Giáo trình lý thuyết xác suất và thống kê toán chương 2: Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

61 5.7K 15
Giáo trình lý thuyết xác suất và thống kê toán chương 2: Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut Chơng II Biến ngẫu nhiên v quy luật phân phối xác suất A Biến ngẫu nhiên chiều I Định nghĩa v phép toán Định nghÜa Cho (Ω, A , P) NÕu X lµ mét ánh xạ đo đợc từ vào X đợc gọi biến ngẫu nhiên (hoặc đại lợng ngẫu nhiên) Nói cách khác: X hàm số thực, hữu hạn, xác định cho với x { : X ( ω ) < x} ∈ A Ghi chó: §Ĩ cho gän ta sÏ ký hiÖu (X ∈ S) thay cho {ω ∈ Ω : X (ω ) ∈ S} chẳng hạn ( X x ) = { Ω : X (ω ) ≤ x} ThÝ dô: Tung ®ång xu ®èi xøng ®ång chÊt Gäi X số lần xuất mặt sấp HÃy chứng tỏ X biến ngẫu nhiên Bài giải a Ta xây dựng không gian xác suất (, A , P) øng víi phÐp thư nµy ⎧SS , SN , NS , NN ⎫ Ω =⎨ ⎬ ⎩ω , ω , ω , ω ⎭ ⎧∅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪{ω } , {ω } , {ω } , {ω } ⎪ ⎪ ⎪ A =G(Ω) = ⎪{ω 1ω } , {ω 1ω } , {ω 1ω } , {ω 2ω } , {ω ω } , {ω 3ω } ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Ω ⎪ ⎪ ⎩ 4 Nh− ta đà biết biến cố bao gồm: C + C + C + C + C = (1 + 1) = = 16 phần tử Vì tính chất đặn đối xứng hai đồng xu nên ta đặt c¸c x¸c suÊt nh− sau: P (ω1 ) = P(ω2 ) = P (ω3 ) = P (ω4 ) = LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 50 Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut b Ta xác định X Vì X: nên miền giá trị Im(X) = {0, 1, 2} Phép ánh xạ đợc minh họa nh sau: 1ã 2ã 3ã 4ã X R Từ ta thÊy: ⎧∅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪{ω } ⎪ ( X < x) = {ω ∈ Ω : X (ω ) < x} = ⎪ ⎨ ⎪{ω 2, ω 3, ω } ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Ω ⎪ ⎩ x≤0 < x ≤1 1< x ≤ x>2 Do tất tập hợp viết vế phải tập thuộc A nên theo định nghĩa X biến ngẫu nhiên Nhận xét: Vì X ánh xạ từ vào R nên dùng ta chuyển từ không gian mẫu cũ sang không gian mẫu cã thĨ chun c¸c biÕn cè mang néi dung vỊ chất thành biến cố mang nội dung lợng, cụ thể biến cố sơ cấp thành số thực Chẳng hạn không gian biến cè {ω2, ω3} lµ biÕn cè cã néi dung “chØ có lần xuất mặt sấp nhng chuyển sang không gian biến cố tơng đơng với biến cố X nhận giá trị Dựa xác suất đà xây dựng không gian cũ, ta xây dựng đợc độ đo xác suất cho không gian thao tác sau đơn giản lúc ta trừu xuất khỏi không gian xác suất cũ Các phép toán với biến ngẫu nhiên a Phép nhân với số Định nghĩa: Nếu X hàm số thực xác định C số thực ta coi CX hàm số thực mà với CX lấy giá trị C.X() tức CX() = C.X() Định lý: Nếu X biến ngẫu nhiên CX biến ngẫu nhiên LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 51 Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut Chứng minh x Để đơn giản ta xét trờng hợp C > Khi đó: (CX < x ) = ⎜ X < ⎟ ∈ A Do X biến ngẫu nhiên C b Phép cộng Định nghĩa: Nếu X Y hai hàm thực xác định X + Y hàm thực xác định cho: (X + Y)() = X() + Y() Định lý: Nếu X Y hai biến ngẫu nhiên X + Y biến ngẫu nhiên Chứng minh Ta xét tËp A = ∪ [(X < r )(Y < x - r)] r chạy tập hợp số hữu tỷ Do X biến ngẫu r nhiªn nªn ( X < r ) ∈ A, Y biến ngẫu nhiên nên (Y < x - r) ∈ A Tõ ®ã [( X < r )(Y < x - r)] A Do tập hợp