Bài giảng số 1 biến cố ngẫu nhiên, xác suất cổ điển và một số dạng bài tập

01 bài giảng số 1 biến cố ngẫu nhiên, xác suất cổ điển và một số dạng bài tập

http://baigiangtoanhoc.com Giáo trình xác suất dành cho nhà kinh tế Chương I: Biến cố ngẫu nhiên xác suất § Phép thử biến cố Định nghĩa: Trước trận bóng đá, ta thường thấy trọng tài tung đồng xu sau đội trưởng hai đội quan sát xem xuất mặt sấp hay mặt ngửa Ở đây, trọng tài thực phép thử : tung đồng xu Việc thực nhóm điều kiện tiến hành thí nghiệm, đo lường hay quan sát tượng gọi phép thử Ví dụ 1: + Xem viên đạn có trúng bia hay không người ta phải thực phép thử : bắn viên đạn vào bia + Quan sát số chấm xúc xắc: Gieo xúc xắc Khi bắn viên đạn vào bia xảy tượng: viên đạn trúng bia, viên đạn trượt bia Hiện tượng xảy tung đồng xu ? Hiện tượng xảy không xảy kết phép thử gọi biến cố Ví dụ 2: +) Thực phép thử: tung đồng xu (cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng), tượng xuất mặt sấp biến cố hay “biến cố xuất mặt sấp’’; “biến cố xuất mặt ngửa” +) Biến cố viên đạn trượt bia bắn viên đạn vào bia +) Phép thử: Gieo xúc xắc -Biến cố xuất mặt chấm -Biến cố xuất mặt chấm -Biến cố xuất mặt có số chấm chẵn Ghi chú: Một biến cố xảy phép thử gắn liền với thực Phân loại biến cố Trong thực tế xảy loại biến cố sau: + Biến cố chắn: Biến cố định xảy thực phép thử, kí hiệu: U + Biến cố có: Biến cố định không xảy thực phép thử, kí hiệu: V + Biến cố ngẫu nhiên: Biến cố xảy không xảy thực phép thử, thường kí hiệu: A, B, C A1, B2… Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên trường Đại học kinh tế Quốc dân Hà Nội http://baigiangtoanhoc.com Giáo trình xác suất dành cho nhà kinh tế Ví dụ 3: Gieo xúc xắc, xét biến cố sau: loại biến cố? a.Biến cố “được mặt có số chấm  6”: B/c chắn: U b.Biến cố “được mặt chấm”: B/c có: V c Biến cố “được mặt chấm”: B/c ngẫu nhiên A d Biến cố “Được mặt chấm chẵn” B/c ngẫu nhiên B Nhận xét: Việc biến cố xảy hay không xảy đoán trước Biến cố dễ xảy hơn, phải khả xảy biến cố B cao A? Để so sánh, người ta biểu thị khả xảy biến cố số §2 Xác suất biến cố Khả xảy biến cố gọi xác suất biến cố Xác suất biến cố A kí hiệu P(A) Xác suất số xác định phụ thuộc vào điều kiện xảy phép thử không phụ thuộc vào ý muốn chủ quan người Định nghĩa cổ điển xác suất Trước hết ta xét ví dụ sau: Trong thùng kín đựng 10 cầu giống mặt, khác màu sắc, có màu trắng, màu đen Thực phép thử: rút hú hoạ Hỏi xác suất rút trắng? Vì thùng có 10 quả, nên xảy 10 kết cục, kết cục thoả mãn điều kiện: + Tính nhất: Kết phét thử xảy kết cục + Tính đồng khả năng: Khả rút Nếu gọi A biến cố rút cầu trắng, ta thấy có khả mà xảy xảy A Tự nhiên, người ta lấy tỷ số 4/10 xác suất biến cố A Định nghĩa: Giả sử phép thử có n kết cục đồng khả năng, có m kết cục thuận lợi cho biến cố A Ta gọi tỷ số m/n xác suất biến cố A Kí hiệu: P(A)=m/n Tính chất: a  P ( A)  b.P(U)=1, P(V)=0 Ví dụ 1: Gieo xúc xắc cân đối đồng chất Tính xác suất để a Xuất mặt chấm Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên trường Đại học kinh tế Quốc dân Hà Nội http://baigiangtoanhoc.com Giáo trình xác suất dành cho nhà