Lý thuyết tập hút toàn cục

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* PHẠM THỊ THANH HOA LÝ THUYẾt TẬP HÚT TOÀN CỤC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Hà Nội - 2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* PHẠM THỊ THANH HOA LÝ THUYẾT TẬP HÚT TỒN CỤC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS PHÙNG ĐỨC THẮNG Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sỹ Phùng Đức Thắng người tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành tốt khóa luận Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội dạy bảo tơi tận tình suốt q trình học tập khoa Nhân dịp tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên tơi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày tháng năm 2014 Sinh viên Phạm Thị Thanh Hoa Lời cam đoan Tôi xin cam đoan hướng dẫn Th.s Phùng Đức Thắng, khóa luận tốt nghiệp Đại học chun ngành Tốn giải tích với đề tài "Lý thuyết tập hút toàn cục" hoàn thành nhận thức thân tơi Trong q trình nghiên cứu thực khóa luận, tơi kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày tháng năm 2014 Sinh viên Phạm Thị Thanh Hoa Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric, khơng gian Banach, tốn tử tuyến tính 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian Banach 1.1.3 Toán tử tuyến tính 11 1.2 Nửa nhóm liên tục khơng gian Banach hệ động lực 12 1.3 Quỹ đạo phần tử tập bất biến hệ động lực 15 1.4 Hệ động lực tiêu hao tính compact tiệm cận 17 Chương Tập hút toàn cục 21 2.1 Định nghĩa tồn tập hút toàn cục 21 2.2 Cấu trúc tập hút toàn cục 30 2.2.1 Trường hợp tổng quát 30 2.2.2 Trường hợp hệ 33 2.2.3 Ví dụ 35 2.2.4 Xác định dáng điệu tiệm cận tập hút toàn cục 37 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Phạm Thị Thanh Hoa K36C Toán ĐHSP Hà Nội Mở đầu Lí chọn đề tài Việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phương trình vi phân thường có ý nghĩa lớn khoa học công nghệ Nó thu hút nhiều quan tâm nhà khoa học giới với hai hướng nghiên cứu tính đặt toán (sự tồn nghiệm, phụ thuộc liên tục nghiệm theo kiện cho) tính chất định tính nghiệm (tính trơn dáng điệu tiệm cận nghiệm ) Sau nghiên cứu tốn xét tính đặt phương trình, tốn quan trọng đặt nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm biến thời gian t → ∞ Đây việc làm có ý nghĩa thực tiễn, nghiệm phương trình đạo hàm riêng thường mơ tả trạng thái mơ hình thực tế, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm giống dự đốn thay đổi mơ hình thời gian t → ∞ Để nghiên dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình đạo hàm riêng, người ta sử dụng lý thuyết tập hút toàn cục Được định hướng thầy hướng dẫn, chọn đề tài "Lý thuyết tập hút tồn cục" để