số hữu tỷ đếm đợc nên ta suy A ∈ A Ta sÏ chøng minh A = (X + Y < x) từ kết luận đợc (X + Y) biến ngẫu nhiên (X + Y < x) ∈ A α Tr−íc hÕt ta cã A ⊂ (X + Y < x) ThËt vËy, ta lÊy ω bÊt kú thuéc A ®ã, tån t¹i Ýt nhÊt mét r cho ω ∈ [(X < r) ( Y < x - r)] Do X Y hai biến ngẫu nhiên ta sÏ cã X(ω) < r vµ Y (ω) < x - r, suy ra: X(ω) + Y (ω) < x VËy ω ∈ (X + Y < x) β Ng−ỵc l¹i ta cịng cã (X + Y < x) ⊂ A LÊy ω bÊt kú thuéc (X + Y < x) Khi ®ã (X + Y)(ω) < x, suy X() < x - Y() Vì X() x - Y() hai số thực nên ta có nhÊt mét sè h÷u tû ro cho X (ω) < ro < x - Y(ω), ®ã X(ω) < ro vµ Y(ω) < x - ro VËy ω ∈ [(X < r0)(Y < x – r0)] nh−ng [(X < r0)(Y< r – r0)] ⊂ A nªn ω ∈ A c Phép nhân hai biến ngẫu nhiên Định nghĩa: TÝch X.Y cđa hai hµm sè thùc X vµ Y hàm số thực cho với (XY)( ) = X().Y() Định lý 1: Nếu X biến ngẫu nhiên X2 mét biÕn ngÉu nhiªn Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 52 Chương 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất  Chøng minh NÕu x ≤ th× (X2 < x) = ∅ ∈ A NÕu x > th× (X2 < x) = (- x < X < x ) = (X < x )(X > - x ) Hai tËp hợp thuộc A X biến ngẫu nhiªn nªn giao cđa chóng cịng thc A VËy X2 biến ngẫu nhiên Định lý 2: Nếu X Y hai biến ngẫu nhiên XY biến ngẫu nhiên Chứng minh: Do X Y hai biến ngẫu nhiên nên X + Y X - Y biến ngẫu nhiên (X + Y)2 (X Y)2 biến ngÉu nhiªn VËy 1⎡ 2⎤ ⎢⎣( X + Y ) − ( X − Y ) ⎥⎦ = X Y biến ngẫu nhiên d Phép chia hai biến ngẫu nhiên Định nghĩa: Thơng X hai hàm thực X Y xác định cho với m Y() Y th× : X X(ω ) (ω ) = Y Y( ) Định lý: Nếu X Y hai biến ngẫu nhiên với (Y = 0) = X biến ngẫu nhiên Y Chøng minh Ta cã thĨ ph©n tÝch ⎞ ⎛X ⎞ ⎞ ⎛X ⎛X ⎜ < x ⎟ = ⎜ < x ⎟(Y < ) ∪ ⎜ < x ⎟(Y > ) ⎠ ⎝Y ⎠ ⎠ ⎝Y ⎝Y = ( X > xY )(Y < ) ∪ ( X < xY )(Y > ) Do X Y hai biến ngẫu nhiên nên tập (X2 54 Chương 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất  C¸c tÝnh chÊt TÝnh chÊt 1: ≤ F(x) ≤ víi mäi x Chøng minh Do F(x) = P{ω ∈ Ω: X(ω) < x}, mµ ≤ P(A) ≤ víi mäi A ∈ A Nên ta suy tính chất phải chứng minh Tính chất 2: F(x) hàm số không giảm, có nghĩa với x2 > x1 F(x2) F(x1) Chøng minh Do x2 > x1 nªn (X < x2) = (X < x1)∪(x1 ≤ X ≤ x2) V× thÕ P(X < x2) = P(X < x1) + P(x1 ≤ X ≤ x2) (do (X < x1)∩(x1 ≤ X < x2) = ∅ ) suy F(x2) = F(x1) + P(x1 ≤ X < x2) Mµ P(x1 ≤ X < x2) nên F(x2) F(x1) Hệ quả: Từ chøng minh trªn ta suy P(x1 ≤ X < x2) = F(x2) - F(x1) lim F(x) = vµ lim F(x) = TÝnh chÊt 3: x → -∞ x → +∞ Chøng minh a limF(x) = x→-∞ Do tÝnh chÊt vµ ta thÊy P(x) hàm không giảm bị chặn dới nên cã giíi h¹n ⎧ x1 > x2 > xn ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ LÊy d·y {xn} (n = 1, ∞ ) víi ⎪ ⎨ lim = −∞ ⎬ , ⎪ ⎪ ⎪ x→−∞ ⎪ ⎩ ⎭ tøc lµ mét dÃy giảm tùy ý đặt An = {X < xn} ®ã ta cã: ⎧ A1 ⊃ A2 ⊃ ⊃ An ⊃ ⎪ ⎪ ⎪ ∞ ⎨ ⎪ lim An = ∩ An = ∅ ⎪n→∞ ⎪ n=1 ⎪ ⎩ VËy P( lim An ) = P( ) = n Mặt khác theo tính chất liên tục độ đo xác suất ta cã : P ( lim An ) = lim P ( An ) Do ®ã n→ ∞ n→ ∞ lim P(A n ) = Nh−ng: lim P ( An ) = lim P ( X < xn ) = lim F ( xn ) VËy lim F ( xn ) = n →∞ n →∞ ( n →∞ ) n →∞ n →∞ Do {x n } n = 1, ∞ lµ mét dÃy giảm lấy tùy ý nên ta có: lim F(x n ) = n →∞ b Chøng minh: lim F(x) = n →∞ Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 