kinh tế b Xuất mặt chấm chẵn Giải: Số kết cục đồng khả năng: n=6 a Gọi A biến cố “Xuất mặt chấm” số kết cục thuận lợi cho A là: mA=1 Do đó: P(A)=1/6 b Gọi B biến cố “ xuất mặt chấm chẵn” Số kết cục thuận lợi cho B mA=3 (mặt 2, 4, chấm) P(B)=3/6=1/2 Ví dụ 2: Một hộp có cầu đen, cầu trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp cầu Tính xác suất để: a Lấy cầu đen b Lấy cầu đen cầu trắng Giải: Số kết cục đồng khả năng: C10 a Gọi A biến cố “ lấy cầu đen” Số kết cục thuận lợi cho A: C6 C 63 P ( A)   C10 b Gọi B biến cố “lấy cầu đen cầu trắng” Số kết cục thuận lợi cho B: C6 C P(B)  C 62 C 41  C103 Ví dụ 3: Trong nhóm N sản phẩm loại có M sản phẩm đạt tiêu chuẩn, N-M sản phẩm không đạt tiêu chuẩn Rút ngẫu nhiên n sản phẩm Tính xác suất cho số sản phẩm rút có m sản phẩm đạt tiêu chuẩn Giải: Gọi A biến cố “trong n sản phẩm rút có m sản phẩm đạt tiêu chuẩn” n Số kết cục đồng khả năng: C N Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên trường Đại học kinh tế Quốc dân Hà Nội http://baigiangtoanhoc.com Giáo trình xác suất dành cho nhà kinh tế m Do lấy m sản phẩm đạt tiêu chuẩn từ M sản phẩm theo C M cách, n-m sản phẩm không đạt n -m m n -m tiêu chuẩn từ N-M sản phẩm theo C N-M cách Nên số kết cục thuận lợi cho A là: C M C N -M CmM C nN mM P(A)  CnN Nhận xét: Định nghĩa cổ điển xác suất có ưu điểm dễ vận dụng, nhiên định nghĩa áp dụng với phép thử có hữu hạn kết cục đồng khả xảy Trong nhiều toán thực tế, việc tính hết kết cục phép thử không dễ dàng, chẳng hạn: phép thử bắn viên đạn vào bia kết cục trúng bia trượt bia xem đồng khả Để khắc phục hạn chế người ta đưa định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê Định nghĩa thống kê xác suất : Giả sử tiến hành n phép thử loại, phép thử xuất biến cố A, gọi k số phếp thử xuất biến cố A Khi tỷ số k/n gọi tần suất xuất biến cố A n phép thử cho, kí hiệu f(A)=k/n Ví dụ 4: Một người bắn 100 viên đạn vào bia, thấy có 70 viên trúng bia Như tần suất bắn trúng bia người 70/100=0,7 Người ta nhận thấy tiến hành phép thử điều kiện số phép thử lớn giá trị tần suất thể tính ổn định Nghĩa n lớn tần suất biến thiên xung quanh số Ví dụ 5: Nghiên cứu khả xuất mặt sấp tung đồng xu, người ta thu bảng sau: Người thí nghiệm Số lần tung(n) sô lần sấp(k) tần suất(f) Buffon 4040 2048 0.5080 Pearson 12000 6019 0.5016 Pearson 24000 12012 0.5005 Từ thấy số lần tung lớn, tần suất xuất mặt sấp gần với xác suất xuất mặt sấp Định nghĩa: Xác suất biến cố giá trị số ổn định tần suất số phép thử tăng lên vô hạn Trong thực tế, số phép thử đủ lớn, ta lấy: f(A)  P(A) Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên trường Đại học kinh tế Quốc dân Hà Nội http://baigiangtoanhoc.com Giáo trình xác suất dành cho nhà kinh tế Ghi chú: + Phương pháp xác định xác suất theo quan điểm thống kê có phạm vi ứng dụng rộng rãi: Tìm quy luật diễn biến thời tiêt, tỷ lệ phế phẩm, lập kích thước quần áo may sẵn… + Tuy nhiên, có số hạn chế như: phải tiến hành số phép thử đủ lớn, xác suất tìm thực phép thử… Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học: Ví dụ 6: Giả sử châm ngẫu nhiên mũi kim vào hình chữ nhật U-chiều dài 5cm, chiều rộng 4cm Gọi A biến cố “mũi kim rơi vào hình tròn C bán kính 1cm” P(A)=? U C Định nghĩa: Xét phép thử có vô hạn kết cục đồng khả Giả sử ta biểu thị tập hợp kết cục đồng khả miền hình học U, kết cục thích hợp cho biến cố A điểm thuộc miền C Khi P(A)= Kích thước miền C Kích thước miền U Trở lại ví dụ, ta có P(A) = Diện tích hình tròn C Diện tích hình chữ nhật U = 12.3,14 4.5 Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn - Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu biến cố có xác suất nhỏ thực tế cho phép thử biến cố không xảy -Nguyên lý xác suất lớn: Nếu biến cố có xác suất gần thực tế cho biến cố chắn xảy Chú ý: Việc quy định mức xác suất đủ coi nhỏ hay lớn tuỳ thuộc vào toán cụ thể Bài tập… Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên trường Đại học kinh tế Quốc dân Hà Nội http://baigiangtoanhoc.com Giáo trình xác suất dành cho nhà kinh tế §3 Các định lý công thức xác suất Ở mục trước nghiên cứu phương pháp tính xác suất biến cố định nghĩa Tuy nhiên cách tính trực tiếp lúc tiện lợi dùng Khi cần tính xác suất biến cố A phức tạp, thông thường phải phân tích A thành biến cố đơn giản B, C, D…(dễ tính xác suất ), sau kết hợp xác suất để tính P(A) Để kết hợp xác suất, người ta dùng định lý xác suất I Định lý nhân xác suất: 1.1 Định nghĩa: (Tích biến cố ) Một biến cố A gọi tích hai biến cố B C A xảy B C xảy Kí hiệu: A= B.C (A=B  C) 1.2 Định nghĩa: (tích n biến cố ) Biến cố A gọi tích n biến cố A1, A2,….An A xảy n biến cố đồng n thời xảy ra, kí hiệu A   Ai i 1 1.3 Xác suất có điều kiện: Xác suất biến cố A tính với giả thiết biến cố B xảy gọi xác suất có điều kiện A với giả thiết B, kí hiệu P(A/B) Ví dụ 7: Trong hộp có cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên cầu (không hoàn lại) Tìm xác suất để lần thứ lấy cầu trắng biết: a Lần lấy cầu trắng b Lần lấy cầu đen Giải: Gọi A biến cố “lần lấy cầu trắng” B biến cố “lần lấy cầu đen” Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên trường Đại học kinh tế Quốc dân Hà Nội http://baigiangtoanhoc.com Giáo trình xác suất dành cho nhà kinh tế a P(A/B)=4/7 b P(A/B) = 5/7 1.4 Định nghĩa: Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy biến cố ngược lại P ( A / B)  P( A)  P ( A / B) P ( B / A)  P( B )  P ( B / A) Hai biến cố A B không độc lập gọi phụ thuộc Ví dụ 8: Trong ví dụ giả thiết lấy sản phẩm có hoàn lại A B độc lập 1.5 Định nghĩa: Các biến cố A1, A2,….An gọi độc lập đôi cặp chúng độc lập với 1.6 Định nghĩa: Các biến cố A1, A2,….An gọi độc lập toàn phần (độc lập toàn thể) biến cố chúng độc lập với tích số biến cố lại 1.7 Định lý nhân xác suất : Xác suất tích biến cố tích xác suất chúng với xác suất có điều kiện biến cố với giả thiết biến cố thứ xảy P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B) Chứng minh: Giả sử n số kết cục đồng khả xảy phép thử; m1 số kết cục thuận lợi cho biến cố A xảy ra; m2 số kết cục thuận lợi cho biến cố B xảy Có k kết cục thuận lợi cho hai biến cố A B xảy Hay P(AB)=k/n, P(A)=m1/n Với điều kiện A xảy số kết cục đồng khả phép thử biến cố B m1, có k kết cục thuận lợi cho biến cố B, hay P(B/A)=k/m1 Ta có: P(AB)=k/n=(m1/n).(k/m1)=P(A).P(B/A) Tương tự P(AB)= P(B).P(A/B) Hệ 1: Nếu P(B)>0 P ( A / B )  Nếu P(A)>0 P ( B / A)  P ( AB ) P(B) P ( AB ) P ( A) Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên trường Đại học kinh tế Quốc dân Hà Nội http://baigiangtoanhoc.com Giáo trình xác suất dành cho nhà kinh tế Hệ 2: A B biến cố độc lập P(AB)=P(A).P(B) Ta có định lý nhân cho tích n biến cố Định lý: Nếu P(A1A2….An-1)>0 P(A1A2….An)=P(A1).P(A2/A1)…P(An/A1…An-1) v biến cố A1 , A2….An-1 độc lập toàn phần P(A1A2….An)=P(A1).P(A2)…P(An) Ví dụ 1: Một hộp đựng cầu trắng, đen Lấy nn cầu Tính xác suất để lần thứ lấy cầu trắng, lần thứ lấy cầu đen Giải: Gọi A biến cố “lần lấy cầu trắng” B biến cố “lần lấy cầu đen” Ta có P(AB)=P(A).P(B/A)=5/8.3/7=15/56 Ví dụ 2: Một người muốn gọi điện thoại quên chữ số cuối Tính xác suất để người bấm nn lần số máy, biết: a Người không nhớ số quên b người nhớ chữ số khác Giải: Gọi A biến cố “người bấm số máy” B biến cố “người bấm số hàng trăm” C biến cố “người bấm số hàng chục” D biến cố “người bấm số hàng đơn vị” Khi A=BCD, P(A)=P(BCD) a Do B, C, D độc lập nên P(A)=P(B)P(C)P(D)=1/10.1/10.1/10=1/1000 b.B, C, D không độc lập P(A)=P(B)P(C/B)P(D/BC)=1/10.1/9.1/8=1/720 II Định lý cộng xác suất 2.1.Biến cố tổng: Định nghĩa 1: Biến cố A gọi tổng biến cố B C A xảy biến cố B C xảy K/h: A=B+C (hoặc A=B  C) Ví dụ 3: Hai người bắn vào bia, B biến cố “người thứ bắn trúng” C biến cố “người thứ bắn trúng” A biến cố “bia bị trúng đạn” Khi A=B+C Ví dụ 4: Gieo xúc xắc B biến cố “xuất mặt chấm” Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên trường Đại học kinh tế Quốc dân Hà Nội http://baigiangtoanhoc.com Giáo trình xác suất dành cho nhà kinh tế C biến cố “xuất mặt chấm” A biến cố “được nhiều mặt chấm” A=B + C Định nghĩa 2: Biến cố A gọi tổng n biến cố A1 , A2….An A xảy n biến cố xảy K/h: A= A1 + A2….+An 2.2.Tính xung khắc biến cố : Định nghĩa 3: Hai biến cố B, C gọi xung khắc chúng đồng thời xảy thực phép thử (BC=V) Định nghĩa 4: Các biến cố A1 , A2….An gọi đôi xung khắc (xung khắc đôi) biến cố chúng xung khắc.( AiAj=V) Ví dụ 5: biến cố ví dụ không xung khắc biến cố ví dụ xung khắc Định nghĩa 5: (biến cố đối lập) Biến cố đối lập biến cố A, kí hiệu A , biến cố thoả mãn A+ A =U, A A =V Nhận xét: A A xung khắc Ví dụ 6: A biến cố xuất mặt chấm chẵn B biến cố xuất mặt chấm lẻ A B biến cố đối lập , B= A Nhận xét: Nếu B, C hai biến cố độc lập cặp biến cố B, C ; B, C ; B , C độc lập Định nghĩa 6: Các biến cố A1, A2,…An gọi lập thành hệ đầy đủ biến cố thoả mãn điều kiện sau: + Tổng chúng biến cố chắn: A1+ A2+…+An = U + Đôi xung khắc Ví dụ 7: *Gieo xúc xắc: + Ai biến cố “xuất mặt I chấm” Các biến cố A1, A2,A3…A6 lập thành hệ đầy đủ + A biến cố “xuất mặt chấm chẵn” B biến cố “xuất mặt chấm lẻ” A, B lập thành hệ đầy đủ biến cố Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên trường Đại học kinh tế Quốc dân Hà Nội http://baigiangtoanhoc.com Giáo trình xác suất dành cho nhà kinh tế *Một hộp đựng bi xanh, bi đỏ, bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên H1 