Lý thuyết xác suất, Toán tử ngẫu nhiên, Biến ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ DANH ĐƯỢC MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG LÝ THUYẾT TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ DANH ĐƯỢC MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG LÝ THUYẾT TỐN TỬ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Hà Nội – 2015 Lời nói đầu Nhà tốn học Pierre-Simon Laplace năm 1812 nói vai trị môn lý thuyết xác suất: "Cần nhớ môn khoa học việc xem xét trò chơi may rủi lại hứa hẹn trở thành đối tượng quan trọng tri thức loài người Phần lớn vấn đề quan trọng đời sống thực toán lý thuyết xác suất" Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính chun đề môn Lý thuyết xác suất, nghiên cứu hàm ngẫu nhiên tuyến tính Do đó, tơi chọn đề tài "Một số vấn đề lý thuyết tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính" để làm đề tài luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Tìm hiểu vấn đề này, mong muốn nắm bắt kết hệ trước đạt cố gắng rút kết luận, nhận xét riêng Từ trang bị cho vốn kiến thức phương pháp nghiên cứu để sâu với mơn Lý thuyết xác suất Với khả thời gian có hạn nên tơi dừng lại việc nghiên cứu tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính khơng gian Hilbert thác triển Cấu trúc luận văn gồm phần mở đầu, danh sách ký hiệu, chương (chương 1-2-3), tài liệu tham khảo Nội dung chương tóm tắt sau: Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị luận văn Trong chương này, tác giả nêu khái niệm biến ngẫu nhiên, kỳ vọng biến ngẫu nhiên, hội tụ biến ngẫu nhiên, hàm ngẫu nhiên, toán tử tuyến tính tốn tử Hilbert - Schmidt Đây kết quan trọng để nghiên cứu toán tử ngẫu nhiên tuyến tính chương sau Chương 2: Trình bày tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính không gian Hilbert Đây hai chương luận văn Chương chia làm ba phần: Phần đầu nói khái niệm liên quan đến tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính, tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính yếu, tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn tích tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Phần hai nghiên cứu hàm đặc trưng toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Gauss Phần cuối, nghiên cứu tính hội tụ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Chương 3: Nghiên cứu thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Chương chia làm hai phần: Phần đầu nêu thác triển liên quan đến toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn Phần hai trình bày cách chi tiết phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Qua đây, tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học GS TSKH Đặng Hùng Thắng Người đưa đề tài hướng dẫn tận tình giúp tơi suốt q trình nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội quan tâm tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho học viên cao học khác q trình học tập Cuối tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè người thân động viên tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Học viên Vũ Danh Được Mục lục Lời nói đầu Danh sách ký hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Biến ngẫu nhiên hội tụ biến ngẫu nhiên 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Sự hội tụ biến ngẫu nhiên 1.2 Hàm ngẫu nhiên 11 1.2.1 Định nghĩa 11 1.2.2 Hàm ngẫu nhiên Wiener 11 1.3 Tốn tử tuyến tính 12 1.4 Toán tử Hilbert - Schmidt 13 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính khơng gian Hilbert 2.1 Các khái niệm 16 16 2.1.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 16 2.1.2 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính yếu 17 2.1.3 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn 21 2.1.4 Tích tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính 25 2.2 Hàm đặc trưng tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính 27 2.2.1 Định nghĩa 27 2.2.2 Hàm đặc trưng toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 29 2.2.3 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Gauss 33 2.3 Sự hội tụ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính 36 2.3.1 Sự hội tụ yếu toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 36 2.3.2 Sự hội tụ toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 37 Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 40 3.1 Thác triển tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn 40 3.2 Một phương pháp khác thác triển tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính 47 3.2.1 3.2.2 Miền xác định thác triển tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính 47 Trường hợp Φei độc lập 54 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 Danh sách ký hiệu (Ω, F , P) - không gian xác suất Dη(ω) - phương sai biến ngẫu nhiên Eη(ω) - kỳ vọng biến ngẫu nhiên H - không gian Hilbert tách L(X, Y ) - tập hợp tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y L(H) - tập hợp toán tử tuyến tính từ H vào H LH (Ω) - tập hợp hàm đo x(ω) từ Ω vào H (còn gọi biến ngẫu nhiên H−giá trị) LY0 (Ω) - tập hợp hàm đo x(ω) từ Ω vào Y (còn gọi biến ngẫu nhiên Y −giá trị) (x, y) - tích vơ hướng hai phần tử x y với x, y ∈ H Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Biến ngẫu nhiên hội tụ biến ngẫu nhiên 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Giả sử (Ω, F ) không gian đo, R = (−∞; +∞), B(R) σ−đại số tập Borel trục thực R Hàm thực X = X(ω) xác định Ω, lấy giá trị R gọi hàm F −đo hay biến ngẫu nhiên {ω : X(ω) ∈ B} = X −1 (B) ∈ F với B ∈ B(R) Ví dụ 1.1.1 Ký hiệu hàm tiêu tập A 1A , 1A (ω) = ω ∈ A, 1A (ω) = ω ∈ / A Cho Ai ∈ F , i ∈ I (I không đếm được) Ai = Ω, với i∈I (xi )i∈I ⊂ R, X(ω) = xi 1Ai (ω) i∈I gọi biến ngẫu nhiên rời rạc Khi I hữu hạn X gọi biến ngẫu nhiên đơn giản Định nghĩa 1.1.2 Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F , P), nhận giá trị R = (−∞; +∞) Hàm số F (x) = FX (x) = P(X < x), x∈R gọi hàm phân phối biến ngẫu nhiên X Định nghĩa 1.1.3 Cho X biến ngẫu nhiên đơn giản có dạng n X= xk 1Ak k=1 xk ∈ R, Ak ∈ F , k = 1, , n Ak Al = (k = l) Với biến ngẫu nhiên X trên, kí hiệu EX số xác định n EX = xk P(Ak ) k=1 Số gọi kỳ vọng biến ngẫu nhiên X Định nghĩa 1.1.4 Giả sử (Ω, F , P) không gian xác suất, G σ−đại số F , X biến ngẫu nhiên khả tích Kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên X với G cho biến ngẫu nhiên, ký hiệu E(X|G), thỏa mãn điều kiện sau: E(X|G) G−đo được; E(X|G) thỏa mãn đẳng thức E(X|G)(ω)P(dω) = A X(ω)P(dω), A∈G (1.1) A Bổ đề 1.1.1 (Các tính chất kỳ vọng có điều kiện) Giả sử (Ω, F , P) không gian xác suất, G σ−đại số F Nếu c số E(c|G) = c (h.c.c); X ≤ Y (h.c.c) ⇒ E(X|G) ≤ E(Y |G) (h.c.c); |E(X|G)| ≤ E(|X||G) (h.c.c); a, b số aEX + bEY xác định E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G) (h.c.c) E(X|{ , Ω}) = EX (h.c.c); E(X|F ) = X (h.c.c); E(E(X|G)) = EX (h.c.c); E E(X|G2 )|G1 = E(X|G1 ) = E E(X|G1 )|G2 (h.c.c) G1 ⊂ G2; Nếu X độc lập với G (nghĩa σ(X) G độc lập) E(X|G) = EX (h.c.c); 10 Nếu Y G−đo E|Y | < ∞, E|X.Y | < ∞ E(XY |G) = Y E(X|G) (h.c.c) Chứng minh Hiển nhiên Với X ≤ Y h.c.c suy A A XdP ≤ A E(X|G)dP ≤ Y dP với A ∈ G Suy ra: A E(Y |G)dP, ∀A ∈ G Suy E(X|G) ≤ E(Y |G) h.c.c Vì −|X| ≤ X ≤ |X| nên −E(|X||G) ≤ E(|X||G) ≤ E(X|G) Từ suy điều phải chứng minh Với A ∈ G (aX + bY )dP = a XdP + b A =a A E(X|G)dP + b A A Y dP = A E(Y |G)dP = A (aE(X|G) + bE(Y |G))dP EX đo σ−đại số {∅, Ω} A = ∅ A = Ω có XdP = A EXdP A Đó điều phải chứng minh Hiển nhiên ... khái niệm biến ngẫu nhiên, kỳ vọng biến ngẫu nhiên, hội tụ biến ngẫu nhiên, hàm ngẫu nhiên, tốn tử tuyến tính tốn tử Hilbert - Schmidt Đây kết quan trọng để nghiên cứu tốn tử ngẫu nhiên tuyến... lý thuyết xác suất" Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính chun đề mơn Lý thuyết xác suất, nghiên cứu hàm ngẫu nhiên tuyến tính Do đó, tơi chọn đề tài "Một số vấn đề lý thuyết toán tử ngẫu nhiên tuyến... tính, tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính yếu, tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn tích tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính Phần hai nghiên cứu hàm đặc trưng toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, tốn tử ngẫu nhiên tuyến