55 Chương 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất  ( ) Tơng tự lấy dÃy tăng tùy ý {x n } n = 1, ∞ cho: ⎧ x1 < x2 < < xn < ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ lim x = +∞ ⎬ ⎪n → ∞ n ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Ta ®Ỉt Bn = {X < xn} ®ã: ⎧B ⊂ B ⊂ ⊂ B n ⊂ ⎪ n ⎨ lim B n = ∪ B n = Ω ⎪n →∞ n =1 ⎩ Theo tÝnh chất liên tục độ đo xác suất P ta cã: lim P (B n ) = P ( lim B n ) = P (Ω ) = Nh−ng n →∞ n →∞ lim P(B n ) = lim P( X < x n ) = lim F(x n ) n →∞ n →∞ n →∞ VËy lim F(x) = n →∞ ( ) Do {x n } n = 1, ∞ lµ mét d·y tăng lấy tùy ý nên ta kết luận lim F(x) = n → +∞ Ghi chó Hai giíi hạn sau ta ký hiệu gọn F(- ∞) = vµ F(+∞) = TÝnh chÊt 4: Hàm phân phối F(x) liên tục bên trái, có nghĩa điểm x0 ta có lim F ( x) = F ( x0 ) − x→ x0 Chøng minh ( ) LÊy mét d·y {x n } n = 1, ∞ tïy ý héi tô x0 phía bên trái, tức x < x < < x n < ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ lim x = x ⎬ o ⎪ n →∞ n ⎪ ⎩ ⎭ ⎧C n = {X < x n } ⎨ ⎩C = {X < x o } Ta đặt C C ⊂ ⊂ C n ⊂ ⎪ n ⎨ lim C n = ∪ C n = C ⎪n →∞ n =1 ⎩ Khi ®ã VËy lim P (C n ) = P ( lim C n ) = P(C ) n →∞ n→ ∞ Nh−ng P (C ) = P( X < x0 ) = F ( x0 ) cßn lim P (C n ) = lim P (X < x n ) = lim F(x n ) n →∞ n →∞ n →∞ VËy lim F(x n ) = F(x0) n →∞ ( ) Do {x n } n = 1, ∞ lµ mét d·y tăng tùy ý hội tụ phía trái x0 nªn ta suy ra: lim F ( x) = F ( x0 ) − Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD x→ x0 56 Chương 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất  1 Ghi chó: Theo hƯ qu¶ cđa tÝnh chÊt ta cã P(x ≤ X < x + ) = F ( x + ) - F(x) n n 1 ⎡ ⎤ lim P(x ≤ X < x + ) = lim ⎢F(x + ) - F(x)⎥ n →∞ n →∞ n n ⎣ ⎦ VËy = F(x+0) - F(x) 1 Mặt khác lim P ⎜ x ≤ X < x + ⎟ = P ⎜ lim ⎜ x ≤ X < x + ⎟⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎜n →∞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜ n →∞ ⎜ ⎝ ⎝ n ⎠⎠ n⎠ ⎝ ⎡∞ ⎤ = P ⎢ ∩ ( x ≤ X < x + )⎥ ⎢⎣ n=1 n ⎥⎦ = P(X = x) Từ kết ta suy ra: a P ( X = x) = F ( x + 0) - F ( x) b Hàm F(x) liên tục x P(X = x) = III BiÕn ngÉu nhiªn rêi rạc Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X đợc gọi rời rạc miền giá trị tập hữu hạn đếm đợc Nếu Im(X) = {xi , i ∈ I} víi I =(1, 2, , n) I = N tập hợp xác st P(X = xi) víi i ∈ I lËp thµnh quy luật phân phối xác suất X Khi ®ã: ⎧P(x = x i ) víi x = x i P(X = x) = ⎨ (i ∈ I) víi x x i đợc gọi hàm khối lợng xác suất (hoặc hàm xác suất) biến ngẫu nhiên rời rạc X (X = x i ) = Ω ⎪ Do ⎨ i∈I ⎪(X = x i ) ∩ (X = x j ) = Φ ⎩ (i j) , tức biến cố (X = xi) (i I) lập thành nhóm đày ®đ nªn ta suy ∑ P(X = x ) = iI i Ghi chú: Đồ thị hàm phân phối F(x) biến ngẫu nhiên rời rạc X có dạng bậc thang Tại điểm mà giá trị có X đồ thị có bớc nhẩy Nh ta đà thÊy ë ghi chó mơc Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Ngun, ĐHKTQD 57 Chương 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất  trªn, độ dài bớc nhảy xác suất để X nhận giá trị tơng ứng Cụ thể giá trị xi thì: P ( X = xi ) = F ( xi+ ) − F ( xi ) Thí dụ: Nếu X "số lần xuất mặt sấp tung hai đồng xu đối xứng đồng chất" ta đà có biểu thức hàm phân phèi x¸c st nh− sau: víi x≤0 víi ⎧0 ⎪1 ⎪ ⎪4 F(x) = ⎨ ⎪3 ⎪4 ⎪1 ⎩ < x ≤1 víi 1< x ≤ víi x>2 Từ đồ thị hàm có dạng 3/ 1/ x Mịi tªn trªn hình nhằm biểu thị giá trị hàm F(x) ®iĨm xi nµo ®ã lµ øng víi ®é cao cđa bËc thang d−íi (do tÝnh chÊt liªn tơc cđa F(x)) Bảng phân phối xác suất Để thực cách trực quan luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X, ngời ta thờng liệt kê giá trị có X kèm theo xác suất tơng ứng đễ nhận giá trị có với dạng sau: X x1 x2 xi P(x) P(x1) P(x2) P(xi) Bảng gọi bảng phân phối xác suất X với điều kiện lµ ⎧P ( x i ) ≥ i ∈ I ⎪ ⎨ P(x ) = i ⎪∑ ⎩ iI (1) (2) Sở dĩ có điều kiện tính chất xác suất, nguyên nhân có điều kiện đà đợc trình bày Thí dụ: LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 58 Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut HÃy lập bảng phân phối xác suất X "số lần xuất mặt sấp tung hai đồng xu đối xứng đồng chất" Bài giải Ta biết giá trị có cđa X lµ Im(X) = {0, 1, 2} tõ hµm phân phối xác suất đà thiết lập đợc ta suy ra: P(x = 0) = F(0 + ) - F(0) = 1 −0 = 4 P(x = 0) = F(0 + ) - F(0 - ) = − = 4 P(x = 2) = F(2 + ) - F(2) = - = 4 Vậy bảng phân phèi x¸c st cđa X nh− sau: X P(X) 4 Ta thÊy hai điều kiện (1) (2) nêu đợc thỏa mÃn Ghi chú: Trên ta đà vào hàm phân phối xác suất để thiết lập bảng phân phối xác suất Ngợc lại từ bảng phân phối xác suất ta muốn xây dựng hàm phân phối xác suất ta thực nh sau: a Xếp giá trị có X theo thứ tự tăng dần b Nếu muốn xác định giá trị hàm phân phối điểm x ta cộng tất xác suất P(xi) giá trị xi bên trái điểm x đó, tức F(x) = P(x ) i xi 0) 2 2 đơn điệu tăng nên có hàm ngợc = arctag Vì thế: ' x = a a x a ⎛ a>0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + x ⎝ - ∞ < x < +∞ ⎠ ¸p dơng bÊt đẳng thức đà nêu ta có hàm mật độ xác suất X g( x ) = a π a + x2 a>0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ - ∞ < x < +∞ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ Ghi chó: Mét biÕn ngÉu nhiªn liªn tơc X có hàm mật độ xác suất nh đợc gọi tuân theo quy luật Cauchy với tham số a (a > 0) ThÝ dơ 3: Cho biÕn ngÉu nhiªn liên tục X có hàm phân phối xác suất F(x) HÃy xác định hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên Y = F(X) Bài giải Vì y = F(x) nªn víi - ∞ < x < +∞ ta có y hàm ngợc x = v(y) cho ta điểm giá trị hàm phân phối xác suất F(x), tức giá trị hàm mật độ xác suất f(x) Vì thế: f[v(y)] = f(x) Mặt khác ta có: v' (y ) = dx 1 víi gi¶ thiÕt f(x) ≠ = = = dy dy dF(x) f (x) dx dx Do hàm phân phối xác suất hàm không giảm nên áp dụng kết đà chøng minh ta cã: Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 97 Chương 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất  ⎧ =1 víi ≤ y ≤ ⎪f ( x ) f (x) g ( y) = ⎨ ⎪0 nÕu tr¸i lại Nh Y tuân theo quy luật phân phối (0;1) Thí dụ 4: Cho X biến ngẫu nhiên liên tục tuân theo quy luật N(0; 1), tức có hàm mật độ xác suất nh sau: f (x) = 2π e - x2 ( - ∞ < x < +∞ ) H·y x¸c định hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên Z = X2 Bài giải z x Do hàm z = x2 đơn điệu giảm (- ; 0) đơn điệu tăng (0; +) nên ta áp dụng định lý vừa nêu Tuy nhiên ta thực biến đổi từ X sang Z theo hai b−íc: a Chun tõ X sang Y theo d¹ng Y = X 2 b Chun tõ Y