biến cố “lấy đựoc bi xanh” H2 biến cố “lấy đựoc bi đỏ” H3 biến cố “lấy đựoc bi vàng” H1, H2, H3 lập thành hệ đầy đủ biến cố Định lý ( cộng xác suất): P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) Chứng minh: Giả sử có n kết cục đồng khả xảy phép thử Số kết cục thuận lợi cho A m1, số kết cục thuận lợi cho B m2 Do A B không xung khắc, nên có k kết cục thuận lợi cho AB xảy Kết cục thuận lợi cho biến cố A, B xảy m1+m2-k (đpcm) cách 2: Chứng minh mô tả biểu đồ Ven Hệ 1: Nếu A B biến cố xung khắc P(A+B)=P(A)+P(B) Hệ 2: Xác suất tổng n biến cố không xung khắc: n n P ( Ai )   P( Ai )   P ( Ai A j )  i 1 i j  P( A A A )   (1) i j k n 1 P( A1 A2 An ) i  j k Ví dụ 8: P( A1  A2  A3 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  P( A1 A2 )  P( A1 A3 )  P( A2 A3 )  P( A1 A2 A3 ) Hệ 3: Nếu biến cố A1, A2,…An đôi xung khắc n n P ( Ai )   P( Ai ) i 1 Ví dụ 9: Xác suất để động thứ máy bay bị trúng đạn 0,2; để động thứ bị trúng đạn 0,3; để phi công bị trúng đạn 0,1 Tìm xác suất để máy bay bị rơi, biết máy bay bị rơi hai động bị trúng đạn phi công bị trúng đạn Giải: Gọi Ai biến cố “động thứ i bị trúng đạn”, i=1,2 A3 biến cố “phi công bị trúng đạn” A biến cố “máy bay rơi” A=A1 A2+A3, P(A)=P(A1)P(A2)+P(A3)-P(A1)P(A2)P(A3) Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên trường Đại học kinh tế Quốc dân Hà Nội http://baigiangtoanhoc.com Giáo trình xác suất dành cho nhà kinh tế =0,2.0,3+0,1-0,2.0,3.0,1=0,154 Ví dụ 10: Một sản phẩm xuất xưởng phải qua lần kiểm tra Xác suất để phế phẩm bị loại lần kiểm tra đầu 0,8; không bị loại xác suất bị loại lần thứ 0,9; lần thứ không bị loại xác suất để bị loại lần kiểm tra thứ 0,95 Tính xác suất để sản phẩm bị loại qua lần kiểm tra Giải: Gọi Ai biến cố “phế phẩm bị loại lần kiểm tra i” i=1,2,3 A biến cố “phế phẩm bị loại qua lần kiểm tra” Khi A tổng ba biến cố xung khắc A  A1  A1 A2  A1 A A3 P(A)  P(A1)  P(A1A2 )  P(A1 A2 A3)  P(A1)  P(A1)P(A2 / A1)  P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1 A2 ) =0,8+0,2.0,9+0,2.0,1.0,95=0,999 Cách2: P ( A)   P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 )P( A2 / A1 )P( A3 / A1 A2 ) =1-0,2.0,1.0,05=0,999 2.3 Quy tắc đối ngẫu: (De Morgan) Ví dụ 11: A1 biến cố “người thứ đỗ” A2 biến cố “người thứ hai đỗ” Suy ra: Biến cố “cả hai người đỗ”:A1 A2 Biến cố người không đỗ: A1  A2 A1 A2 Biến cố hai người không đỗ: A1  A2 A1 A2 Ta có công thức De Morgan: A1  A2   An  A1 A2 An A1 A2 An  A1  A2   An Từ ta có: Nếu A1, A2,…An không xung khắc, độc lập P(  Ai )    P ( A i ) Ví dụ 12: Hai người bắn viên đạn vào bia Xác suất bắn trúng 0,8; 0,7 Tìm xác suất để bia bị bắn Giải: Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên trường Đại học kinh tế Quốc dân Hà Nội http://baigiangtoanhoc.com Giáo trình xác suất dành cho nhà kinh tế Gọi A1 biến cố “người thứ bắn trúng bia” A2 biến cố “người thứ hai bắn trúng bia” A biến cố “bia bị bắn” A=A1+A2 Cách 1: A  A1 A2  A1 A2  A1A P ( A)  P ( A1 ) P ( A2 )  P ( A1 ) P ( A2 )  P ( A1 ) P ( A2 ) Cách 2: P( A)  P( A1 )  P( A2 )  P( A1A ) Cách 3: P ( A)   P ( A1 )P (A ) Ví dụ 13: Một người bắn viên đạn độc lập vào bia Tính xác suất để viên trúng bia trường hợp sau: a Xác suất trúng viên 0,7;0,8;0,9 b Xác suất trúng viên 0,7 Giải: b P(B)=3.(0,7)2.0,3 Ví dụ 14: Người bắn 300 viên, xác suất trúng viên 0,7 Tính xác suất để có 200 viên trúng bia 200 P ( B )  C 300 (0,7) 200 (0,3)100 III.Công thức Bernoulli: 3.1 Lược đồ Bernoulli + Tiến hành n phép thử độc lập + Ở phép thử phân làm kết A A +Xác suất xảy biến cố A phép thử P(A) = p (P( A )=1- p = q) Lược đồ gọi lược đồ Bernoullli với tham số n,p 3.2 Công thức Bernoulli: Xác suất để biến cố A xảy x lần n phép thử trên, kí hiệu tính công thức: Pn ( x)  C nx p x (1  p ) n  x Ví dụ 15: Một người bắn viên đạn độc lập với vào bia, xác suất viên trúng 0,7 Tính xác suất để a Có viên trượt bia b Bia bị trúng đạn Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên trường Đại học kinh tế Quốc dân Hà Nội http://baigiangtoanhoc.com Giáo trình xác suất dành cho nhà kinh tế Giải: Gọi A biến cố “mỗi viên trúng bia”->P(A)=0,7 3 a Xácsuấtđể viên trượt :1  P3 (3)   C3 (0,7) (1  0,7) 3  0,657 b Xác suất để bia bị trúng đạn: P3 (1)  P3 (2)  P3 (3)  C31 (0,7).(0,3)  C32 (0,7) 0,3  C33 (0,7)  0,973 IV.Công thức xác suất toàn phần-Công thức Bayes: 4.1.Công thức xác suất toàn phần: Giả sử biến cố A xảy với biến cố Hi (i=1 n), biến cố H1, H2, Hn lập thành hệ đầy đủ biến cố Khi ta phân tích biến cố A sau: A=AH1+AH2+…AHn P(A)=P(H1)P(A/H1)+…+P(Hn)P(A/Hn) n Hay P ( A )   P ( H i ) P ( A / H i ) -gọi công thức xác suất toàn phần i 1 Ví dụ 16: Có hộp bóng đèn, có hộp loại 1, hộp có bóng tốt, bóng xấu; hộp loại 2, hộp có bóng tốt, bóng xấu Lấy ngẫu nhiên hộp, từ rút bóng Tính xác suất để bóng lấy xấu Giải: Gọi A biến cố “bóng lấy xấu” H1 bc “lấy hộp loại 1” H2 bc “lấy hộp loại 2” P(H1)=3/5, P(H2)=2/5 Ta có: P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2) P(A/H1)=1/10, P(A/H2)=2/6 P(A)=3/5.1/10+2/5.2/6=0,193 4.2.Công thức Bayes: Với giả thiết trên, thêm điều kiện biến cố A xảy Vì biến cố H1, Hn lập thành hệ đầy đủ biến cố nên với A phải có biến cố biến cố Hi xảy Ta quan tâm đến vấn đề: Khi A xảy khả xảy biến cố Hi bao nhiêu, tức P(Hi/A)=? Ta có : P(A).P(Hi/A)=P(Hi).P(A/Hi) Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên trường Đại học kinh tế Quốc dân Hà Nội http://baigiangtoanhoc.com -> P ( H i / A)  Giáo trình xác suất dành cho nhà kinh tế P( H i ).P( A / H i ) P( A) Công thức gọi công thức Bayes Các xác suất P(Hi/A) gọi xác suất hậu nghiệm Các xác suất P(Hi) gọi xác suất tiên nghiệm Ví dụ 17: Với giả thiết cho ví dụ 1.Giả sử bóng lấy xấu Tìm xác suất để bóng thuộc loại Ta có P ( H / A)  P( A / H ).P ( H ) / 10.3 /   0,3103 P( A) 29 / 150 Ví dụ 18: Hộp đựng 3T, 7Đ; Hộp đựng 7T, 3Đ; Hộp đựng 10Đ Lấy ngẫu nhiên hộp, từ lấy ngẫu nhiên cầu a Tính xác suất để cầu Đ b Nếu cầu lấy Đ, xác suất để thuộc hộp c Nếu cầu lấy Đ, người ta trả hộp vừa lấy, sau lại lấy ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để cầu Đ Giải: Gọi A biến cố “quả cầu lấy Đ” H1 biến cố hộp lấy hộp H2 biến cố hộp lấy hộp H3 biến cố hộp lấy hộp a A=AH1+AH2+AH3 P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2)+P(H3)P(A/H3) =1/3.7/10+1/3.3/10+1/3.10/10=20/30 b P ( H / A)  P ( H / A)  P( H ) P( A / H )  20 P ( A) P ( H ) P( A / H )  20 P( A) P ( H / A)  P ( H ) P( A / H ) 10  20 P( A) b Đặt P(Hi/A)=P(H’i) ,i=1,2,3 Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên trường Đại học kinh tế Quốc dân Hà Nội http://baigiangtoanhoc.com Giáo trình xác suất dành cho nhà kinh tế Gọi B biến cố lấy lần thứ Đ B  BH ' BH ' BH ' P ( B )  P ( H ' ) P ( B / H ' )  P ( H ' ) P( B / H ' )  P ( H '3 ) P( B / H ' )  / 20.7 /10  / 20.3 / 10  10 / 20.10 / 10  158 / 200 Ví dụ 19: Tỷ lệ công nhân nghiện thuốc nhà máy 30%, biết tỷ lệ người viêm họng số công nhân nghiện thuốc 60%, số người không nghiện thuốc 40% a Chọn ngẫu nhiên công nhân, thấy người bị viêm họng Tính xác suất để công nhân bị nghiện thuốc b Nếu công nhân không bị viêm họng, tính xác suất để công nhân nghiện thuốc Giải: Gọi A biến cố chọn công nhân bị viêm họng, B biến cố chọn nghiện thuốc A  AB  AB , P(B)=0,3 ;P( B )=0,7; P(A/B)=0,6 ; P(A/ B )=0,4 P(A) = 0,3.0,6+0,7.0,4 = 0,46 a Xác suất để công nhân nghiện thuốc bị viêm họng P ( B / A)  P ( B).P( A / B) 0,3.0,6   0,39 P ( A) 0,46 b Xác suất để công nhân nghiện thuốc không bị viêm họng P ( B / A)  P ( B).P( A / B) 0,3.0,4   0,22 0,54 P ( A) Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Nguyễn Hồng Nhật –Giảng viên trường Đại học kinh tế Quốc dân Hà Nội [...]... Gọi Ai là biến cố “phế phẩm bị loại ở lần kiểm tra i” i =1, 2,3 A là biến cố “phế phẩm bị loại qua 3 lần kiểm tra” Khi đó A là tổng của ba biến cố xung khắc A  A1  A1 A2  A1 A 2 A3 P(A)  P(A1)  P(A1A2 )  P(A1 A2 A3)  P(A1)  P(A1)P(A2 / A1)  P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1 A2 ) =0,8+0,2.0,9+0,2.0 ,1. 0,95=0,999 Cách2: P ( A)  1  P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 )P( A2 / A1 )P( A3 / A1 A2 ) =1- 0,2.0 ,1. 0,05=0,999... đối ngẫu: (De Morgan) Ví dụ 11 : A1 là biến cố “người thứ nhất đỗ” A2 là biến cố “người thứ hai đỗ” Suy ra: Biến cố “cả hai người đỗ”:A1 A2 Biến cố ít nhất một người không đỗ: A1  A2 hoặc A1 A2 Biến cố cả hai người không đỗ: A1  A2 hoặc A1 A2 Ta có công thức De Morgan: A1  A2   An  A1 A2 An A1 A2 An  A1  A2   An Từ đó ta có: Nếu A1, A2,…An không xung khắc, độc lập thì P(  Ai )  1  ... trúng bia” A là biến cố “bia bị bắn” A=A1+A2 Cách 1: A  A1 A2  A1 A2  A1A 2 P ( A)  P ( A1 ) P ( A2 )  P ( A1 ) P ( A2 )  P ( A1 ) P ( A2 ) Cách 2: P( A)  P( A1 )  P( A2 )  P( A1A 2 ) Cách 3: P ( A)  1  P ( A1 )P (A 2 ) Ví dụ 13 : Một người bắn 3 viên đạn độc lập vào bia Tính xác suất để 2 viên trúng bia trong 2 trường hợp sau: a Xác suất trúng của mỗi viên là 0,7;0,8;0,9 b Xác suất trúng của... Lấy ngẫu nhiên một hộp, từ đó rút ra một bóng Tính xác suất để bóng lấy ra là xấu Giải: Gọi A là biến cố “bóng lấy ra là xấu” H1 là bc “lấy được hộp loại 1 H2 là bc “lấy được hộp loại 2” P(H1)=3/5, P(H2)=2/5 Ta có: P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2) P(A/H1) =1/ 10, P(A/H2)=2/6 P(A)=3/5 .1/ 10+2/5.2/6=0 ,19 3 4.2.Công thức Bayes: Với giả thiết như trên, thêm điều kiện là biến cố A xảy ra Vì các biến cố H1, Hn... trình