Biến ngẫu nhiên, Xác suất, Luật số lớn, Không gian Banach, Lý thuyết xác suất.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ VĂN DŨNG MỘT SỐ DẠNG LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH p-KHẢ TRƠN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Văn Dũng MỘT SỐ DẠNG LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH p-KHẢ TRƠN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Duy Tiến Hà Nội - 2013 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Lê Văn Dũng LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Duy Tiến Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy định hướng gợi mở vấn đề Thầy nghiên cứu, nghiêm khắc Thầy học tập tình thương Thầy dành cho tác giả sống Trong q trình học tập hồn thành luận án, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ góp ý GS.TS Nguyễn Hữu Dư, GS TS Nguyễn Văn Hữu, TS Nguyễn Văn Hùng, TS Nguyễn Hắc Hải, PGS TS Hồ Đăng Phúc, PGS TS Phạm Ngọc Phúc, PGS TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Trần Hùng Thao, GS TSKH Đặng Hùng Thắng, PGS TS Phan Viết Thư, TS Lê Văn Thành, Tác giả xin chân thành cảm ơn tới quý thầy bạn Lê Văn Thành giúp đỡ quý báu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, nơi tác giả học tập nghiên cứu từ năm 2008 tới Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Thầy, Cô Bộ môn Lý thuyết xác suất thống kê toán, Khoa Toán - Cơ - Tin học giúp đỡ tác giả nhiều q trình học tập hồn thành luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, đồng nghiệp Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm, nơi tác giả công tác giảng dạy Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tất thầy cơ, gia đình bạn bè góp ý, ủng hộ động viên tác giả trình học tập hoàn thành luận án Lê Văn Dũng MỤC LỤC Những kí hiệu dùng luận án Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kì vọng có điều kiện 1.2 Một số dạng hội tụ mảng biến ngẫu nhiên 10 1.3 Không gian Banach p-khả trơn 13 Chương Luật mạnh số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên 18 2.1 Chuỗi kép biến ngẫu nhiên số 18 2.2 Luật mạnh số lớn 32 Chương Hội tụ theo trung bình luật yếu mảng biến ngẫu nhiên 3.1 Khả tích 3.2 Định lí hội tụ theo trung bình 3.3 Luật yếu số lớn Feller 3.4 Luật yếu số lớn mảng khả tích Kết luận kiến nghị số lớn cho 44 44 48 53 62 66 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 67 Tài liệu tham khảo 68 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N R E · B(E) (Ω, F, P ) Card(A) I(A) a := b (k, l) ≺ (m, n) m∨n m∧n log(x) log+ (x) [x] Tập hợp số nguyên dương Tập hợp số thực Không gian Banach thực khả ly Chuẩn không gian Banach E σ -đại số Borel không gian Banach E Không gian xác suất đầy đủ Số phần tử tập hợp A Hàm tiêu tập hợp A a gán b k ≤ m l ≤ n max{m, n} min{m, n} logarit số e x max{log(x), 0} Số nguyên lớn không vượt x MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Kolmogorov nói "Giá trị chấp nhận lý thuyết xác suất định lí giới hạn, kết chủ yếu quan trọng lý thuyết xác suất luật số lớn", luật số lớn đánh giá ba viên ngọc quý lý thuyết xác suất Ngày nay, luật số lớn vấn đề có tính thời lý thuyết xác suất 1.2 Từ năm 1950 trở lại đây, luật số lớn nghiên cứu mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Ngày vấn đề tiếp tục nghiên cứu 1.3 Luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên martingale nhận giá trị không