sang Z theo d¹ng Z = Y (= X ) Víi phÐp biÕn ®ỉi Y = X ta áp dụng kết đà có thí dụ đợc -y e g ( y) = ⎨ π ⎪0 ⎩ víi y ≥ víi y < Víi y hàm số z = y2 đơn điệu tăng z Vậy áp dụng công thức định lý ta có: h(z) = g[ v(z )]v' (z ) V× z = y2 nªn y = v( z ) = z Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 98 Chương 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất  Do ®ã v' ( z ) = dy -1/2 = z dz ( ⎧ ⎪ e Suy ra: h ( z ) = ⎨ π ⎪ ⎩0 Tøc lµ z )2 z -1/2 z ⎧ - -1/2 e z ⎪ h (z) = ⎨ π ⎪0 ⎩ víi z ≥ víi z < víi z ≥ víi z < Ghi chó: Một biến ngẫu nhiên có hàm mật độ dạng nh vừa nêu đợc gọi tuân theo quy luật Khi - bình phơng với bậc tự Quy luật đợc ký hiệu (1) II Hm nhiều biến ngẫu nhiên Trờng hợp biến ngẫu nhiên thành phần rời rạc Giả sử ta có n biến ngẫu nhiên rời rạc X1, X2, , Xn với hàm khối lợng xác suất đồng thêi lµ P(x1, x2, , xn) vµ cã m biÕn ngÉu nhiªn Y1, Y2, , Ym liªn hƯ víi biến ngẫu nhiên Xi (i= 1ữ n) theo dạng hàm sau: Y1 = U (X , X , X n ) Y2 = U (X1 , X , X n ) - - - Ym = U m (X , X , X n ) Khi với giá trÞ y , y y m cđa Y1, Y2, , Yn ta ký hiƯu A lµ tËp hợp điểm (x1, x2, , xn) cho: u (x , x 2, x n ) = y u (x , x 2, x n ) = y - - - u m (x , x 2, x n ) = y m Từ giá trị hàm khối lợng xác suất đồng thời Y1, Y2, , Yn ®iĨm (y1, y2, , ym ) sÏ lµ g( y1 , y , , y m ) = ∑ p( x , x , , x n ) ( x1 , x , x n )A LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 99 Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut Trờng hợp biến ngẫu nhiên thành phần điểm liên tục a Với dạng hàm Cho X1, X2, , Xn biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất đồng thời f(x1, x2, ,xn) Nếu Y = u(X1, X2, , Xn) hàm phân phối G(y) Y đợc xác định nh sau: Với giá trị y (- < y

Ngày đăng: 08/04/2014, 18:22

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • A. Biến ngẫu nhiên một chiều

    • I. Định nghĩa và các phép toán cơ bản

      • Bài giải

        • Chứng minh

          • Chứng minh

          • Chứng minh

          • Chứng minh:

          • Chứng minh

          • II. Hàm phân phối xác suất

            • Bài giải

              • Chứng minh

              • Chứng minh

              • Chứng minh

              • III. Biến ngẫu nhiên rời rạc

                • Bài giải

                • Bài giải

                • IV. Biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối

                  • Chứng minh:

                  • B. Biến ngẫu nhiên hai chiều

                  • I. Định nghĩa

                  • III. Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

                  • Bài giải

                    • Bài giải

                    • IV. Biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục tuyệt đối

                      • Bài giải

                      • Bài giải

                      • Bài giải

                      • V. Sự độc lập hay phụ thuộc của hai biến ngẫu nhiên

                        • Chứng minh

                        • Chứng minh

                        • Bài giải

                          • C. Biến ngẫu nhiên nhiều chiều

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan