Luận văn thạc sĩ Lý thuyết xác suất, Toán tử ngẫu nhiên, Biến ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ DANH ĐƯỢC MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG LÝ THUYẾT TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ DANH ĐƯỢC MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG LÝ THUYẾT TỐN TỬ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Hà Nội – 2015 Lời nói đầu Nhà tốn học Pierre-Simon Laplace năm 1812 nói vai trị môn lý thuyết xác suất: "Cần nhớ môn khoa học việc xem xét trò chơi may rủi lại hứa hẹn trở thành đối tượng quan trọng tri thức loài người Phần lớn vấn đề quan trọng đời sống thực toán lý thuyết xác suất" Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính chun đề môn Lý thuyết xác suất, nghiên cứu hàm ngẫu nhiên tuyến tính Do đó, tơi chọn đề tài "Một số vấn đề lý thuyết tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính" để làm đề tài luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Tìm hiểu vấn đề này, mong muốn nắm bắt kết hệ trước đạt cố gắng rút kết luận, nhận xét riêng Từ trang bị cho vốn kiến thức phương pháp nghiên cứu để sâu với mơn Lý thuyết xác suất Với khả thời gian có hạn nên tơi dừng lại việc nghiên cứu tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính khơng gian Hilbert thác triển Cấu trúc luận văn gồm phần mở đầu, danh sách ký hiệu, chương (chương 1-2-3), tài liệu tham khảo Nội dung chương tóm tắt sau: Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị luận văn Trong chương này, tác giả nêu khái niệm biến ngẫu nhiên, kỳ vọng biến ngẫu nhiên, hội tụ biến ngẫu nhiên, hàm ngẫu nhiên, toán tử tuyến tính tốn tử Hilbert - Schmidt Đây kết quan trọng để nghiên cứu toán tử ngẫu nhiên tuyến tính chương sau Chương 2: Trình bày tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính không gian Hilbert Đây hai chương luận văn Chương chia làm ba phần: Phần đầu nói khái niệm liên quan đến tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính, tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính yếu, tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn tích tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Phần hai nghiên cứu hàm đặc trưng toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Gauss Phần cuối, nghiên cứu tính hội tụ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Chương 3: Nghiên cứu thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Chương chia làm hai phần: Phần đầu nêu thác triển liên quan đến toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn Phần hai trình bày cách chi tiết phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Qua đây, tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học GS TSKH Đặng Hùng Thắng Người đưa đề tài hướng dẫn tận tình giúp tơi suốt q trình nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội quan tâm tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho học viên cao học khác q trình học tập Cuối tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè người thân động viên tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Học viên Vũ Danh Được Mục lục Lời nói đầu Danh sách ký hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Biến ngẫu nhiên hội tụ biến ngẫu nhiên 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Sự hội tụ biến ngẫu nhiên 1.2 Hàm ngẫu nhiên 11 1.2.1 Định nghĩa 11 1.2.2 Hàm ngẫu nhiên Wiener 11 1.3 Tốn tử tuyến tính 12 1.4 Toán tử Hilbert - Schmidt 13 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính khơng gian Hilbert 2.1 Các khái niệm 16 16 2.1.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 16 2.1.2 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính yếu 17 2.1.3 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn 21 2.1.4 Tích tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính 25 2.2 Hàm đặc trưng tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính 27 2.2.1 Định nghĩa 27 2.2.2 Hàm đặc trưng toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 29 2.2.3 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Gauss 33 2.3 Sự hội tụ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính 36 2.3.1 Sự hội tụ yếu toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 36 2.3.2 Sự hội tụ toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 37 Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 40 3.1 Thác triển tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn 40 3.2 Một phương pháp khác thác triển tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính 47 3.2.1 3.2.2 Miền xác định thác triển tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính 47 Trường hợp Φei độc lập 54 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 Danh sách ký hiệu (Ω, F , P) - không gian xác suất Dη(ω) - phương sai biến ngẫu nhiên Eη(ω) - kỳ vọng biến ngẫu nhiên H - không gian Hilbert tách L(X, Y ) - tập hợp tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y L(H) - tập hợp toán tử tuyến tính từ H vào H LH (Ω) - tập hợp hàm đo x(ω) từ Ω vào H (còn gọi biến ngẫu nhiên H−giá trị) LY0 (Ω) - tập hợp hàm đo x(ω) từ Ω vào Y (còn gọi biến ngẫu nhiên Y −giá trị) (x, y) - tích vơ hướng hai phần tử x y với x, y ∈ H Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Biến ngẫu nhiên hội tụ biến ngẫu nhiên 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Giả sử (Ω, F ) không gian đo, R = (−∞; +∞), B(R) σ−đại số tập Borel trục thực R Hàm thực X = X(ω) xác định Ω, lấy giá trị R gọi hàm F −đo hay biến ngẫu nhiên {ω : X(ω) ∈ B} = X −1 (B) ∈ F với B ∈ B(R) Ví dụ 1.1.1 Ký hiệu hàm tiêu tập A 1A , 1A (ω) = ω ∈ A, 1A (ω) = ω ∈ / A Cho Ai ∈ F , i ∈ I (I không đếm được) Ai = Ω, với i∈I (xi )i∈I ⊂ R, X(ω) = xi 1Ai (ω) i∈I gọi biến ngẫu nhiên rời rạc Khi I hữu hạn X gọi biến ngẫu nhiên đơn giản Định nghĩa 1.1.2 Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F , P), nhận giá trị R = (−∞; +∞) Hàm số F (x) = FX (x) = P(X < x), x∈R gọi hàm phân phối biến ngẫu nhiên X Định nghĩa 1.1.3 Cho X biến ngẫu nhiên đơn giản có dạng n X= xk 1Ak k=1 xk ∈ R, Ak ∈ F , k = 1, , n Ak Al = (k = l) Với biến ngẫu nhiên X trên, kí hiệu EX số xác định n EX = xk P(Ak ) k=1 Số gọi kỳ vọng biến ngẫu nhiên X Định nghĩa 1.1.4 Giả sử (Ω, F , P) không gian xác suất, G σ−đại số F , X biến ngẫu nhiên khả tích Kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên X với G cho biến ngẫu nhiên, ký hiệu E(X|G), thỏa mãn điều kiện sau: E(X|G) G−đo được; E(X|G) thỏa mãn đẳng thức E(X|G)(ω)P(dω) = A X(ω)P(dω), A∈G (1.1) A Bổ đề 1.1.1 (Các tính chất kỳ vọng có điều kiện) Giả sử (Ω, F , P) không gian xác suất, G σ−đại số F Nếu c số E(c|G) = c (h.c.c); X ≤ Y (h.c.c) ⇒ E(X|G) ≤ E(Y |G) (h.c.c); |E(X|G)| ≤ E(|X||G) (h.c.c); a, b số aEX + bEY xác định E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G) (h.c.c) E(X|{ , Ω}) = EX (h.c.c); E(X|F ) = X (h.c.c); E(E(X|G)) = EX (h.c.c); E E(X|G2 )|G1 = E(X|G1 ) = E E(X|G1 )|G2 (h.c.c) G1 ⊂ G2; Nếu X độc lập với G (nghĩa σ(X) G độc lập) E(X|G) = EX (h.c.c); 10 Nếu Y G−đo E|Y | < ∞, E|X.Y | < ∞ E(XY |G) = Y E(X|G) (h.c.c) Chứng minh Hiển nhiên Với X ≤ Y h.c.c suy A A XdP ≤ A E(X|G)dP ≤ Y dP với A ∈ G Suy ra: A E(Y |G)dP, ∀A ∈ G Suy E(X|G) ≤ E(Y |G) h.c.c Vì −|X| ≤ X ≤ |X| nên −E(|X||G) ≤ E(|X||G) ≤ E(X|G) Từ suy điều phải chứng minh Với A ∈ G (aX + bY )dP = a XdP + b A =a A E(X|G)dP + b A A Y dP = A E(Y |G)dP = A (aE(X|G) + bE(Y |G))dP EX đo σ−đại số {∅, Ω} A = ∅ A = Ω có XdP = A EXdP A Đó điều phải chứng minh Hiển nhiên t }< , 3r n chọn biến ngẫu nhiên đơn giản g cho P{ u − g > r} < Vì p − lim Φn ug tồn với biến ngẫu nhiên đơn giản g, tồn n0 cho m, n > n0 Bởi họ (kn ) bị chặn theo xác suất nên ta chọn r > cho sup P{kn > t P{ Φn g − Φm g > } < 3 Từ điều (3.8) ta được: P{ Φn u − Φm u > t} ≤ ∀m, n > n0 Suy p − lim Φn u = Φu tồn Bây giờ, ta cần chứng tỏ ánh xạ u −→ Φu n tuyến tính liên tục Tuyến tính hiển nhiên Ta có P{ Φu > t} ≤ lim inf P{ Φn u > t} ≤ lim sup P{ Φu > t} t ≤ sup P{kn (ω) > } + P{ u > r} r n t Cho trước t, , chọn r > cho sup P{kn (ω) > } < Do đó: P{ Φu > t} < r n suy P{ u > r} < → Φ liên tục → Φ thác triển Φ Do theo định lý 3.1.2 Φ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn 3.2 Một phương pháp khác thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 3.2.1 Miền xác định thác triển tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Cho Y không gian Banach tách được, X không gian Banach tách với sở ∗ ∗ ∞ Schauder e = (en )∞ n=1 Cơ sở liên hợp e, ký hiệu e = (en )n=1 Với x ∈ X ta có ∞ (x, e∗n)en x= n=1 47 Xét toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ : X → LY0 (Ω), ta ∞ (x, e∗n)Φen Φx = n=1 chuỗi hội tụ theo xác suất Ký hiệu D(Φ) tập hợp biến ngẫu nhiên X−giá trị u cho chuỗi ∞ (u, e∗n )Φen (3.9) n=1 hội tụ theo xác suất Hiển nhiên X ⊂ D(Φ) ⊂ LX (Ω) Định nghĩa 3.2.1 D(Φ) gọi miền xác định thác triển tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ Nếu u ∈ D(Φ) tổng (3.9) ký hiệu Ψu (với Ψ : D(Φ) → LY0 (Ω)) hiểu tác động Φ lên biến ngẫu nhiên u Mệnh đề 3.2.1 Ta có tính chất sau: Y D(Φ) không gian tuyến tính LX (Ω) Ψ : D(Φ) → L0 (Ω) tuyến tính Nếu α ∈ LR0 (Ω) u ∈ D(Φ) αu ∈ D(Φ) Ψ(αu) = αΨu Đặc biệt, u có dạng u = i=1 n Ψ(u) = n ξi xi , xi ∈ X, ξi ∈ LR0 (Ω) u ∈ D(Φ) ξi Φxi i=1 Nếu u biến ngẫu nhiên có giá trị đếm u = ∞ i=1 1Ei xi u ∈ D(Φ) ∞ Ψ(u) = 1Ei Φxi = Φ(u(ω))(ω) i=1 không phụ thuộc vào cách chọn sở (en ) Đặc biệt, D(Φ) trù mật LX (Ω) 48 Chứng minh Ψ tuyến tính điều hiển nhiên P Ta dễ dàng chứng minh tính chất: Nếu α ∈ LR0 (Ω), Xn ∈ LX (Ω), Xn → X P P P αXn → αX αn ∈ LR0 (Ω), X ∈ LX (Ω), αn → α αn X → αX Đặt Yn = n i=1 P (αu, e∗i )Φei, Xn = n i=1 (u, e∗i )Φei Ta có Yn = αXn P Bởi Xn → Ψ(u) nên từ tính chất ta có Yn = αn X → αΨ(u) Do αu ∈ D(Φ) Ψ(αu) = αΨ(u) Đặt n ∞ (u, e∗k )Φek , Zn = Z= i=1 1Ei Φxi = Φ(u(ω))(ω) i=1 P Ta cần chứng minh Zn → Z Với i ta có p − lim 1Ei Zn = 1Ei Φxi = 1Ei Z Do vậy: n ∞ P( Zn − Z > t) = i=1 P( Zn − Z > t, Ei ) N ≤ i=1 ∞ P( 1Ei Zn − 1Ei Z > t) + P(Ei ) i=N +1 Cho n → ∞ N → ∞ ta lim P( Zn − Z > t) = n Bổ đề 3.2.1 Cho (αn ) dãy chuẩn r−dừng (1 < r < 2), (cn ) dãy số thực, ≤ s < ∞, s = r en = (0, , 0, 1, ) Khi chuỗi ∞ αn cn en n=1 hội tụ ls điều kiện cần đủ để (cn ) ∈ ls ứng với trường hợp s < r (cn ) ∈ lr ứng với trường hợp s > r Ví dụ 3.2.1 Cho X = lp, Y = lt (αn ) dãy chuẩn r−dừng (1 < r < 2), < p < r < t < 2p en = (0, , 0, 1, ) Ta có tính chất: 49 Với x ∈ X chuỗi ∞ αn (x, e∗n )en (3.10) n=1 hội tụ h.c.c Y = lt xác định toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ:X →Y Với dãy c = (cn ) ∈ lp chuỗi ∞ αn cn en hội tụ X = lp xác định n=1 biến ngẫu nhiên X−giá trị u u ∈ D(Φ) (cn ) ∈ lr/2 (vì r < 2p nên lr/2 ⊂ lr ) Ta chứng minh kết luận ví dụ 3.2.1 |(x, e∗n)|p < ∞ p < r dẫn đến |(x, e∗n)|r < ∞ Bởi t > r nên theo bổ đề 3.2.1 chuỗi (3.10) hội tụ h.c.c không gian Y = lt Công thức ∞ αn (x, e∗n )en Φx = (3.11) n=1 xác định tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ từ X vào Y Vì p < r, theo bổ đề 3.2.1 chuỗi ∞ αn cn en hội tụ không gian X = lp n=1 Ta có ∞ ∞ (u, e∗n )Φen n=1 Do u ∈ D(Φ) α2n cn en = n=1 ∞ n=1 t α2t n |cn | < ∞ chuỗi ∞ αn n=1 |cn |en hội tụ khơng gian l2t Vì 2t > r nên theo bổ đề 3.2.1 ta kết luận u ∈ D(Φ) ( |cn |) ∈ lr , (cn ) ∈ lr/2 Sau ta xét ví dụ chứng tỏ D(Φ) không cần thiết phải không Y gian đóng LX (Ω) ánh xạ Ψ : D(Φ) → L0 (Ω) không cần thiết liên tục 50 Ví dụ 3.2.2 Cho X = L2 [0; 1] Φ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính từ X → R xác định tích phân ngẫu nhiên Wiener Φx = x(t)dW (t), W (t) trình Wiener Cho (en ) sở trực chuẩn X Đặt ξn = Φen Dễ thấy (ξn ) dãy biến ngẫu nhiên Gauss độc lập có phân phối N(0, 1) Đặt: n un = k=1 ∞ ξk ek , k u= k=1 ξk ek k Chuỗi sau hội tụ h.c.c theo chuẩn X ∞ ek k i=1 ∞ Vì tính độc lập u dãy (Φen ) ta có n n (u, e∗i )Φei > t P = i=m (x, e∗i )Φei > t dµ(x) P X (3.12) i=m µ phân phối u Vì x ∈ X ta có n (x, e∗i )Φei > t lim P m,n→∞ =0 i=m Từ định lý hội tụ trội ta kết luận chuỗi ∞ i=1 có u ∈ D(Φ) 53 (u, e∗i )Φei hội tụ LY0 (Ω) hay ta Tiếp theo, cho V tập LX (Ω) chứa biến ngẫu nhiên độc lập với Φ cho V0 ⊂ V khơng gian tuyến tính biến ngẫu nhiên đơn giản Dễ thấy V không gian đóng LX (Ω) V0 trù mật V trang bị tô pô Y LX (Ω) Với n ta xác định ánh xạ Ψn : V → L0 (Ω) n (u, e∗i )Φei Ψn u = i=1 Dễ thấy Ψn ánh xạ tuyến tính liên tục từ V vào LY0 (Ω) lim Ψn u = Ψu với n u ∈ V Theo định lý Banach - Steinhaus, Ψ : V → LY0 (Ω) ánh xạ tuyến tính liên tục Mặt khác, theo mệnh đề 3.2.1, u ∈ V0 Ψu có giá trị với sở e Vì Ψ liên tục V V0 trù mật V nên ta kết luận Ψu có giá trị với sở e 3.2.2 Trường hợp Φei độc lập Trong mục ta giả định Φ toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ X vào Y cho dãy biến ngẫu nhiên Y −giá trị (Φei ) độc lập Ví dụ, Φ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính từ L2 [0; 1] vào R xác định tích phân ngẫu nhiên Wiener Φx = x(t)dW (t) dãy (Φei ) độc lập với (en ) sở trực chuẩn L2 [0; 1] (xem ví dụ 3.2.2) Định lý 3.2.3 Cho Y không gian Hilbert Ký hiệu Fn σ−đại số sinh ∗ (Φe1 , , Φen) Khi u ∈ LX (Ω) điều kiện: (u, en) Fn−1 −đo được, với n > điều kiện đủ để có u ∈ D(Φ) Chứng minh Trước tiên ta có bổ đề sau: Bổ đề 3.2.2 Cho Y không gian Hilbert (zn ) dãy biến ngẫu nhiên có giá trị Y Ký hiệu Fn σ−đại số sinh (z1 , , zn) µn (ω) phân phối 54 có điều kiện zn cho Fn−1 Giả sử với hầu khắp nơi ω dãy (µn ) khả tích theo nghĩa: Nếu (ξn ) dãy biến ngẫu nhiên Y −giá trị độc lập xác định không gian xác suất cho phân phối ξn µn (ω), chuỗi hội tụ LY0 (Ω) Với điều kiện này, chuỗi n ξn zn hội tụ LY0 (Ω) Quay trở lại chứng minh định lý 3.2.3, cho µn (ω) phân phối có điều kiện zn = (u, e∗n )Φen cho Fn−1 Vì (u, e∗n) Fn−1 −đo Φen độc lập với Fn−1 nên ta có µn (ω)(E) = P{(u, e∗n )Φen ∈ E|Fn−1 } = P{ω : (u(ω), e∗n )Φen (ω ) ∈ E} (3.13) Gọi νn (x) phân phối biến ngẫu nhiên (x, e∗n )Φen Từ (3.13) ta có µn (ω) = νn [u(ω)] (3.14) Vì x ∈ X dãy {(x, e∗n)Φen } độc lập chuỗi n (x, e∗n )Φen hội tụ LY0 (Ω) nên từ (3.14) dẫn đến dãy (µn ) khả tích Từ bổ đề 3.2.2, ta kết luận chuỗi n (u, e∗n )Φen hội tụ LY0 (Ω) hay ta có u ∈ D(Φ) Nhớ lại rằng, không gian Banach gọi p−trơn (1 < p ≤ 2) mơ đun tính trơn xác định công thức ρ(t) = sup x =1, y =t x+y + x−y −2 thỏa mãn điều kiện ρ(t) = 0(tp ) Một không gian Banach gọi p−có thể trơn đẳng cấu với không gian p−trơn Các không gian Lp , lp khơng gian min(2, p)−có thể trơn Định lý 3.2.4 Xét X = lp Y khơng gian Banach p−có thể trơn (1 < p ≤ 2) (ei ) sở trực chuẩn lp Giả sử E Φx p < ∞ với x ∈ X EΦei = với i Khi đó, u ∈ LX (Ω) điều kiện đủ để u ∈ D(Φ) (u, e∗n ) Fn−1 − đo được, 55 với n > (3.15) Chứng minh Cho t, > 0, đặt: n umn = αi = (u, e∗i ), αi ei , i=m i Ci = {ω : n u = k=m |αk |p ≤ p }, ξi = αi 1Ci ξi ei Ta có: i=m n P{ Ψumn > t; umn ≤ } = P{ k=m αk Φek > t, umn ≤ } = n = P{ k=m ξk Φek > t, umn ≤ } ≤ P{Ψu > t} (3.16) từ bất đẳng thức umn ≤ dẫn đến αi = ξi với m ≤ i ≤ n Giả sử αi Fi−1 −đo dẫn đến ξi Fi−1 −đo Vì EΦei = 0, dãy (ξi Φei , Fi )ni=m tạo thành hiệu martingale Y −giá trị Vì Y p−có thể trơn nên theo bất đẳng thức Assoad - Pisier (xem 9.), tồn số C1 > cho n p E Ψu =E ξi Φei i=m Vì E Φx p n p ≤ C1 p E ξi Φei i=m < ∞ nên tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ ánh xạ từ X vào LYp (Ω) Theo định lý đồ thị đóng Φ liên tục Do tồn số C2 > cho với x ∈ X E Φx E ξi Φei p p ≤ C2 x p Đặc biệt, E Φek = E{|ξi |pE{ Φei p p Fn−1 }} = E|ξi |pE Φei ≤ C2 với k Do p ≤ C2E ξi p (3.17) Vì nên n E Ψu Ta có u p n = k=m p ≤ C1 C2 E ξi p p = CE u i(ω) k=m k=1 |αk (ω)|p ≤ p C = C1 C2 |αk |p 1Ck Cố định ω, |αm (ω)|p > Ngược lại, cho i(ω) số lớn cho i(ω) , i=m Do đó, ta có u E Ψu p p ≤ p ≤C 56 u (ω) = |αk (ω)|p ≤ dẫn đến p p (3.18) p Khi u (ω) p = Theo bất đẳng thức Chebyshev ta có P{ Ψu > t} ≤ E Ψu p (3.19) Từ (3.16) (3.19) ta P{ Ψumn > t; umn ≤ } ≤ C p (3.20) Do ta có P{ Ψumn > t} ≤ P{ Ψumn > t; umn ≤ } + P{ umn > } ≤ ≤ C p + P{ umn > } Cho m, n → ∞ ta lim sup P{ Ψumn > t} ≤ m,n→∞ C p Cho → ta lim sup P{ Ψumn > t} = hay ta có m,n→∞ n (u, e∗i )Φei > t lim P m,n→∞ =0 i=m Từ suy u ∈ D(Φ) Định lý 3.2.5 Cho Y khơng gian Banach p−có thể trơn (1 < p ≤ 2) Giả sử E Φx p < ∞ với x ∈ X EΦei = với i Khi đó, với u ∈ LX (Ω), điều kiện: (u, e∗n ) Fn−1 − đo được, với n > n E|(u, e∗n )|p < ∞ dẫn đến u ∈ D(Φ) 57 (3.22) (3.21) Chứng minh Đặt αi = (u, e∗k ) Từ (3.21), từ tính độc lập (Φei ) từ đẳng thức EΦei = dẫn đến (αi Φei , Fi ) có dạng hiệu martingale Y −giá trị Vì Y p−có thể trơn nên theo bất đẳng thức Assoad - Pisier tồn số C1 > cho n αi Φei E p i=m Vì E Φx p ≤ C1E αi Φei p (3.23) < ∞ nên toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ ánh xạ từ X vào LYp (Ω) Theo định lý đồ thị đóng Φ liên tục Do tồn số C2 > cho p với x ∈ X E Φx E αi Φei p ≤ C2 x p Đặc biệt, E Φek = E{|αi |p E{Φei p p Fn−1 }} = E|αi |p E Φei ≤ C2 với k Vì nên p ≤ C2 E αi p (3.24) Từ (3.23) (3.24) ta n n αi Φei E i=m p ≤ C1 C2 E αi p (3.25) i=m Từ (3.22) (3.25) kết luận chuỗi ∞ i=1 tụ LY0 (Ω) αi Φei hội tụ LYp (Ω), hội Chú ý: thiếu điều kiện (3.21) điều kiện (3.22) không suy u ∈ D(Φ) Chẳng hạn, ví dụ 3.2.2, p = tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ thỏa mãn E|Φx|2 < ∞, EΦei = Y = R 2−có thể trơn Điều kiện (3.22) thỏa mãn với biến ngẫu nhiên u E|(u, e∗k )|2 = k k u ∈ / D(Φ) 58