GIÁO TRÌNH lý THUYẾT xác SUẤT và THỐNG kê TOÁN

GIÁO TRÌNH lý THUYẾT xác SUẤT và THỐNG kê TOÁN . tất cả những vấn đề lý thuyết về GIÁO TRÌNH lý THUYẾT xác SUẤT và THỐNG kê TOÁN , những công thức cần thiết về GIÁO TRÌNH lý THUYẾT xác SUẤT và THỐNG kê TOÁN , nội dung chính về GIÁO TRÌNH lý THUYẾT xác SUẤT và THỐNG kê TOÁN , bài tập về GIÁO TRÌNH lý THUYẾT xác SUẤT và THỐNG kê TOÁN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BỘ MÔN TOÁN - -

Năm học 2016-2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BỘ MÔN TOÁN - -

Năm học 2016-2017

Mục lục

1.1 Giải tích tổ hợp 2

1.1.1 Quy tắc cộng 2

1.1.2 Quy tắc nhân 2

1.1.3 Chỉnh hợp (không lặp) 3

1.1.4 Chỉnh hợp lặp 3

1.1.5 Hoán vị 3

1.1.6 Tổ hợp 4

1.1.7 Nhị thức Newton 4

1.2 Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên 5

1.2.1 Khái niệm phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên 5

1.2.2 Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố 6

1.3 Các định nghĩa về xác suất 10

1.3.1 Định nghĩa xác suất cổ điển 10

1.3.2 Định nghĩa xác suất bằng hình học 13

1.3.3 Định nghĩa xác suất theo thống kê 15

1.3.4 Tính chất và ý nghĩa của xác suất 16

1.3.5 Nguyên lý xác suất lớn, xác suất nhỏ 16

1.4 Các phép tính xác suất 17

1.4.1 Công thức cộng xác suất 17

1.4.2 Công thức nhân xác suất 18

1.5 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes 22

1.5.1 Công thức xác suất đầy đủ 22

1.5.2 Công thức Bayes 23

1.6 Công thức Bernoulli 24

1.6.1 Dãy phép thử Bernoulli 24

1.6.2 Công thức Bernoulli 24

2.1 Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất 40

2.1.1 Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên 40

2.1.2 Luật phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc 42

2.1.3 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục 46

2.2 Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên 49

2.2.1 Kỳ vọng (Expected) 49

2.2.2 Phương sai (Variance) và độ lệch chuẩn (Standard error) 51

2.2.3 Mod (mode) 56

2.2.4 Phân vị xác suất - Trung vị (Median) 56

2.3 Các luật phân phối xác suất thường dùng 58

2.3.1 Phân phối không - một 58

2.3.2 Phân phối nhị thức (Binomial distribution) 59

2.3.3 Phân phối siêu bội (Hypergeometric distribution) 61

2.3.4 Phân phối Poisson (Poisson distribution) 63

2.3.5 Phân phối chuẩn (Normal distribution) 65

2.3.6 Phân phối khi bình phương χ2(n) 73

2.3.7 Phân phối Student 75

2.4 Luật số lớn và các định lí giới hạn 77

2.4.1 Một số loại hội tụ trong xác suất 78

2.4.2 Luật số lớn 78

2.4.3 Các định lí giới hạn và ứng dụng 80

3 Lý thuyết mẫu 96 3.1 Tổng thể và mẫu 96

3.1.1 Tổng thể và kích thước của tổng thể 96

3.1.2 Mẫu và kích thước mẫu 97

3.1.3 Biến ngẫu nhiên gốc và mẫu cụ thể 97

3.1.4 Điều kiện chọn mẫu 98

3.2 Bố trí mẫu và phân phối mẫu 98

3.2.1 Phân loại mẫu và bảng phân phối tần số 98

3.2.2 Bảng phân phối tần suất và đa giác tần suất 100

3.2.3 Hàm phân phối mẫu và đa giác tần suất tích luỹ 101

3.3 Mẫu ngẫu nhiên và thống kê 102

3.3.1 Mẫu ngẫu nhiên 102

3.3.2 Thống kê 103

3.4 Các tham số đặc trưng của tổng thể và mẫu 103

3.4.1 Các đặc trưng số của tổng thể 103

3.4.2 Các đặc trưng số của mẫu 104

3.4.3 Liên hệ giữa đặc trưng mẫu và đặc trưng tổng thể 105

3.5 Thực hành tính toán các đặc trưng số của mẫu cụ thể 106

3.5.1 Trung bình mẫu 106

3.5.2 Phương sai mẫu hiệu chỉnh 107

3.5.3 Tỷ lệ mẫu 109

3.6 Luật phân phối của các đặc trưng mẫu 109

3.6.1 Phân phối của tỷ lệ mẫu F 109

3.6.2 Phân phối của phương sai mẫu hiệu chỉnh 110

3.6.3 Phân phối của trung bình mẫu X 110

4 Lý thuyết ước lượng 114 4.1 Khái niệm ước lượng 115

4.2 Hàm ước lượng và phương pháp ước lượng điểm 115

4.2.1 Ước lượng không chệch 116

4.2.2 Ước lượng hiệu quả 117

4.2.3 Ước lượng vững 118

4.3 Phương pháp ước lượng khoảng 118

4.3.1 Mở đầu 118

4.3.2 Ước lượng khoảng tin cậy cho tỷ lệ của tổng thể 119

4.3.3 Ước lượng khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể 123

4.3.4 Ước lượng khoảng tin cậy cho phương sai tổng thể 131

5 Kiểm định giả thiết thống kê 145 5.1 Các khái niệm cơ bản về kiểm định giả thiết 146

5.1.1 Giả thiết H0 và đối thiết H1 146

5.1.2 Phân loại bài toán kiểm định giả thiết 147

5.1.3 Nguyên lý kiểm định giả thiết 147

5.1.4 Chọn tiêu chuẩn kiểm định giả thiết thống kê 147

5.1.5 Mức ý nghĩa và miền bác bỏ giả thiết H0 148

5.1.6 Quy tắc chung khi thực hiện một bài toán kiểm định 148

5.1.7 Các loại sai lầm mắc phải khi kiểm định giả thiết 148

5.2 Kiểm định giả thiết về tỷ lệ tổng thể 150

5.2.1 Kiểm định hai phía 150

5.2.2 Kiểm định phía phải 152

5.2.3 Kiểm định phía trái 154

5.3 Kiểm định giả thiết về trung bình của tổng thể 1565.3.1 Đã biết phương sai tổng thể σ2 1565.3.2 Phương sai tổng thể σ2 chưa biết, cỡ mẫu n > 30 1605.3.3 Phương sai tổng thể σ2 chưa biết, cỡ mẫu n 6 30, X có phân phối

chuẩn 161

Lời nói đầu

Lý thuyết xác suất và thống kê toán nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụngchúng vào thực tế Ta có thể hiểu hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng không thể nói trước

nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát Tuy nhiên, nếu tiến hành quansát khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong các phép thử như nhau, ta có thể rút ra

được những kết luận khoa học về hiện tượng này

Lý thuyết xác suất cũng là cơ sở để nghiên cứu Thống kê toán; môn học nghiên cứu cácphương pháp thu thập thông tin chọn mẫu, xử lý thông tin, nhằm rút ra các kết luận hoặcquyết định cần thiết Ngày nay, với sự hỗ trợ tích cực của máy tính điện tử và công nghệthông tin, xác suất thống kê ngày càng được ứng dụng rộng rãi và hiệu quả trong mọi lĩnhvực khoa học tự nhiên và xã hội Chính vì vậy lý thuyết xác suất thống kê toán được giảngdạy cho hầu hết các nhóm ngành ở đại học - cao đẳng

