn ti hai tng bng nhau phần III: Kết quả THựC HIệN Đề TàI Vi 3 ln kim tra kho sỏt cht lng i tuyn trong nm hc 2014 2015 m trong mi u cú bi toỏn ng dng nguyờn lý iricle: Bi kim tra ln 1: Chng minh rng trong 5 số nguyên tố lớn hơn 3 luôn tồn tại ít nhất 2 số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 18 Bi kim tra ln 2: Trong cuc thi Rung chuụng vng ca mt trng THCS cú 6 thớ sinh c vo... ý CMR trong s ú cú ớt nht 2 ngi cú s ngi quen nh nhau trong s 2009 ngi ú Bi 2 Cho n ngi tựy ý (n ẻ N, n > 1) CMR trong s ú cú ớt nht 2 ngi cú s ngi quen nh nhau trong s n ngi ú Bi 3 Chng t rng trong nhúm 6 ngi ta luụn tỡm c nhúm 3 ngi ụi mt quen nhau hoc ụi mt khụng quen nhau PHN II: MT S BI TON Cể NI DUNG HèNH HC Bi 1 Cho xễy = 720 v 4 tia Om, On, Op, Ok trong xễy Ch xột cỏc gúc khụng cú im trong. .. Bi 1 Cho 7 tia gốc O thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ xy có chứa điểm O Chỉ xét các góc đỉnh O không có điểm trong chung Chứng tỏ rằng tồn tại ít nhất 1 góc có số đo lớn hơn 320 Bi 2: Cho 21 ng thng ng quy ti O a) Cú bao nhiờu gúc nh O b) Ch xột cỏc gúc khụng cú im trong chung Chng t rng tn ti 2 gúc cú s o ln hn 80 Bi 3: Ngi ta chia mt hỡnh vuụng thnh 16 ụ Vit vo mi ụ mt trong cỏc s -2013; 0; 2013 Sau... hn 140 Gii: Cú 6 tia chung gc O (tớnh c 2 tia Ox, Oy) to thnh 5 gúc khụng cú im trong chung Tng s o 5 gúc ny l 720 M 72: 5 = 14 (d 2) Theo nguyờn lý iricle tn ti mt gúc cú s o ln hn 14 0 Bi 2 Cho 7 đờng thẳng đồng quy tại O Chỉ xét các góc không có điểm trong chung Chứng tỏ rằng tồn tại ít nhất 2 góc có số đo lớn hơn 250 Gii: 7 đờng thẳng đồng quy tại O chỉ xét các góc không có điểm trong chung ta... nh nm trong mt hỡnh ch nht nh ú luụn nh hn hoc bng din tớch hỡnh ch nht nh  Bi 5 Trong hỡnh trũn cú din tớch bng 1 ly 17 im bt k trong ú khụng cú 3 im no thng hng Chng minh rng cú ớt nht 3 im lp thnh 1 tam giỏc cú din tớch nh hn Hng dn: Chia hình tròn thành 8 hình quạt bằng nhau thỡ mi hỡnh qut cú din tớch l Gieo 17 điểm vào trong 8 hình quạt (17: 8 = 2 d 1) nên có ít nhất 3 điểm rơi vào một hình... 16 nh toỏn hc khỏc v 3 vn ị Theo nguyờn lý iricle cú ớt nht 6 ngi s c mt ngi trao i v cựng mt vn , gi s ú l vn I 6 ngi ny li trao i vi nhau v 3 vn : TH1: Nu cú 2 ngi no ú cựng trao i v vn I thỡ bi toỏn c chng minh TH2: Nu khụng cú 2 ngi no cựng trao i v vn 1 thỡ 6 ngi ny ch trao i v 2 vn II v III ị Mt ngi trao i vi 5 ngi cũn li v 2 vn II v III Theo nguyờn lý iricle cú ớt nht 3 ngi cựng c mt ngi... = 2 (d 1) Theo nguyờn lý Diricle s tn ti mt hỡnh vuụng cha ớt nht 3 im Bi 4 Mt hỡnh vuụng cú din tớch S Ngi ta gieo vo bờn trong hỡnh vuụng 101 im mt cỏch tựy ý Chng minh rng luụn tỡm ra 3 im trong s 101 im ú l 3 nh ca mt tam giỏc cú din tớch khụng ln hn Hng dn: Chia hỡnh vuụng thnh 50 hỡnh ch nht cú din tớch bng nhau, mi hỡnh ch nht nh ny cú din tớch bng tn ti ớt nht 3 im nm trong cựng mt hỡnh ch... c vo vũng chung kho Mi thớ sinh phi tr li 7 cõu hi, mi cõu ỳng c tớnh 4 im, mi cõu sai hoc khụng tr li c u b tr 3 im Bit rng im thp nht l im 0 Hóy chng t rng cú ớt nht 2 thớ sinh bng im nhau Bi kim tra ln 3: Mt hỡnh vuụng c chia thnh 25 ụ vuụng nh (hỡnh bờn) Vit vo mi ụ vuụng 1 trong ba s 2015; -2015; 0 ri tớnh tng ca cỏc s trong mi hng, mi ct, mi ng chộo Hóy chng t rng trong cỏc tng ú cú ớt nht hai... dng m li cú 9 i nờn cú ớt nht 2 i vo chung mt phũng hay cú ớt nht 2 i cú cựng s trn u nh nhau Bi 3 Cú 6 i búng thi u vi nhau (mi i phi u 1 trn vi 5 i khỏc) CMR vo bt c lỳc no cng cú 3 i trong ú tng cp ó u vi nhau hoc cha u vi nhau trn no Hng dn: Gi s 6 i búng ú l A, B, C, D, E, F Xột i A: Theo nguyờn lý iriclờ ta suy ra: A phi u hoc khụng u vi ớt nht 3 i khỏc Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s A ó u vi B, ... nht hc sinh cú s cõu lm sai nh Bài Lp 6A cú 49 hc sinh Chng t rng luụn cú ớt nht em hc sinh cú cựng thỏng sinh Bài Mt trng hc cú 1115 hc sinh Chng t rng luụn cú ớt nht em cú cựng ngy sinh Bài T... số đo 14 góc 360 M 360 : 14 = 25 (d 10) nên theo nguyên lý Diricle tồn góc có số đo lớn 250 Mà góc lại có góc (do cựng k bự vi mt gúc th ba) nên hình tồn góc có số đo lớn 25 Bi Trong hỡnh vuụng... dung nguyờn lý gii bi toỏn: Gii: Cú 900 hc sinh c chia vo 24 lp, m 900: 24 = 37 (d 12) ị Theo nguyờn lý iricle s tn ti mt lp cú t 37 + = 38 (hc sinh) tr lờn Bài Trong lp hc cú 30 hc sinh Khi vit