Luận văn sư phạm Xây dựng hệ thống bài tapạ cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian E3

Trờng đại học s phạm h nội Khoa toán ************* NGUYễN VĂN HƯNG XÂY DựNG Hệ THốNG BI TậP CHO Lý THUYếT MảNH THAM Số TRONG KHÔNG GIAN e3 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngnh : Hình Häc Ng−êi h−íng dÉn khoa häc GVC.PGS.TS NGUN N¡NG T¢M H NộI 2013 Lời cảm ơn Em xin by tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GVC.PGS.TS.Nguyễn Năng Tâm, ngời thầy đà trực tiếp tận tình hớng dẫn v giúp đỡ em hon thnh khoá luận Đồng thời, em xin chân thnh cảm ơn đến thầy cô tổ hình học v thầy cô khoa Toán - Trờng Đại học s phạm H Nội 2, ban chủ nhiệm khoa Toán đà tạo điều kiện cho em hon thnh khoá luận ny Trong khuôn khổ có hạn khoá luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn v l lần nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận đợc góp ý quý báu thầy cô v bạn Em xin chân thnh cảm ơn ! H Nội, ngy 02 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Văn Hng LờI CAM ĐOAN Khoá luận ny l kết thân em trình học tập v nghiên cứu khoa học Bên cạnh đó, em đợc quan tâm thầy, cô khoa Toán đặc biệt hớng dẫn tận tình thầy GVC.PGS.TS.Nguyễn Năng Tâm Trong nghiên cứu hon thnh khoá luận ny em đà tham khảo số ti liệu đà ghi phần ti liệu tham khảo Em khẳng định kết đề tμi "X©y dùng hƯ thèng bμi tËp cho lý thut mảnh tham số không gian E3" trùng lặp với kết đề ti H Nội, ngy 02 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Văn Hng MụC LụC Trang A.mở đầu 1 Lý chän ®Ị tμi Môc ®Ých nghiªn cøu NhiƯm vơ nghiªn cøu Ph¹m vi, đối tợng nghiên cứu ý nghÜa khoa häc vμ thùc tiƠn cđa ®Ị tμi Phơng pháp nghiên cứu B.néi dung Ch−¬ng 1: Các kiến thức chuẩn bị Đại cơng lý thuyết mảnh tham sè kh«ng gian 3 1.1 Định nghĩa mảnh tham số không gian 1.2 Định nghĩa đờng toạ độ, đờng vectơ tiếp túc 1.3 Định nghĩa quy, điểm trù dị, mảnh tham số quy 1.4 Định nghĩa tiết diện mảnh tham số r điểm phơng trình tiết diện v, phơng pháp tuyến 1.5 Định nghĩa hai mảnh tham số tơng ®−¬ng, quan hƯ t−¬ng ®−¬ng 1.6 Định nghĩa mảnh tham số kiểu đồ thị 1.7 Ví dục tơng ứng cho phần lý thuyết trình by Chơng HƯ thèng bμi tËp cho lý thut m¶nh tham sè kh«ng gian E3 D¹ng Dạng bi tập viết phơng trình tham số mặt không gian E3 D¹ng D¹y bi tập xác định ảnh mảnh tham số có phơng trình cho trớc 14 D¹ng Dạy bi tập liên quan đến mặt tịnh tiến 19 Dạng Dạy bi tập liên quan đến điểm qua, điểm kì dị, mảnh quy, tham số hoá mảnh 22 C.kết luận v đề nghị 38 D.tμi liÖu tham kh¶o 39 A Mở ĐầU Lý chọn đề ti Toán học l môn khoa học nghiên cứu số, cấu trúc, không gian v phép biến ®ỉi Nãi mét c¸ch kh¸c, ng−êi ta cho r»ng ®ã l môn học " Hình v Số" theo quan điểm thống, l môn học nghiên cứu cấu trúc trừu tợng định nghĩa từ tiền đề, cách sử dụng luận lý học (lôgic) v ký hiệu toán học Các quan điểm khác đợc miêu tả tiết học toán Do khả øng dơng réng r·i nhiỊu khoa häc, to¸n häc đợc mệnh danh l "ngôn ngữ vũ trụ" Hình học l phần toán học, hình học l ngnh toán học nghiên cứu liên hệ không gian Trong hình học ngời ta chia nhiều nhánh khác có hình học vi phân Hình học vi phân l nhánh hình học sử dụng công cụ v phơng pháp phép tính vi phân v tích phân nh đại số tuyến tính v đại số đa tuyến tính để nghiên cứu vấn đề hình học Hình học vi phân đợc phát triển mạnh mẽ từ đầu kỷ XIX Gauss l nh toán học tiên phong lĩnh vực ny Cuối kỷ XIX tất nghiên cứu đợc tập hợp v hệ thống hoá lại c¸c nhμ to¸n häc Jran Gastan Dar boux vμ Luigi Bian chi Lý thuyết đờng cong mặt phẳng không gian nh mặt cong không gian Euclid ba chiều đà trở thnh sở cho phát triển hình học vi phân Việc xây dùng hƯ thèng bμi tËp cđa m«n häc nμy sÏ giúp em hiểu rõ chất hình học vi phân Trong khuôn khổ có hạn khóa luận tốt nghiệp, em dừng lại việc "Xây dùng hƯ thèng bμi tËp cho lý thut m¶nh tham sè kh«ng gian E " Mơc đích nghiên cứu Đề ti nghiên cứu việc xây dựng hƯ thèng bμi tËp cho lý thut m¶nh tham sè không gian E Trên sở xây dựng đợc hệ thống bi tập cách khoa học, rõ rng v xác qua thấy đợc ý nghÜa cđa viƯc häc tËp m«n häc nμy, hiĨu sâu v nắm vững kiến thức nh lý thuyết trình giải bi tập Nhiệm vụ nghiên cứu a Trình lý thuyết sở lý thuyết mảnh tham số b Trình by ví dụ dể hiểu lý thuyết c Trình by hệ thống bi tập từ dễ đến khó lý thuyết mảnh tham số không gian E Phạm vi v đối tợng nghiên cứu - Về khách thể nghiên cứu: Do khuôn khóa luận cho phÐp em chØ nghiªn cøu lý thuyÕt vμ bμi tËp cho lý thuyết mảnh tham số không gian E - Về đối tợng nghiên cứu + Nghiên cứu cách xây dựng lý thuyết mảnh số không gian E + Nghiên cứu hệ thống bi tập từ dễ đến khó lý thuyết ý nghÜa khoa häc vμ thùc tiƠn cđa ®Ị tμi §Ị tμi "X©y dùng hƯ thèng bμi tËp cho lý thuyết mảnh tham số không gian E " giúp em hiểu thêm hình học vi phân v biết cách áp dụng giải bi tập v có nhìn đắn môn học ny Phơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo trình, ti liệu tham số v tạp chí toán học, bi giảng chuyên đề, giáo trình hình học, ti liệu liªn quan tíi néi dung nghiªn cøu, kiÕn thøc thùc hnh v đặc biệt l nhiệt tình giúp đỡ v góp ý thầy giảng viên hớng dẫn b nội dung Chơng 1: kiến thức chuẩn bị 1.đại cơng lý thuyết mảnh tham số không gian e3 1.1.định nghĩa mảnh tham số không gian e Giả sử U l tập mở khác R2, ánh xạ r từ tập mở U vo kh«ng gian Euclid chiỊu E3 : r : U  E3 (u,v)  r(u,v) lμ mét m¶nh tham sè E3 ( r : khả vi đến lớp cần thiÕt ) tËp U gäi lμ miÒn tham sè hay miền xác định mảnh 1.2 định nghĩa đờng toạ độ, trờng véc tơ tiếp xúc Với điểm (u0,v0) U tập hợp A u | (u, v0 ) U } , B  v | (u0 , v) U } lμ nh÷ng tËp më cđa R ánh xạ : r1 : A E3 u  r1(u) = r(u,v0) r1 : B  E v  r2(v) = r(u0,v) lμ nh÷ng cung tham sè cña E3, cung tham sè u  r(u,v0) E3 ( u thay đổi khoảng J R no đó, u0 J) gọi l đờng toạ ®é v  v0; cungtham sè v  r2(v) = r(u0,v) E3 gọi l đờng toạ độ u u0.theo định nghĩa đạo hm ru : u ru(u , v0 ) lμ mét tr−êng vÐc t¬ tiÕp xóc däc theo cung r1 ; v  rv(u0 , v) lμ mét tr−êng vÐc t¬ tiÕp xóc däc theo cung r2 1.3 định nghĩa điểm quy, điểm kì dị, mảnh tham số quy Cho mảnh tham sè : r : U  E3 (u,v)  r(u,v) ®iÓm (u0,v0)  U ( hay ®iÓm r(u0,v0)  E3) gäi lμ ®iĨm chÝnh quy cđa r nÕu hai vÐc t¬ ru(u0 , v0 ) vμ rv(u0 , v0 ) ®éc lËp tun tÝnh ®iĨm kh«ng chÝnh quy cđa r gọi l điểm kì dị r điểm U l điểm quy r gọi l mảnh quy 1.4 định nghĩa tiếp diện mảnh tham số r điểm, phơng trình tiếp diện r điểm, pháp tuyến mảnh Tại điểm chÝnh quy (u0,v0) cđa m¶nh tham sè r, gäi - phẳng E3 qua r(u0,v0) với không gian vÐc t¬ chØ ph−¬ng ru(u0 , v0 ), rv(u0 , v0 ) l mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện r điểm ( u0,v0) ; đờng thẳng qua r(u0,v0) thẳng góc với tiết diện (u0,v0) l pháp tuyến r (u0,v0) Trong toạ độ afin ( x,y, z) cña E3 viÕt : r( u,v)  (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) (trong ®ã (u,v)  x(u,v), y(u,v), z(u,v) lμ hm số U) phơng trình tiếp diện cđa r t¹i (u0,v0) lμ : X  x(u0 , v0 ) Y  y (u0 , v0 ) Z  z (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 )  xv (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 ) Vμ toạ độ l descartes vuông góc phơng pháp tuyến r (u0,v0) l : X x(u0 , v0 ) Y  y (u0 , v0 ) Z  z (u0 , v0 )   yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) 1.5 định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng Cho hai mảnh tham số E3 : r : U  E3 vμ r : U  E NÕu cã mét vi ph«i  :U U ( l ánh xạ đồng phôi khả vi v ánh xạ ngợc :U  U cịng kh¶ vi) cho r  r. ta nói r tơng đơng với r v gọi  lμ mét phÐp tham sè gi÷a U vμ U ( hay tõ r sang r ) nÕu cã phÐp đổi tham số nh từ U (U ) , r  r   ta cã r (U ) r (U ) sơ đồ: U U r r r (U )  r (U ) Gi¶ sư r : U  E (u,v) r(u,v) Ta đặt (u , v) (u (u , v), v (u , v))  U th× u : U  R , v : U  R l hai hm khả vi v định thức :  u u    v u  u v   v v NÕu   (u,v) U ta nói r tơng đơng bảo hớng với r Nếu (u,v) U ta nói r tơng đơng đảo h−íng víi r * Ta suy c¸c tÝnh chất từ hai mảnh tham số tơng đơng : Quan hệ tơng đơng mảnh tham số E3 l quan hệ tơng đơng theo nghĩa thông thờng 10 d) Gi¶ sư r lμ m¶nh chÝnh quy NÕu r(V) l mặt trụ theo câu c), hai vect¬ A  u  vμ A  u phụ thuộc tuyến tính Do ba vectơ   u  ,   A  u  , A  u  phô thuéc tuyÕn tÝnh Suy r(V) l mặt khả triển Nếu r(V) l mặt nón viết A u   I   u  víi I lμ ®Ønh nãn     Do ®ã A  u      u  Râ rμng ®ã    u   A  u  , A  u  , A  u  phô thuéc tuyÕn tÝnh Suy r(V) l mặt khả triển Nếu r(V) l mặt tiÕp tun th× cã thĨ viÕt A  u      u  Khi ®ã hiĨn nhiên hệ vectơ u , A  u  , A  u  phụ thuộc tuyến tính Suy r(V) l mặt khả triển e) Vì r(V) l mặt trơ nªn A  u  vμ A  u độc lập tuyến tính Vì  u  , A  u  , A  u  phơ thc tun tÝnh nªn cã thĨ khai triÓn      u     u  A  u     u  A  u  ®ã biÕn ®æi    r  u , v     u   v A  u      u     u  A  u     v    u   A u đặt u     u     u  A  u  th×   u  u      u      u  A  u     u  A  u         u  A  u     u  A  u       u  A  u     u  A  u     u      u   A u Nếu lân cận J u0 ta cã   u      u  th× 1  u   víi mäi u  J Do ®ã 1 u l điểm cố định I với mäi