gian Banach nghiên cứu nhiều tác giả có tên tuổi Tuy nhiên việc mở rộng khái niệm martingale cho mảng nhiều số gặp khó khăn nên định lí giới hạn mảng nhiều số biến ngẫu nhiên không độc lập chưa nghiên cứu nhiều Với lí chúng tơi định chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: Một số dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu hội tụ chuỗi kép, luật mạnh số lớn Kolmogorov luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund mảng biến ngẫu nhiên, hội tụ theo trung bình bậc p, luật yếu số lớn Feller luật yếu số lớn mảng biến ngẫu nhiên điều kiện khả tích Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng kĩ thuật giải tích xác suất, kĩ thuật martingale để chứng minh định lí hội tụ Một số bổ đề quan trọng như: Bổ đề Borel-Cantelli, Bổ đề Toeplitz Bất đẳng thức cực đại Kolmogorov, Bất đẳng thức Doob, sử dụng để chứng minh kết Ý nghĩa khoa học thực tiễn Ý nghĩa khoa học: góp phần làm phong phú thêm kết hiểu biết hội tụ chuỗi, luật mạnh số lớn, hội tụ theo trung bình luật yếu số lớn mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Ý nghĩa thực tiễn: luận án góp phần phát triển lý thuyết định lí giới hạn mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach lý thuyết xác suất Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Các định lí giới hạn lý thuyết xác suất nói chung luật số lớn nói riêng đóng vai trò quan trọng phát triển lý thuyết thực hành xác suất thống kê Luật số lớn James Bernoulli công bố năm 1713 Về sau, kết Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng Tuy nhiên, phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn E Borel phát Kết Borel Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926 Luật mạnh số lớn Kolmogorov phát biểu rằng: Nếu {Xn } dãy biến ngẫu nhiên độc lập với moment bậc hữu hạn, {bn } dãy số cho < bn ↑ ∞ Khi đó, ∞ n=1 DXn 2) chiều hoàn toàn tương tự trường hợp mảng chiều nên luận án xét cho mảng biến ngẫu nhiên chiều Các kết luận án báo cáo hội nghị: Hội nghị toàn quốc lần thứ Xác suất thống kê (Vinh, 5/2010), Hội Nghị Khoa Học Khoa Toán - Cơ - Tin học (trường ĐH Khoa học Tự nhiênĐHQG Hà Nội, 10/2010), đăng tạp chí: Acta Mathematica Vietnamica, Statistics and Probability Letters, Lobachevskii Journal of Mathematics, Bulletin of the Korean Mathematical Society, Journal of the Korean Mathematical Society 7.2 Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, Kết luận, Danh mục báo nghiên cứu sinh liên quan đến luận án tài liệu tham khảo, luận án trình bày ba chương Chương trình bày khái niệm kì vọng, kì vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach, số dạng hội tụ mảng biến ngẫu nhiên thiết lập bất đẳng thức cực đại cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Chương thiết lập điều kiện hội tụ chuỗi kép mảng hai chiều biến ngẫu nhiên Cũng Chương không thiết lập luật mạnh số lớn mà đưa tốc độ hội tụ luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Chương đưa định lí hội tụ theo trung bình bậc p luật yếu số lớn gồm luật yếu số lớn Feller với số ngẫu nhiên không ngẫu nhiên thiết lập điều kiện khả tích điều kiện đủ để thu luật yếu số lớn tổng kép biến ngẫu nhiên có số ngẫu nhiên Chương gồm mục Mục 3.1 trình bày khái niệm khả tích đều, mục 3.2 trình bày kết định lí hội tụ trung bình, mục 3.3 3.4 trình bày kết luật yếu số lớn Hơn nữa, {Tn ; n ≥ 1} {τn ; n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên R-giá trị nhận giá trị nguyên dương thỏa mãn điều kiện (3.7), Tm τn P (Xij − cmnij ) −→ m ∧ n → ∞ amn (3.17) i=1 j=1 ≤ bmn ) Để chứng minh (3.16) ta chứng tỏ giả thiết Định lí 3.3.1 thỏa mãn Từ (3.15), lấy a = kmn bmn = g(kmn ) có (3.4) thỏa mãn Bây ta chứng tỏ điều kiện (3.5) thỏa mãn Vì g hàm khơng giảm nên Chứng minh Đặt bmn = g(kmn ), Vmnij = Vij I( Xij um um E Vmnij p E Xij I(g(l − 1) < Xij ≤ g(l)) p E Vmnij − cmnij apmn p ≤C i=1 j=1 apmn i=1 j=1 (theo bất đẳng thức cr ) =C um apmn +C E Xij I( Xij ≤ g(1)) p i=1 j=1 um apmn kmn i=1 j=1 l=2 := C.Mmn + C.Nmn (3.18) Do (3.11), (3.12) (3.14), ta có Mmn = ≤ ≤ ≤ apmn apmn kmn apmn apmn um um ∞ E Xij I(g(1/(l + 1)) < Xij ≤ g(1/l)) p i=1 j=1 l=1 ∞ p g (1/l)P {g(1/(l + 1)) < Xij ≤ g(1/l)} i=1 j=1 l=1 um ∞ [(g p (1/(l − 1)) − g p (1/l))P { Xij > g(1/l)}] i=1 j=1 l=2 ∞ g p (1) + l=1   p g (1/l) sup sup a>0 m≥1,n≥1  kmn → m ∨ n → ∞ um aP { Xij i=1 j=1   > g(a)}  (3.19) 59 Với Nmn , ta có Nmn ≤ um apmn kmn g p (l)P {g(l − 1) < Xij ≤ g(l)} i=1 j=1 l=2  ≤ g p (1) +  apmn apmn P { Xij > g(1)} kmn −1 (g p (l + 1) − g p (l))P { Xij > g(l)} i=1 j=1 l=1  = g p (1) + kmn  apmn kmn kmn −1 apmn  i=1 j=1 um um l=1 p um  P { Xij > g(1)} i=1 j=1 + kmn  sup sup p amn a>0 m≥1,n≥1 kmn kmn apmn kmn −1 l=1 um (g (l + 1) − g (l))  l i=1  ≤ g p (1)  p um  lP { Xij > g(l)} j=1  aP { Xij > g(a)} i=1 j=1  (g p (l + 1) − g p (l))  l kmn um  lP { Xij > g(l)} i=1 j=1 Lại (3.11) (3.14) ta có   um kmn  sup sup aP { Xij > g(a)} → m ∨ n → ∞ p amn a>0 m≥1,n≥1 kmn i=1 j=1 Mặt khác từ (3.13), (3.15) Bổ đề Toeplitz (xem [30], trang 250) ta có   kmn −1 um p p (g (l + 1) − g (l))  kmn lP { Xij > g(l)} p amn l kmn i=1 j=1 l=1 → m ∨ n → ∞ Do đó, Nmn → m ∨ n → ∞ 60 (3.20) Từ (3.18), (3.19) (3.20) suy giả thiết (3.5) thỏa mãn Theo Định lí 3.3.1 ta thu kết luận (3.16) Áp dụng Định lí 3.3.3 ta có kết luận (3.17) Định lí chứng minh Hệ 3.3.5 Cho E không gian Banach p-khả trơn với ≤ p ≤ {Xmn ; m ≥ 1, n ≥ 1} thỏa mãn E(Xmn |Fmn ) = với m ≥ 1, n ≥ Giả sử {Xmn ; m ≥ 1, n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X Cho < r < p, đặt cmnij = E(Xij I( Xij r ≤ mn)|Fij ) Giả sử cmnij Fkl -đo với (i, j) thỏa mãn i < k ≤ um j < l ≤ Nếu lim aP { X a→∞ r > a} = 0, max 1≤k≤m (mn)1/r 1≤l≤n k l P (Xij − cmnij ) −→ m ∨ n → ∞ (3.21) i=1 j=1 Chứng minh Lấy g(t) = t1/r , un = = n, kmn = mn amn = (mn)1/r Khi đó, điều kiện (3.11), (3.12), (3.14) (3.15) thỏa mãn Mặt kmn khác, từ bất đẳng thức p p −1 r , suy điều kiện (3.13) l r −2 ≤ C.kmn l=1 thỏa mãn Do ta thu kết luận (3.21) Hệ 3.3.6 Cho < r < Giả sử {Xn ; n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên R-giá trị bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên R-giá trị X Nếu lim aP {|X|r > a} = 0, a→∞ max n1/r 1≤l≤n l P (Xj − E(Xj I(|Xj |r ≤ n)|Fj )) −→ n → ∞, j=1 Fj = σ(Xi ; ≤ i < j) 61 3.4 Luật yếu số lớn mảng khả tích Định lý 3.4.1 Cho ≤ r < p ≤ Cho E không gian Banach p-khả trơn Giả sử {Xmn ; m ≥ 1, n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện khả tích cấp r theo nghĩa Cesàro E(Xmn |Fmn ) = với m ≥ 1, n ≥ Cho {Tn ; n ≥ 1} {τn ; n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên R-giá trị nhận giá trị nguyên dương cho lim P {Tn > un } = lim P {τn > } = n→∞ (3.22) n→∞ Giả sử với m ≥ n ≥ 1, E(Xij I( Xij r ≤ kmn )) Fkl -đo với (i, j) thỏa mãn i ≤ k ≤ um j ≤ l ≤ Khi Tm 1 r τn P Xij −→ n ∧ m → ∞ kmn (3.23) i=1 j=1 Chứng minh Với ε > tùy ý,   Tm τn   P Xij > ε  k 1r  mn i=1 j=1    T τ m n     Xij > ε ∩ (Tm ≤ um ) ∩ (τn ≤ ) ≤P  k 1r  mn i=1 j=1 + P {Tm > um } + P {τn > } (3.24) Với m, n, ≤ i ≤ um , ≤ j ≤ , đặt Vmnij = Xij I( Xij r ≤ kmn ), Vmnij = Xij I( Xij r > kmn ), Umnij = E(Vmnij |Fij ), Umnij = E(Vmnij |Fij ) Ta có   P   kr mn   um ≤P  Tm Xij i=1 j=1    > ε ∩ (Tm ≤ um ) ∩ (τn ≤ )   k l  Xij > ε   τn   11 r kmn i=1 j=1 i=1 j=1 62   k l   max max =P Xij > ε  k 1r 1≤k≤um 1≤l≤vn  i=1 j=1 mn   k l  ε max max (Vmnij − Umnij ) > ≤P  k 1r 1≤k≤um 1≤l≤vn 2 i=1 j=1 mn   k l  ε max max +P (Vmnij − Umnij ) >  k 1r 1≤k≤um 1≤l≤vn 2 C ≤ p r εp kmn + ≤ E Vmnij − Umnij εp kmn p i=1 j=1 um C εr kmn i=1  u C  m p r i=1 j=1 mn u m r E Vmnij − Umnij (theo Bổ đề 1.3.3) j=1  E Xij p I( Xij r ≤ kmn ) i=1 j=1  um  C  E Xij r I( Xij r > kmn ) (theo bất đẳng thức cr ) r ε kmn i=1 j=1   um C ≤ p p E Xij p I( Xij r ≤ kmn ) r ε kmn i=1 j=1   um C + r  sup E Xij r I( Xij r > kmn ) ε m≥1,n≥1 kmn i=1 j=1 + →0 m ∧ n → ∞ (áp dụng Bổ đề 3.1.2 với β = p (3.2)) (3.25) Vì từ (3.22), (3.24) (3.25) ta có kết luận (3.23) Trong ví dụ sau chúng tơi với giả thiết định lí thu kết luận hội tụ theo trung bình bậc r Ví dụ 3.4.2 Xét ≤ r < p ≤ Kí hiệu lp khơng gian Banach khả ∞ ly với chuẩn v = ( |vi |p )1/p Trong Ví dụ 4.6.2 Borovskykh i=1 Korolyuk [3] lp không gian Banach p-khả trơn Phần tử 63 lp có α (α ∈ R) vị trí thứ k vị trí cịn lại kí (k) hiệu vα , k ≥ Giả sử ϕ : N × N → N song ánh, N = {1, 2, 3, } tập tất số nguyên dương Xét {Xij ; i ≥ 1, j ≥ 1} mảng biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị lp xác định (ϕ(i,j)) (ϕ(i,j)) P Xij = v1 = P Xij = −v1 = ; i, j ≥ Giả sử un = = 2n , kmn = 2m 2n Khi đó, dễ dàng thấy (3.1) (3.2) thỏa mãn Xét {Tn , n ≥ 1} {τn , n ≥ 1} hai dãy biến ngẫu nhiên R-giá trị độc lập, phân phối xác suất với T1 and τ1 cho P {T1 = 2i } = P {τ1 = 2i } = 2−i giả thiết thêm {Tn ; n ≥ 1} độc lập với {τn ; n ≥ 1} Khi đó, điều kiện (3.22) thỏa mãn ∞ 2−i → n → ∞ P {Tn > un } = P {τn > } = i=n+1 Do đó, theo Định lí 3.4.1 ta có, 1 r kmn T m τn P Vij −→ n ∧ m → ∞ i=1 j=1 Tuy nhiên, E Vij r kmn r T m τn i=1 j=1 = E(Tm )r E(τn )r E(Tm τn )r = = ∞ 2m 2n 2m 2n Định lý 3.4.3 Cho < r < Giả sử {Xmn ; m ≥ 1, n ≥ 1} khả tích cấp r theo nghĩa Cesàro Cho {Tn ; n ≥ 1} {τn ; n ≥ 1} dãy đại lượng nhận giá trị nguyên dương thỏa mãn điều kiện (3.22) Khi Tm τn Xij −→ n ∧ m → ∞ r kmn P i=1 j=1 Chứng minh Chứng minh hoàn toàn tương tự chứng minh Định lí 3.4.1 với p = 64 Kết luận chương Trong Chương 3, luận án giải vấn đề sau: - Thiết lập định lí hội tụ theo trung bình bậc p cho mảng chiều biến ngẫu nhiên E-giá trị điều kiện khả tích - Chứng minh hội tụ theo trung bình bậc p cho mảng biến ngẫu nhiên E-giá trị điều kiện Kolmogorov - Thiết lập luật yếu số lớn với số ngẫu nhiên không ngẫu nhiên cho mảng biến ngẫu nhiên E-giá trị dạng luật số lớn Feller - Thiết lập luật yếu số lớn với số ngẫu nhiên cho mảng biến ngẫu nhiên E-giá trị điều kiện khả tích 65 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I Kết luận Luận án nghiên cứu hội tụ chuỗi ngẫu nhiên, luật mạnh số lớn, luật yếu số lớn hội tụ theo trung bình bậc p mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn Kết luận án là: Thiết lập điều kiện hội tụ chuỗi kép mảng biến ngẫu nhiên: định lí chuỗi định lí chuỗi Ngồi luận án thiết lập điều kiện hội tụ chuỗi kép biến ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên Thiết lập luật mạnh số lớn Kolmogorov luật mạnh số lớn MarcinkiewiczZygmund mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn Thiết lập số định lí hội tụ theo trung bình bậc p mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn điều kiện khả tích Thiết lập luật yếu số lớn Feller luật yếu số lớn điều kiện khả tích mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn II Kiến nghị Trong thời gian tới mong muốn tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu luật số lớn biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Hilbert Nghiên cứu định lí giới hạn trung tâm mảng biến ngẫu nhiên E-giá trị 66 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Le Van Dung, Thuntida Ngamkham, Nguyen Duy Tien, Andrei Volodin (2009), "Marcinkiewicz-type law of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces", Lobachevskii Journal of Mathematics 30 (4), pp.337-34 Le Van Dung, Nguyen Duy Tien (2010), "Strong laws of large numbers for random fields in martingale type p Banach spaces", Statistics and Probability letters 80 (9-10), pp.756-763 Le Van Dung (2010), "Weak laws of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces", Acta Mathematica Vietnamica 35, pp.387-398 Le Van Dung, Nguyen Duy Tien (2010), "Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces", Bull.Math Korean 47, pp.467 - 482 Nguyen Duy Tien, Le Van Dung (2012), "Convergence of double random series of random elements in Banach spaces", Journal of the Korean Mathematical Society 49, pp.1053-1064 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Adler, A., Rosalsky, A., Volodin, A I (1997), "A mean convergence theorem and weak law for arrays of random elements in martingale type p Banach spaces", Statistics and Probability Letters 32, pp.167174 [2] Assouad, P (1975), Espaces p-lisses et q-convexes, Inégalités de Burkholder, Séminaire Maruey-Schwartz, Exp ZV [3] Borovskykh, Yu V and Korolyuk, V S (1997), Martingale Approximation, VSP [4] Cabrera, M O (1988), "Limit theorems for randomly weighted sums of random elements in normed linear spaces", Journal of Multivariate Analysis 25 (1), pp.139-145 [5] Cabrera, M O (1994), "Convergence of weighted sums of random variables and uniform integrability concerning the weights", Collectanea Mathematica 45 (2), pp.121-132 [6] Chandra, T K (1989), "Uniform integrability in the Cesàro sense and the weak law of large numbers", Sankhyã Ser A 51 (3), pp.309-317 [7] Choi, B.D., Sung, S.H (1985), "On convergence of (Sn − ESn )/n1/r , < r < for pairwise independent random variables", Bull Korean Math Soc 22 (2), pp.79-82 [8] Chow, Y S., Teicher, H., (1997), Probability Theory Independence, Interchangeability, Martingale, Springer, New York 68 [9] Czerebak-Mrozowicz, E B., Klesov, O I., Rychlik, Z (2002), "Marcinkiewicz-type strong laws of large numbers for pairwise independent random fields", Probability and mathematical statistics 22 (1), pp.127-139 [10] Day, M.M, (1944), "Uniform convexity in factor and conjugate spaces", Ann.of Math 45, pp.375 -385 [11] Le Van Dung, Ngamkham, Th., Nguyen Duy Tien, Volodin, A I (2009), "Marcinkiewicz-type law of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces", Lobachevskii Journal of Mathematics 30 (4), pp.337-34 [12] Le Van Dung, Nguyen Duy Tien (2010), "Strong laws of large numbers for random fields in martingale type p Banach spaces" Statistics and Probability letters 80 (9-10), pp.756-763 [13] Le Van Dung (2010), "Weak laws of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces", Acta Mathematica Vietnamica 35, pp.387-398 [14] Le Van Dung, Nguyen Duy Tien (2010), "Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces", Bull.Math Korean 47, pp.467 - 482 [15] Etemadi, N (1981), "An elementary proof of the strong law of large numbers", Z Wahrsch Verw Gebiete 55 (1), pp.119-122 [16] Edgar,G A., Louis, S (1992), Stopping times and directed processes, 47, Cambridge University, England [17] Fazekas, I., Tómács, T (1998), "Strong laws of large numbers for pairwise independent random variables with multidimensional indices", Publ Math Debrecen 53 (1-2), pp.149-161 [18] Feller, W (1971), An introduction to probability theory and its applications, 2, 2nd ed Wiley, New York 69 [19] Gut, A (2001), "Convergence rates in the central limit theorem for multidimensionally indexed random variables", Studia Sci Math Hungar 37, pp.401-418 [20] Gut, A., Spˇataru, A (2003), "Precise asymptotics in some strong limit theorems for multidimensionally indexed random variables", J Multivariate Anal 86 (2), pp.398-422 [21] Gut, A., Stadtmă uller, U (2009), "An asymmetric MarcinkiewiczZygmund LLN for random fields", Statistics and Probability Letters 79, pp.1016-1020 [22] Hoffmann-Jørgensen, J., Pisier, G (1976), "The law of large numbers and the central limit theorem in Banach spaces", Ann.Probability 4(4), pp.587-599 [23] Hong, J I., Tsay, J (2010), "A strong law of large numbers for random elements in Banach spaces", Southest Asian Bulletin of Mathematics 34, pp.257-264 [24] Hong, D H., Cabrera, O M., Sung S H., Volodin, A I (2000), "On the weak law for randomly indexed partial sums for arrays of random elements in martingale type p Banach spaces", Statistics and Probability Letters 46, pp.177-185 [25] Hong, D.H., Hwang, S.Y (1999), "Marcinkiewicz-type strong law of large numbers for double arrays of pairwise independent random variables", Int J Math Math Sci 22 (1), pp.171-177 [26] Hong, D.H., Volodin, A.I (1999), "Marcinkewicz-type law of large numbers for double arrays", J.Korean Math.Soc 36 (6), pp.1133 - 1143 [27] Kwapie´ n, S., Woyczy´ nski, W.A (1992), Random Series and Stochastic Integrals: Single and Multiple, Birkhăauser, Boston 70 [28] Landers, D., Rogge, L (1987), "Laws of large numbers for pairwise independent uniformly integrable random variables", Math Nachr 130, pp.189-192 [29] Lindenstrauss J (1963), "On the modulus of smoothness and divergent series in Banach spaces", Michigan Math J 10, pp.241-252 [30] Loève, M (1977), Probability Theory, I, 4th Edition Springer, New York [31] Pisier, G (1975), "Martingales with values in uniformly convex spaces", Israel J Math 20 (3-4), pp.326-350 [32] Pisier, G (1986), "Probabilistic methods in the geometry of Banach spaces, in: Probability and Analysis (Varenna, 1985)", Lecture Notes in Math Springer, Berlin 1206, pp.167-241 [33] Nguyen Van Quang, Le Hong Son (2006), "On the weak law of large numbers for sequences of Banach space valued random elements", Bull.Korean.Soc 43 (3), pp.551-558 [34] Nguyen Van Quang, Nguyen Ngoc Huy (2008), "Weak law of large numbers for adapted double arrays of random variables", J.Korean.Soc 45 (3), pp.795-805 [35] Nguyen Van Quang, Le Van Thanh (2006), "Marcinkiewicz-Zigmund law of large numbers for blockwise adapted sequence", Bull Korean Math Soc 43 (1), pp.213-223 [36] Nguyen Van Quang, Le Van Thanh, Nguyen Duy Tien (2011), "Almost sure convergence for double arrays of block-wise M -dependent random elements in Banach spaces", Georgian Mathematical Journal 18, pp.777-800 [37] Rosalsky, A., Le Van Thanh ( 2006), "Strong and weak laws of large numbers for double sums of independent random elements in Rader71 macher type p Banach spaces", Stoch Anal Appl 24 (6), pp.10971117 [38] Scalora, F S (1961), "Abstract martingale convergence theorems", Pacific J Math 11, pp.347-374 [39] Shixin, G (2010), "On almost sure convergence of weighted sums of random element sequences",Acta Mathematica Scientia 30 (4), pp.1021-1028 [40] Su, C., Tong, T J (2004), "Almost Sure Convergence of the General Jamison Weighted Sum of B -Valued Random Variables", Acta Mathematica Sinica English Series 20 (1), pp.181-192 [41] Sung, S H (1999), "Weak law of large numbers for arrays of random variables", Statist Probab Lett 42 (3), pp.293-298 [42] Sung, S H., Hu, T.C., Volodin, A.I (2006), "On the weak laws with random indices for partial sums for arrays of random elements in martingale type p Banach spaces", Bull.Korean.Soc 43 (3), pp.543-549 [43] Stadtmulle, U., Le Van Thanh (2011), "On the limit theorems for double arrays of blockwise M-dependent random variables", Acta Math Sinica (English Series) 27, pp.1923-1934 [44] Stadtmă uller, U., Thalmaier, M (2009), "Strong laws for delayed sums of random fields", Acta Sci Math (Szeged) 75 (3-4), pp.723-737 [45] Le Van Thanh (2006), "Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for double arrays of random variables", Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, pp.1-15 [46] N D Tien (1980), "On Kolmogorov’s three series theorem and mean square convergence of martingales in a Banach space", Theory Probab Appl 24, pp.797-808 72 [47] Nguyen Duy Tien, Le Van Dung (2012), "Convergence of double random series of random elements in Banach spaces", Journal of the Korean Mathematical Society 49, pp.1053-1064 [48] Wei, D., Taylor, R L (1978), "Convergence of weighted sums of tight random elements", Journal of Multivariate Analysis (2), pp.282-294 [49] Woyczy´ nski, W.A (1978), Geometry and martingales in Banach spaces II Independent increments, Probability on Banach spaces, Adv Probab Related Topics, 4:267-517, Dekker, New York [50] Woyczy´ nski, W.A (1981), "Asymptotic behavior of martingales in Banach spaces II", Martingale theory in harmonic analysis and Banach spaces, Lecture Notes in Mathematics, 939, 216-225 73 ... bình bậc p luật yếu số lớn gồm luật yếu số lớn Feller với số ngẫu nhiên không ngẫu nhiên thiết lập điều kiện khả tích điều kiện đủ để thu luật yếu số lớn tổng kép biến ngẫu nhiên có số ngẫu nhiên... Kolmogorov Đồng thời thiết lập luật yếu số lớn Feller cho mảng biến ngẫu nhiên E-giá trị với số ngẫu nhiên không ngẫu nhiên, luật yếu số lớn đối vớz tổng có số ngẫu nhiên mảng số điều kiện khả tích Các... log+ (x) [x] Tập hợp số nguyên dương Tập hợp số thực Không gian Banach thực khả ly Chuẩn không gian Banach E σ -đại số Borel không gian Banach E Không gian xác suất đầy đủ Số phần tử tập hợp A