làm khóa luận tốt nghiệp đại học ngành Sư phạm Toán Phạm Thị Thanh Hoa K36C Toán ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết tập hút tồn cục Bố cục khóa luận bao gồm chương: • Chương khóa luận trình bày số kiến thức chuẩn bị liên quan đến không gian metric, không gian Banach, nửa nhóm tuyến tính liên tục khơng gian Banach hệ động lực, quỹ đạo phần tử tập bất biến hệ động lực • Chương khóa luận tập trung trình bày nội dung tập hút tồn cục: định nghĩa tập hút toàn cục, định lý tồn cấu trúc tập hút toàn cục, ý nghĩa tập hút tồn cục ví dụ Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng phạm vi nghiên cứu Khóa luận trình bày khái niệm kết tổng quát quan trọng lý thuyết tập hút toàn cục hệ động lực vô hạn chiều Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức Phạm Thị Thanh Hoa K36C Tốn ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết tập hút toàn cục Dự kiến đóng góp đề tài Hệ thống kiến thức lý thuyết tập hút tồn cục Đồng thời đưa ví dụ minh họa tập hút toàn cục hệ động lực sinh hệ phương trình vi phân Phạm Thị Thanh Hoa K36C Toán ĐHSP Hà Nội Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric, không gian Banach, tốn tử tuyến tính 1.1.1 Khơng gian metric Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian metric tập hợp X = ∅ với ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực R thỏa mãn tiên đề sau đây: (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = ⇔ x = y, (tiên đề đồng nhất); (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đối xứng); (∀x, y, z ∈ X) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), (tiên đề tam giác) Ánh xạ d gọi metric X Số d(x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x y Các phần tử X gọi điểm, tiên đề 1), 2), 3) gọi tiên đề metric Không gian metric ký hiệu M = (X, d) Định lý 1.1 Cho không gian metric M = (X, d) Metric d có tính chất sau: Phạm Thị Thanh Hoa K36C Tốn ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết tập hút toàn cục n−1 ∗ (∀xj ∈ X, j = 1, 2, , n, n ∈ N ) d(x1 , xn ) ≤ d(xj , xj+1 ); j=1 (∀x, y, u, v ∈ X) |d(x, y)−d(u, v)| ≤ d(x, u)+d(y, v), (bất đẳng thức tứ giác); (∀x, y, u ∈ X) |d(x, y) − d(y, u)| ≤ d(x, u), (bất đẳng thức tam giác) Định nghĩa 1.2 Cho không gian metric M = (X, d), dãy điểm (xn ) ⊂ X, điểm x0 ∈ X Dãy điểm (xn ) gọi hội tụ tới điểm x0 không gian M n → ∞, (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N∗ )(∀n ≥ n0 ) d(xn , x0 ) < ε, kí hiệu: lim xn = x0 hay xn → x0 (n → ∞) n→∞ Điểm x0 gọi giới hạn dãy (xn ) không gian M Định nghĩa 1.3 Cho không gian metric M = (X, d) Dãy điểm (xn ) ⊂ X gọi dãy M , (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N∗ )(∀m, n ≥ n0 ), d(xm , xn ) < ε hay lim d(xn , xm ) = m,n→∞ Định nghĩa 1.4 Không gian metric M = (X, d) gọi không gian đầy dãy khơng gian hội tụ Ví dụ 1.1 Cho không gian Euclide Rk metric d xác định k (m) d(x (n) (n) (m) xj − xj ,x ) = j=1 Phạm Thị Thanh Hoa K36C Tốn ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết tập hút toàn cục đó, từ Bổ đề 2.1.1 , ta suy S(t)y ∈ ω(B) Bởi vậy, S(t)ω(B) ⊂ ω(B), t > Bây ta chứng minh bao hàm thức ngược lại Lấy y ∈ ω(B) Khi tồn dãy {vn } ⊂ B tn → +∞, n → +∞ cho S(tn )vn → y, n → +∞ Xét dãy yn = S(tn − t)vn , tn ≥ t Từ định nghĩa tính compact tiệm cận S(t) suy tồn dãy tn → +∞, n → +∞ cho tập hợp S (2) (tn )vn ∞ n=1 compact tương đối, tức tồn dãy tnk phần tử z ∈ X cho z = lim S (2) (tnk − t)vnk k→∞ Chứng minh tương tự ta có z = lim S(tnk − t)ynk k→+∞ Từ theo Bổ đề 2.1.1 suy z ∈ ω(B) Hơn S(t)z = lim S(t) ◦ S(tnk − t)vnk = lim S(t + tnk − t)vnk k→+∞ k→+∞ = lim S(tnk )vnk = y k→+∞ Suy y ∈ S(t)ω(B) Do ω(B) ⊂ S(t)ω(B) Như ta chứng minh S(t)ω(B) = ω(B) hay ω(B) bất biến iii) ω(B) compact Giả sử {zn } dãy nằm ω(B) Từ Bổ đề 2.1.1 ta suy tồn dãy tn → +∞, n → +∞ {yn } ⊂ B cho S(tn )yn → zn Với yn ∈ B, tồn dãy tn → +∞, n → +∞ cho tập S (2) (tn )yn ∞ n=1 compact tương đối, tức tồn dãy nk phần tử z ∈ X cho S (2) (tnk )ynk → z, k → +∞ Phạm Thị Thanh Hoa 26 K36C Tốn ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết tập hút tồn cục Từ tính compact tiệm cận hệ động lực (X, S(t)), chứng minh tương tự ta suy lim S(tnk )ynk = z k→+∞ Theo Bổ đề 2.1.1 suy z ∈ ω(B) lim znk = z Vậy ω(B) k→+∞ tập compact X Như ta chứng minh ω(B) tập compact bất biến khác rỗng Định lý 2.1 Giả sử hệ động lực (X, S(t)) tiêu hao compact tiệm cận Nếu B tập hấp thụ bị chặn hệ (X, S(t)) A = ω(B) tập compact khác rỗng tập hút toàn cục hệ động lực (X, S(t)) Hơn nữa, tập hút toàn cục A liên thông X Chứng minh Giả sử B tập hấp thụ bị chặn hệ động lực (X, S(t)) Ta chứng minh A = ω(B) tập hút toàn cục Từ Bổ đề 2.1.2 ta có A = ω(B) tập compact bất biến khác rỗng Do từ định nghĩa tập hấp thụ định nghĩa tập hút toàn cục, ta thấy để chứng minh A tập hút toàn cục ta cần chứng minh A hút tập hấp thụ B Giả sử ω(B) khơng hút B Khi dist(S(t)B, ω(B)) → t → +∞ Điều có nghĩa tồn δ > dãy tn → +∞, n → +∞ cho dist(S(tn )B, ω(B)) ≥ 2δ Do tồn yn ∈ B cho dist(S(tn )yn , ω(B)) ≥ δ, n = 1, 2, Phạm Thị Thanh Hoa 27 (2.1) K36C Tốn ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết tập hút toàn cục Với yn ∈ B, tồn dãy tn → +∞, n → +∞ cho tập hợp S (2) (tn ) yn ∞ n=1 compact tương đối, tức tồn dãy nk phần tử z ∈ X cho S (2) (tnk )ynk → z k → +∞ Lý luận Bổ đề 2.1.2 ta có z = lim S(tnk )ynk k→+∞ Theo Bổ đề 2.1.1 z ∈ ω(B) Điều mâu thuẫn với (2.1) Vậy điều giả sử sai Suy ω(B) tập hút toàn cục Bây ta chứng minh tính liên thơng tập hút tồn cục A phản chứng Giả sử A không liên thông Khi tồn hai tập mở U1 U2 cho A ⊂ U1 ∪ U2 , Ui ∩ A = ∅, i = 1, 2, U1 ∩ U2 = ∅ Giả sử Ac = conv(A) bao lồi A, tức N c A = N λi vi : vi ∈ A, λi ≥ 0, i=1 λi = 1, N = 1, 2, i=1 Ac tập liên thông bị chặn A ⊂ Ac Vì S(t) ánh xạ liên tục nên S(t)Ac tập liên thơng Vì A = ω(B) bất biến nên S(t)A = A mà S(t)A ⊂ S(t)Ac A ⊂ S(t)Ac Ta có Ui ∩ A = ∅ nên Ui ∩ S(t)Ac = ∅, i = 1, Từ suy với t > 0, U1 ∪ U2 phủ S(t)Ac Do tồn dãy điểm xn = S(tn )yn ∈ S(tn )Ac cho xn ∈ U1 ∪ U2 Tính compact tiệm cận hệ động lực cho phép trích Phạm Thị Thanh Hoa 28 K36C Tốn ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết tập hút toàn cục dãy nk cho xnk = S(tnk )ynk → y k → +∞ Khi ta có y ∈ ω(Ac ) ⊂ ω(B) = A Mặt khác, y ∈ U1 ∪ U2 Điều xảy A ⊂ U1 ∪ U2 Vậy điều giả sử sai Suy ω(B) tập liên thông Định lý chứng minh Do tập hút toàn cục A có dạng A = ω(B), B tập hấp thụ bị chặn hệ động lực, ta thấy tập hợp S(t)B khơng dần đến tập hút A, mà phân bố A t → ∞ Cụ thể ta chứng minh khẳng đinh sau Định lý 2.2 Giả sử hệ động lực tiêu hao (X, S(t)) có tập hút toàn cục A B tập hấp thụ bị chặn (X, S(t)) Khi lim dist(A, S(t)B) = t→∞ Chứng minh (2.2) Giả sử phản chứng (2.2) khơng thỏa mãn Khi tồn dãy {an } ⊂ A {tn : tn → +∞} cho dist(an , S(tn )B) ≥ δ với δ > (2.3) Theo định nghĩa tập hút tồn cục ta có A tập compact, nên ta giả sử {an } hội tụ tới phần tử a ∈ A a ∈ A = ω(B) nên theo Bổ đề 2.1.1 tồn dãy {τm } {ym } ⊂ B cho τm → +∞, m → +∞ a = lim S(τm )ym , m→+∞ Chọn dãy {mn } cho τmn ≥ tn + tB với n = 1, 2, Ở tB chọn cho S(t)B ⊂ B với t ≥ tB Giả Phạm Thị Thanh Hoa 29 K36C Tốn ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết tập hút toàn cục sử zn = S(tmn − tn )ym Khi rõ ràng {zn } ⊂ B a = lim S(τmn )ymn = lim S(tn )zn n→+∞ n→+∞ (2.4) Hệ thức (2.3) kéo theo dist(an , S(tn )zn ) ≥ dist(an , S(tn )B) ≥ δ Điều xảy (theo (2.4)) Điều giả sử sai Định lý chứng minh Từ Định lý 2.1 Định lý 2.2 ta có hệ sau Hệ Giả sử (X, S(t)) hệ động lực tiêu hao compact tiệm cận Khi tập hút tồn cục A có tính chất lim dist(S(t)B, A) = t→+∞ với tập hấp thụ bị chặn B hệ (X, S(t)) 2.2 Cấu trúc tập hút toàn cục 2.2.1 Trường hợp tổng quát Định lý 2.3 Cho hệ động lực (X, S(t)) có tập hút tồn cục A Nếu S(t) đơn ánh A quỹ đạo A xác định với t ∈ R S(A) = A với t ∈ R Chứng minh Theo Định lý 2.1, ω(B) tập bất biến nên với u ∈ ω(B) ta có u ∈ S(t)ω(B) Vì S(t) đơn ánh nên tồn phần tử v ∈ ω(B) cho S(t)v = u Nếu t < ta định Phạm Thị Thanh Hoa 30 K36C Tốn ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết tập hút toàn cục nghĩa S(−t)v = u Như S(t) xác định với t ∈ R S(t)A = A với t ∈ R Định lý 2.4 Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút tồn cục A Khi quỹ đạo đầy đủ bị chặn (nói riêng điểm dừng quỹ đạo tuần hồn, có) nằm A Hơn nữa, S(t) đơn ánh A A hợp tất quỹ đạo đầy đủ bị chặn Chứng minh Giả sử tồn quỹ đạo đầy đủ bị chặn Γ mà khơng nằm A Khi với ε > tồn x ∈ Γ cho x ∈ N(A, ε) N(A, ε) ký hiệu ε−lân cận A Vì A tập hút tồn cục nên A hút tập bị chặn, nên với t đủ lớn ta có dist(S(t)Γ, A) < ε hay dist(S(t)z, A) < ε với z ∈ Γ (2.5) Do Γ quỹ đạo đầy đủ nên x = S(t)x với x ∈ Γ Điều mâu thuẫn với (2.5) Nếu x ∈ A S(t) đơn ánh quỹ đạo xuyên qua x xác định với t ∈ R (theo Định lý 2.3) nằm A A bất biến Bởi vậy, A gồm quỹ đạo đầy đủ bị chặn Định lý chứng minh Để khảo sát kĩ cấu trúc tập hút toàn cục, ta cần khái niệm đa tạp ổn định đa tạp không ổn định Định nghĩa 2.3 Cho hệ động lực (X, S(t)) Phạm Thị Thanh Hoa 31 K36C Toán ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết tập hút tồn cục Giả sử z điểm dừng hệ động lực (X, S(t)) Ta định nghĩa • Đa tạp không ổn định z tập hợp Wu (z) = {u0 ∈ X : S(t)u0 xác định với t, S(−t)u0 → z t → +∞} • Đa tạp ổn định z tập hợp Ws (z) = {u0 ∈ X : S(t)u0 → z t → +∞} Giả sử Y tập bất biến hệ động lực (X, S(t)) Ta định nghĩa • Đa tạp không ổn định tập Y tập Wu (Y ) = {u0 ∈ X : S(t)u0 xác định với t, dist(S(−t)u0 , Y ) → t → ∞} Định lý 2.5 Nếu Y tập compact bất biến hệ động lực (X, S(t)) Wu (Y ) ⊂ A Chứng minh Lấy u thuộc Wu (Y ) Khi đó, theo định nghĩa u(t) Khi t → −∞ ta có ta có u nằm quỹ đạo đầy đủ t∈R dist(u(t), Y ) → t → +∞ ta có dist(u(t), A) → 0, quỹ đạo u(t) bị chặn Bởi hàm u nằm quỹ đạo đầy đủ bị chặn Từ Định lý 2.4 ta suy u ∈ A Mà u lấy bầt kì thuộc Wu (Y ) nên ta có Wu (Y ) ⊂ A Phạm Thị Thanh Hoa 32 K36C Tốn ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết tập hút toàn cục 2.2.2 Trường hợp hệ Giả sử E tập điểm cân hệ động lực (X, S(t)) Từ Định lý 2.5 ta biết tập hút toàn cục A chứa đa tạp không ổn định W u (E) Sau ta số trường hợp, tập hút tồn cục A tập W (E) Trước hết ta đưa định nghĩa Định nghĩa 2.4 Giả sử Y tập bất biến dương hệ động lực (X,S(t)), tức S(t)Y ⊂ Y, ∀t ≥ Hàm liên tục Φ(y) xác định Y gọi hàm Lyapunov hệ động lực (X, S(t)) Y điều kiện sau thỏa mãn: Với y ∈ Y , hàm Φ(S(t)y) hàm không tăng t ≥ Nếu với t0 > y ∈ X đó, phương trình Φ(y) = Φ(S(t0 )y) thỏa mãn y = S(t)y với t ≥ 0, tức y điểm dừng hệ động lực (X, S(t)) Định nghĩa 2.5 Hệ động lực (X, S(t)) gọi hệ có hàm Lyapunov Định lý 2.6 Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút tồn cục A có hàm Lyapunov Φ(y) A Khi A = Wu (E), E tập điểm dừng hệ động lực Chứng minh Giả sử y ∈ A Ta xét quỹ đạo γ xuyên qua y Ký hiệu γ = {u(t) : t ∈ R} Phạm Thị Thanh Hoa 33 K36C Toán ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết tập hút toàn cục γτ− = {u(t) : t ≤ τ } Do γτ− ⊂ A A tập compact (vì A tập hút tồn cục hệ động lực (X, S(t))) nên bao đóng [γτ− ] tập compact X Từ suy tập α−giới hạn γτ− α(y) = τ ∀u ∈ α(γ) Điều có nghĩa α(γ) nằm tập điểm dừng E Dễ thấy lim dist(u(t), α(γ)) = t→−∞ Do u ∈ W n (E), suy A ⊂ W n (E) Theo Định lý 2.5 ta lại có Wu (E) ⊂ A Vậy A = Wu (E) Định lý chứng minh Phạm Thị Thanh Hoa 34 K36C Tốn ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết tập hút tồn cục 2.2.3 Ví dụ Xét hệ Lorenz  dx   = −σx + σy   dt   dy = rx − y − xz  dt      dz = xy − bz dt σ, r, b số dương Nhận thấy hàm f1 (x, y, z) = −σx + σy, f2 (x, y, z) = rx − y − xz, f3 (x, y, z) = xy − bz hàm liên tục R3 đạo hàm chúng liên tục R3 nên theo định lý Cauchy-Peano hệ Lorenz có nghiệm với (x0 , y0 , z0 ) thuộc R3 Với t ≥ dựng họ ánh xạ S(t) S(t) : R3 → R3 V0 → V (t) = V (x(t), y(t), z(t)) = x2 +y +(z −r−σ)2 V0 = (x0 , y0 , z0 ) điều kiện ban đầu tốn Khi (R3 , S(t)) hệ động lực sinh hệ phương trình Lorenz Thật vậy, •S(0) = I • Do phụ thuộc liên tục nghiệm vào điều kiện ban đầu nên với V0 ∈ R3 t, s ≥ ta có: S(t + s)V0 = V (t + s) = V (x(t + s), y(t + s), z(t + s)) = V (x(t) ◦ x(s), (y(t) ◦ y(s), (z(t) ◦ z(s)) = (S(t) ◦ S(s))V0 • Với t ≥ ta có S(t) ∈ C(R3 , R3 ) Phạm Thị Thanh Hoa 35 K36C Tốn ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết tập hút tồn cục • Với V0 ∈ R3 , V0 → S(t)V0 ∈ C((0, +∞), R3 ) Vậy (R3 , S(t)) hệ động lực sinh bới hệ Lorenz Ta biết tập đóng bị chặn R3 compact nên ta cần tồn tập hấp thụ bị chặn Ta tồn hình cầu đủ lớn tập hấp thụ hệ động lực Xét hàm: V (x, y, z) = x2 + y + (z − r − σ)2 Đạo hàm dọc theo quỹ đạo, ta có dV = −2σx2 − 2y − 2bz + 2b(r + σ)z dt dV ⇔ = −2σx2 − 2y − b(z − r − σ)2 − bz + b(r + σ)2 dt dV ⇔ ≤ αx2 − αy − α(z − r − σ)2 − bz + b(r + σ)2 dt dV ⇔ ≤ −α(x2 + y + (z − r − σ)2 ) + b(r + σ)2 dt dV ⇔ ≤ −αV + b(r + σ)2 dt dV ⇔ eαt ≤ −αeαt V + beαt (r + σ)2 dt t t t dV ⇔ eαs ds ≤ −αeαs V ds + beαs (r + σ)2 ds ds 0 αt be (r + σ)2 be(r + σ)2 ⇔ eαt V (t) − V (0) ≤ − α α αt 2 be (r + σ) be(r + σ) ⇔ eαt V (t) ≤ − + V (0) α α b(r + σ)2 b(r + σ)2 e−αt − + V (0)e−αt ⇔ V (t) ≤ α α α = {2σ, 2, b} Khi t → ∞ ta có: V (t) ≤ Phạm Thị Thanh Hoa 2b(r + σ)2 α 36 K36C Tốn ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết tập hút toàn cục b(r + σ)2 ta ln có V (t) ≤ R(t), ∀t ≥ t0 Đặt R(t) = α Suy S(t)V0 ∈ B(0, R(t)), t ≥ t0 Hình cầu B(0, R(t)) tập hấp thụ bị chặn hệ động lực (R3 , S(t)) Từ suy hệ Lorenz có tập hút tồn cục compact liên thông không gian R3 Trong phần thấy ý nghĩa quan trọng tập hút toàn cục Định lý sau quỹ đạo tập hút toàn cục định dáng điệu tiệm cận có quỹ đạo riêng lẻ, nghĩa sau thời điểm đủ lớn, quỹ đạo phương trình gốc trơng giống quỹ đạo tập hút tồn cục khoảng thời gian đủ dài 2.2.4 Xác định dáng điệu tiệm cận tập hút toàn cục Định lý 2.7 Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A Cho trước quỹ đạo u(t) = S(t)u0 , sai số ε > khoảng thời gian T > Khi tồn thời điểm τ = τ (ε, T ) phần tử v0 ∈ A cho u(τ + t) − S(t)v0 ≤ ε với ≤ t ≤ T Chứng minh Do quỹ đạo phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Phạm Thị Thanh Hoa 37 K36C Tốn ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết tập hút toàn cục với ε, T > cho trước, tồn δ(ε, T ) cho u0 ∈ A u0 − v0 ≤ δ(ε, T ) ⇒ u(t) − v(t) ≤ ε, t ∈ [0, T ] (2.6) Ta xét quỹ đạo v(t) A với v(0) = v0 Khi u(t) (coi quỹ đạo xuất phát từ u(τ ) ) v(t) = S(t)v0 thỏa mãn, (2.6) , u(τ + t) − S(t)v0 ≤ ε Định lý để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân ta cần nghiên cứu điểm thuộc tập hút toàn cục phương trình Phạm Thị Thanh Hoa 38 K36C Tốn ĐHSP Hà Nội Kết luận Trong chương khóa luận này, tơi trình bày kiến thức giải tích hàm, kiến thức không gian Metric, không gian Banach, nửa nhóm liên tục khơng gian Banach hệ động lực Từ kiến thức sở đó, chương tiến hành nghiên cứu số kiến thức chung tập hút toàn cục Trong chương tơi trình bày định nghĩa tập hút toàn cục, định lý tồn cấu trúc tập hút toàn cục, ý nghĩa tập hút toàn cục Tuy nhiên hạn chế thời gian vốn kiến thức chun mơn nên khóa luận chưa nghiên cứu sâu số tính chất liên quan đến đề tài Rất mong quý thầy giáo bạn sinh viên đóng góp cho khóa luận hồn chỉnh Một lần xin chân thành cảm ơn tất quý thầy cô giáo bạn giúp đỡ suốt q trình nghiên cứu hồn thành khóa luận Phạm Thị Thanh Hoa 39 K36C Toán ĐHSP Hà Nội Tài liệu tham khảo [1] Cung Thế Anh (2012), Cơ sở lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều, NXB Đại học Sư phạm [2] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải (2001),Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm tập II, NXB Giáo dục [3] Jame C.Robinson(2001), Infinite-Dimensional Dynamical systems, Cambridge University Press Phạm Thị Thanh Hoa 40 K36C Toán ĐHSP Hà Nội ... phần tử tập bất biến hệ động lực • Chương khóa luận tập trung trình bày nội dung tập hút toàn cục: định nghĩa tập hút toàn cục, định lý tồn cấu trúc tập hút toàn cục, ý nghĩa tập hút toàn cục ví... t→+∞ với tập B bị chặn X Phạm Thị Thanh Hoa 20 K36C Toán ĐHSP Hà Nội Chương Tập hút toàn cục 2.1 Định nghĩa tồn tập hút toàn cục Định nghĩa 2.1 Một tập khác rỗng A X gọi tập hút toàn cục hệ động... Cho B tập đóng hút tập bị chặn X A tập hút toàn cục hệ động lực (X, S(t)) nên A tập đóng bị chặn Mà B hút tập bị chặn X nên ta có lim (S(t)A, B) = t→+∞ Mặt khác S(t)A = A (do A tập hút toàn cục