Xây dựng hệ thống bài tapạ cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian e3

Trờng đại học s phạm h nội Khoa toán ************* NGUYễN VĂN HƯNG XÂY DựNG Hệ THốNG BI TậP CHO Lý THUYếT MảNH THAM Số TRONG KHÔNG GIAN e3 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngnh : Hình Học Ngời hớng dẫn khoa học GVC.PGS.TS NGUYễN NĂNG TÂM H NộI 2013 Lời cảm ơn Em xin by tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GVC.PGS.TS.Nguyễn Năng Tâm, ngời thầy trực tiếp tận tình hớng dẫn v giúp đỡ em hon thnh khoá luận Đồng thời, em xin chân thnh cảm ơn đến thầy cô tổ hình học v thầy cô khoa Toán - Trờng Đại học s phạm H Nội 2, ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hon thnh khoá luận ny Trong khuôn khổ có hạn khoá luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn v l lần nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận đợc góp ý quý báu thầy cô v bạn Em xin chân thnh cảm ơn ! H Nội, ngy 02 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Văn Hng LờI CAM ĐOAN Khoá luận ny l kết thân em trình học tập v nghiên cứu khoa học Bên cạnh đó, em đợc quan tâm thầy, cô khoa Toán đặc biệt hớng dẫn tận tình thầy GVC.PGS.TS.Nguyễn Năng Tâm Trong nghiên cứu hon thnh khoá luận ny em tham khảo số ti liệu ghi phần ti liệu tham khảo Em khẳng định kết đề ti "Xây dựng hệ thống bi tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E3" trùng lặp với kết đề ti H Nội, ngy 02 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Văn Hng MụC LụC Trang A.mở đầu 1 Lý chọn đề ti Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phạm vi, đối tợng nghiên cứu ý nghĩa khoa học v thực tiễn đề ti Phơng pháp nghiên cứu B.nội dung Chơng 1: Các kiến thức chuẩn bị Đại cơng lý thuyết mảnh tham số không gian 1.1 Định nghĩa mảnh tham số không gian 1.2 Định nghĩa đờng toạ độ, đờng vectơ tiếp túc 1.3 Định nghĩa quy, điểm trù dị, mảnh tham số quy 1.4 Định nghĩa tiết diện mảnh tham số r điểm phơng trình tiết diện v, phơng pháp tuyến 1.5 Định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng 1.6 Định nghĩa mảnh tham số kiểu đồ thị 1.7 Ví dục tơng ứng cho phần lý thuyết trình by Chơng Hệ thống bi tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E3 Dạng Dạng bi tập viết phơng trình tham số mặt không gian E3 Dạng Dạy bi tập xác định ảnh mảnh tham số có phơng trình cho trớc 14 Dạng Dạy bi tập liên quan đến mặt tịnh tiến 19 Dạng Dạy bi tập liên quan đến điểm qua, điểm kì dị, mảnh quy, tham số hoá mảnh 22 C.kết luận v đề nghị 38 D.ti liệu tham khảo 39 A Mở ĐầU Lý chọn đề ti Toán học l môn khoa học nghiên cứu số, cấu trúc, không gian v phép biến đổi Nói cách khác, ngời ta cho l môn học " Hình v Số" theo quan điểm thống, l môn học nghiên cứu cấu trúc trừu tợng định nghĩa từ tiền đề, cách sử dụng luận lý học (lôgic) v ký hiệu toán học Các quan điểm khác đợc miêu tả tiết học toán Do khả ứng dụng rộng rãi nhiều khoa học, toán học đợc mệnh danh l "ngôn ngữ vũ trụ" Hình học l phần toán học, hình học l ngnh toán học nghiên cứu liên hệ không gian Trong hình học ngời ta chia nhiều nhánh khác có hình học vi phân Hình học vi phân l nhánh hình học sử dụng công cụ v phơng pháp phép tính vi phân v tích phân nh đại số tuyến tính v đại số đa tuyến tính để nghiên cứu vấn đề hình học Hình học vi phân đợc phát triển mạnh mẽ từ đầu kỷ XIX Gauss l nh toán học tiên phong lĩnh vực ny Cuối kỷ XIX tất nghiên cứu đợc tập hợp v hệ thống hoá lại nh toán học Jran Gastan Dar boux v Luigi Bian chi Lý thuyết đờng cong mặt phẳng không gian nh mặt cong không gian Euclid ba chiều trở thnh sở cho phát triển hình học vi phân Việc xây dựng hệ thống bi tập môn học ny giúp em hiểu rõ chất hình học vi phân Trong khuôn khổ có hạn khóa luận tốt nghiệp, em dừng lại việc "Xây dựng hệ thống bi tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E " Mục đích nghiên cứu Đề ti nghiên cứu việc xây dựng hệ thống bi tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E Trên sở xây dựng đợc hệ thống bi tập cách khoa học, rõ rng v xác qua thấy đợc ý nghĩa việc học tập môn học ny, hiểu sâu v nắm vững kiến thức nh lý thuyết trình giải bi tập Nhiệm vụ nghiên cứu a Trình lý thuyết sở lý thuyết mảnh tham số b Trình by ví dụ dể hiểu lý thuyết c Trình by hệ thống bi tập từ dễ đến khó lý thuyết mảnh tham số không gian E Phạm vi v đối tợng nghiên cứu - Về khách thể nghiên cứu: Do khuôn khóa luận cho phép em nghiên cứu lý thuyết v bi tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E - Về đối tợng nghiên cứu + Nghiên cứu cách xây dựng lý thuyết mảnh số không gian E + Nghiên cứu hệ thống bi tập từ dễ đến khó lý thuyết ý nghĩa khoa học v thực tiễn đề ti Đề ti "Xây dựng hệ thống bi tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E " giúp em hiểu thêm hình học vi phân v biết cách áp dụng giải bi tập v có nhìn đắn môn học ny Phơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo trình, ti liệu tham số v tạp chí toán học, bi giảng chuyên đề, giáo trình hình học, ti liệu liên quan tới nội dung nghiên cứu, kiến thức thực hnh v đặc biệt l nhiệt tình giúp đỡ v góp ý thầy giảng viên hớng dẫn b nội dung Chơng 1: kiến thức chuẩn bị 1.đại cơng lý thuyết mảnh tham số không gian e3 1.1.định nghĩa mảnh tham số không gian e Giả sử U l tập mở khác R2, ánh xạ r từ tập mở U vo không gian Euclid chiều E3 : r : U E3 (u,v) r(u,v) l mảnh tham số E3 ( r : khả vi đến lớp cần thiết ) tập U gọi l miền tham số hay miền xác định mảnh 1.2 định nghĩa đờng toạ độ, trờng véc tơ tiếp xúc Với điểm (u0,v0) U tập hợp A u | (u, v0 ) U } , B v | (u0 , v) U } l tập mở R ánh xạ : r1 : A E3 u r1(u) = r(u,v0) r1 : B E v r2(v) = r(u0,v) l cung tham số E3, cung tham số u r(u,v0) E3 ( u thay đổi khoảng J R no đó, u0 J) gọi l đờng toạ độ v v0; cungtham số v r2(v) = r(u0,v) E3 gọi l đờng toạ độ u u0.theo định nghĩa đạo hm ru : u ru(u , v0 ) l trờng véc tơ tiếp xúc dọc theo cung r1 ; v rv(u0 , v) l trờng véc tơ tiếp xúc dọc theo cung r2 1.3 định nghĩa điểm quy, điểm kì dị, mảnh tham số quy Cho mảnh tham số : r : U E3 (u,v) r(u,v) điểm (u0,v0) U ( hay điểm r(u0,v0) E3) gọi l điểm quy r hai véc tơ ru(u0 , v0 ) v rv(u0 , v0 ) độc lập tuyến tính điểm không quy r gọi l điểm kì dị r điểm U l điểm quy r gọi l mảnh quy 1.4 định nghĩa tiếp diện mảnh tham số r điểm, phơng trình tiếp diện r điểm, pháp tuyến mảnh Tại điểm quy (u0,v0) mảnh tham số r, gọi - phẳng E3 qua r(u0,v0) với