Hiện nay, có nhiều tài liệu chuyên viết về lý thuyết xác suất thống kê toán Tuy nhiên,những tài liệu này thường được dùng chung cho sinh viên chuyên ngành toán cũng như khôngchuyên toán Đối với những sinh viên không chuyên học toán cần phải có những tài liệu họctập thích hợp với đối tượng này Xuất phát từ thực tế đó, chúng tôi biên soạn cuốn "Giáotrình lý thuyết xác suất và thống kê toán" Giáo trình được biên soạn theo đề cương tín chỉcủa Đại học Duy Tân Trong giáo trình này, chúng tôi đã cố gắng trình bày súc tích, ngắngọn nhưng đầy đủ các khái niệm cốt lõi và đưa ra nhiều ví dụ, hình vẽ minh hoạ để độc giả

dễ nắm bắt được vấn đề hơn Một số lượng lớn câu hỏi ôn tập và bài tập có đáp án được đưa

ra sau mỗi chương ở các mức độ dễ, vừa, khó Cuốn giáo trình được chia là 6 chương:

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và phép tính xác suất

Chương 2 Biến ngẫu nhiên

Chương 3 Lý thuyết mẫu

Chương 4 Lý thuyết ước lượng

Chương 5 Kiểm định giả thiết thống kê

Chương 6 Biến ngẫu nhiên hai chiều - Tương quan và hàm hồi quy

Trong giáo trình này, chúng tôi đã trình bày các tính toán bằng phần mềm Excel Cáccông cụ và các hàm của Excel vận dụng vào tính toán và xử lý số liệu được trình bày chi tiết

ở phần phụ lục

Trước khi nghiên cứu các nội dung chi tiết, người học nên xem phần giới thiệu của mỗichương, để thấy được mục đích, ý nghĩa, yêu cầu chính của chương đó Trong mỗi chương,mỗi nội dung, người học có thể tự đọc và hiểu được cặn kẽ thông qua cách diễn đạt và chỉdẫn rõ ràng Đặc biệt độc giả nên chú ý đến các nhận xét, bình luận, để hiểu sâu sắc hơnhoặc mở rộng tổng quát hơn các kết quả và hướng ứng dụng vào thực tế

Cuốn giáo trình chắc không tránh khỏi những sai sót Chúng tôi xin hoan nghênh và đónnhận mọi ý kiến đóng góp của độc giả

Đà nẵng, tháng 1 năm 2015.

Tác giả.

Chương này trình bày một cách có hệ thống các khái niệm và các kết quả chính về lýthuyết xác suất như :

- Khái niệm phép thử, biến cố

- Mối quan hệ giữa các biến cố - Các phép toán giữa các biến cố

- Các định nghĩa về xác suất: Định nghĩa xác suất theo cổ điển, theo hình học, theo thốngkê

- Các phép tính xác suất: Công thức cộng xác suất, xác suất của biến cố đối lập

- Xác suất có điều kiện, công thức nhân xác suất Công thức xác suất đầy đủ và côngthức Bayes

hợp thuận lợi đối với biến cố và số các trường hợp có thể Vì vậy học viên cần nắm vững cácphương pháp đếm - giải tích tổ hợp (đã được học ở phổ thông) Tuy nhiên để thuận lợi chongười học chúng tôi sẽ nhắc lại các kết quả chính trong bài mở đầu.

Một trong những khó khăn của bài toán xác suất là xác định được biến cố và sử dụng

đúng các công thức thích hợp Bằng cách tham khảo các ví dụ và giải nhiều bài tập sẽ rènluyện tốt kỹ năng này

B Nội dung

1.1 Giải tích tổ hợp

1.1.1 Quy tắc cộng

Nếu đối tượng A có thể được chọn theo một trong hai trường hợp Trường hợp thứ nhất có

n1 cách chọn, trường hợp thứ hai có n2 cách chọn Khi đó số cách chọn A là: n = n1+ n2

Ví dụ 1.1.1. Một sinh viên thi cuối kỳ có thể chọn 1 đề thi có trong hai loại đề: đề dễ có 48câu hỏi và đề khó có 32 câu hỏi Hỏi có bao nhiêu cách chọn đề thi?

Giải. Sinh viên này có 48 cách chọn đề dễ và có 32 cách chọn đề khó Vì vậy có 48+32 = 80cách chọn đề thi

1.1.2 Quy tắc nhân

Nếu đối tượng A có thể được chọn bằng n1 cách, và với mỗi cách chọn A ta có n2 cáchchọn đối tượng B Khi đó số cách chọn A và B là: n = n1.n2

Ví dụ 1.1.2. Đi từ A đến B có thể đi theo 3 lộ trình, ứng với mỗi lộ trình đi từ A đến B sẽ

có 2 cách đi từ B đến C Như vậy có tất cả 3.2 = 6 lộ trình đi từ A đến C

Nếu liệt kê ra, sẽ được các tên sau:

Trần Anh Nhân, Trần Anh Đức, Trần Anh Trí

Trần Minh Nhân, Trần Minh Đức, Trần Minh Trí

Nguyễn Anh Nhân, Nguyễn Anh Đức, Nguyễn Anh Trí

Nguyễn Minh Nhân, Nguyễn Minh Đức, Nguyễn Minh Trí

Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn, Vì Pn = An

n nên ta có:

1.1.6 Tổ hợp

Mỗi bộ k phần tử (1 6 k 6 n) không kể đến thứ tự, được lấy bằng phép lấy không lặp

từ tập n phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

Kí hiệu số các tổ hợp chập k của n phần tử là Cnk, vì k phần tử lấy ra khác nhau và không

kể đến thứ tự nên:

Cnk = A

k n

k! =

n!

Ví dụ 1.1.5. Anh An có 11 người bạn trong đó có một cặp vợ chồng, anh này mời 5 người

đến nhà dự tiệc Hỏi anh An có bao nhiêu cách mời để cặp vợ chồng cùng được mời hoặckhông ai được mời

Giải: Có hai trường hợp:

Khi cả hai vợ chồng cùng được mời, anh An chỉ còn mời thêm 3 người trong 9 người cònlại, 1 cách chọn 3 người trong 9 người chính là một tổ hợp chập 3 của 9 phần tử Do đó sốcách chọn đúng bằng số tổ hợp chập 3 của 9 phần tử: C3

Để hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm trên, ta xét tiếp ví dụ sau đây

Ví dụ 1.1.6. Cho tập hợp gồm ba phần tử {a, b, c}, khi đó:

a Nếu chọn ra các bộ gồm 2 phần tử có thứ tự ta được A2

3 = 3.2 = 6 chỉnh hợp là:{a, b}, {b, a}, {a, c}, {c, a}, {b, c}, {c, b}

b Nếu chọn các bộ gồm hai phần tử có thứ tự và các phần tử có thể lấy lặp ta được

F32 = 32 = 9 chỉnh hợp lặp là:

{a, b}, {b, a}, {a, c}, {c, a}, {b, c}, {c, b}, {a, a}, {b, b}, {c, c}

c Số hoán vị thu được gồm 3! = 6 hoán vị là:

{a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}

d Nếu chọn ra các bộ hai phần tử không kể thứ tự ta được C2

3 = 3 tổ hợp là:

{a, b}, {a, c}, {b, c}

Ví dụ 1.1.7. Một đoàn tàu có 3 toa chở khách: I, II, III Trên sân ga có 4 khách chuẩn bị đitàu Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống Hỏi:

a Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên đoàn tàu

b Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên tàu để có 1 toa có 3 trong 4 hànhkhách nói trên

Giải:

a Người khách thứ nhất có 3 cách chọn Tương tự người khách thứ hai, thứ ba, thứ tưcũng có 3 cách chọn

Vậy theo quy tắc nhân sẽ có: 3.3.3.3 = 81 cách

b Cách 1: Giả sử toa I chứa 3 khách, khi đó số cách chọn 3 khách vào toa I là C43 = 4cách

Còn lại 1 người sẽ có 2 cách chọn Trong trường hợp này có: 4.2 = 8 cách

Có đến 3 trường hợp như vậy nên số cách xếp 4 hành khách lên tàu mà một toa có 3khách là: 3.8 = 24 (cách)

Cách 2: Khách lên tàu được chia thành 2 nhóm Một nhóm 3 người và một nhóm 1người, số cách chọn ra hai nhóm này là 4 Lúc này ta xếp 2 nhóm vào 3 toa nên có: A2

Vậy có 4.6 = 24 (cách)

1.2 Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên

1.2.1 Khái niệm phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên

• Phép thử ngẫu nhiên : Phép thử ngẫu nhiên là một khái niệm cơ bản không có định nghĩa

chính xác Ta có thể mô tả như sau: Phép thử ngẫu nhiên là sự thực hiện một nhóm điều kiện

xác định và có thể được lặp lại nhiều lần (chẳng hạn làm thí nghiệm hay quan sát một hiệntượng nào đó) Kết quả của nó ta không đoán định được trước Ta ký hiệu phép thử ngẫunhiên bằng chữ T và về sau gọi tắt là phép thử

• Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể của một phép thử được gọi là không

gian mẫu của phép thử đó Không gian mẫu được ký hiệu là Ω

Một phép thử có thể có nhiều hơn một không gian mẫu, tùy theo người quan sát quan tâm

đến dạng kết quả nào của phép thử đó

• Biến cố ngẫu nhiên: Một kết quả của phép thử được gọi là một biến cố ngẫu nhiên (về

sau gọi tắt là biến cố)

Như vậy một biến cố là một tập con của không gian mẫu Biến cố có thể xảy ra hoặckhông xảy ra khi thực hiện phép thử

Ta thường dùng các chữ cái: A, B, C, để ký hiệu biến cố

• Biến cố sơ cấp: Trong mỗi phép thử sẽ có nhiều kết quả xảy ra Có kết quả đơn giản nhất,

và cũng có những kết quả phức hợp Chẳng hạn khi quay xổ số, nếu ta chỉ quan tâm đến hai

số cuối, thì mỗi sự xuất hiện một số trong các chữ số từ 00; 11; ; 98; 99 là những kết quả

đơn giản nhất, trong khi đó sự xuất hiện các số chẵn, lẻ, đầu 6, đuôi 8, là những kết quả

phức hợp (gồm nhiều kết quả đơn giản nhất hợp thành).

Kết quả đơn giản nhất được gọi là biến cố sơ cấp.

Ta thường ký hiệu các biến cố sơ cấp là: ω1, ω2,

Nhận xét 1.2.1. Như vậy một biến cố sơ cấp là một phần tử của không gian mẫu (ω ∈ Ω)trong khi một biến cố ngẫu nhiên là một tập hợp con của không gian mẫu (A ⊂ Ω) Biến

cố ngẫu nhiên đóng vai trò như một tập hợp, chứa các biến cố sơ cấp Khi biến cố A chỉ cómột phần tử thì nó đóng vai trò như một biến cố sơ cấp Do đó, ta cũng có thể ký hiệu biến

cố sơ cấp bằng các chữ cái A, B, C

Chúng ta có thể hình dung, nếu không gian mẫu là mặt phẳng, khi đó mỗi đường thẳng

là một biến cố ngẫu nhiên, còn mỗi điểm là một biến cố sơ cấp

Ví dụ 1.2.1. Khi gieo một con xúc xắc là thực hiện một phép thử, nếu ta quan tâm đến kếtquả mặt mấy chấm xuất hiện thì không gian mẫu là Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, các mặt 1, 2, 3, 4,

5, 6 chấm là các biến cố sơ cấp Tập hợp A = {2, 4, 6} là một biến cố, nó xảy ra khi màhoặc mặt 2, hoặc 4, hoặc 6 chấm xuất hiện, có thể gọi A là biến cố "xuất hiện mặt chẵn".Tương tự B = {1, 3, 5} là biến cố "xuất hiện mặt lẽ" Nếu gọi C là biến cố "số chấm xuấthiện nhiều hơn 7" thì C = ∅ và C không xảy ra ở bất cứ lần gieo nào Nếu gọi D là biến cố

"số chấm xuất hiện nhỏ hơn 7" thì D = Ω và D luôn xảy ra khi thực hiện phép thử

• Biến cố tất yếu: là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử Như vậy, không gian mẫu

Ω là biến cố tất yếu

• Biến cố bất khả: là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử Như vậy, tập ∅

là biến cố bất khả

Ví dụ 1.2.2.

a Khảo sát ngẫu nhiên một sinh viên Khoa QTKD để lấy thông tin là thực hiện một phépthử Nếu kết quả chúng ta quan tâm là SV đó ở tỉnh nào thì không gian mẫu là Ω = {QuảngNam, Đà Nẵng, Quảng Bình, }, mỗi tỉnh là một biến cố sơ cấp Nếu kết quả ta quan tâm là

SV đó học nghành gì thì không gian mẫu Ω = {QTH, QTM, QNH, }, mỗi nghành học làmột biến cố sơ cấp Nhưng nếu kết quả chúng ta quan tâm là SV đó học lớp nào thì các kếtquả như: QTKD, QTMKT, NH, không phải biến cố sơ cấp (mà là biến cố)

b Sự biến động giá cả trên thị trường là phép thử, còn sự kiện xảy ra lạm phát là mộtbiến cố Diễn biến của một cơn bão ngoài Biển Đông là một phép thử, còn sự kiện nó vàoViệt Nam là một biến cố

Nhận xét 1.2.2. Như vậy không phải mọi phép thử đều được chủ động thực hiện Có nhữngbiến cố ta thu được từ thực hiện một phép thử, nhưng có những biến cố ta chỉ thu được từnhững quan sát từ các hiện tượng tự nhiên hoặc xã hội,

1.2.2 Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố

Khi giải các bài toán của lý thuyết xác suất ta thường phải diễn tả một biến cố phức hợptheo các biến cố đơn giản hơn Để làm được điều đó ta cần nghiên cứu mối quan hệ giữa cácbiến cố thể hiện qua các khái niệm dưới đây:

a. Các phép toán giữa các biến cố

• Phép cộng: Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi

có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra, ký hiệu A + B (hoặc A ∪ B) Có nghĩa:

A + B = {ω|ω ∈ A hoặc ω ∈ B}

Ví dụ 1.2.3. Bắn 2 mũi tên vào một quả bóng bay Gọi A là biến cố "mũi tên thứ nhất trúngquả bóng", B là biến cố "mũi tên thứ hai trúng quả bóng" và C là biến cố "quả bóng bay bịvỡ" thì C = A + B Có nghĩa, quả bóng bị vỡ (biến cố C xảy ra) khi và chỉ khi có ít nhấtmột trong hai mũi tên bắn trúng (ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra)

Ví dụ 1.2.4. Một chiếc xe đạp lưu thông trên đường là thực hiện một phép thử Nếu gọi A

là biến cố "bánh xe trước bị lủng"; B là biến cố "bánh xe sau bị lủng" thì khi đó A + B làbiến cố gì?

• Phép nhân: Tích của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi đồng thời

xảy ra cả A và B, kí hiệu A.B (hoặc A ∩ B) Có nghĩa:

A.B = {ω|ω ∈ A và ω ∈ B}

Ví dụ 1.2.5. Một SV bốc ngẫu nhiên một câu hỏi Gọi A là biến cố "bốc được câu lý thuyết",

B là biến cố "bốc được câu khó" và C là biến cố "bốc được câu lý thuyết khó" Khi đó

C = A.B

Ví dụ 1.2.6. Một anh nọ đưa bạn gái về nhà giới thiệu với ba, mẹ là thực hiện một phép thử.Nếu gọi A là biến cố "Ba anh ấy đồng ý"; B là biến cố "Mẹ anh ấy đồng ý" thì AB là biến

cố gì?

• Phép trừ: Hiệu của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra

nhưng B không xảy ra, kí hiệu là A \ B Có nghĩa:

A \ B = {ω|ω ∈ A và ω /∈ B}

Ví dụ 1.2.7. Chọn ngẫu nhiên một học sinh Gọi A là biến cố "học sinh này giỏi Toán"; B

là biến cố "học sinh này giỏi Văn" Khi đó A \ B là biến cố "học sinh này giỏi Toán nhưngkhông giỏi Văn"; B \ A là biến cố "học sinh này giỏi Văn nhưng không giỏi Toán"; AB làbiến cố "học sinh này giỏi cả Toán và Văn"

Phần bù của biến cố A, ký hiệu là A, được xác định: A = Ω \ A.