xác suất dành cho các nhà kinh tế P( H i ).P( A / H i ) P( A) Công thức trên gọi là công thức Bayes Các xác suất P(Hi/A) gọi là các xác suất hậu nghiệm Các xác suất P(Hi) gọi là các xác suất tiên nghiệm Ví dụ 17 : Với các giả thiết cho trong ví dụ 1. Giả sử bóng lấy ra là xấu Tìm xác suất để bóng đó thuộc loại 1 Ta có P ( H 1 / A)  P( A / H 1 ).P ( H 1 ) 1 / 10 .3 / 5   0, 310 3 P( A) 29 / 15 0 Ví... được lấy ra là hộp 1 H2 là biến cố hộp được lấy ra là hộp 2 H3 là biến cố hộp được lấy ra là hộp 3 a A=AH1+AH2+AH3 P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2)+P(H3)P(A/H3) =1/ 3.7 /10 +1/ 3.3 /10 +1/ 3 .10 /10 =20/30 b P ( H 1 / A)  P ( H 2 / A)  P( H 1 ) P( A / H 1 ) 7  20 P ( A) P ( H 2 ) P( A / H 2 ) 3  20 P( A) P ( H 3 / A)  P ( H 3 ) P( A / H 3 ) 10  20 P( A) b Đặt P(Hi/A)=P(H’i) ,i =1, 2,3 Bài giảng được cung cấp... cố A có thể xảy ra với một trong các biến cố Hi (i =1 n), trong đó các biến cố H1, H2, Hn lập thành một hệ đầy đủ các biến cố Khi đó ta có thể phân tích biến cố A như sau: A=AH1+AH2+…AHn P(A)=P(H1)P(A/H1)+…+P(Hn)P(A/Hn) n Hay P ( A )   P ( H i ) P ( A / H i ) -gọi là công thức xác suất toàn phần i 1 Ví dụ 16 : Có 5 hộp bóng đèn, trong đó có 3 hộp loại 1, mỗi hộp có 9 bóng tốt, 1 bóng xấu; 2 hộp loại... Giáo trình xác suất dành cho các nhà kinh tế Giải: Gọi A là biến cố “mỗi viên trúng bia”->P(A)=0,7 3 3 a Xácsuấtđể một viên trượt :1  P3 (3)  1  C3 (0,7) (1  0,7) 3 3  0,657 b Xác suất để bia bị trúng đạn: P3 (1)  P3 (2)  P3 (3)  C 31 (0,7).(0,3) 2  C32 (0,7) 2 0,3  C33 (0,7) 3  0,973 IV.Công thức xác suất toàn phần-Công thức Bayes: 4 .1. Công thức xác suất toàn phần: Giả sử biến cố A có thể... dụ 18 : Hộp 1 đựng 3T, 7Đ; Hộp 2 đựng 7T, 3Đ; Hộp 3 đựng 10 Đ Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu a Tính xác suất để được quả cầu Đ b Nếu quả cầu lấy ra là Đ, xác suất để nó thuộc mỗi hộp là bao nhiêu c Nếu quả cầu lấy ra là Đ, người ta trả nó về hộp vừa lấy, sau đó lại lấy ngẫu nhiên ra 1 quả cầu Tính xác suất để quả cầu này là Đ Giải: Gọi A là biến cố “quả cầu lấy ra Đ” H1 là biến cố. .. Bernoulli: Xác suất để biến cố A xảy ra x lần trong n phép thử trên, được kí hiệu và tính bởi công thức: Pn ( x)  C nx p x (1  p ) n  x Ví dụ 15 : Một người bắn 3 viên đạn độc lập với nhau vào một bia, xác suất mỗi viên trúng là 0,7 Tính xác suất để a Có một viên trượt bia b Bia bị trúng đạn Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Nguyễn Hồng Nhật Giảng viên ... khả xảy biến cố số §2 Xác suất biến cố Khả xảy biến cố gọi xác suất biến cố Xác suất biến cố A kí hiệu P(A) Xác suất số xác định phụ thuộc vào điều kiện xảy phép thử không phụ thuộc vào ý muốn... = 12 .3 ,14 4.5 Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn - Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu biến cố có xác suất nhỏ thực tế cho phép thử biến cố không xảy -Nguyên lý xác suất lớn: Nếu biến cố có xác suất. .. Các biến cố A1, A2,….An gọi độc lập toàn phần (độc lập toàn thể) biến cố chúng độc lập với tích số biến cố lại 1. 7 Định lý nhân xác suất : Xác suất tích biến cố tích xác suất chúng với xác suất