không gian véc tơ phơng ru(u0 , v0 ), rv(u0 , v0 ) l mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện r điểm ( u0,v0) ; đờng thẳng qua r(u0,v0) thẳng góc với tiết diện (u0,v0) l pháp tuyến r (u0,v0) Trong toạ độ afin ( x,y, z) E3 viết : r( u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) (trong (u,v) x(u,v), y(u,v), z(u,v) l hm số U) phơng trình tiếp diện r (u0,v0) l : X x(u0 , v0 ) Y y (u0 , v0 ) Z z (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 ) V toạ độ l descartes vuông góc phơng pháp tuyến r (u0,v0) l : X x(u0 , v0 ) Y y (u0 , v0 ) Z z (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) 1.5 định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng Cho hai mảnh tham số E3 : r : U E3 v r : U E Nếu có vi phôi :U U ( l ánh xạ đồng phôi khả vi v ánh xạ ngợc :U U khả vi) cho r r. ta nói r tơng đơng với r v gọi l phép tham số U v U ( hay từ r sang r ) có phép đổi tham số nh từ U (U ) , r r ta có r (U ) r (U ) sơ đồ: U U r r r (U ) r (U ) Giả sử r : U E (u,v) r(u,v) Ta đặt (u , v) (u (u , v), v (u , v)) U u : U R , v : U R l hai hm khả vi v định thức : u u v u u v v v Nếu (u,v) U ta nói r tơng đơng bảo hớng với r Nếu (u,v) U ta nói r tơng đơng đảo hớng với r * Ta suy tính chất từ hai mảnh tham số tơng đơng : Quan hệ tơng đơng mảnh tham số E3 l quan hệ tơng đơng theo nghĩa thông thờng 10 d) Giả sử r l mảnh quy Nếu r(V) l mặt trụ theo câu c), hai vectơ A u v A u phụ thuộc tuyến tính Do ba vectơ u , A u , A u phụ thuộc tuyến tính Suy r(V) l mặt khả triển Nếu r(V) l mặt nón viết A u I u với I l đỉnh nón Do A u u Rõ rng u A u , A u , A u phụ thuộc tuyến tính Suy r(V) l mặt khả triển Nếu r(V) l mặt tiếp tuyến viết A u u Khi hiển nhiên hệ vectơ u , A u , A u phụ thuộc tuyến tính Suy r(V) l mặt khả triển e) Vì r(V) l mặt trụ nên A u v A u độc lập tuyến tính Vì u , A u , A u phụ thuộc tuyến tính nên khai triển u u A u u A u biến đổi r u , v u v A u u u A u v u A u đặt u u u A u u u u u A u u A u u A u u A u u A u u A u u u A u Nếu lân cận J u0 ta có u u u với u J Do u l điểm cố định I với u J , với u J v v cho u, v V viết r u, v I v u A u đẳng thức ny chứng tỏ có lân cận P r u0 , v0 để P r V l mặt nón Nếu u0 ta có u0 u0 tồn lân cận J u0 để u0 u0 với u J , 30 u u u A u u J điều ny có nghĩa l u / / A u v : u u l cung quy r(V) suy với u J v với v cho u, v V mảnh tham số r u, v u v A u u v u A u l mặt tiếp tuyến điều ny chứng tỏ có lân cận Q r u0 , v0 để Q r V l mặt tiếp tuyến Bi 1.10 : Giả sử u, v r u, v l mảnh tham số E v u0 , v0 l điểm không kì dị kí hiệu l tiếp diện mảnh r điểm u0 , v0 ( nh theo định nghĩa l - phẳng qua điểm r u0 , v0 m có phơng l không gian vectơ chiều ru u0 , v0 , rv u0 , v0 ) a) Chứng minh phơng đợc xác định Tu ,v r 0 b) Chứng minh đợc tạo tiếp tuyến t0 cung tham số t t r u t , v t , t u t v t v t l hai hm số xác định khoảng no chứa t0 , u t0 u0 , v t0 v0 , u t v t 2 Bi giải : a) Phơng đợc xác định Tu ,v r thật vậy, Tu ,v r l 0 0 ánh xạ tuyến tính v : Tu0 ,v0 r |u0 ,v0 ru u0 , v0 , Tu0 ,v0 r |u0 ,v0 rv u0 , v0 , u v b) Với a.ru u0 , v0 b.rv u0 , v0 , xét : t u u0 a.t , v v0 b.t U ( với t đủ bé) v t r t Chú ý : 1) : t t U T t r t r t ( theo định nghĩa T1 t r 31 2) u0 , v0 l điểm không kì dị v Tu ,v r l đơn cấu 0 Bi 3.11 : Cho tham số hoá r : U E , u, v r u, v u v A u mảnh mặt kẻ E ( : J E l cung quy v hm vectơ A : J E thoả mãn điều kiện A u với u J ) Chứng minh A u , A u , u A u , A u độc lập tuyến tính v phụ thuộc tuyến tính với u J có hm số f v g J u f u A u g u A u với uJ Chứng minh f g mặt kẻ cho l mặt nón, f g không triệt tiêu u no mặt kẻ cho l mặt tiếp tuyến Bi giải : Ta có r u, v u v A u u v u A u , u u u A u , : u u u A u u A u f u u A u g u u A u f g chọn g u , tức l r u , v I v u A u , ta đợc mảnh mặt nón đỉnh I Khi u I , Khi f g không triệt tiêu u no, chọn g u f u g u A u v u u l đờng chuẩn mặt kẻ cho, r u, v u v u A u m / / A , nên ta đợc mảnh mặt tiếp tuyến Bi 1.12 : Cho mảnh tham số E3 xác định (u,v) r(u,v) E3 v giả sử điểm kì dị, xét mảnh tham số xác định (u, v) r (u, v) l.n(u, v) l l số v : 32 ru rv n ( u , v ) ( u , v ) ru rv a) Chứng minh (u,v) l điểm không kì dị r tiếp diện r v r (u,v) l hai mặt phẳng song song b) Tìm điểm kì dị r v xét ảnh r : r : R \ A E , r (u, v) R.cos v. (u ) R.sin v.k R l số dơng, (u ) cos u.i sin v j , {i, j, k} l sở trực chuẩn E , E , A l tập hợp điểm có dạng (u, k ) ( k nguyên tuỳ ý) R2 Bi giải: n n a) r r l.n nên kí hiệu nu (u, v) (u, v) , nv (u, v) (u, v) v u ru ru ln u v rv rv ln v Do n nên nu n Suy ru.n rv.n từ đó, (u,v) l điểm không kì dị r tiếp diện r v r (u,v) l hai mặt phẳng song song b) Ta có : ru(u, v) R.cos v. (u ) , rv(u, v) R.sin v. (u ) R.cos v.k n(u, v) cos v cos v.sin v (u ) k cos v cos v Nh vậy: 2 - với 2k v k ( k Z ) (1), tức với cos v , r (u, v) ( R 1).cos v. (u ) ( R 1).sin v.k Từ đó, với v thoả mãn (1) tập hợp điểm r (u, v) l mặt cầu tâm O bán kính R chọc thủng hai điểm xuyên tâm đối R v l điểm R Trong trờng hợp ny : 33 ru rv ( R 1) cos v. (u ) ( R 1) sin v.cos v.k Do R r có điểm kì dị, l tất điểm (u,v) R v thoả mãn (1) - Với k v 2k (k Z ) (2), tức l cos v tập hợp điểm r (u, v) l mặt cầu tâm O bán kính R chọc thủng hai điểm thẳng hng với với hai điểm nói R v l điểm O R Trong trờng hợp ny R r có điểm kì dị , l tất điểm (u,v) R m v thoả mãn (2) Bi 1.13 : Chứng minh pháp tuyến điểm không kì dị mặt tiếp tuyến đờng đinh ốc tròn trục E3 hợp với góc không đổi Bi giải : Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho trục Oz nằm ( phơng trùng với phơng trục Oz) Cung đinh ốc tròn V xác định : f : u f (u ) a.e(u ) b.u.k ( a 0, b ) hay f (u ) (a.cos u, a.sin u, b.u ) Khi mặt tiếp tuyến V xác định (có tham số hoá l) (u, v) r (u, v) f (u ) v f (u ) m f (u ) (a.sin u, a.cos u, b) (a.cos(u ), a.sin(u ), b) hay f (u ) a.e(u ) b.k 2 Vậy pháp tuyến mặt tiếp tuyến điểm không kì dị có phơng l : n ru rv Ta có : ru (a.[cos(u ) v.cos(u )], a.[sin(u ) v.sin(u )], b) 2 (a.[ sin u v.cos u ], a[ cos u v sin u ], b) 34 rv (a.cos(u ), a.sin(u ), b) 2 (a.sin u, a cos u, b) Vậy a (cos u v.sin u ) n( a.cos u b b , b b a.(cos u v.sin u ) a sin u , a.(sin u v.cos u ) a (cos u v.sin u ) ) a.sin u a.cos u n (abv.sin u, abv.cos u, a v) Gọi l góc tạo u v trục oz có vectơ phơng k (0, 0,1) l : n.k a 2v av a cos 2 2 2 n.k a b v a v av a b a b2 Do a,b không đổi nên không đổi Ta có điều phải chứng minh Bi 1.14: Trong E3 với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mảnh tham số : r : R2 E3 (u, v) r (u, v) (u.cos v, u sin v, u ) với (u,v) R a) Hãy tìm điểm kì dị r b) Hãy pháp tuyến r điểm (1,0) vuông góc với trục oy Bi giải : a) Gọi điểm (u0,v0) R l điểm kì dị r điểm (u0,v0) l điểm kì dị r vectơ ru(u0 , v0 ) v rv(u0 , v0 ) phụ thuộc tuyến tính, điều ny tơng đơng với ru rv Ta có : ru(u, v) (cos v,sin v,1) , rv(u, v) (u.sin v, u.cos v, 0) sin v 1 cos v cos v sin v ru rv ( , , ) (0, 0, 0) u.cos v 0 u.sin v u sin v u.cos v u Suy điểm (0,v) l điểm kì dị R,(v R ) 35 b) Véc tơ phơng trục oy l v (0,1, 0) u.cos v u u.sin v Ta có r(0,1) (1,0,1) Ta tính đợc : ru(1, 0) (1, 0,1) , rv(1, 0) (0,1, 0) suy pháp tuyến r điểm (1,0) l n ru rv 1 1 , , ) n (1, 0, 1) 0 0 Ta có n.v (1).0 1.0 0.(1) n vuông góc với v n( Do pháp tuyến r điểm (0,1) vuông góc với trục oy Bi 1.15 : Hãy tìm điểm kì dị mặt xác định phơng trình ẩn theo hệ trục toạ độ đêcac (x,y,z) E3 nh sau : a) F ( x, y, z ) ( x y )2 3z b) G ( x, y, z ) ( x y )2 xz a (a const) c) H ( x, y, z ) trng H l đa thức bậc hai x, y, z Bi giải : a) Ta có : Fx x.( x y ) Fy y.( x y ) Fz z v Fx , Fy , Fz v x y z Nhng F ( x, y, z ) nên mặt xác định phơng trình ẩn F ( x, y, z ) điểm kì dị b) Ta có Gx 2.( x y ) z , Gy 2.( x y ) , Gz x v Gx , Gy , Gz v x y z G (0, 0, 0) a nên a mặt G ( x, y, z ) điểm kì dị, a mặt G ( x, y, z ) có điểm kì dị l gốc toạ độ (0, 0, 0) c) Đặt x x1 , y x2 , z x3 mặt xác định H ( x, y, z ) l mặt xác định H ( x1 , x2 , x3 ) đa thức bậc hai H ( x1 , x2 , x3 ) có dạng : 36 H ( x1 , x2 , x3 ) a i , j x x j ak xk a0 với hệ số aij , ta biết ji i k mặt xác định H ( x1 , x2 , x3 ) l mặt bậc hai Euclid điểm M ( x1 , x2 , x3 ) gọi l điểm kì dị mặt xác định phơng trình ẩn H ( x1 , x2 , x3 ) v {Fx Fy Fz 0, F 0} l điều kiện cần v đủ để M ( x1 , x2 , x3 ) l điểm kì dị mặt bậc hai H ( x1 , x2 , x3 ) ( tức l M vừa l tâm mặt bậc hai, vừa nằm mặt bậc hai) Vậy điểm kì dị mặt xác định phơng trình ẩn H ( x1 , x2 , x3 ) đồng nghĩa với điểm kì dị mặt bậc hai H ( x1 , x2 , x3 ) Bi 1.16 : Cho mảnh tham số r : U E , (u, v) r (u, v) (u, v, u v ) l mảnh tham số quy xác định : a) ảnh mảnh tham số b) Tìm phơng trình mặt phẳng tiếp diện p r (u0 , v0 ) c) Tìm phơng trình pháp tuyến l mảnh p r (u0 , v0 ) Bi giải: a) Khử tham số u,v cách : đặt x u , y v , z u v từ x u , y v , z u v ta có z x y ( z ) l phơng trình bậc hai nên xác định mặt parabôlôit tròn xoay z x y (S) Vậy ảnh r(U) nằm mặt parabôlôit tròn xoay Ngợc lại, cho điểm M ( x, y, z ) (S) thoả mãn z có : u x , v y để x u , y v , z u v Suy phần mặt parabôlôit tròn xoay (S) thoả mãn z nằm ảnh r(U) Vậy ảnh r(U) l phần parabôlôit tròn xoay (S) : z x y với z 37 b) Vì ru(u0 , v0 ) (1, 0, 2u0 ) v rv(u0 , v0 ) (0,1, 2v0 ) nên pháp vectơ mảnh p r (u0 , v0 ) lấy l: n ru(u0 , v0 ) rv(u0 , v0 ) (2u0 , 2v0 ,1) Vậy tiếp diện mảnh p có phơng trình : 2u0 ( x u0 ) 2v0 ( y v0 ) ( z u0 v0 ) Hay l 2u0 x 2v0 y z (u0 v0 ) Pháp tuyến l mảnh p có phơng trình : x u0 y v0 z (u02 v02 ) 2u0 2v0 Bi 1.17 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mặt : S {( x, y, z ) E : x2 y 1} ( a 0, b ) a b2 a) Hãy tìm tham số hoá (S) b) Chứng minh tham số hoá tìm đợc phần a) l mảnh tham số quy Bi giải : a) Tham số hoá mặt (S) cách đặt : x a.cos u , y b.sin u , z v ánh xạ r : R E , (u, v) r (u, v) (a.cos u, b.sin u, v) (a 0, b 0) l tham số hoá (S) : từ x a.cos u , y a.sin u , z v ta có : x2 y xác định mặt trụ elliptic a b2 b) ánh xạ r : R E l mảnh tham số quy : lấy điểm (u0,v0) R ta có ru (u0 , v0 ) (a.sin u0 , b.cos u0 , 0) ( a 0, b ), rv0 (u0 , v0 ) (0, 0,1) Khi : 0 a.sin u0 a.sin u0 , , 1 0 (b.cos u0 , a.sin u0 , 0) 0(0, 0, 0) ru0 (u0 , v0 )rv0 (u0 , v0 ) ( b.cos u0 38 b.cos u0 ) hai véc tơ ru (u0 , v0 ) v rv (u0 , v0 ) độc lập tuyến tính.suy mảnh 0 tham số cho l mảnh quy Bi 1.18 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho ánh xạ r : R E , u, v r u, v a.cos u.cos v, a.cos u.sin v, a.sin u a chứng minh ánh xạ r l mảnh tham số quy điểm (u,v) m u k Bi giải : Gọi (u0,v0) l điểm thuộc R r (u0 , v0 ) E ta có ru (u0 , v0 ) a.sin u.cos v, a sin u.sin v, a.cos u rv0 (u0 , v0 ) a.cos u.sin v, a cos u.cos v, : ru0 u0 , v0 rv0 u0 , v0 a.sin u.sin v a.cos u a.cos u a.sin u.cos v a.sin u.cos v a.sin u.sin v , , 0 a.cos u.sin v a.cos u.sin v a.cos u.cos v a.cos u.cos v a cos u.cos v, a cos u.sin v, a sin u.cos u ru0 u0 , v0 rv0 u0 , v0 v cos u u k Vậy ánh xạ cho l mảnh tham số quy điểm (u,v) m u k Bi 1.19 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mảnh tham số r : R E , u, v r u, v u, v, u v chứng minh r l mảnh tham số quy 39 Bi giải : Gọi r( u0 , v0 ) l phần tử thuộc r, ta chứng minh với u0 , v0 R r( u0 , v0 ) l điểm quy , r l mảnh tham số quy,thật với u0 , v0 R ta có : ru0 (u0 , v0 ) (1, 0, 2u0 ) , rv0 (u0 , v0 ) (0,1, 2v0 ) 2u0 2u0 , 2v0 2v0 suy ra: ru u0 , v0 rv u0 , v0 0 1 , 0(0, 0, 0) 0 ru u0 , v0 v rv u0 , v0 độc lập tuyến tính, suy r l mảnh tham số 0 quy Bi 3.20 : Cho P x, y, z E : x y v ánh xạ r : R E , (u,v) r u , v u v, u v, u.v ( u v) chứng minh r l tham số hoá P Bi giải : r l tham số hoá P, : đặt x u v, y u v, z u.v (x, y, z) E v x y (u v) (u v) r l tham số hoá r Bi 1.21 : Chứng minh tập S x, y, z E : z x y l mảnh tham số quy v kiểm tra ánh xạ sau có l tham số hoá S hay không.? a) r u, v u v, u v, 4.u.v b) r u, v u.cos v, u.sin v, u u Bi giải : Tham số hoá mảnh (S) cách đặt : x u v , y u v z x y (u v)2 (u v)2 4.u.v 40 ta có ánh xạ r : R E , u, v r (u, v) u v, u v, 4.u.v thoả mãn (u v) (u v) 4.u.v r l tham số hoá (S) , để chứng minh (S) l mảnh quy ta chứng minh r l mảnh quy, : gọi u0 , v0 R r (u0 , v0 ) E ru0 (u0 , v0 ) (1,1, 4) , rv0 (u0 , v0 ) (1, 1, 4) 4 1 , , ru0 u0 , v0 rv0 u0 , v0 4 1 8, 0, 0, 0, r l mảnh quy suy điều phải chứng minh a) r u, v u v, u v, 4.u.v u, v R l tham số hoá S theo chứng minh b) Ta có : x y u cos v u sin v u (cos v sin v) u r u , v u.cos v, u.sin v, u u không l tham số hoá mảnh (S) Bi 1.22 : Trong không gian E với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho ánh xạ r : R E r u , v a.sin u.cos v, b.sin u.sin v, cos u với u , v a, b, c a) Chứng minh r l tham số hoá mặt elipxôit : x2 y z a b2 c2 b) ánh xạ r có l mảnh tham số quy không? sao? Bi giải : Với u , v v a, b, c ta có : 41 a sin u.cos v b sin u.sin v cos u a2 b2 c2 sin u cos v sin v cos u cos u sin u Ngợc lại, với x, y, z thoả mãn x2 y2 z ta đặt x a.sin u.cos v , a b2 c2 y b.sin u.sin v , z cos u Khi ta có ánh xạ : r : R E , u , v r u , v a.sin u.cos v, b.sin u.sin v, cos u ánh xạ r l tham số hoá mặt elipxôit b) Với u0 , v0 R r u0 , v0 E ta có r u0 , v0 a.sin u0 cos v0 , b.sin u0 sin v0 , cos u0 : ru0 u0 , v0 a.cos u0 cos v0 , b.cos u0 sin v0 , sin u0 rv0 u0 , v0 a.sin u0 sin v0 , b.sin u0 cos v0 , ru0 u0 , v0 rv0 u0 , v0 b.cos u0 sin v0 sin u0 sin u0 a.cos u0 cos v0 a.cos u0 cos v0 , , 0 a.sin u0 sin v0 a.sin u0 sin v0 b.sin u0 cos v0 b.sin u0 cos v0 , a.sin u0 sin v0 , a.b.sin u0 cos v0 b.cos u0 sin v0 b.sin u0 cos v0 Với u sinu0 0, v sin v0 v cos v0 không đồng thời vectơ ru u0 , v0 v rv u0 , v0 độc lập tuyến tính, suy 0 r l mảnh tham số quy 42 C kết luận Việc xây dựng hệ thống bi tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E giúp hiểu rõ lý thuyết nh ý nghĩa môn học ny, l công cụ để phát triển thnh lĩnh vực nghiên cứu cấu trúc hình học tổng quát đa tạp khả vi, v l khía cạnh để nghiên cứu hình học lĩnh vực phơng trình vi phân Cụ thể, em cố gắng xây dựng dạng bi tập v phơng pháp giải cụ thể dạng, số ý, kết rút từ Từ dạng có phơng pháp giải v tự xây dựng hệ thống v bi tập nh phơng pháp cho Mặc dù thân cố gắng xong hạn chế trình độ chuyên môn v tính gấp rút thời gian nên chắn khoá luận không tránh khỏi khuyết điểm v sai sót, em kính mong quý thầy cô bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khoá luận hon thiện Em xin chân thnh cảm ơn ! 43 D ti liệu tham khảo Đỗ Ngọc Diệp - Nông Quốc Chinh (2010) : Giáo trình hình học vi phân, Nxb ĐHQG H Nội Phạm Bình Đô (2010) : Hình học vi phân, Nxb ĐHSP H Nội Đon Thế Hiếu (2006) : Bi tập hình vi phân, ĐHSP Huế Đon Quỳnh (2009) : Hình học vi phân, Nxb ĐHSP H Nội Đon Quỳnh (1993) : Bi tập hình học vi phân, Nxb ĐHSP H Nội 44 [...]... đơng gọi l một mảnh Vậy để cho một mảnh ta chỉ cần cho một mảnh tham số đại diện cho nó trong E3 v r gọi l một tham số hoá của mảnh 3 Quan hệ tơng đơng bảo tồn hớng giữa các mảnh tham số trong E3 (định thức 0 ) cũng l quan hệ tơng đơng theo nghĩa thông thờng 4 Mỗi lớp tơng đơng theo quan hệ ấy gọi l một mảnh định hớng để cho một mảnh định hớng ta cũng chỉ cần cho một mảnh tham số đại diện cho nó 1.6... : R 2 E 3 , (x, y) r ( x, y ) ( x, y, ax 2 by 2 c) l một mảnh tham số kiểu đồ thị ảnh r ( R 2 ) l mặt phẳng 13 Chơng 2: hệ thống bi tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian E3 Dạng 1: Viết phơng trình tham số của các mặt trong không gian E3 Bi 1.1: Viết tham số hoá( hay phơng trình tham số ) của các mặt tròn xoay sau đây trong E3: a) Mặt elipxôit tròn xoay b) Mặt hypebôlôit một tầng tròn... một mảnh tham số kiểu đồ thị ( hai toạ độ xi, x j đợc lấy lm hai tham số) 1.7 : Ví dụ cho phần lý thuyết ( các hệ toạ độ trong E3 dùng ở đây đều l hệ toạ độ trực chuẩn): Ví dụ 1.1: trong không gian E3 cho 2 vectơ v , điểm O E3, ánh xạ 2 3 r: R E (u,v) r(u,v) O u. v. l một mảnh tham số Khi hệ vectơ { , } độc lập tuyến tính thì r l một mảnh tham số chính quy v ảnh của r l một 2 - phẳng trong. .. đại diện cho nó 1.6 định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng Cho U l một tập mở trong mặt phẳng R 2 {( xi , x j ), i j} Giả sử trong E3 cho một hệ toạ độ afin dạng (x1, x2, x3) Khi đó mảnh tham số : r : U E3 có biểu thức dạng r ( xi , x j ) ( f1 ( xi , x j ), , xi , , f3 ( xi , x j )) nghĩa l r ( xi , x j ) ( f1 ( xi , x j ), ., f3 ( xi , x j )) trong đó fi ( xi , x j ) xi , f... , ta đợc mảnh mặt nón đỉnh I Khi 1 u I , Khi f g không triệt tiêu tại u no, cũng chọn g thì 1 u f u g u A u 0 v u 1 u l một đờng chuẩn mới của mặt kẻ đã cho, r u, v 1 u v u A u m 1 / / A , nên ta đợc một mảnh mặt tiếp tuyến Bi 1.12 : Cho mảnh tham số trong E3 xác định bởi (u,v) r(u,v) E3 v giả sử nó không có điểm kì dị, rồi xét mảnh tham số xác định... c) Cho hai cung bất kì u O A u v v O B v Với hai điểm M u v N v của hai cung đó thì trung điểm I của đoạn MN xác định bởi : A u B v 1 I O u (v) O vậy quỹ tích điểm I nếu l 2 2 2 một mặt thì nó l mặt tịnh tiến có phơng trình tham số dới dạng vectơ A u B v r u, v O 2 2 Bi 1.8 : Trong không gian E 3 cho mặt đinh ốc đứng có phơng trình tham số trong hệ. .. đặt trong mặt phẳng Oxz thì phơng trình tham số của có dạng : x v, y 0, z 0 do đó phơng trình của mặt S l : r u , v v.cos u , v.sin u , k u c) Ta vẫn giả sử cắt vuông góc với trục Oz v đặt trong mặt phẳng Oxz thì phơng trình tham số của có dạng : x v, y 0, z 0 do đó phơng trình tham số hoá của S l : r u , v v.cos u , v.sin u , u Dạng 2 : xác định ảnh của các mảnh tham số có... trên r(V) suy ra với mọi u J 0 v với mọi v sao cho u, v V thì mảnh tham số r u, v u v A u 1 u v u A u l một mặt tiếp tuyến điều ny chứng tỏ rằng có lân cận Q của r u0 , v0 để Q r V l mặt tiếp tuyến Bi 1.10 : Giả sử u, v r u, v l một mảnh tham số trong E 3 v u0 , v0 l một điểm không kì dị của nó kí hiệu l tiếp diện của mảnh r tại điểm u0 , v0 ( nh vậy theo định... góc tạo bởi u v trục oz có vectơ chỉ phơng k (0, 0,1) l : n.k a 2v av 2 a cos 2 2 2 4 2 2 2 2 n.k a b v a v av a b a b2 Do a,b không đổi nên không đổi Ta có điều phải chứng minh Bi 1.14: Trong E3 với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mảnh tham số : r : R2 E3 (u, v) r (u, v) (u.cos v, u sin v, u ) với mọi (u,v) R 2 a) Hãy tìm các điểm kì dị của r b) Hãy chỉ ra rằng pháp tuyến của r tại điểm... tham số có phơng trình cho trớc Bi 1.5 : Xác định ảnh của các mảnh tham số : r : U E 3 , u, v r u, v có phơng trình tham số trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz nh sau: a) r u, v u 2 , u.v, v 2 b) r(u,v) u v, u v.u.v c) r u, v u sin v, u cos v, u a (a const ) d) r u, v x0 a.cos u.cos v, y0 b.cos u.sin v, z0 c.sin u ( x0 , y0 , z0 , a, b, c l hằng số , abc 0 ) e) r u, ... luận cho phép em nghiên cứu lý thuyết v bi tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E - Về đối tợng nghiên cứu + Nghiên cứu cách xây dựng lý thuyết mảnh số không gian E + Nghiên cứu hệ thống. .. Chơng 2: hệ thống bi tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E3 Dạng 1: Viết phơng trình tham số mặt không gian E3 Bi 1.1: Viết tham số hoá( hay phơng trình tham số ) mặt tròn xoay sau E3: a)... lý thuyết mảnh tham số không gian e3 1.1.định nghĩa mảnh tham số không gian e Giả sử U l tập mở khác R2, ánh xạ r từ tập mở U vo không gian Euclid chiều E3 : r : U E3 (u,v) r(u,v) l mảnh tham