u  J , ®ã víi mäi  u  J vμ v cho  u, v   V cã thÓ viÕt r  u, v   I  v    u A u đẳng thøc nμy chøng tá cã l©n cËn P cđa r  u0 , v0  ®Ĩ P  r V l mặt nón Nếu u0 ta có   u0      u0  tồn lân cận J u0 ®Ó   u0      u0  víi mäi u  J , ®ã 30   1  u     u      u   A  u     u  J  ®iỊu nμy cã nghÜa lμ    u  / / A  u  vμ 1 : u  1  u  lμ mét cung chÝnh quy trªn r(V) suy víi mäi u  J vμ víi mäi v cho u, v V mảnh tham sè r  u, v     u   v A  u   1  u   v    u   A  u  lμ mét mỈt tiÕp tuyến điều ny chứng tỏ có lân cận Q cđa r  u0 , v0  ®Ĩ Q  r V  lμ mỈt tiÕp tun Bμi 1.10 : Gi¶ sư  u, v   r  u, v  lμ mét m¶nh tham sè E v u0 , v0 l điểm không kì dị kí hiệu l tiếp diện mảnh r điểm u0 , v0 ( nh theo định nghĩa l - phẳng qua điểm r u0 , v0 m có phơng l không gian vectơ chiều  ru  u0 , v0  , rv  u0 , v0   )  a) Chøng minh phơng đợc xác định Tu ,v  r 0 b) Chøng minh r»ng đợc tạo tiếp tuyến t0 cđa c¸c cung tham sè t    t   r  u  t  , v  t   , ®ã t  u  t  vμ t  v  t  l hai hm số xác định khoảng no ®ã chøa t0 , u  t0   u0 , v  t0   v0 , u t    v t    2 Bμi gi¶i :   a) Phơng đợc xác định Tu ,v  r thËt vËy, bëi v× Tu ,v  r l 0 0 ánh xạ tuyến tính vμ :             Tu0 ,v0  r  |u0 ,v0    ru  u0 , v0  , Tu0 ,v0  r  |u0 ,v0    rv  u0 , v0  ,  u   v     b) Víi a.ru  u0 , v0   b.rv  u0 , v0   , xÐt : 1 t    u  u0  a.t , v  v0  b.t   U ( víi t ®đ bÐ) vμ   t    r  1  t    Chó ý : 1) 1 : t  1  t   U th× T t  r  1  t     r  1   t ( theo định nghĩa T1 t  r 31  2)  u0 , v0 l điểm không kì dị v Tu ,v r l đơn cấu 0 Bμi 3.11 : Cho tham sè ho¸ r : U  E ,  u, v   r  u, v     u   v A u mảnh mặt kẻ E (  : J  E lμ cung chÝnh quy vμ hμm vect¬    A : J E thoả mÃn điều kiƯn A  u   víi mäi u  J ) Chøng minh r»ng nÕu     A  u  , A  u  ,    u     A  u  , A  u  ®éc lËp tun tÝnh vμ phơ thc tun tÝnh víi mäi u J có hm số f v g J   u   f  u  A  u   g  u  A  u  víi mäi uJ Chøng minh f g mặt kẻ đà cho l mặt nón, f g không triệt tiêu u no mặt kẻ đà cho l mặt tiếp tuyến Bi giải :   Ta cã r  u, v     u   v A  u   1  u    v    u   A  u  ,  1  u     u     u  A  u  , th× :     1  u      u      u  A  u     u  A  u      f  u      u   A  u    g  u     u   A  u   f  g   chän    g th× 1  u   , tøc lμ  r  u , v   I   v    u   A  u , ta đợc mảnh mặt nón đỉnh I Khi 1  u   I , Khi f  g không triệt tiêu u no, chọn    g th×    1  u    f  u   g   u   A  u   vμ u  1  u  lμ đờng chuẩn mặt kẻ ®· cho, r  u, v   1  u    v    u   A  u  mμ 1 / / A , nên ta đợc mảnh mặt tiếp tuyến Bi 1.12 : Cho mảnh tham số E3 xác định (u,v) r(u,v) E3 v giả sử điểm kì dị, xét mảnh tham số xác định (u, v) r (u, v)  l.n(u, v) ®ã l lμ mét h»ng sè vμ : 32    ru  rv n ( u , v )    ( u , v ) ru  rv a) Chøng minh (u,v) l điểm không kì dị r tiếp diện r v r (u,v) l hai mặt phẳng song song b) Tìm điểm kì dị r v xét ảnh r :   r : R \ A  E , r (u, v)   R.cos v. (u )  R.sin v.k ®ã R lμ h»ng       sè d−¬ng,  (u )  cos u.i  sin v j , {i, j, k} lμ c¬ së trùc chuÈn cña E ,  E ,  A l tập hợp điểm có dạng (u, k ) ( k nguyªn t ý) cđa R2 Bμi gi¶i:        n n a) r r l.n nên kí hiệu nu (u, v)  (u, v) , nv (u, v)  (u, v) th× v u              ru  ru  ln u vμ rv  rv  ln v Do n  nªn nu n  Suy ru.n  rv.n  từ đó, (u,v) l điểm không kì dị r tiếp diện r v r (u,v) l hai mặt phẳng song song    b) Ta cã : ru(u, v)  R.cos v. (u  ) , rv(u, v)   R.sin v. (u )  R.cos v.k  ®ã n(u, v)  cos v  cos v.sin v   (u )  k cos v cos v Nh− vËy:   2 - víi   2k  v   k ( k  Z ) (1), tøc víi cos v  , th×   r (u, v)   ( R  1).cos v. (u )  ( R 1).sin v.k Từ đó, với v thoả mÃn (1) tập hợp điểm r (u, v) l mặt cầu tâm O bán kính R chọc thủng hai điểm xuyên tâm đối R  vμ lμ ®iĨm R   Trong tr−êng hỵp nμy : 33     ru rv  ( R  1) cos v. (u )  ( R  1) sin v.cos v.k Do ®ã chØ R   th× r míi cã điểm kì dị, l tất điểm (u,v)  R vμ tho¶ m·n (1) - Víi   k  v  3  2k (k  Z ) (2), tøc lμ cos v tập hợp điểm r (u, v) l mặt cầu tâm O bán kính R chọc thủng hai điểm thẳng hng với với hai ®iĨm ®· nãi ë trªn R   vμ lμ ®iĨm O R   Trong tr−êng hỵp nμy chØ R  r có điểm kì dị , l tất điểm (u,v) R mμ v tho¶ m·n (2) Bμi 1.13 : Chøng minh pháp tuyến điểm không kì dị mặt tiếp tuyến đờng đinh ốc tròn trục E3 hợp với góc không đổi Bi giải : Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho trục Oz nằm ( phơng trùng với phơng trục Oz) Cung đinh ốc tròn V xác định : f : u  f (u )   a.e(u )  b.u.k ( a  0, b  ) hay f (u )  (a.cos u, a.sin u, b.u ) Khi mặt tiếp tuyến V xác định bëi (cã tham sè ho¸ lμ) (u, v)  r (u, v)  f (u )  v f (u ) mμ  f (u )  (a.sin u, a.cos u, b)        (a.cos(u  ), a.sin(u  ), b) hay f (u )   a.e(u  )  b.k 2 Vậy pháp tuyến mặt tiếp tuyến điểm không kì dị có phơng l : n  ru  rv Ta cã :    ru  (a.[cos(u  )  v.cos(u   )], a.[sin(u  )  v.sin(u   )], b) 2  (a.[ sin u  v.cos u ], a[ cos u  v sin u ], b) 34    rv  (a.cos(u  ), a.sin(u  ), b) 2  (a.sin u, a cos u, b) VËy   a (cos u  v.sin u ) n( a.cos u b b , b b  a.(cos u  v.sin u )  a sin u ,  a.(sin u  v.cos u )  a (cos u  v.sin u ) ) a.sin u a.cos u   n  (abv.sin u, abv.cos u , a v)   Gäi  l góc tạo u v trục oz có vectơ chØ ph−¬ng k (0, 0,1) lμ :  n.k a 2v av a cos        2 2 2 n.k a b v a v av a b a b2 Do a,b không đổi nên không đổi Ta có điều phải chứng minh Bi 1.14: Trong E3 với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho m¶nh tham sè : r : R2  E3 (u, v)  r (u, v)  (u.cos v, u sin v, u ) víi mäi (u,v)  R a) HÃy tìm điểm kì dị r b) HÃy pháp tuyến r điểm (1,0) vuông góc với trục oy Bi giải : a) Gọi điểm (u0,v0) R l điểm kì dị r điểm (u0,v0) l điểm kì dị r vectơ ru(u0 , v0 ) v rv(u0 , v0 ) phơ thc tun tÝnh, ®iỊu nμy  tơng đơng với ru rv Ta cã : ru(u, v)  (cos v,sin v,1) , rv(u, v)  (u.sin v, u.cos v, 0)    sin v 1 cos v cos v sin v ru  rv   ( , , )  (0, 0, 0) u.cos v 0 u.sin v u sin v u.cos v  u Suy điểm (0,v) l điểm kì dị cđa R,(v  R ) 35  b) VÐc t¬ chØ ph−¬ng cđa trơc oy lμ v  (0,1, 0) u.cos v   u  u.sin v  Ta cã r(0,1)  (1,0,1) v×  Ta tính đợc : ru(1, 0) (1, 0,1) , rv(1, 0)  (0,1, 0)    suy pháp tuyến r điểm (1,0) l n ru rv  1 1 1  , , )  n  (1, 0, 1) 0 0    Ta cã n.v  (1).0  1.0  0.(1)  n vuông góc với v n( Do pháp tuyến r điểm (0,1) vuông góc với trục oy Bi 1.15 : HÃy tìm điểm kì dị mặt xác định phơng trình ẩn theo hệ trục toạ độ đêcac (x,y,z) E3 nh− sau : a) F ( x, y, z )  ( x  y )2  3z   b) G ( x, y, z )  ( x  y )2  xz  a  (a  const) c) H ( x, y, z )  trng ®ã H lμ mét ®a thøc bËc hai cña x, y, z Bμi gi¶i : a) Ta cã : Fx  x.( x  y ) Fy  y.( x  y ) Fz  6 z vμ Fx  , Fy  , Fz  vμ chØ x  y  z  Nh−ng F ( x, y, z ) nên mặt xác định phơng trình ẩn F ( x, y, z ) điểm kì dị b) Ta cã Gx  2.( x  y )  z , Gy  2.( x  y ) , Gz   x vμ Gx  , Gy  , Gz  vμ chØ x  y  z  v× G (0, 0, 0) a nên a mặt G ( x, y, z )  kh«ng cã điểm kì dị, a mặt G ( x, y, z ) có điểm kì dị l gốc toạ độ (0, 0, 0) c) Đặt x x1 , y x2 , z x3 mặt xác định H ( x, y, z ) l mặt xác ®Þnh bëi H ( x1 , x2 , x3 )  ®a thøc bËc hai H ( x1 , x2 , x3 )  cã d¹ng : 36 H ( x1 , x2 , x3 )  a i , j 1 x x j  2 ak xk  a0 víi Ýt nhÊt mét hÖ sè aij  , ta biÕt ji i k mặt xác định H ( x1 , x2 , x3 )  lμ mét mỈt bËc hai Euclid ®iĨm M ( x1 , x2 , x3 ) gọi l điểm kì dị mặt xác định phơng trình ẩn H ( x1 , x2 , x3 )  vμ chØ {Fx  Fy  Fz  0, F  0} còng l điều kiện cần v đủ để M ( x1 , x2 , x3 ) l điểm kì dị mỈt bËc hai H ( x1 , x2 , x3 )  ( tøc lμ M võa lμ t©m mặt bậc hai, vừa nằm mặt bậc hai) Vậy điểm kì dị mặt xác định phơng tr×nh Èn H ( x1 , x2 , x3 ) đồng nghĩa với điểm kì dị mặt bËc hai H ( x1 , x2 , x3 )  Bμi 1.16 : Cho m¶nh tham sè r : U  E , (u, v)  r (u, v)  (u, v, u  v ) lμ mét m¶nh tham sè chÝnh quy h·y xác định : a) ảnh mảnh tham số b) Tìm phơng trình mặt phẳng tiếp diện t¹i p  r (u0 , v0 ) c) Tìm phơng trình pháp tuyến l mảnh p  r (u0 , v0 ) Bμi gi¶i: a) Khử tham số u,v cách : đặt x u , y  v , z  u  v tõ x  u , y  v , z  u  v ta cã z  x  y ( z ) l phơng trình bậc hai nên xác định mặt parabôlôit tròn xoay z  x  y (S) VËy ¶nh r(U) nằm mặt parabôlôit tròn xoay Ngợc lại, cho điểm M ( x, y, z )  (S) tho¶ m·n z  th× cã : u  x , v  y ®Ĩ x  u , y  v , z  u  v Suy phần mặt parabôlôit tròn xoay (S) thoả mÃn z nằm ảnh r(U) Vậy ảnh r(U) l phần parabôlôit tròn xoay (S) : z x  y víi z  37 b) V× ru(u0 , v0 )  (1, 0, 2u0 ) vμ rv(u0 , v0 )  (0,1, 2v0 ) nên pháp vectơ mảnh p r (u0 , v0 ) cã thÓ lÊy lμ:    n  ru(u0 , v0 )  rv(u0 , v0 )  (2u0 , 2v0 ,1) VËy tiÕp diÖn mảnh p có phơng trình : 2u0 ( x  u0 )  2v0 ( y  v0 )  ( z  u0  v0 )  Hay lμ 2u0 x  2v0 y  z  (u0  v0 ) Pháp tuyến l mảnh p có phơng trình : x u0 y v0 z  (u02  v02 )   1 2u0 2v0 Bμi 1.17 : Trong kh«ng gian víi hƯ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mặt : S {( x, y, z )  E : x2 y   1} ( a  0, b  ) a b2 a) H·y t×m mét tham sè ho¸ cđa (S) b) Chøng minh r»ng tham số hoá tìm đợc phần a) l m¶nh tham sè chÝnh quy Bμi gi¶i : a) Tham số hoá mặt (S) cách đặt : x a.cos u , y  b.sin u , z v ánh xạ r : R E , (u, v)  r (u, v)  (a.cos u, b.sin u, v) (a  0, b  0) l tham số hoá (S) : từ x  a.cos u , y  a.sin u , z  v ta cã : x2 y  xác định mặt trụ elliptic a b2 b) ánh xạ r : R E l mảnh tham số quy : lấy ®iÓm (u0,v0)  R ta cã ru (u0 , v0 )  (a.sin u0 , b.cos u0 , 0) ( a  0, b  ), rv0 (u0 , v0 )  (0, 0,1) Khi ®ã : 0 a.sin u0 a.sin u0 , , 1 0   (b.cos u0 , a.sin u0 , 0)  0(0, 0, 0) ru0 (u0 , v0 )rv0 (u0 , v0 )  ( b.cos u0 38 b.cos u0 ) ®ã hai vÐc t¬ ru (u0 , v0 ) vμ rv (u0 , v0 ) độc lập tuyến tính.suy mảnh 0 tham số đà cho l mảnh quy Bi 1.18 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho ánh xạ r : R E ,  u, v   r  u, v    a.cos u.cos v, a.cos u.sin v, a.sin u   a   chøng minh ánh xạ r l mảnh tham số quy điểm (u,v) m u k Bi giải : Gọi (u0,v0) l điểm thuéc R ®ã r (u0 , v0 )  E ta cã ru (u0 , v0 )   a.sin u.cos v, a sin u.sin v, a.cos u  rv0 (u0 , v0 )    a.cos u.sin v,  a cos u.cos v,  ®ã : ru0  u0 , v0   rv0  u0 , v0    a.sin u.sin v a.cos u a.cos u a.sin u.cos v a.sin u.cos v a.sin u.sin v  , ,   0  a.cos u.sin v  a.cos u.sin v a.cos u.cos v   a.cos u.cos v   a cos u.cos v, a cos u.sin v, a sin u.cos u    ru0  u0 , v0   rv0  u0 , v0   vμ chØ cos u   u   k  Vậy ánh xạ đà cho l mảnh tham số quy điểm (u,v) m u  k  Bμi 1.19 : Trong kh«ng gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mảnh tham sè r : R  E ,  u, v   r  u, v    u, v, u  v  chøng minh r»ng r lμ mét m¶nh tham sè chÝnh quy 39 Bμi gi¶i : Gäi r( u0 , v0 ) lμ phÇn tư thc r, ta sÏ chøng minh r»ng víi mäi  u0 , v0   R r( u0 , v0 ) l điểm quy , r l mảnh tham số quy,thËt vËy víi mäi  u0 , v0   R ta cã : ru0 (u0 , v0 )  (1, 0, 2u0 ) , rv0 (u0 , v0 )  (0,1, 2v0 )  2u0 2u0 ,  2v0 2v0 suy ra: ru  u0 , v0   rv  u0 , v0    0 1 0  ,   0(0, 0, 0) 0 1 ®ã ru  u0 , v0  vμ rv  u0 , v0 độc lập tuyến tính, suy r l mảnh tham sè 0 chÝnh quy Bμi 3.20 : Cho P   x, y, z   E : x y v ánh xạ r : R  E , (u,v)  r  u , v    u  v, u  v, u.v  ( u  v) h·y chøng minh r»ng r lμ mét tham sè ho¸ cđa P Bi giải : r l tham số hoá P, : đặt x u v, y  u  v, z  u.v ®ã (x, y, z)  E vμ x  y  (u  v)  (u  v)  r l tham số hoá r Bμi 1.21 : Chøng minh r»ng tËp S   x, y, z   E : z  x  y  lμ mét m¶nh tham số quy v kiểm tra ánh xạ sau cã lμ mét tham sè ho¸ cđa S hay kh«ng.? a) r  u, v    u  v, u  v, 4.u.v  b) r  u, v    u.cos v, u.sin v, u   u   Bμi gi¶i : Tham số hoá mảnh (S) cách đặt : x  u  v , y  u  v ®ã z  x  y  (u  v)2  (u  v)2  4.u.v 40 ta có ánh xạ r : R E ,  u, v   r (u, v)   u  v, u  v, 4.u.v  tho¶ m·n (u  v)  (u  v)  4.u.v ®ã r lμ mét tham số hoá (S) , để chứng minh (S) l m¶nh chÝnh quy ta chøng minh r lμ mét m¶nh chÝnh quy, thËt vËy : gäi  u0 , v0   R  r (u0 , v0 )  E ru0 (u0 , v0 )  (1,1, 4) , rv0 (u0 , v0 )  (1, 1, 4)  4 1  , , ru0  u0 , v0   rv0  u0 , v0      1 4 1 1     8, 0, 2    0, 0,  r l mảnh quy suy ®iỊu ph¶i chøng minh a) r  u, v    u  v, u  v, 4.u.v   u, v  R  lμ mét tham số hoá S theo chứng minh b) Ta cã : x  y  u cos v  u sin v  u (cos v  sin v)  u ®ã r  u , v    u.cos v, u.sin v, u   u không l tham số hoá mảnh (S) Bi 1.22 : Trong không gian E với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho ánh x¹ r : R  E r  u , v    a.sin u.cos v, b.sin u.sin v, cos u  víi  u   ,  v  2 a, b, c  a) Chøng minh r»ng r lμ mét tham số hoá mặt elipxôit : x2 y z    a b2 c2 b) ánh xạ r có l mảnh tham số quy không? sao? Bi giải : Với u   ,  v  2 vμ a, b, c  ta cã : 41 a sin u.cos v b sin u.sin v cos u    a2 b2 c2 sin u  cos v  sin v   cos u  cos u sin u Ngợc lại, víi x, y, z tho¶ m·n x2 y2 z ta đặt x a.sin u.cos v , a b2 c2 y  b.sin u.sin v , z  cos u Khi ®ã ta có ánh xạ : r : R E ,  u , v   r  u , v    a.sin u.cos v, b.sin u.sin v, cos u ánh xạ r l tham số hoá mặt elipxôit b) Với  u0 , v0   R  r  u0 , v0   E ta cã r  u0 , v0    a.sin u0 cos v0 , b.sin u0 sin v0 , cos u0  ®ã : ru0  u0 , v0    a.cos u0 cos v0 , b.cos u0 sin v0 ,  sin u0  rv0  u0 , v0     a.sin u0 sin v0 , b.sin u0 cos v0 ,  ru0  u0 , v0   rv0  u0 , v0    b.cos u0 sin v0  sin u0  sin u0 a.cos u0 cos v0 a.cos u0 cos v0 , ,  0  a.sin u0 sin v0  a.sin u0 sin v0  b.sin u0 cos v0   b.sin u0 cos v0 , a.sin u0 sin v0 , a.b.sin u0 cos v0  b.cos u0 sin v0   b.sin u0 cos v0  Víi  u   th× sinu0  0,  v  2 th× sin v0 vμ cos v0 không đồng thời vectơ ru  u0 , v0  vμ rv  u0 , v0  ®éc lËp tuyÕn tÝnh, suy 0 r lμ m¶nh tham sè chÝnh quy 42 C kÕt ln ViƯc x©y dùng hƯ thèng bμi tËp cho lý thuyết mảnh tham số không gian E gióp chóng ta hiĨu râ h¬n vỊ lý thut cịng nh− ý nghÜa cđa m«n häc nμy, nã lμ c«ng cụ để phát triển thnh lĩnh vực nghiên cứu cấu trúc hình học tổng quát đa tạp khả vi, v l khía cạnh để nghiên cứu hình học lĩnh vực phơng trình vi phân Cụ thể, em đà cố gắng xây dựng dạng bi tập v phơng pháp giải cụ thể dạng, số ý, kết rút từ Từ dạng có phơng pháp giải v tự xây dựng hệ thống v bi tập nh phơng pháp cho Mặc dù thân đà cố gắng xong hạn chế trình độ chuyên môn v tính gấp rút thời gian nên chắn khoá luận không tránh khỏi khuyết điểm v sai sót, em kính mong quý thầy cô bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khoá luận hon thiện Em xin chân thnh cảm ơn ! 43 D ti liệu tham khảo Đỗ Ngọc Diệp - Nông Quốc Chinh (2010) : Giáo trình hình học vi phân, Nxb ĐHQG H Nội Phạm Bình Đô (2010) : Hình học vi phân, Nxb ĐHSP H Nội Đon Thế Hiếu (2006) : Bi tập hình vi phân, §HSP HuÕ §oμn Quúnh (2009) : “ H×nh häc vi phân, Nxb ĐHSP H Nội Đon Quỳnh (1993) : Bi tập hình học vi phân, Nxb ĐHSP H Néi 44 ... Chơng 2: hệ thống bi tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E3 Dạng 1: Viết phơng trình tham số mặt không gian E3 Bi 1.1: Viết tham số hoá( hay phơng trình tham số ) mặt tròn xoay sau E3: a)... nh lý thuyết trình giải bi tập Nhiệm vụ nghiên cứu a Trình lý thuyết sở lý thuyết mảnh tham số b Trình by ví dụ dể hiểu lý thuyết c Trình by hệ thống bi tập từ dễ đến khó lý thuyết mảnh tham số. .. Tâm Trong nghiên cứu hon thnh khoá luận ny em đà tham khảo số ti liệu đà ghi phần ti liệu tham khảo Em khẳng định kết đề ti "Xây dựng hệ thống bi tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E3"