Ví dụ 1.2.8. Chọn ngẫu nhiên một SV để làm lớp trưởng Gọi A là biến cố "chọn được SVnam" thì A là biến cố "chọn được sinh viên nữ"

b. Mối quan hệ giữa các biến cố

• Thuận lợi: Biến cố A thuận lợi (hay kéo theo) đối với biến cố B, kí hiệu A ⊂ B, nếu

trong phép thử đó A xuất hiện thì B cũng xuất hiện

Ví dụ 1.2.9. Khi gieo một con xúc xắc, nếu gọi A là biến cố xuất hiện mặt 1 chấm, B làbiến cố xuất hiện mặt lẻ thì A thuận lợi đối với B

• Đồng nhất: Biến cố A đồng nhất (hay bằng) biến cố B, kí hiệu A = B, nếu đồng thời A

thuận lợi đối với B và B cũng thuận lợi đối với A

• Xung khắc: A và B gọi là xung khắc với nhau khi và chỉ khi A và B

không đồng thời xảy ra khi thực hiện phép thử Có nghĩa AB = ∅

Ví dụ 1.2.10. Trong một hộp có bốn loại bút: xanh, đỏ, vàng và đen Chọn ngẫu nhiên 1 câybút, gọi A là biến cố "chọn được bút xanh", B là biến cố "chọn được bút đỏ" Khi đó A và

B là hai biến cố xung khắc

• Hệ các biến cố xung khắc: Các biến cố A1, A2, , An gọi là xung khắc từng đôi khi và

chỉ khi AiAj = ∅, ∀i 6= j

Trong ví dụ trên nếu gọi C là biến cố "chọn được cây bút vàng" Khi đó A, B, C xungkhắc từng đôi

• Hệ các biến cố đầy đủ: Các biến cố A1, A2, , An gọi là hệ đầy đủ khi và chỉ

khi chúng xung khắc từng đôi và A1 + A2+ An= Ω

Trong ví dụ trên nếu gọi D là biến cố "chọn được cây bút đen" Khi đó A, B, C, D lậpthành một hệ đầy đủ

• Đối lập: Hai biến cố A và B gọi là đối lập khi và chỉ khi chỉ có một biến cố xảy ra khi

thực hiện phép thử Có nghĩa A ∩ B = ∅ và A ∪ B = Ω, ký hiệu B = A

Nhận xét 1.2.3.

+) Biến cố đối lập của A chính là phần bù A

+) Hai biến cố đối lập thì xung khắc với nhau, nhưng ngược lại thì không đúng

+) Hai biến cố đối lập lập thành một hệ đầy đủ

+) Công thức Demorgan: A + B = A.B; A.B = A + B

Ví dụ 1.2.11. Giả sử kết quả thi môn Toán của học sinh trong một lớp được xác định nhưsau: loại giỏi điểm 9 và 10, loại khá điểm 7 và 8, trung bình 5 và 6, loại kém 3 và 4, rấtkém 0, 1 và 2, điểm 5 - 10 là đạt, điểm 0 - 4 là không đạt Lấy ngẫu nhiên một học sinh củalớp và kí hiệu A, B, C, D, E, F, G tương ứng với các biến cố: giỏi, khá, trung bình, kém, rấtkém, đạt, không đạt (Giả sử điểm số là các số tự nhiên)

Khi đó:

+) A và F không xung khắc

+) Hệ {A, B, C, D} là xung khắc từng đôi mà không đầy đủ

+) Hệ đầy đủ: {A, B, C, D, E}; {F, G}; {D, E, F }; {A, B, C, G}

+) F, G là hai biến cố đối lập

Ví dụ 1.2.12. Hai cầu thủ bóng rổ A và B mỗi người ném 2 quả vào rổ (A ném xong 2 quảrồi đến B)

a Xác định không gian mẫu Ω

b Biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố sơ cấp

+) Số bóng trúng rổ của hai cầu thủ bằng nhau

+) Số bóng trúng rổ của cả hai cầu thủ bằng 3

a Xác định không gian các biến cố sơ cấp

b Biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố sơ cấp: có nhiều nhất một phế phẩm, có ítnhất một phế phẩm, có ít nhất hai phế phẩm

c Chỉ rõ các biến cố xung khắc và biến cố đối trong các biến cố thu được.

c Các biến cố xung khắc: A0, A1, A2, A3, A4 đều là các biến cố xung khắc với nhau từng

đôi một; A0&B; A&C

Các biến cố đối lập: A0&B; A&C

1.3 Các định nghĩa về xác suất

Hằng ngày, ta hay nghe thấy thuật ngữ xác suất, vậy xác suất (probability) là gì, được

định nghĩa và xác định như thế nào? Việc biến cố xảy ra hay không khi thực hiện một phépthử không thể đoán biết trước được Tuy nhiên bằng những cách khác nhau ta có thể địnhlượng khả năng xuất hiện của biến cố, đó là xác suất xuất hiện của biến cố Xác suất chỉnhận giá trị thực trên đoạn [0, 1] Vì biến cố không thể sẽ không bao giờ xảy ra, nên xácsuất của nó phải bằng 0, còn xác suất của biến cố chắc chắn thì phải bằng 1

Khi thực hiện một phép thử, số biến cố sơ cấp của phép thử đó có thể vô hạn hoặc hữuhạn, có thể đồng khả năng xảy ra hoặc không đồng khả năng Xuất phát từ thực tế này mà

1.3.1 Định nghĩa xác suất cổ điển

Định nghĩa 1.3.1. Cho một phép thử có không gian mẫu hữu hạn, gồm n(Ω) biến cố sơ cấp

đồng khả năng xảy ra, trong đó có n(A) biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A nào đó, khi

đó xác suất xuất hiện A được kí hiệu P (A) và được định nghĩa bằng công thức:

P (A) = n(A)

Chú ý 1.3.1.

+) n(A) là số phần tử của A; n(Ω) là số phần tử của Ω

+) Để tính n(A), n(Ω) ta thường dùng các phép toán của giải tích tổ hợp

+) Để sử dụng được định nghĩa cổ điển thì các biến cố sơ cấp phải hữu hạn và đồng khảnăng, trong các bài toán, để đảm bảo tính đồng khả năng, người ta hay dùng thuật ngữ "ngẫunhiên"

Ví dụ 1.3.1. Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc lý tưởng (đều đặn, đồng chất, đối xứng, )

Rõ ràng các biến cố sơ cấp của không gian mẫu Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} là đồng khả năng nên

áp dụng định nghĩa xác suất cổ điển ta có:

a Nếu gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn thì A = {2, 4, 6} nên:

P (A) = 3

6 =

12

Tương tự nếu gọi B là biến cố xuất hiện mặt lẽ thì P (B) = 12

b Nếu gọi C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 khi đó C ={3, 6} nên P (C) = 1

3

Ví dụ 1.3.2. Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nam sinh viên Chọn ngẫu nhiên mộtnhóm gồm 4 sinh viên tham gia cuộc thi "Dự án kinh tế cộng đồng" Tính xác suất để:

a Có hai nam trong 4 sinh viên được chọn?

b Có ít nhất một sinh viên nam trong số 4 sinh viên được chọn?

c Không có sinh viên nam trong số 4 sinh viên được chọn?

d Có nhiều nhất hai sinh viên nam trong số 4 sinh viên được chọn

Giải: Số cách lấy 4 sinh viên bất kỳ từ 50 sinh viên đã cho là:

n(Ω) = C504 = 230300

Vì cách chọn là "ngẫu nhiên" nên 230300 kết quả này là đồng khả năng

a Gọi A là biến cố có hai nam trong 4 sinh viên được chọn Số trường hợp thuận lợi cho

= 225455

230300 = 0, 97896

a Cả 5 người vào cùng một quầy.

b Chỉ có 1 người vào quầy I

có quầy nào có 1 người Do đó chỉ có 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: cho cả 4 người cùng vào một quầy, sẽ có 2 cách

Trường hợp 2: mỗi quầy có 2 người, sẽ có C2

để kiểm tra số kết quả thuận lợi cho A: m = C2

C2 10

= 13

15.

c Gọi C là biến cố sản phẩm thứ hai là chính phẩm Vì phải xét đến thứ tự của cácphần tử được lấy ra nên số cách lấy ra hai sản phẩm là A210= 90 Có 2 trường hợp thuận lợicho C: hoặc sản phẩm thứ nhất là chính phẩm và sản phẩm thứ hai cũng là chính phẩm, có

A26 = 30 cách Hoặc sản phẩm thứ nhất là phế phẩm và sản phẩm thứ hai là chính phẩm, có

Nhận xét 1.3.1. (Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa cổ điển của xác suất)

• Ưu điểm: Tính được chính xác xác suất của biến cố mà không cần phải thực hiện phépthử

• Nhược điểm: Số lượng các biến cố sơ cấp là hữu hạn Tính chất đồng khả năng khôngphải bao giờ cũng xác định được

Để khắc phục những hạn chế nêu trên, chúng ta đưa ra hai định nghĩa xác suất sau đây:

1.3.2 Định nghĩa xác suất bằng hình học

Định nghĩa 1.3.2. Một phép thử có vô hạn kết quả đồng khả năng và tập các kết quả đó cóthể biểu diễn bằng một miền hình học đo được G, còn các kết quả thuận lợi cho biến cố A

được biểu diễn bởi một miền con g ⊂ G Khi đó xác suất của biến cố A được định nghĩa:

P (A) = độ đo của g

Độ đo có thể là: độ dài, diện tích, thể tích

Ví dụ 1.3.5. Một hạt mưa rơi ngẫu nhiên vào một bể bơi hình chữ nhật có diện tích bề mặt:

10 ì 20 (m) Tìm xác suất để hạt mưa đó rơi trúng chiếc phao hình tròn có bán kính 1 (m);

biết chiếc phao để cố định trong bể bơi.

Giải: Gọi M là biến cố hạt mưa rơi trúng phao, khi đó P (M ) là tỷ số của diện tích chiếcphao trên diện tích bề mặt bể bơi Có nghĩa:

sẽ bỏ đi Tìm xác suất để họ gặp nhau, biết mỗi người có thể đến nơi hẹn vào thời điểm bất

kỳ trong thời gian trên

Giải: Lấy mốc thời gian là 8 giờ, gọi x là thời điểm đến của X, y là thời điểm đến của Y

và được tính theo phút Khi đó tập các biến cố có thể xảy ra là tập các điểm M (x, y) thuộcmiền:

G = {(x, y) : 0 6 x 6 60, 0 6 y 6 60}

Gọi H là biến cố hai người gặp nhau Khi đó tập các biến cố thuận lợi cho H là tập các

điểm N (x, y) thuộc miền:

Nhận xét 1.3.2. (Ưu điểm và nhược điểm của định nghĩa xác suất bằng hình học)

• Ưu điểm : Không gian mẫu Ω gồm vô hạn biến cố sơ cấp

• Nhược điểm: Khó khăn trong việc xác định độ đo của các miền G và g

Trong trường hợp các kết quả của một phép thử xảy ra không đồng khả năng người tadùng định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê Định nghĩa theo thống kê dựa trên tầnsuất xuất hiện các kết quả trong một dãy phép thử

1.3.3 Định nghĩa xác suất theo thống kê

Ví dụ 1.3.8. Rút ngẫu nhiên từ kho ra 100 sản phẩm để kiểm tra thấy có 5 phế phẩm Gọi

A là biến cố xuất hiện phế phẩm, khi đó tần suất xuất hiện phế phẩm là:

f100(A) = 5

100 = 0, 05

Nhận xét 1.3.3. Giá trị của tần suất phụ thuộc vào số lượng phép thử n, khi số phép thử íttần suất thay đổi nhiều, nhưng khi số phép thử lớn thì tần suất ổn định và dao động xungquanh một số nào đó

Ví dụ 1.3.9. Thí nghiệm tung đồng tiền xu được các nhà bác học thực hiện và thu được cáckết quả sau:

Người làm TN Số lần tung Số lần có mặt sấp Tần suất

b. Định nghĩa xác suất theo thống kê:

Giả sử phép thử được tiến hành n lần, trong đó có m lần xuất hiện biến cố A Với n đủlớn thì tần suất fn(A) = mn có giới hạn bằng số p nào đó, được gọi là xác suất của A Cónghĩa

Nhận xét 1.3.4. (Ưu điểm và nhược điểm của định nghĩa xác suất bằng thống kê)

• Ưu điểm : Không gian mẫu Ω gồm vô hạn biến cố sơ cấp và không đòi hỏi tính đồngkhả năng

• Nhược điểm: Đòi hỏi phải lặp lại nhiều lần phép thử Trong thực tế, nhiều bài toánkhông cho phép thực hiện do điều kiện và kinh phí làm phép thử

1.3.4 Tính chất và ý nghĩa của xác suất

a Tính chất: Theo định nghĩa xác suất ta dễ dàng suy ra được các tính chất sau:

+) P (∅) = 0

+) P (Ω) = 1

+) 0 6 P (A) 6 1, với mọi biến cố A ⊂ Ω

+) A ⊂ B ⇒ P (A) 6 P (B); với A, B bất kỳ thuộc Ω

b. ý nghĩa: Xác suất P (A) đặc trưng cho khả năng xuất hiện biến cố A trong phépthử P (A) càng lớn (càng gần 1) thì khả năng xuất hiện A càng nhiều P (A) càng nhỏ (cànggần 0) thì khả năng xuất hiện A càng ít

1.3.5 Nguyên lý xác suất lớn, xác suất nhỏ

Qua thực nghiệm và quan sát thực tế, người ta thấy rằng các biến cố có xác suất nhỏ sẽkhông xảy ra khi ta chỉ thực hiện một phép thử hay một vài phép thử Từ đó ta thừa nhậnnguyên lý sau đây, gọi là "Nguyên lý xác suất nhỏ": Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thìthực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra Chẳng hạn mỗi chiếcmáy bay đều có một xác suất rất nhỏ bị xảy ra tai nạn Nhưng trên thực tế ta vẫn không từchối đi máy bay vì tin tưởng rằng trong chuyến bay ta đi biến cố máy bay rơi không xảy ra.Hiển nhiên việc quy định một mức xác suất thế nào được gọi là nhỏ sẽ phụ thuộc vàotừng bài toán cụ thể Chẳng hạn nếu xác suất để máy bay rơi là 0,01 thì xác suất đó chưa thể

được coi là nhỏ Song nếu xác suất một chuyến tàu khởi hành chậm là 0,01 thì có thể coirằng xác suất này là nhỏ

Mức xác suất nhỏ này được gọi là mức ý nghĩa Nếu đặt α là mức ý nghĩa thì số γ = 1 ư αgọi là độ tin cậy Khi dựa trên nguyên lý xác suất nhỏ ta tuyên bố rằng: "Biến cố A có xácsuất nhỏ (tức là P (A) = α) sẽ không xảy ra trên thực tế" thì độ tin cậy của kết luận trên làγ

Tưng tự như vậy ta có thể đưa ra "Nguyên lý xác suất lớn": "Nếu biến cố A có xác suấtgần bằng 1 thì trên thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử" Cũngnhư trên, việc quy định một mức xác suất thế nào được gọi là lớn sẽ tùy thuộc vào từng bàitoán cụ thể

1.4 Các phép tính xác suất

1.4.1 Công thức cộng xác suất

1) Với hai biến cố A, B bất kỳ thì: P (A + B) = P (A) + P (B) ư P (AB)

2) Nếu A, B xung khắc thì: P (A + B) = P (A) + P (B)

3) Mở rộng cho n biến cố bất kỳ A1, A2, , An:

a Nhân viên đó nói được tiếng nước ngoài

b Nhân viên đó chỉ nói được Tiếng Anh

c Nhân viên đó chỉ nói được một ngoại ngữ

d Nhân viên đó không biết ngoại ngữ

Bài giải: Gọi A, B lần lượt là các biến cố nhân viên đó nói được Tiếng Anh, Tiếng Nhật

a Nhân viên đó nói được tiếng nước ngoài Có nghĩa là nhân viên đó nói được TiếngAnh hoặc Tiếng Nhật Do đó xác suất cần tìm:

b Xác suất để nhân viên đó chỉ nói được mỗi Tiếng Anh:

P (A \ B) = P (A) ư P (AB) = 25

40 ư10

40 =

1540

c Xác suất để nhân viên đó chỉ nói được mỗi Tiếng Nhật:

P (B \ A) = P (B) ư P (AB) = 15

40ư 10

40 =

540

Suy ra xác suất để nhân viên này chỉ nói được một ngoại ngữ là:

d Xác suất để nhân viên này không biết ngoại ngữ:

P (A + B) = 1 ư P (A + B) = 1 ư3

4 =14

Ví dụ 1.4.2. Một hộp có 50 sản phẩm loại I và 15 sản phẩm loại II Lấy ngẫu nhiên 10 sảnphẩm để kiểm tra Tính xác suất để có ít nhất 1 sản phẩm loại II trong 10 sản phẩm đượckiểm tra.

Giải: Gọi A là biến cố có ít nhất một sản phẩm loại II trong 10 sản phẩm được kiểm tra.Khi đó A là biến cố không có sản phẩm loại II nào trong 10 sản phẩm được kiểm tra

Ta có

P (A) = C

10 50

C10 65

Xác suất cần tìm:

P (A) = 1 ư P (A) = 1 ư C

10 50

C10 65

= 0, 9426

1.4.2 Công thức nhân xác suất

a. Xác suất có điều kiện

Phần trên khi xét sự xuất hiện của biến cố A, ngoài điều kiện của phép thử chúng ta không

có điều kiện nào khác Tuy nhiên, trong thực tế chúng ta thường phải xét sự xuất hiện củabiến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra

Định nghĩa 1.4.1. Giả sử A, B là hai biến cố bất kỳ và P (B) > 0 Ta gọi tỷ số P (AB)P (B) là xác

suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra trước đó, được ký hiệu

P (A/B) Có nghĩa:

P (A/B) = P (AB)

P (B) , P (B) > 0. (1.4.1)

Tương tự, nếu P (A) > 0 Ta gọi tỷ số P (AB)P (A) là xác suất có điều kiện của biến cố B với

điều kiện biến cố A đã xảy ra trước đó, được ký hiệu P (B/A) Có nghĩa:

Ví dụ 1.4.3. Gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối một cách độc lập Tính xác suất để:

a Tổng số nốt xuất hiện của ba con là 6

b Tổng số nốt xuất hiện của ba con là 6 nếu biết rằng có ít nhất một con ra mặt 2 chấm.

Vậy P (A) = n(A)n(Ω) = 21610

b Gọi B là biến cố "có một con xúc xắc ra mặt 2" Khi đó theo công thức xác suất có

điều kiện ta có xác suất cần tìm là:

Vậy P (A/B) = 91/2167/216 = 917 (Số phần tử của AB là 7, số phần tử của B là 91)

Ví dụ 1.4.4. Anh An có 10 người bạn thân, trong đó có một đôi vợ chồng và một anh tênBình Anh An mời ngẫu nhiên 6 người bạn đến nhà dự tiệc Tính xác suất để:

C4

8/C6 10

= C

3 7

C4 8

= 0, 5

b. Công thức nhân xác suất

1) Từ công thức xác suất có điều kiện chúng ta có:

P (AB) = P (A).P (B/A), P (A) > 0 (1.4.3)

Ví dụ 1.4.5. Một hộp đựng 10 cuộn phim, trong đó có 3 cuộn bị hỏng Chọn lần lượt 3 cuộnphim theo phương thức không hoàn lại Tìm xác suất để 3 cuộn phim được chọn đều bị hỏng?

Giải: Gọi:

A1 : là biến cố chọn cuộn phim thứ 1 bị hỏng

A2 : là biến cố chọn cuộn phim thứ hai bị hỏng (lúc này đã biết cuộn 1 hỏng)

A3 : là biến cố chọn cuộn phim thứ 3 bị hỏng (lúc này đã biết cuộn 1 và cuộn 2 hỏng)

Giải: Gọi A1, A2, A3 lần lượt là biến cố rút lần 1, 2, 3 được chìa mở được cửa Khi đó xácsuất cần tìm là:

c. Các biến cố độc lập với nhau

Định nghĩa 1.4.2.

• Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu sự xảy ra hay không xảy ra của

biến cố này không làm thay đổi xác suất của biến cố kia và ngược lại

• Các biến cố A1, A2, , An, (n > 2) được gọi là độc lập từng đôi nếu mỗi đôi bất kỳ

trong n biến cố ấy độc lập với nhau

• Các biến cố A1, A2, , An, (n > 2) được gọi là độc lập toàn phần nếu mỗi biến cố độc

lập với tích của một tổ hợp bất kỳ trong các biến cố còn lại

Nhận xét 1.4.2. Các biến cố độc lập toàn phần thì độc lập từng đôi, ngược lại không đúng

Trong lý thuyết và tính toán, người ta nhận biết tính độc lập bởi công thức, còn trong thực

tế người ta thường nhận biết tính độc lập bằng trực giác

Ví dụ 1.4.7.

a Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia Gọi A, B lần lượt là các biến cố người thứ nhất, ngườithứ hai bắn trúng bia Vì việc hai người bắn trúng hay trượt bia không ảnh hưởng đến kếtquả của nhau Vậy A, B là hai biến cố độc lập

b Gieo đồng thời hai con xúc xắc Gọi A là biến cố con thứ nhất xuất hiện mặt chẵn, B

là biến cố con thứ hai xuất hiện mặt lẽ Vì việc xuất hiện mặt chẵn hay mặt lẽ của mỗi conkhông ảnh hưởng đến nhau nên A, B là hai biến cố độc lập

Mệnh đề 1.4.1 Các kết luận sau đây là tương đương:

P (Ai1Ai2 Aik) = P (Ai1).P (Ai2) P (Aik) (1.4.6)

với mọi {i1, i2, , ik} ⊂ {1, 2, , n}, 2 6 k 6 n.

Ví dụ 1.4.8. Hai công ty A, B hoạt động một cách độc lập với nhau, được mời tham gia thầumột dự án gồm nhiều gói thầu Khả năng trúng thầu của các công ty tương ứng là 0,8 và 0,9.Tìm xác suất để:

a Chỉ có một công ty trúng thầu

b Có ít nhất một công ty trúng thầu

c Cả hai công ty trúng thầu

d Chủ đầu tư cho biết chỉ có một công ty trúng thầu Tính xác suất để đó là công ty A

Giải: Gọi A1, A2 lần lượt là các biến cố công ty thứ nhất, thứ hai trúng thầu

a Gọi A là biến cố có đúng một công ty trúng thầu Khi đó: A = A1A2+ A1A2

Trong đó A1i, A2i, , Ani tương ứng là một biến cố bất kỳ trong phép thử G1, G2, , Gn.

Một hệ quả của công thức cộng và nhân xác suất là công thức xác suất đầy đủ (còn đượcgọi là công thức xác suất toàn phần)

1.5 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

1.5.1 Công thức xác suất đầy đủ

Bài toán: Giả sử A1, A2, , An là một hệ đầy đủ các biến cố của một phép thử nào đó Gọi

B là một biến cố bất kỳ trong phép thử đó Ta có thể trình bày các biến cố vừa mô tả quahình sau:

Cho biết P (Ai) và P (B/Ai), i = 1, n Hãy xác định xác suất P (B)

Biến cố B xảy ra khi:

Công thức này được gọi là công thức xác suất đầy đủ.

Ví dụ 1.5.1. Một nhà máy có 3 phân xưởng sản xuất cùng một loại sản phẩm Trong đó phânxưởng I sản xuất 36%, phân xưởng II sản xuất 34%, phân xưởng III sản xuất 30% sản lượngtoàn nhà máy Biết tỷ lệ phế phẩm của các phân xưởng tương ứng là: 12%, 10% và 8% Tính

tỷ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy

Giải: Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong kho của nhà máy, gọi B là biến cố sản phẩm lấy ra

là phế phẩm thì P (B) là tỷ lệ phế phẩm chung của nhà máy Gọi A1, A2, A3 lần lượt là cácbiến cố sản phẩm lấy ra thuộc phân xưởng I, II, III, ta có:

Vậy tỷ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy là: 10, 12%

Ví dụ 1.5.2. Với các giả thiết như ví dụ trên, bây giờ ta thêm một điều kiện mới, đó là lấyngẫu nhiên từ kho một sản phẩm, và giả sử lấy được phế phẩm Tìm xác suất để sản phẩm

đó thuộc phân xưởng II Sản phẩm phế phẩm đó có khả năng thuộc phân xưởng nào nhiềunhất?

Muốn giải được bài toán này ta phải sử dụng công thức sau, gọi là công thức Bayes

Điều phải chứng minh

Trở lại ví dụ trên, theo công thức Bayes, xác suất để phế phẩm lấy ra thuộc phân xưởng

Nhận xét 1.5.1. Nếu hệ các biến cố {A1, A2, An} xung khắc đôi một và

Gọi H là biến cố lấy được sản phẩm A, khi đó theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

3 8

+) Dãy n phép thử đó độc lập với nhau

+) Trong mỗi phép thử Gita chỉ để ý đến biến cố A hay A xuất hiện, có nghĩa Ωi = {A, A}.+) Xác suất của biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng một số p = P (A)

1.6.2 Công thức Bernoulli

Bài toán: Cho dãy gồm n phép thử Bernoulli (xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phépthử bằng p) Tìm xác suất để biến cố A xuất hiện m lần trong dãy n phép thử đó?

Bài toán này được nhà bác học người Thụy Sĩ, Bernoulli giải từ thế kỷ XVII nên được gọi

là bài toán Bernoulli Xác suất để biến cố A xuất hiện m lần trong n phép thử, được ký hiệu

Pn(m) và xác định bởi công thức:

Công thức này đ−ợc gọi là công thức Bernoulli.

Hệ quả 1.6.1 Gọi Pn(k1, k2) là xác suất biến có A xuất hiện từ k1 đến k2 lần, khi đó:

C103 =

6.7

9, 10 =

715

b) Gọi B là biến cố rút được phế phấm khi rút có hoàn lại Ta xem phép rút có hoàn lại

là phép thử Bernoulli với xác suất rút mỗi lần được phế phẩm là p = 102 = 0, 2 Thực hiệnrút 3 lần không hoàn lại ta có n = 3, vì rút được một phế phẩm nên m = 1

Vậy ta có:

P (B) = C31(0, 2)(0, 8)2 = 0, 384

Ví dụ 1.6.3. Xác suất trúng giải của một tờ vé số là 1% Hỏi cần mua ít nhất bao nhiêu vé

để khả năng có ít nhất 1 vé trúng giải không dưới 0,95

Vậy cần mua tối thiểu 299 vé

Câu hỏi ôn tập chương 1

Các câu hỏi sau đây đúng hay sai, vì sao?

1 Ta có thể có hai không gian mẫu Ω cho cùng một phép thử

2 Hai biến cố xung khắc là hai biến cố đối lập

3 Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì A và B cũng độc lập

4 Cho A là một biến cố của một phép thử nào đó Kết luận: A là biến cố chắc chắn

5 Cho A là một biến cố của một phép thử nào đó Kết luận: A là biến cố chắc chắn

6 Cho A và B là hai biến cố của một phép thử nào đó Kết luận: A và B là hai biến cốxung khắc

7 Cho A và B là hai biến cố của một phép thử nào đó Kết luận: A và B là biến cố độclập

8 Nếu A và B là hai biến cố đối lập thì A, B lập thành một hệ đầy đủ

9 Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì P (A + B) = P (A) + P (B)

10 Hai biến cố A và B là độc lập thì P (A.B) = P (A).P (B)

11 Nếu hai biến cố A và B độc lập thì P (A + B) = P (A) + P (B)

12 Nếu hai biến cố A và B đối lập thì P (A + B) = P (A) + P (B)

13 Hai biến cố A và B là xung khắc thì P (A.B) = P (A).P (B)

14 Cho A và B là hai biến cố xung khắc của một phép thử nào đó Kết luận: A và B độclập

15 Hai biến cố A và A + B xung khắc

16 Hai kiện tướng bóng bàn ngang sức thi đấu với nhau Khả năng thắng 2 trong 4 ván sẽlớn hơn khả năng thắng 3 trong 6 ván

Bài tập chương 1

1 a Có mấy cách phân phối ngẫu nhiên 15 tặng phẩm cho 3 người

b Có mấy cách phân phối ngẫu nhiên 15 tặng phẩm cho 3 người sao cho người thứ hai

có đúng 5 tặng phẩm

c Có mấy cách phân phối ngẫu nhiên 15 tặng phẩm cho 3 người sao cho mỗi người

có 5 tặng phẩm

ĐS: a 14348907; b 3075072 c 756756

2 Một sinh viên thi cuối kỳ phải thi 3 môn trong một tuần (7 ngày), biết mỗi ngày thimột môn Hỏi phòng đào tạo có mấy cách lập lịch thi.

ĐS: Có 210 cách lập lịch thi

3 Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm

a Có mấy cách lấy nhẫu nhiên ra 4 sản phẩm để kiểm tra từ lô hàng đó

b Có mấy cách lấy nhẫu nhiên ra 4 sản phẩm để kiểm tra từ lô hàng đó, trong đó sốchính phẩm và phế phẩm bằng nhau

c Có mấy cách lấy nhẫu nhiên ra 4 sản phẩm để kiểm tra từ lô hàng đó, trong đó sốchính phẩm nhiều hơn số phế phẩm

5 Một nam sinh viên gọi điện thoại cho một cô gái mới quen nh−ng lại quên mất 3 chữ

số cuối và chỉ nhớ rằng chúng khác nhau và có chữ số 0 Hỏi anh này có mấy cách đểbấm máy

ĐS: 216 cách bấm máy

6 Chứng minh các tính chất sau của các biến cố:

a A.(B + C) = AB + AC, A + (B.C) = (A + B)(A + C)

b A − B = A.B, A + B = A B, A.B = A + B

7 Kiểm tra ba sản phẩm (mỗi sản phẩm chỉ có một trong hai khả năng tốt hoặc xấu) Gọi

A1, A2, A3 lần l−ợt là các biến cố sản phẩm thứ 1, 2, 3 là sản phẩm tốt Hãy biểu diễncác biến cố sau theo các biến cố A1, A2, A3:

a Tất cả đều xấu

b Có ít nhất một sản phẩm xấu

c Có ít nhất một sản phẩm tốt

d Không phải tất cả các sản phẩm đều tốt

b Có đúng một sinh viên đạt yêu cầu.

c Có đúng 3 sinh viên đạt yêu cầu

d Có ít nhất 1 sinh viên đạt yêu cầu

e Không có sinh viên đạt yêu cầu

9 Chọn ngẫu nhiên 1 nhân viên trong một công ty để lấy thông tin Gọi A là biến cốnhân viên đ−ợc chọn là nam, B là biến cố nhân viên đ−ợc chọn đã tốt nghiệp đại học,

C là biến cố nhân viên đó đã lập gia đình

a Hãy mô tả biến cố ABC

b Với điều kiện nào thì ta có ABC = A

c Khi nào thì ta có C = A

10 Tung hai con xúc xắc Gọi A là biến cố "Số nốt xuất hiện trên con xúc xắc một chiahết cho số nốt trên con xúc xắc hai" B là biến cố "Tổng số nốt xuất hiện trên hai con

là số chẵn" Hỏi A và B có độc lập, có xung khắc hay không?

11 Một hộp có 5 bi trắng, 3 bi xanh Lấy từ hộp ra 2 bi theo 3 cách lấy:

a. Lấy ngẫu nhiên một lần hai bi Tính xác suất để lấy đ−ợc một bi trắng

b. Lấy lần l−ợt không hoàn lại hai bi Tính xác suất để:

+) Lấy đ−ợc một bi trắng

+) Lấy đ−ợc viên thứ hai là bi trắng

c. Lấy lần l−ợt có hoàn lại hai bi Tính xác suất để lấy đ−ợc một bi trắng

ĐS: a Lấy ngẫu nhiên hai bi.

Xác suất để lấy đ−ợc một bi trắng là: P = 1528

b. Lấy lần l−ợt kh"ng hoàn lại hai bi

+) Xác suất để lấy đ−ợc một bi trắng là: P = 1528

+) Xác suất cần tìm là: P = 58

c. Lấy lần l−ợt có hoàn lại hai bi Xác suất để lấy đ−ợc một bi trắng là: P = 0, 4688

12 Biển đăng ký xe máy loại 125cm3 ở TP ĐN gồm 3 phần: Phần đầu là chỉ số vùng ĐN

số 43; Phần tiếp theo là 2 chữ cái đ−ợc chọn trong bảng gồm 26 chữ cái từ A đến Z;

phần cuối là một dãy gồm 5 số được chọn từ 0 đến 9 Một người quay số ngẫu nhiên.Tính xác sất để được biển số xe:

a Có 2 chữ số cuối là 68

b Các chữ số phải khác nhau

c Các chữ số và các chữ cái phải khác nhau

d Các chữ số và các chữ cái phải khác nhau và tổng các chữ số bằng 9 (thường gọi 9

16 Có 30 tấm thẻ ATM đánh số từ 1 tới 30 Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ Tính xác suất

18 Một quốc gia có 50 tỉnh, mỗi tỉnh có hai đại biểu Quốc hội Người ta chọn ngẫu nhiên

50 đại biểu trong số 100 đại biểu để thành lập một ủy ban Tính xác suất để:

a Trong ủy ban có ít nhất một đại biểu của thủ đô

b Mỗi tỉnh đều có đúng 1 đại biểu trong ủy ban

có 1 người và hai toa còn lại không có ai ĐS: p=3/16

21 Một người bỏ ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 chiếc phong bì đã ghi địa chỉ Tính xác suất

để ít nhất có một lá thư bỏ đúng phong bì của nó

ĐS: p=2/3

22 Trong điều trị bệnh lao có hiện tượng kháng thuốc Xác suất kháng INH của vi khuẩnlao là 0,2; Xác suất kháng PAS của vi khuẩn lao là 0,4; Xác suất kháng Streptomycincủa vi khuẩn lao là 0,3 Biết việc kháng các loại thuốc khác nhau là độc lập với nhau.Nếu kết hợp cả 3 loại thuốc thì khả năng khỏi bệnh là bao nhiêu?

23 Trong một trận không chiến giữa máy bay ta và máy bay địch, máy bay ta bắn trướcvới xác suất trúng là 0,6 Nếu trượt, máy bay địch bắn trả lại với xác suất trúng là 0,45.Nếu không bị trúng đạn máy bay là lại bắn trả với xác suất trúng là 0,3 Tính xác suất

để:

a) Máy bay địch bị rơi trong cuộc không chiến này

b) Máy bay ta bị rơi trong cuộc không chiến này

24 Ta biết rằng các trẻ sinh đôi có thể là sinh đôi thật (do 1 trứng sinh ra), trong trườnghợp này chúng cùng giới, hoặc giả sinh đôi (do 2 trứng sinh ra), trong trường hợp nàyxác suất để chúng cùng giới là 0,5 Ta giả thiết rằng xác suất sao cho hai trẻ sinh đôi

là sinh đôi thật là một số p đã biết

a) Tính xác suất để cho 2 trẻ là sinh đôi thật, biết chúng cùng giới

b) Tính xác suất để cho 2 trẻ là giả sinh đôi , biết chúng khác giới

25 Có 30 đề thi trong đó có 10 đề khó, 15 đề trung bình và 5 đề dễ Tìm xác suất để:

a Một sinh viên bốc ngẫu nhiên 1 đề, gặp được đề trung bình hoặc đề dễ

b Một sinh viên bốc ngẫu nhiên 2 đề, được ít nhất 1 đề trung bình

ĐS: a 2/3; b 0,7586

26 Cơ cấu chất lượng sản phẩm của một nhà máy như sau: Sản phẩm loại 1: 40%, sảnphẩm loại 2: 50%, còn lại là phế phẩm Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy.Tính xác suất để sản phẩm lấy ra thuộc loại 1 hoặc loại 2.

a Sinh viên này giỏi ít nhất một ngoại ngữ

b Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết

c Sinh viên này chỉ giỏi đúng mỗi Anh văn

d Sinh viên này chỉ giỏi đúng 1 ngoại ngữ

ĐS: a 0,85; b 0,15; c 0,4; d 0,75

29 Tổ của Nam có 9 sinh viên được chia ngẫu nhiên thành 3 nhóm đều nhau thực tập ở 3công ty Trong Nhóm có hai cô Hoa và Phượng rất xinh Tính xác suất để cho:

a Nam, Hoa và Phượng ở 3 nhóm khác nhau

b Nam cùng nhóm thực tập với Hoa

c Nam cùng nhóm thực tập với Phượng hoặc Hoa ĐS: a p=0,321429 b p=0,25 c.p=0,46429

30 Trong một xưởng có 3 máy làm việc một cách độc lập Trong một ca, máy thứ nhất

có thể cần sửa chữa với xác suất 0,15, máy thứ hai với xác suất 0,1 và máy thứ ba vớixác suất 0,12 Tìm xác suất sao cho trong một ca có ít nhất 1 máy cần sửa chữa ĐS:p=0,3268

31 Ba xạ thủ A, B, C độc lập với nhau bắn mỗi người 1 viên đạn bia Xác suất bắn trúngcủa mỗi người tương ứng là: 0,7, 0,6 và 0,9

a Tính xác suất để duy nhất 1 xạ thủ bắn trúng

b Biết bia bị trúng 1 viên đạn Tính xác suất để viên trúng đó là của xạ thủ thứ nhất

c Tính xác suất để bia bị trúng đạn ĐS: a 0,154; b 0,1818; c 0,988

32 Một nhân viên một ngày đi giới thiệu sản phẩm ở nhiều đại lý, biết xác suất để bán

được hàng ở mỗi nơi đều bằng 0,4 Nếu bán được hàng thì nhân viên đó sẽ về nhà(xem như hoàn thành nhiệm vụ) Nhân viên đó phải đi đến mấy đại lý để xác bán đượchàng là 0,01536

35 Một đoàn tàu gồm 3 toa đỗ ở sân ga Có 5 hành khách bước lên tàu Mỗi hành khách

độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa Tính xác suất để mỗi toa đều có ít nhất mộthành khách mới bước lên

ĐS: p=50/81

36 Một công ty cần tuyển hai nhân viên Có 6 người nạp đơn trong đó có 4 nữ và 2 nam.Khả năng được tuyển của mỗi người là như nhau

a Tính xác suất để cả hai nữ được chọn nếu biết rằng ít nhất một nữ đã được chọn

b Giả sử A là một trong 4 nữ, tính xác suất để A được chọn nếu biết rằng ít nhất mộtnữ đã được chọn

ĐS: a p=3/7; b 5/14

37 Gieo 3 con xúc xắc cân đối một cách độc lập Tính xác suất để:

a Tổng số nốt xuất hiện là 8 nếu biết rằng ít nhất có một con ra nốt 1

b Có ít nhất một con ra mặt 6 chấm nếu biết rằng số nốt trên 3 con là khác nhau

ĐS: a p=15/91; b p=1/2

38 Một gia đình có hai đứa con Tìm xác suất để cả hai là con trai nếu biết rằng ít nhấttrong hai đứa có một đứa là trai (giả thiết xác suất sinh con trai và con gái là bằngnhau)

ĐS: p=1/3

39 Có 100 thí sinh tham gia một cuộc thi có 3 vòng Vòng một lấy 90% thí sinh Vòng 2lấy 80% thí sinh của vòng 1 và vòng 3 lấy 90% thí sinh của vòng 2

a Tính xác suất để một thí sinh lọt qua 3 vòng thi

b Tính xác suất để một thí sinh bị loại ở vòng 2 nếu biết rằng thí sinh đó bị loại

ĐS: a p=0,648; b p=0,511