Giáo trình lý thuyết xác suất và thống kê toán chương 2: Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

Nếu muốn xác định giá trị của hàm phân phối tại điểm x nào thì ta cộng tất cả các xác suất Pxi của những giá trị xi ở bên trái điểm x đó, tức là ∑... i n i pp-nX p pp-1-1 uxF Ghi chú 2:

Chương II Biến ngẫu nhiên vμ quy luật phân phối xác suất

A Biến ngẫu nhiên một chiều

I Định nghĩa vμ các phép toán cơ bản

1 Định nghĩa

(hoặc một đại lượng ngẫu nhiên)

4 3 2

1 , , ,

NN,

NS ,

SN ,

ωωω

Dựa trên xác suất đã xây dựng trên không gian cũ, nếu ta xây dựng đ−ợc độ đo xác suất cho không gian mới này thì các thao tác sau này sẽ đơn giản hơn và lúc đó ta có thể trừu xuất khỏi không gian xác suất cũ

2 Các phép toán cơ bản với các biến ngẫu nhiên

nhiên nên (X < )r ∈A, do Y là một biến ngẫu nhiên nên (Y <x-r)∈A Từ đó [(X <r)(Y <x-r)]∈A

Do tập hợp các số hữu tỷ là đếm được nên ta suy ra A ∈ A

Ta sẽ chứng minh A = (X + Y < x) và từ đó kết luận được (X + Y) là một biến ngẫu nhiên do (X + Y < x) ∈ A

α Trước hết ta có A ⊂ (X + Y < x)

Thật vậy, ta lấy ω bất kỳ thuộc A khi đó, tồn tại ít nhất một r sao cho ω ∈ [(X < r) ( Y < x - r)] Do

X và Y là hai biến ngẫu nhiên ta sẽ có X(ω) < r và Y (ω) < x - r, suy ra: X(ω) + Y (ω) < x

Vậy ω ∈ (X + Y < x)

β Ngược lại ta cũng có (X + Y < x) ⊂ A

Lấy ω bất kỳ thuộc (X + Y < x) Khi đó (X + Y)(ω) < x, suy ra X(ω) < x - Y(ω)

Vì X(ω) và x - Y(ω) là hai số thực nên ta có ít nhất một số hữu tỷ ro sao cho X (ω) < ro < x - Y(ω), khi đó X(ω) < ro và Y(ω) < x - ro

Vậy ω ∈ [(X < r0)(Y < x – r0)] nhưng [(X < r0)(Y< r – r0)] ⊂ A nên ω ∈ A

c Phép nhân hai biến ngẫu nhiên

Chứng minh

Nếu x ≤ 0 thì (X2 < x) = ∅ ∈ A

Nếu x > 0 thì (X2 < x) = (- x <X< x)=(X< x)(X>- x) Hai tập hợp này đều thuộc A do

X là biến ngẫu nhiên nên giao của chúng cũng thuộc A Vậy X2

là một biến ngẫu nhiên

Định lý 2:

Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên thì XY cũng là một biến ngẫu nhiên

Chứng minh:

Do X và Y là hai biến ngẫu nhiên nên X + Y và X - Y là các biến ngẫu nhiên (X + Y)2 và (X – Y)2

là các biến ngẫu nhiên

4⎡⎢ X+Y − X−Y ⎤⎥=X Y

d Phép chia hai biến ngẫu nhiên

x Y

X x Y X

X là một biến ngẫu nhiên

e Hàm của biến ngẫu nhiên

Ta thừa nhận mệnh đề sau: “Nếu X là một biến ngẫu nhiên trên (Ω, A, P) và G là một hàm đo đ−ợc

trên R thì G 0 X cũng là biến ngẫu nhiên trên (Ω, A, P)”

3

4P(Ω ) 1 v i x 2

2x1 với43

1x0 với41

0x với

xXP)x(F

0

∞ +

Do tÝnh chÊt 2 vµ 1 ta thÊy P(x) lµ hµm kh«ng gi¶m vµ bÞ chÆn d−íi nªn nã cã giíi h¹n

LÊy d·y {xn} (n = ∞1, ) víi 1 2

n 2

1

BB

lim

B

BB

Hai giới hạn này sau này ta sẽ ký hiệu gọn là F(- ∞) = 0 và F(+∞) = 1

Tính chất 4: Hàm phân phối F(x) liên tục bên trái, có nghĩa là tại mọi điểm x0 ta đều có

n 2

1

xxlim

x

xx

xXC

xXC

n

n 2

1

CC

lim

CC

Vậy limP(C ) P(limCn) P(C)

n n

Ghi chú: Theo hệ quả của tính chất 2 ta có )

n

1xXx(

n

1 + x

n

1xXx(

b Hàm F(x) liên tục tại x khi và chỉ khi P(X = x) = 0

III Biến ngẫu nhiên rời rạc

xx với)xx(P)xX(P

=)x

=(X)x

=(X

=)x

=(X

j i

i) 1xX(

Ghi chú:

Đồ thị của hàm phân phối F(x) của một biến ngẫu nhiên rời rạc X sẽ có dạng bậc thang Tại các

điểm mà là các giá trị có thể có của X thì đồ thị này có bước nhẩy Như ta đã thấy ở ghi chú trong mục

2x1 với43

1x0 với41

0x với

)x(F

i

(2) 1)x(P

(1) I 0)x(P

Sở dĩ có điều kiện 1 là do tính chất của xác suất, còn nguyên nhân có điều kiện 2 đã đ−ợc trình bày ở trên

x2

10

13/

1/

Hãy lập bảng phân phối xác suất của X là "số lần xuất hiện mặt sấp khi tung hai đồng xu đối xứng

và đồng chất"

Bài giải

Ta biết các giá trị có thể có của X là

Im(X) = {0, 1, 2} từ hàm phân phối xác suất đã thiết lập đ−ợc ta suy ra:

4

104

1

=F(0)-F(0

=0)

=

4

24

14

3

=)F(0-F(0

=0)

=

4

14

3-1

=F(2)-F(2

=2)

Ta thấy hai điều kiện cơ bản (1) và (2) nêu trên đ−ợc thỏa mãn

Ghi chú:

Trên đây ta đã căn cứ vào hàm phân phối xác suất để thiết lập bảng phân phối xác suất Ng−ợc lại từ bảng phân phối xác suất ta muốn xây dựng hàm phân phối xác suất thì ta thực hiện nh− sau:

a Xếp các giá trị có thể có của X theo thứ tự tăng dần

b Nếu muốn xác định giá trị của hàm phân phối tại điểm x nào thì ta cộng tất cả các xác suất P(xi) của những giá trị xi ở bên trái điểm x đó, tức là

∑

<

=xx

)x(P)

x(F

i

i Chẳng hạn, từ bảng phân phối trên ta xác định đ−ợc:

4

34

24

1)1(P)0(P)1X(P)0X(P)5,1X

24

1)1(P)0(P)8,1(

24

1)1(P)0(P)2(

Như vậy với mọi x sao cho 1 < x ≤ 2 ta đều có F(x) =

4

3

Thí dụ 2: Một người phải tiến hành một thí nghiệm cho tới khi nào thành công thì thôi Hãy lập bảng

phân phối xác suất của số lần phải tiến hành biết rằng xác suất thành công ở mỗi lần đều là p (0 < p < 1)

và các lần tiến hành độc lập với nhau

A(P)A(P)A(P)

n ,,,)XIm(

1

21

i

n i

p)p-()nX

p

pp)-(1-1

)u()x(F

Ghi chú 2: Nếu X là một biến ngẫu nhiên liên tục thì các giá trị có thể có của nó là không đếm đ−ợc, cụ

thể chúng sẽ lấp kín cả một khoảng nào đó (hữu hạn hoặc vô hạn) Nói cách khác Im(X) sẽ có lực l−ợng

Continum

Thí dụ:

Thực hiện phép thử là “bắn một viên đạn vào một chiếc bia có tâm là 0 và bán kính là R” Nếu viên

đạn trúng bia ở vị trí nào thì vị trí đó đ−ợc gọi là điểm chạm của viên đạn Giả thiết viên đạn luôn trúng bia Nếu gọi X là “khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn tới tâm bia” thì X là một biến ngẫu nhiên liên tục trong đoạn [0 ; R] vì mọi giá trị của đoạn này đều là giá trị có thể có của X

2

1

2

Chứng minh:

)xx

x

dx)x(

b Theo ghi chú b) ở cuối mục II ta suy ra hàm phân phối xác suất F(x) của biến ngẫu nhiên liên tục

là một hàm liên tục tại mọi x

Hệ quả 2: Nếu X là một biến ngẫu nhiên liên tục thì từ hệ quả 1 ta thấy:

)xXx(P)xXx(P)xXx(P)xX

x

(

P 1 ≤ < 2 = 1 < ≤ 2 = 1 ≤ ≤ 2 = 1 < < 2

Nhận xét:

Tại mọi điểm liên tục x của f(x) ta có: P(x ≤X<x+dx)≈ f(x)dx

Biểu thức f(x)dx gọi là một vi phân xác suất Nó có vai trò tương tự như hàm khối lượng xác suất p(x)

đối với biến ngẫu nhiên rời rạc X Từ đó ta có hai điều kiện cơ bản tương tự như sau đối với trường hợp các biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục, cụ thể:

∈

=

I i

i) 1x(

0 x víi

x

- λ

e λ ) x ( f

x

(

F

x - x

b Tr−íc tiªn ta cã: P X( > +x1 x2) 1- (= P X ≤ +x1 x2)

=1- (P X < +x1 x2) (do X lµ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc)

Tõ §Þnh nghÜa cña hµm ph©n phèi suy ra:

P X >x =e λ

2

2

P X >x =e λ

V× - (x 1 x 2 ) - λ x 1 - x 2

e e

=

c Tõ §Þnh nghÜa cña x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn ta cã:

Chẳng hạn nếu X là tuổi thọ của một loại sản phẩm và nếu nó thỏa mãn hệ thức vừa nêu thì có nghĩa

là xác suất để nó dùng được tối thiểu (s + t) giờ nếu như nó đã dùng được t giờ cũng giống như xác suất

ta tính ngay từ đầu để nó dùng được tối thiểu là s giờ (tức là sản phẩm "không nhớ" mình đã tồn tại được

t giờ rồi)

Như vậy qua kết quả trên ta thấy nếu một biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối mũ thì đó là một biến ngẫu nhiên "không có trí nhớ" Sau này chúng ta sẽ thấy 1

λ chính là giá trị trung bình của X

B Biến ngẫu nhiên hai chiều

I Định nghĩa

1 Đặt vấn đề

Trong nhiều trường hợp chúng ta cần xét các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian hai chiều, tức là xét các điểm ngẫu nhiên trên mặt phẳng

Thí dụ: Khi nghiên cứu độ chạm của các viên đạn bắn vào bia, ta thường xác định vị trí của các điểm

chạm so với tâm bia Nếu lấy tâm 0 của bia làm gốc của một hệ tọa độ vuông góc thì mỗi điểm chạm M

được xác định bởi hai tọa độ x và y của nó Vì trước khi bắn ta không khẳng định được vị trí của M nên

M là một điểm ngẫu nhiên, do đó các tọa độ x và y của nó đều là các biến ngẫu nhiên X và Y Như vậy

việc nghiên cứu vị trí của điểm M dẫn đến việc nghiên cứu đồng thời hai biến ngẫu nhiên X và Y, tức là

một hệ hai biến ngẫu nhiên V = (X , Y) hoặc còn gọi là một véc tơ ngẫu nhiên hai chiều

yY)(

xX[(

P)y,x(

bya)(

bXa[(

1 1

b y a

b x a

F +∞ = < = 1

)y(F)yY(P)(

F + y∞, = < = 2

là các hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên thành phần tương ứng X và Y Các hàm này gọi là các

hàm phân phối biên của V Đây là loại hàm phân phối một chiều đã được xét ở phần A và chúng cho ta

biết sự phân phối xác suất theo chiều nằm ngang và theo chiều thẳng đứng, tức là lượng xác suất phân bố cho các điểm thuộc vào các nửa mặt phẳng như ở các hình vẽ dưới đây

Thí dụ:

Cho các biến ngẫu nhiên hai chiều V = (X, Y) có hàm phân phối xác suất như sau:

⎩

⎨

=

lại trái nếu

0

0 y x, nếu e

e -e

-1 -x -y -x-y )

y x (

Khi đó

-x 1

1-e v i x 0 ( ) lim ( , )

0 v i x 0

y

→+∞

⎪

≤

⎪⎩

ớ

Vậy X có phân bố mũ với tham số λ = 1

III Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

1 Định nghĩa

Nếu X và Y đều là các biến ngẫu nhiên một chiều rời rạc thì hệ V = (X, Y) gọi là biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

Nếu { }x i (i=1,n) và { }y j (j=1,m) là các giá trị có thể có tương ứng của X và Y thì ta sẽ ký hiệu:

P X =x Y =y =P x y =P Các xác suất Pij này (i = 1,n; j = 1,m) gọi là các xác suất đồng thời của hệ V= (X, Y) Vì các biến cố

[(X = xi)(Y = yj)] (i=1,n;j=1,m) lập thành một nhóm đầy đủ (n ì m) biến cố nên:

o

x

F1(x) = P(X < x)

y

o

F2(y) = P(Y < y)

1PP

m

1 j n

1 i ij n

1 i m

1 j

i i

i) [(X x)(Y y )]

xX

i i

j i

i) P(y ) P P[(X x )(Y y )]

yY

P

1

C¸c x¸c suÊt nµy cã thÓ biÓu thÞ trªn b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt hai chiÒu nh− sau:

Hãy thiết lập bảng phân phối xác suất đồng thời của số lần bán đ−ợc hàng X và tổng số tiền lãi X

Bài giải Nếu ký hiệu B là biến cố "án đ−ợc hàng" thì dùng sơ đồ hình cây ta có các kết quả sau:

Từ kết quả trên ta lập đ−ợc bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y nh− sau:

B

)y,x(P)]

yY)(

xX[(

P)y,x(

y y x

i

Pi)

xX(P)x(

Pj)

yY(P)y(F

Y 0 100 200 300 400 P(Y) 0,152 0,256 0,160 0,064 0,008

c Các phân phối có điều kiện

Hàm phân phối có điều kiện của Y trong điều kiện X = xi đ−ợc xác định nh− sau:

)xX(P

)xX)(

yY[(

Pyy

)yY(P)y(F

i

i i

x X x

ij i

Nếu Y có m giá trị có thể có thì ta sẽ có m phân phối có điều kiện cảu X đối với Y

Ghi chú: Các quy luật phân phối có điều kiện cũng có thể biểu thị dưới dạng bảng phân phối

Chẳng hạn bảng phân phối xác suất của Y khi (X = xi) có dạng như sau:

i i

i j

P

P)

xX(P

)xX)(

yY[(

PxXyYP

11

1 1

j i i

ij m

j i j

m

PPP

P

P)

xXy(P

Thí dụ :

Hãy lập bảng phân phối xác suất của số tiền lãi Y nếu số lần bán được hàng X là 2

Bài giải Với điều kiện ( X =2) thì bảng phân phối xác suất của Y như sau:

0

096 , 0

0

= )

2

= X ( P

) 2

= X )(

0

= Y [(

P

= 0

100

096 , 0

0

= )

2

= X ( P

) 2

= X )(

100

= Y [(

032 , 0

= )

2

= X ( P

) 2

= X )(

200

= Y [(

P

3 1

=

300

096 , 0

064 , 0

= )

2

= X ( P

) 2

= X )(

300

= Y [(

0

= )

2

= X ( P

) 2

= X )(

400

= Y [(

P

0

=

)2Xy(

Bảng phân phối xác suất có điều kiện của X tùy theo các giá trị của Y cũng được thiết lập tương tự

IV Biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục tuyệt đối

-dudv)v,u()

y,x(F

Ghi chú: Tại các điểm liên tục của f(x,y) ta có:

y.x

)y,x(F)y,x(

0yx, với e

e-e-)y,x(F

y - -x -y -x

1

Hãy xác định hàm mật độ xác suất đồng thời

Bài giải Vì f(x, y) là đạo hàm hỗn hợp của F(x, y) nên ta lần lượt tìm

0yx, nếu e

.e-ex

)y,x

0yx, nếu e

e]x

)y,x(F

[

y

-y -x

Vậy biểu thức của f(x,y) như sau:

0yx,ếu n e

)y,x(

y) -(x

+∞

-

-1dxdy)y,x()

;(

0

Ky)(x, với C)y,x(Theo tính chất 1 nêu trên của hàm mật độ,

) K (

) K (

dxdyC

Ky)(x,ếu n)

1

Với K là hình chữ nhật K⎜⎜⎝⎛00≤≤ yx≤≤12⎟⎟⎠⎞

Quy luật phân phối này có thể được biểu thị bằng hình sau:

b Các biểu thức của F(x, y) tương ứng với từng miền xác định như sau:

1dydx2

1)y,x(F

y

0 1

1)y,x(F

2

0 x

1)y,x(F

2 1

vµ 1x víi

y2

vµ 1x0 víi x

2y0

vµ x

1 víi y

2y0

vµ 1x0i ví

xy

0y hoÆc0x víi

)y,

1dydx2

1dxdy)y,x()

DV(P

1

0 1

0

1

0 1

F(0,1)-1,1(F)DV(

x

2y1;

x0

2y0

;x1

2y01;

x0

0y hoÆc0x

yx

)y,x(F)y,x(

000210

Kx 2

1)y,x( víi K⎜⎜⎝⎛00≤≤yx≤≤12⎟⎟⎠⎞

b C¸c ph©n phèi biªn

α Ph©n phèi biªn cña X

Hµm ph©n phèi biªn cña X lµ

β Hàm phân phối biên của Y

Hàm phân phối biên của Y là

dy)dx)y,x(()(F)y(F

Thí dụ:

Xét biến ngẫu nhiên V = (X,Y) phân phối đều trên hình chữ nhật K⎜⎜⎝⎛00≤≤yx≤≤12⎟⎟⎠⎞nêu trên Hãy xác

định các hàm phân phối biên và các hàm mật độ biên của mỗi thành phân Y và X

Bài giải Theo trên ta đã có:

Kx 2

1)y,x

1x0K

và 1x với

y2

và 1x0với x

2y0

và x

1 với

y

2y0

và 1x0 với xy

0y hoặc0xvới

)y,x(F

1

21210

=

→

∞ +

→

2y

y2 x

2y0 y

2y0 xy

0y

)y,x(Flim)y,x(Flim)y

;(F)y(F

x x

1

21210

1

Tóm lại:

2

0 y 01

2y0 21

0y 0)y(

f2

Nh− vậy Y tuân theo quy luật phân phối đều trong khoảng (0; 2)

Nói chung một biến ngẫu nhiên một chiều liên tục X đ−ợc gọi là tuân theo quy luật phân phối đều trong khoảng (a; b) nếu mật độ xác suất tại mọi điểm của khoảng này đều bằng một hằng số C Dựa vào

bxa a-b

ax )

bxa a-b

a-xa-b

ax )

x(

1 x 0 x

0 x 0

1x0 x

0x 0)x(

Vậy thành phần X này tuân theo quy luật phân phối đều trong khoảng (0; 1)

γ Các phân phối có điều kiện

Hàm mật độ có điều kiện của X đối với mỗi giá trị y của Y là

)y,x()

y(f

)y,x()y

x(f

)y,x()x

)y,x()yx(

=1/20

1x0 1

=1/21/2

0x 0

=1/20

=y)x

1x0 1

0x 0

=y)x

Tức là ứng với mỗi giá trị của Y trong khoảng (0; 2) thì quy luật phân phối có điều kiện của X cũng

là quy luật phân phối đều trong khoảng (0; 1)

2y0 21

0y 0

=y)x

Tức là ứng với mỗi giá trị của X trong khoảng (0; 1) thì quy luật phân phối có điều kiện của Y cũng

là quy luật phân phối đều trong khoảng (0; 2)

V Sự độc lập hay phụ thuộc của hai biến ngẫu nhiên

1 Định nghĩa

Hai biến ngẫu nhiên X và Y đ−ợc gọi là độc lập với nhau nếu:

và 1x với

y2

và 1x0 với x

2y0

và x

1i vớ

y

2y0

và 1x0 với xy

0y hoặc0x với

)y,x(F

1

21210

1x0 x

0x 0)x(

2y0 2

1

0y 0

V=(X, Y) là biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục tuyệt đối, điều kiện cần và đủ để hai thành phần X và

Y độc lập với nhau là f(x, y) = f1(x)f2(y)

Chứng minh

a Điều kiện cần

Giả sử X và Y độc lập khi đó:

) y ( F ).

x ( F

= ) y , x (

1

x y

dv)v(f.du)u(fdudv)v,u

u ( f

= ) v , u

Kx 2

1)y

1x0 1

0x 0)

2y0

0y )

y(f

210

2

Ta thấy f(x,y)=f1(x)f2(y) Vậy X và Y độc lập

Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để X và Y độc lập là

(yx)=f2(y) (1) hoặc

( x y ) = f1( x ) (2) Tức là các phân phối có điều kiện trùng với phân phối biên

Chứng minh

Chẳng hạn ta chứng minh hệ thức (1) Theo Định nghĩa ta có :

]0)x([f )

x(f

)y,x()xy

) y ( f x ( f

= ) x y

1 2

b Ngược lại nếu ( y x ) = f2( y )thì ta có thể viết

f2(y) =

)x(f

)y,x

10

0

1x0

1

0x

1x0 1

0x 0

=y)x

làoặc

)yY(P)xXyY(P

i j

i

j i

=

=

=

=

với mọi (i, j)

Cách chứng minh các điều kiện vừa nêu trên được thực hiện tương tự như trong trường hợp các biến ngẫu nhiên X và Y là liên tục

Nhận xét 1:

Như vậy nếu dù chỉ có một cặp (i, j) mà một trong các điều kiện nêu trên không được thoả mãn thì

ta bảo X và Y là hai biến ngẫu nhiên không độc lập (hoặc phụ thuộc)

Thí dụ1:

Với X là “số lần bán được hàng” và Y là “tổng số tiền lãi thu được” trong thí dụ đã xét ở mục III Phần B này thì đây là hai biến ngẫu nhiên không độc lập vì

),)(

,()Y(P)

X(P)Y)(

X

[(

Thí dụ 2: