xây dựng hệ thống bài tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian

A Mở ĐầU Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học nghiên cứu số, cấu trúc, không gian phép biến đổi Nói cách khác, ngời ta cho môn học " Hình Số" theo quan điểm thống, môn học nghiên cứu cấu trúc trừu tợng định nghĩa từ tiền đề, cách sử dụng luận lý học (lôgic) ký hiệu toán học Các quan điểm khác đợc miêu tả tiết học toán Do khả ứng dụng rộng rãi nhiều khoa học, toán học đợc mệnh danh "ngôn ngữ vũ trụ" Hình học phần toán học, hình học ngành toán học nghiên cứu liên hệ không gian Trong hình học ngời ta chia nhiều nhánh khác có hình học vi phân Hình học vi phân nhánh hình học sử dụng công cụ phơng pháp phép tính vi phân tích phân nh đại số tuyến tính đại số đa tuyến tính để nghiên cứu vấn đề hình học Hình học vi phân đợc phát triển mạnh mẽ từ đầu kỷ XIX Gauss nhà toán học tiên phong lĩnh vực Cuối kỷ XIX tất nghiên cứu đợc tập hợp hệ thống hoá lại nhà toán học Jran Gastan Dar boux Luigi Bian chi Lý thuyết đờng cong mặt phẳng không gian nh mặt cong không gian Euclid ba chiều trở thành sở cho phát triển hình học vi phân Việc xây dựng hệ thống tập môn học giúp em hiểu rõ chất hình học vi phân Trong khuôn khổ có hạn khóa luận tốt nghiệp, em dừng lại việc "Xây dựng hệ thống tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E " Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu việc xây dựng hệ thống tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E Trên sở xây dựng đợc hệ thống tập cách khoa học, rõ ràng xác qua thấy đợc ý nghĩa việc học tập môn học này, hiểu sâu nắm vững kiến thức nh lý thuyết trình giải tập Nhiệm vụ nghiên cứu a Trình lý thuyết sở lý thuyết mảnh tham số b Trình bày ví dụ dể hiểu lý thuyết c Trình bày hệ thống tập từ dễ đến khó lý thuyết mảnh tham số không gian E Phạm vi đối tợng nghiên cứu - Về khách thể nghiên cứu: Do khuôn khóa luận cho phép em nghiên cứu lý thuyết tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E - Về đối tợng nghiên cứu + Nghiên cứu cách xây dựng lý thuyết mảnh số không gian E + Nghiên cứu hệ thống tập từ dễ đến khó lý thuyết ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài "Xây dựng hệ thống tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E " giúp em hiểu thêm hình học vi phân biết cách áp dụng giải tập có nhìn đắn môn học Phơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo trình, tài liệu tham số tạp chí toán học, giảng chuyên đề, giáo trình hình học, tài liệu liên quan tới nội dung nghiên cứu, kiến thức thực hành đặc biệt nhiệt tình giúp đỡ góp ý thầy giảng viên hớng dẫn b nội dung Chơng 1: kiến thức chuẩn bị 1.đại cơng lý thuyết mảnh tham số không gian e3 1.1.định nghĩa mảnh tham số không gian e Giả sử U tập mở khác R2, ánh xạ r từ tập mở U vào không gian Euclid chiều E3 : r : U E3 (u,v) a r(u,v) mảnh tham số E3 ( r : khả vi đến lớp cần thiết ) tập U gọi miền tham số hay miền xác định mảnh 1.2 định nghĩa đờng toạ độ, trờng véc tơ tiếp xúc Với điểm (u0,v0) U tập hợp A = { u | (u, v0 ) U } , B = { v | (u0 , v) U } tập mở R ánh xạ : r1 : A E3 u a r1(u) = r(u,v0) r1 : B E3 v a r2(v) = r(u0,v) cung tham số E3, cung tham số u a r(u,v0) E3 ( u thay đổi khoảng J R đó, u0 J) gọi đờng toạ độ v = v0; cungtham số v a r2(v) = r(u0,v) E3 gọi đờng toạ độ u = u0.theo định nghĩa đạo hàm ru : u ru(u, v0 ) trờng véc tơ tiếp xúc dọc theo cung r1 ; v rv(u0 , v ) trờng véc tơ tiếp xúc dọc theo cung r2 1.3 định nghĩa điểm quy, điểm kì dị, mảnh tham số quy Cho mảnh tham số : r : U E3 (u,v) a r(u,v) điểm (u0,v0) U ( hay điểm r(u0,v0) E3) gọi điểm quy r hai véc tơ ru(u0 , v0 ) rv(u0 , v0 ) độc lập tuyến tính điểm không quy r gọi điểm kì dị r điểm U điểm quy r gọi mảnh quy 1.4 định nghĩa tiếp diện mảnh tham số r điểm, phơng trình tiếp diện r điểm, pháp tuyến mảnh Tại điểm quy (u0,v0) mảnh tham số r, gọi - phẳng E3 qua r(u0,v0) với không gian véc tơ phơng ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 ) mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện r điểm ( u 0,v0) ; đờng thẳng qua r(u0,v0) thẳng góc với tiết diện (u0,v0) pháp tuyến r (u0,v0) Trong toạ độ afin ( x,y, z) E3 viết : r( u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) (trong (u,v) a x(u,v), y(u,v), z(u,v) hàm số U) phơng trình tiếp diện r (u0,v0) : X x(u0 , v0 ) Y y (u0 , v0 ) Z z (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) = xv (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 ) Và toạ độ descartes vuông góc phơng pháp tuyến r (u0,v0) : X x(u0 , v0 ) Y y (u0 , v0 ) Z z (u0 , v0 ) = = yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) 1.5 định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng Cho hai mảnh tham số E3 : r : U E3 r% : U% E Nếu có vi phôi :U U% ( ánh xạ đồng phôi khả vi ánh xạ ngợc :U% U khả vi) cho r = r%. ta nói r tơng đơng với r% gọi phép tham số U U% ( hay từ r sang r% ) có phép đổi tham số nh từ U% = (U ) , r = r% o ta có r (U ) = r% (U% ) sơ đồ: U U% r r% r (U ) r% (U% ) Giả sử r : U E (u,v) a r(u,v) Ta đặt (u, v) = (u% (u, v), v%(u, v)) U% u% : U R , v% : U R hai hàm khả vi định thức : u% u = v% u u% v v% v Nếu > (u,v) U ta nói r tơng đơng bảo hớng với r% Nếu < (u,v) U ta nói r tơng đơng đảo hớng với r% * Ta suy tính chất từ hai mảnh tham số tơng đơng : Quan hệ tơng đơng mảnh tham số E3 quan hệ tơng đơng theo nghĩa thông thờng Mỗi lớp tơng đơng gọi mảnh Vậy mảnh ta cần cho mảnh tham số đại diện cho E r gọi tham số hoá mảnh Quan hệ tơng đơng bảo tồn hớng mảnh tham số E (định thức > ) quan hệ tơng đơng theo nghĩa thông thờng Mỗi lớp tơng đơng theo quan hệ gọi mảnh định hớng mảnh định hớng ta cần cho mảnh tham số đại diện cho 1.6 định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng Cho U tập mở mặt phẳng R = {( xi , x j ), i j} Giả sử E3 cho hệ toạ độ afin dạng (x1, x2, x3) Khi mảnh tham số : r : U E3 có biểu thức dạng r ( xi , x j ) = ( f1 ( xi , x j ), , xi , , f ( xi , x j )) nghĩa r ( xi , x j ) = ( f1 ( xi , x j ), ., f ( xi , x j )) fi ( xi , x j ) = xi , f j ( xi , x j ) = x j , đợc gọi mảnh tham số kiểu đồ thị ( hai toạ độ x i, x j đợc lấy làm hai tham số) 1.7 : Ví dụ cho phần lý thuyết ( hệ toạ độ E dùng hệ toạ độ trực chuẩn): ur ur Ví dụ 1.1: không gian E3 cho vectơ , điểm O E3, ánh xạ r : R2 E3 ur ur (u,v) a r(u,v) = O + u. + v. mảnh tham số ur ur Khi hệ vectơ { , } độc lập tuyến tính r mảnh tham số quy ảnh r - phẳng E3 ur ur Khi hệ vectơ { , } phụ thuộc tuyến tính điểm cua mảnh điểm kì dị Ví dụ 1.2 : ánh xạ r : R E (u,v) a r (u,v) = (a.cos u, b.sin u, v) ( a > 0, b > ) Là mảnh tham số quy, ảnh mặt trụ eliptic x2 y x2 y = v + = { + = 1, z = v0 } Cung toạ độ v có ảnh vĩ tuyến elip a b2 a b2 Cung toạ độ u = u0 có ảnh kinh tuyến thẳng {x = a.cos u0 , y = b.sin u0 , z = v} Ví dụ 1.3 : ánh xạ : r : R E , (u,v) a (a.cos u.cos v, a.cos u.sin v, a sin v) ( a > ) mảnh tham số điểm (u,v) mà u + k ảnh mặt cầu tâm O bán kính a cung toạ độ r1 (v = v0 ) có ảnh kinh tuyến tròn lớn {x + y + z = a , y = (tan v0 ) x} trừ cực bắc (0, ,1) cực nam (0 , ,-1) Cung toạ độ r2 (u = u0 ) có ảnh vĩ tuyến tròn {x + y = a.cos u0 , z = a.sin u0 } Ví dụ 1.4 : cho ánh xạ : r : R E , (u,v) a ( u, v, u + v ) mảnh tham số quy ảnh mặt parabolôit tròn xoay z = x + y Cung toạ độ v = v0 có ảnh parabol { y = v0 , z = x + v0 } Cung toạ độ u = u0 có ảnh parabol { x = u , z = y + u0 } Vì ru(u0 , v0 ) = (1, 0, 2u0 ) rv(u0 , v0 ) = (0,1, 2v0 ) nên pháp vectơ mảnh p = r (u0 , v0 ) lấy là: r ur ur n = ru(u0 , v0 ) rv(u0 , v0 ) = (2u0 , 2v0 ,1) Vậy tiếp diện mảnh p có phơng trình : 2u0 ( x u0 ) + 2v0 ( y v0 ) ( z u0 v0 ) = Hay 2u0 x + 2v0 y z (u02 + v0 ) = Pháp tuyến l mảnh p có phơng trình : x u0 y v0 z (u02 + v02 ) = = 2u0 2v0 Ví dụ 1.5 : Mảnh tham số r : R E , (x, y) a r ( x, y ) = ( x, y, ax + by + c) mảnh tham số kiểu đồ thị ảnh r ( R ) mặt phẳng Chơng 2: hệ thống tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E3 Dạng 1: Viết phơng trình tham số mặt không gian E3 Bài 1.1: Viết tham số hoá( hay phơng trình tham số ) mặt tròn xoay sau E3: a) Mặt elipxôit tròn xoay b) Mặt hypebôlôit tầng tròn xoay c) Mặt hypebôlôit hai tầng tròn xoay d) Mặt parabôlôit tròn xoay Bài giải: a) Phơng trình tổng quát mặt elipxôit tròn xoay quanh truc oz : x2 y2 z + + =1 a b2 c (1) tham số hoá phơng trình (1) cách đặt : x = x ( u , v ) = a.cos u.cos v , y = y ( u , v ) = a.cos u.sin v , z = z ( u, v ) = a.sin u phơng trình tham số hoá mặt bậc hai : r (u , v) = ( a.cos u.cos v, a.cos u.sin v, c.sin u ) b) Phơng trình tổng quát mặt hypebôlôit tầng tròn xoay quanh trục Oz : x2 y z + =1 a b2 c tham số hoá phơng trình (2) cách đặt : eu e u x = x ( u , v ) = a ữ.cos v = a.shu.cos v eu e u y = y ( u , v ) = a ữ.sin v = a.shu.sin v (2) eu e u z = z ( u, v ) = c ữ = c.shu phơng trình tham số mặt bậc hai : r (u , v) = ( a.shu.cos v, a.shu.sin v, c.shu ) c) Phơng trình tổng quát mặt hypebôlôit hai tầng tròn xoay quanh trục Oz : z2 x2 y ( + ) =1 c2 a2 a2 (3) tham số hoá phơng trình (3) cách đặt : eu e u x = x ( u , v ) = a ữ.cos v = a.shu.cos v eu e u y = y ( u , v ) = a ữ.sin v = a.shu.sin v eu e u z = z ( u, v ) = c ữ = c.shu phơng trình tham số mặt bậc hai : r (u , v) = ( a.shu.cos v, a.shu.sin v, c.shu ) d) Phơng trình tổng quát mặt parabôlôit tròn xoay quay quanh trục Oz : z= x2 y2 + a2 a2 (4) tham số hoá phơng trình (4) cách đặt : x = x ( u , v ) = a.v.cos u , y = y ( u , v ) = a.v.sin u đó: z = z ( u, v ) = a v cos2 u a v sin u + = v2 a2 a2 phơng trình tham số mặt parabôlôit tròn xoay : r ( u, v ) = ( a.v.cos u, a.v.sin u, v ) 10 Ta có r uur ur uur ur r d r n ( u0 , v ) n ( u0 , v ) = ( u0 ) A ( u0 ) A ( u0 ) A ( u0 ) = dv uur ur uur ur r ( u0 ) A ( u0 ) A ( u0 ) A ( u0 ) = uur ur uur ( u0 ) A ( u0 ) A ( u0 ) = ( ( ) ) ( ) uur ur uur ( u0 ) , A ( u0 ) , A ( u0 ) phụ thuộc tuyến tính Từ ta có điều phải chứng minh uur c) r(V) mặt trụ A ( u ) có phơng không đổi Vì ur r uur A ( u ) , u nên A ( u ) có phơng không đổi và ur uur A ( u ) A ( u ) phụ thuộc tuyến tính d) Giả sử r mảnh quy Nếu r(V) mặt trụ theo câu c), ur uur hai vectơ A ( u ) A ( u ) phụ thuộc tuyến tính Do ba vectơ ( u ) , ur uur A ( u ) , A ( u ) phụ thuộc tuyến tính Suy r(V) mặt khả triển ur uur Nếu r(V) mặt nón viết A ( u ) = I ( u ) với I đỉnh nón uur uur ur uur Do A ( u ) = ( u ) Rõ ràng { ( u ) = A ( u ) , A ( u ) , A ( u ) } phụ thuộc tuyến tính Suy r(V) mặt khả triển ur Nếu r(V) mặt tiếp tuyến viết A ( u ) = ( u ) Khi hiển ur uur nhiên hệ vectơ { ( u ) , A ( u ) , A ( u ) } phụ thuộc tuyến tính Suy r(V) mặt khả triển ur uur e) Vì r(V) mặt trụ nên A ( u ) A ( u ) độc lập tuyến ur uur tính Vì { ( u ) , A ( u ) , A ( u ) } phụ thuộc tuyến tính nên khai triển ur uur ( u ) = ( u ) A ( u ) + ( u ) A ( u ) biến đổi ur ur ur r ( u, v ) = ( u ) + v A ( u ) = ( u ) ( u ) A ( u ) + ( v + ( u ) ) A ( u ) 25 ur đặt ( u ) = ( u ) ( u ) A ( u ) ur uur u ( u ) = ( u ) ( u ) A ( u ) ( u ) A ( u ) ur uur ur uur = ( u ) A ( u ) + ( u ) A ( u ) ( u ) A ( u ) ( u ) A ( u ) ur ( u ) ( u ) A ( u ) Nếu lân cận J u0 ta có ( u ) = ( u ) ( u ) = với u J Do ( u ) điểm cố định I với u J , với ur u J v cho ( u , v ) V viết r ( u, v ) = I + v + ( u ) A ( u ) đẳng thức chứng tỏ có lân cận P r ( u0 , v0 ) để P r ( V ) mặt nón Nếu u0 ta có ( u0 ) ( u0 ) tồn lân cận J u0 để ( u0 ) ( u ) ur r với u J , ( u ) = ( u ) ( u ) A ( u ) ( u J ) điều có nghĩa ur ( u ) / / A ( u ) : u a ( u ) cung quy r(V) suy với u J với v cho ( u, v ) V ur ur r u , v = u + v A u = u + v + u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mảnh tham số A ( u ) mặt tiếp tuyến điều chứng tỏ có lân cận Q r ( u0 , v0 ) để Q r ( V ) mặt tiếp tuyến Bài 1.10 : Giả sử ( u, v ) r ( u, v ) mảnh tham số E ( u0 , v0 ) điểm không kì dị kí hiệu tiếp diện mảnh r điểm ( u0 , v0 ) ( nh theo định nghĩa - phẳng qua điểm r ( u0 , v0 ) mà có phơng không gian vectơ chiều ( ru ( u0 , v0 ) , rv ( u0 , v0 ) ) ) uuuuuur a) Chứng minh phơng đợc xác định T( u0 ,v0 ) r b) Chứng minh đợc tạo tiếp tuyến t cung tham số t ( t ) = r ( u ( t ) , v ( t ) ) , t a u ( t ) t a v ( t ) 26 hai hàm số xác định khoảng chứa t , u ( t0 ) = u0 , v ( t0 ) = v0 , ( ( u(t )) + ( v ( t0 ) ) ) Bài giải : uuuuuur uuuuuur T r T a) Phơng đợc xác định ( u0 ,v0 ) thật vậy, ( u0 ,v0 ) r ánh xạ tuyến tính : r r uuuuuur uuuuuur ur ur T( u0 ,v0 ) r |( u0 ,v0 ) ữ = ru ( u0 , v0 ) , T( u0 ,v0 ) r |( u0 ,v0 ) ữ = rv ( u0 , v0 ) , u v ur ur r b) Với a.ru ( u0 , v0 ) + b.rv ( u0 , v0 ) , xét : t ( u = u0 + a.t , v = v0 + b.t ) U ( với t đủ bé) ( t ) = ( r o ) ( t ) uur uuuuur Chú ý : 1) : t a ( t ) U T ( t ) r ( ( t ) ) = ( r o ) ( t ) ( theo định uuuuur nghĩa T ( t ) r uuuuuur 2) ( u0 , v0 ) điểm không kì dị T( u ,v ) r đơn cấu 0 ur Bài 3.11 : Cho tham số hoá r : U E , ( u, v ) a r ( u , v ) = ( u ) + v A ( u ) mảnh mặt kẻ E ( : J E cung quy hàm vectơ ur r uur ur A : J E thoả mãn điều kiện A ( u ) với u J ) ur uur Chứng minh A ( u ) , A ( u ) độc lập tuyến tính { ur uur uur { A ( u ) , A ( u ) , ( u ) } } phụ thuộc tuyến tính với u J có uur ur uur hàm số f g J ( u ) = f ( u ) A ( u ) + g ( u ) A ( u ) với uJ Chứng minh f g mặt kẻ cho mặt nón, f g không triệt tiêu u mặt kẻ cho mặt tiếp tuyến Bài giải : 27 ur ur Ta có r ( u, v ) = ( u ) + v A ( u ) = ( u ) + ( v ( u ) ) A ( u ) , ur ( u ) = ( u ) + ( u ) A ( u ) , : uur uur ur uur ( u ) = ( u ) + ( u ) A ( u ) + ( u ) A ( u ) ur uur = ( f ( u ) + ( u ) ) A ( u ) + ( g ( u ) + ( u ) ) A ( u ) Khi f g uur chọn = g ( u ) , tức ( u ) = I , ur r ( u, v ) = I + ( v ( u ) ) A ( u ) , ta đợc mảnh mặt nón đỉnh I Khi f g không triệt tiêu u nào, chọn = g uur ur r ( u ) = ( f ( u ) g ( u ) ) A ( u ) u a ( u ) đờng chuẩn ur uur ur mặt kẻ cho, r ( u, v ) = ( u ) + ( v ( u ) ) A ( u ) mà / / A , nên ta đợc mảnh mặt tiếp tuyến Bài 1.12 : Cho mảnh tham số E3 xác định (u,v) a r(u,v) E3 giả sử điểm kì dị, xét mảnh tham số xác định r (u, v) a r% (u , v) + l.n(u , v) l số : ur ur r ru rv n(u , v ) = ur ur (u , v ) ru rv a) Chứng minh (u,v) điểm không kì dị r tiếp diện r r% (u,v) hai mặt phẳng song song b) Tìm điểm kì dị r% xét ảnh r% : r r r : R \ A E , r (u , v ) = + R.cos v. (u ) + R.sin v.k R r r r rr r ur số dơng, (u ) = cos u.i + sin v j , {i, j, k} sở trực chuẩn E , E , A tập hợp điểm có dạng (u, + k ) ( k nguyên tuỳ ý) R2 Bài giải: 28 r r uur uur r r r n n a) r% = r + l.n nên kí hiệu nu (u, v) = (u, v) , nv (u, v) = (u, v) u v r ur ur uuur ur ur uur uur r ur r ur r r%u = ru + lnu r%v = rv + ln v Do n = nên nu n = Suy r%u.n = r%v.n = từ đó, (u,v) điểm không kì dị r tiếp diện r r% (u,v) hai mặt phẳng song song ur r ur r r b) Ta có : ru(u, v) = R.cos v. (u + ) , rv(u, v) = R.sin v. (u ) + R.cos v.k r cos v r cos v.sin v r n ( u , v ) = ( u ) + k cos v cos v Nh vậy: + 2k (k Z ) (1), tức với cos v > , r r r% (u , v) = + ( R + 1).cos v. (u ) + ( R + 1).sin v.k Từ đó, với v thoả mãn (1) tập - với + 2k < v < hợp điểm r% (u, v) mặt cầu tâm O bán kính R + chọc thủng hai điểm xuyên tâm đối R + điểm R + = Trong trờng hợp : ur ur r r r%u r%v = ( R + 1) cos v. (u ) + ( R + 1) sin v.cos v.k Do R + = r% có điểm kì dị, tất điểm (u,v) R thoả mãn (1) - Với + 2k < v < + 2k (k Z ) (2), tức cos v < tập hợp 2 điểm r% (u, v) mặt cầu tâm O bán kính R chọc thủng hai điểm thẳng hàng với với hai điểm nói R điểm O R = Trong trờng hợp R = r% có điểm kì dị , tất điểm (u,v) R mà v thoả mãn (2) Bài 1.13 : Chứng minh pháp tuyến điểm không kì dị mặt tiếp tuyến đờng đinh ốc tròn trục E3 hợp với góc không đổi 29 Bài giải : Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho trục Oz nằm ( phơng trùng với phơng trục Oz) Cung đinh ốc tròn V xác định : r r f : u a f (u ) = + a.e(u ) + b.u.k ( a > 0, b ) hay f (u ) = (a.cos u , a.sin u, b.u ) Khi mặt tiếp tuyến V xác định (có tham số hoá là) (u, v) a r (u , v) = f (u ) + v f (u ) mà uur f (u ) = ( a.sin u, a.cos u, b) uur r r = (a.cos(u + ), a.sin(u + ), b) hay f (u ) = + a.e(u + ) + b.k 2 Vậy pháp tuyến mặt tiếp tuyến điểm không kì dị có phơng r ur ur : n = ru rv Ta có : ur ru = (a.[cos(u + ) + v.cos(u + )], a.[sin(u + ) + v.sin(u + )], b) 2 = (a.[ sin u v.cos u ], a[ cos u v sin u ], b) ur rv = (a.cos(u + ), a.sin(u + ), b) 2 = (a.sin u, a cos u , b) r a (cos u + v.sin u ) b b n=( , a.cos u b b a.(cos u + v.sin u ) , a sin u Vậy a.(sin u + v.cos u ) a.sin u a (cos u + v.sin u ) ) a.cos u r n = (abv.sin u , abv.cos u , a v) r r Gọi góc tạo u trục oz có vectơ phơng k (0, 0,1) : rr n.k av a 2v a cos = r r = = = n.k a 2b v + a v av a + b a + b2 Do a,b không đổi nên không đổi Ta có điều phải chứng minh Bài 1.14: Trong E3 với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mảnh tham số : 30 r : R2 E3 (u, v) a r (u , v) = (u.cos v, u sin v, u ) với (u,v) R a) Hãy tìm điểm kì dị r b) Hãy pháp tuyến r điểm (1,0) vuông góc với trục oy Bài giải : a) Gọi điểm (u0,v0) R điểm kì dị r điểm (u 0,v0) điểm kì dị r vectơ ru(u0 , v0 ) rv(u0 , v0 ) phụ thuộc tuyến tính, điều tur ur r ơng đơng với ru rv = Ta có : ru(u, v) = (cos v,sin v,1) , rv(u, v) = (u.sin v, u.cos v, 0) ur ur r sin v 1 cos v cos v sin v , , ) = (0, 0, 0) ru rv = ( u.cos v 0 u.sin v u sin v u.cos v u = Suy điểm (0,v) điểm kì dị R,(v R ) r b) Véc tơ phơng trục oy v = (0,1, 0) u.cos v = u = u.sin v = Ta có r(0,1) = (1,0,1) Ta tính đợc : ru(1, 0) = (1, 0,1) , rv(1, 0) = (0,1, 0) r ur ur suy pháp tuyến r điểm (1,0) n = ru rv r 1 1 r , , ) n = ( 1, 0, 1) 0 0 rr r r Ta có n.v = (1).0 + 1.0 + 0.(1) = n vuông góc với v n( Do pháp tuyến r điểm (0,1) vuông góc với trục oy Bài 1.15 : Hãy tìm điểm kì dị mặt xác định phơng trình ẩn theo hệ trục toạ độ đêcac (x,y,z) E3 nh sau : a) F ( x, y, z ) = ( x + y ) 3z = b) G ( x, y, z ) = ( x + y ) xz a = (a = const) 31 c) H ( x, y, z ) = trng H đa thức bậc hai x, y, z Bài giải : a) Ta có : Fx = x.( x + y ) Fy = y.( x + y ) Fz = z Fx = , Fy = , Fz = x = y = z = Nhng F ( x, y, z ) nên mặt xác định phơng trình ẩn F ( x, y, z ) = điểm kì dị b) Ta có Gx = 2.( x + y ) z , Gy = 2.( x + y ) , Gz = x Gx = , Gy = , Gz = x = y = z = G (0, 0, 0) = a nên a mặt G ( x, y, z ) = điểm kì dị, a = mặt G ( x, y, z ) = có điểm kì dị gốc toạ độ (0, 0, 0) c) Đặt x = x1 , y = x2 , z = x3 mặt xác định H ( x, y, z ) = mặt xác định H ( x1 , x2 , x3 ) = đa thức bậc hai H ( x1 , x2 , x3 ) = có dạng : H ( x1 , x2 , x3 ) = a i , j =1 x x j + ak xk + a0 với hệ số aij , ta biết ji i k =1 mặt xác định H ( x1 , x2 , x3 ) = mặt bậc hai Euclid điểm M ( x1 , x2 , x3 ) gọi điểm kì dị mặt xác định phơng trình ẩn H ( x1 , x2 , x3 ) = {Fx = Fy = Fz = 0, F = 0} điều kiện cần đủ để M ( x1 , x2 , x3 ) điểm kì dị mặt bậc hai H ( x1 , x2 , x3 ) = ( tức M vừa tâm mặt bậc hai, vừa nằm mặt bậc hai) Vậy điểm kì dị mặt xác định phơng trình ẩn H ( x1 , x2 , x3 ) = đồng nghĩa với điểm kì dị mặt bậc hai H ( x1 , x2 , x3 ) = Bài 1.16 : Cho mảnh tham số r : U E , (u, v) r (u, v) = (u, v, u + v ) mảnh tham số quy xác định : a) ảnh mảnh tham số 32 b) Tìm phơng trình mặt phẳng tiếp diện p = r (u0 , v0 ) c) Tìm phơng trình pháp tuyến l mảnh p = r (u0 , v0 ) Bài giải: a) Khử tham số u,v cách : đặt x = u , y = v , z = u + v từ x = u , y = v , z = u + v ta có z = x + y ( z ) phơng trình bậc hai nên xác định mặt parabôlôit tròn xoay z = x + y (S) Vậy ảnh r(U) nằm mặt parabôlôit tròn xoay Ngợc lại, cho điểm M ( x, y, z ) (S) thoả mãn z có : u = x , v = y để x = u , y = v , z = u + v Suy phần mặt parabôlôit tròn xoay (S) thoả mãn z nằm ảnh r(U) Vậy ảnh r(U) phần parabôlôit tròn xoay (S) : z = x + y với z b) Vì ru(u0 , v0 ) = (1, 0, 2u0 ) rv(u0 , v0 ) = (0,1, 2v0 ) nên pháp vectơ mảnh p = r (u0 , v0 ) lấy là: r ur ur n = ru(u0 , v0 ) rv(u0 , v0 ) = (2u0 , 2v0 ,1) Vậy tiếp diện mảnh p có phơng trình : 2u0 ( x u0 ) + 2v0 ( y v0 ) ( z u0 v0 ) = Hay 2u0 x + 2v0 y z (u02 + v0 ) = x u0 y v0 z (u02 + v02 ) = = Pháp tuyến l mảnh p có phơng trình : 2u0 2v0 Bài 1.17 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mặt : x2 y2 S = {( x, y , z ) E : + = 1} ( a > 0, b > ) a b a) Hãy tìm tham số hoá (S) b) Chứng minh tham số hoá tìm đợc phần a) mảnh tham số quy Bài giải : 33 a) Tham số hoá mặt (S) cách đặt : x = a.cos u , y = b.sin u , z =v ánh xạ r : R E , (u, v) a r (u, v) = (a.cos u, b.sin u, v) (a > 0, b > 0) tham số hoá (S) : x2 y từ x = a.cos u , y = a.sin u , z = v ta có : + = xác định mặt trụ elliptic a b b) ánh xạ r : R E mảnh tham số quy : lấy điểm (u0,v0) R ta có ru (u0 , v0 ) = (a.sin u0 , b.cos u0 , 0) ( a > 0, b > ), rv0 (u0 , v0 ) = (0, 0,1) Khi : 0 a.sin u0 a.sin u0 , , 1 0 r = (b.cos u0 , a.sin u0 , 0) 0(0, 0, 0) ru0 (u0 , v0 )rv0 (u0 , v0 ) = ( b.cos u0 b.cos u0 ) hai véc tơ ru (u0 , v0 ) rv (u0 , v0 ) độc lập tuyến tính.suy mảnh 0 tham số cho mảnh quy Bài 1.18 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho ánh xạ r : R E , ( u, v ) a r ( u , v ) = ( a.cos u.cos v, a.cos u.sin v, a.sin u ) ( a > ) chứng minh ánh xạ r mảnh tham số quy điểm (u,v) mà u + k Bài giải : Gọi (u0,v0) điểm thuộc R r (u0 , v0 ) E ta có ru (u0 , v0 ) = ( a.sin u.cos v, a sin u.sin v, a.cos u ) rv0 (u0 , v0 ) = ( a.cos u.sin v, a cos u.cos v, ) : ru0 ( u0 , v0 ) rv0 ( u0 , v0 ) = a.sin u.sin v a.cos u a.cos u a.sin u.cos v a.sin u.cos v a.sin u.sin v = , , ữ 0 a.cos u.sin v a.cos u.sin v a.cos u.cos v a.cos u.cos v 34 = ( a cos u.cos v, a cos u.sin v, a sin u.cos u ) r ru0 ( u0 , v0 ) rv0 ( u0 , v0 ) cos u u + k Vậy ánh xạ cho mảnh tham số quy điểm (u,v) mà u + k Bài 1.19 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mảnh 2 tham số r : R E , ( u, v ) a r ( u , v ) = ( u, v, u + v ) chứng minh r mảnh tham số quy Bài giải : Gọi r( u0 , v0 ) phần tử thuộc r, ta chứng minh với ( u0 , v0 ) R r( u0 , v0 ) điểm quy , r mảnh tham số quy,thật với ( u0 , v0 ) R ta có : ru0 (u0 , v0 ) = (1, 0, 2u0 ) , rv0 (u0 , v0 ) = (0,1, 2v0 ) 2u0 2u0 , 2v0 2v0 suy ra: ru ( u0 , v0 ) rv ( u0 , v0 ) = 0 1 r , ữ 0(0, 0, 0) 0 ru ( u0 , v0 ) rv ( u0 , v0 ) độc lập tuyến tính, suy r mảnh tham số 0 quy Bài 3.20 : Cho P = { ( x, y, z ) E : x y = 0} ánh xạ r : R E , (u,v) r ( u, v ) = ( u + v, u + v, u.v ) ( u > v) chứng minh r tham số hoá P Bài giải : 35 r tham số hoá P, : đặt x = u + v, y = u + v, z = u.v (x, y, z) E x y = (u + v) (u + v) = r tham số hoá r 2 Bài 1.21 : Chứng minh tập S = { ( x, y, z ) E : z = x y } mảnh tham số quy kiểm tra ánh xạ sau có tham số hoá S hay không.? a) r ( u, v ) = ( u + v, u v, 4.u.v ) b) r ( u, v ) = ( u.cos v, u.sin v, u ) ( u ) Bài giải : Tham số hoá mảnh (S) cách đặt : x = u + v , y = u v z = x y = (u + v) (u v) = 4.u.v ta có ánh xạ r : R E , ( u, v ) r (u , v) = ( u + v, u v, 4.u.v ) thoả mãn (u + v ) (u v) = 4.u.v r tham số hoá (S) , để chứng minh (S) mảnh quy ta chứng minh r mảnh quy, : gọi ( u0 , v0 ) R r (u0 , v0 ) E ru0 (u0 , v0 ) = (1,1, 4) , rv0 (u0 , v0 ) = (1, 1, 4) 4 1 ru0 ( u0 , v0 ) rv0 ( u0 , v0 ) = , , ữ 4 1 r = ( 8, 0, ) ( 0, 0, ) r mảnh quy suy điều phải chứng minh a) r ( u, v ) = ( u + v, u v, 4.u.v ) ( u, v R ) tham số hoá S theo chứng minh b) Ta có : x y = u cos v u sin v = u (cos2 v sin v) u r ( u, v ) = ( u.cos v, u.sin v , u ) ( u ) không tham số hoá mảnh (S) Bài 1.22 : Trong không gian E với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho ánh xạ 36 r : R E r ( u, v ) = ( a.sin u.cos v, b.sin u.sin v, cos u ) với < u < , < v < a , b, c > a) Chứng minh r tham số hoá mặt elipxôit : x2 y2 z + + = a b2 c2 b) ánh xạ r có mảnh tham số quy không? sao? Bài giải : Với < u < , < v < a, b, c > ta có : a sin u.cos v b sin u.sin v cos u = + + a2 b2 c2 sin u ( cos v + sin v ) + cos u = cos u + sin u = Ngợc lại, với x, y, z thoả mãn x2 y2 z + + = ta đặt x = a.sin u.cos v , a b2 c y = b.sin u.sin v , z = cos u Khi ta có ánh xạ : r : R E , ( u , v ) a r ( u , v ) = ( a.sin u.cos v, b.sin u.sin v, cos u ) ánh xạ r tham số hoá mặt elipxôit b) Với ( u0 , v0 ) R r ( u0 , v0 ) E ta có r ( u0 , v0 ) = ( a.sin u0 cos v0 , b.sin u0 sin v0 , cos u0 ) : ru0 ( u0 , v0 ) = ( a.cos u0 cos v0 , b.cos u0 sin v0 , sin u0 ) rv0 ( u0 , v0 ) = ( a.sin u0 sin v0 , b.sin u0 cos v0 , ) ru0 ( u0 , v0 ) rv0 ( u0 , v0 ) = b.cos u0 sin v0 = b.sin u0 cos v0 sin u0 sin u0 , 0 a.cos u0 cos v0 a.cos u0 cos v0 , a.sin u0 sin v0 a.sin u0 sin v0 = ( b.sin u0 cos v0 , a.sin u0 sin v0 , a.b.sin u0 cos v0 ) 37 b.cos u0 sin v0 ữ b.sin u0 cos v0 Với < u < sinu0 0, < v < sin v0 cos v0 không đồng thời vectơ ru ( u0 , v0 ) rv ( u0 , v0 ) độc lập tuyến tính, suy 0 r mảnh tham số quy C kết luận Việc xây dựng hệ thống tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E giúp hiểu rõ lý thuyết nh ý nghĩa môn học này, công cụ để phát triển thành lĩnh vực nghiên cứu cấu trúc hình học tổng quát đa tạp khả vi, khía cạnh để nghiên cứu hình học lĩnh vực phơng trình vi phân Cụ thể, em cố gắng xây dựng dạng tập phơng pháp giải cụ thể dạng, số ý, kết rút từ Từ dạng có phơng pháp giải tự xây dựng hệ thống tập nh phơng pháp cho Mặc dù thân cố gắng xong hạn chế trình độ chuyên môn tính gấp rút thời gian nên chắn khoá luận không tránh khỏi khuyết điểm sai sót, em kính mong quý thầy cô bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khoá luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! 38 D tài liệu tham khảo Đỗ Ngọc Diệp - Nông Quốc Chinh (2010) : Giáo trình hình học vi phân, Nxb ĐHQG Hà Nội Phạm Bình Đô (2010) : Hình học vi phân, Nxb ĐHSP Hà Nội Đoàn Thế Hiếu (2006) : Bài tập hình vi phân, ĐHSP Huế Đoàn Quỳnh (2009) : Hình học vi phân, Nxb ĐHSP Hà Nội Đoàn Quỳnh (1993) : Bài tập hình học vi phân, Nxb ĐHSP Hà Nội 39 [...]... cho là một mảnh tham số chính quy tại các điểm (u,v) mà u + k 2 Bài 1.19 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mảnh 2 3 2 2 tham số r : R E , ( u, v ) a r ( u , v ) = ( u, v, u + v ) chứng minh rằng r là một mảnh tham số chính quy Bài giải : Gọi r( u0 , v0 ) là phần tử thuộc r, ta sẽ chứng minh rằng với mọi ( u0 , v0 ) R 2 thì r( u0 , v0 ) là điểm chính quy , khi đó r là mảnh tham. .. vuông góc với trục Oz và đặt trong mặt phẳng Oxz thì phơng trình tham số của có dạng : x = v, y = 0, z = 0 do đó phơng trình tham số hoá của S là : r ( u, v ) = ( v.cos u , v.sin u , ( u ) ) Dạng 2 : xác định ảnh của các mảnh tham số có phơng trình cho trớc Bài 1.5 : Xác định ảnh của các mảnh tham số : r : U E 3 , ( u, v ) a r ( u , v ) có phơng trình tham số trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz... ru (u0 , v0 ) và rv (u0 , v0 ) độc lập tuyến tính.suy ra mảnh 0 0 tham số đã cho là mảnh chính quy Bài 1.18 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho ánh xạ r : R 2 E 3 , ( u, v ) a r ( u , v ) = ( a.cos u.cos v, a.cos u.sin v, a.sin u ) ( a > 0 ) chứng minh rằng ánh xạ r là một mảnh tham số chính quy tại các điểm (u,v) mà u + k 2 Bài giải : Gọi (u0,v0) là điểm thuộc R 2 khi đó r (u0 ,... điểm kì dị của mặt bậc hai H ( x1 , x2 , x3 ) = 0 Bài 1.16 : Cho mảnh tham số r : U E 3 , (u, v) r (u, v) = (u, v, u 2 + v 2 ) là một mảnh tham số chính quy hãy xác định : a) ảnh của mảnh tham số trên 32 b) Tìm phơng trình mặt phẳng tiếp diện tại p = r (u0 , v0 ) c) Tìm phơng trình pháp tuyến l của mảnh tại p = r (u0 , v0 ) Bài giải: a) Khử tham số u,v bằng cách : đặt x = u , y = v , z = u 2 +... chứng minh rằng r là một tham số hoá của P Bài giải : 35 r là một tham số hoá của P, thật vậy : đặt x = u + v, y = u + v, z = u.v khi đó (x, y, z) E 3 và x y = (u + v) (u + v) = 0 do đó r là một tham số hoá của r 3 2 2 Bài 1.21 : Chứng minh rằng tập S = { ( x, y, z ) E : z = x y } là một mảnh tham số chính quy và kiểm tra các ánh xạ sau có là một tham số hoá của S hay không. ? a) r ( u, v ) = (... do đó r là một mảnh chính quy suy ra điều phải chứng minh 2 a) r ( u, v ) = ( u + v, u v, 4.u.v ) ( u, v R ) là một tham số hoá của S theo chứng minh trên b) Ta có : x 2 y 2 = u 2 cos 2 v u 2 sin 2 v = u 2 (cos2 v sin 2 v) u 2 do đó r ( u, v ) = ( u.cos v, u.sin v , u 2 ) ( u 0 ) không là một tham số hoá của mảnh (S) Bài 1.22 : Trong không gian E 3 với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho ánh xạ 36.. .Bài 1.2 : Trong E 3 cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz, một đờng cong nằm trong mặt phẳng Oxy và thuộc về một phía của trục Ox Giả sử khi quay quanh Oz thì quét thành một mặt tròn xoay (S) a) Cho biết phơng trình tổng quát của , hãy viết phơng trình tổng quát của (S) b) Cho biết phơng trình tham số của , hãy viết phơng trình tham số của (S) Bài giải: Giả sử nằm về phía... tham số hoá tìm đợc ở phần a) là một mảnh tham số chính quy Bài giải : 33 a) Tham số hoá mặt (S) bằng cách đặt : x = a.cos u , y = b.sin u , z =v khi đó ánh xạ r : R 2 E 3 , (u, v) a r (u, v) = (a.cos u, b.sin u, v) (a > 0, b > 0) là một tham số hoá của (S) vì : x2 y 2 từ x = a.cos u , y = a.sin u , z = v ta có : 2 + 2 = 1 xác định mặt trụ elliptic a b b) ánh xạ r : R 2 E 3 là một mảnh tham số chính... ( u ) , ta đợc mảnh mặt nón đỉnh I Khi f g không triệt tiêu tại u nào, cũng chọn = g thì uur ur r 1 ( u ) = ( f ( u ) g ( u ) ) A ( u ) 0 và u a 1 ( u ) là một đờng chuẩn mới của ur uur ur mặt kẻ đã cho, r ( u, v ) = 1 ( u ) + ( v ( u ) ) A ( u ) mà 1 / / A , nên ta đợc một mảnh mặt tiếp tuyến Bài 1.12 : Cho mảnh tham số trong E3 xác định bởi (u,v) a r(u,v) E3 và giả sử nó không có điểm... : Trong không gian E 3 cho mặt đinh ốc đứng có phơng trình tham số trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz : r ( u, v ) = ( u.cos v, u.sin v, k v ) Chứng minh ( k = const ) rằng với một a >0, số tập điểm P = { r ( u , v ) | a < u < a, v R} là một mặt tịnh tiến Bài giải : Ta xét hai tập con của R 2 là : U = { ( u, v ) | a < u < a, v R} + W = ( , ) | 0 < < 2 Rõ ràng U là một tập mở, đó là ... cách xây dựng lý thuyết mảnh số không gian E + Nghiên cứu hệ thống tập từ dễ đến khó lý thuyết ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài "Xây dựng hệ thống tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian. .. nh lý thuyết trình giải tập Nhiệm vụ nghiên cứu a Trình lý thuyết sở lý thuyết mảnh tham số b Trình bày ví dụ dể hiểu lý thuyết c Trình bày hệ thống tập từ dễ đến khó lý thuyết mảnh tham số không. .. mặt phẳng Chơng 2: hệ thống tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E3 Dạng 1: Viết phơng trình tham số mặt không gian E3 Bài 1.1: Viết tham số hoá( hay phơng trình tham số ) mặt tròn xoay