3.2 Một phương pháp khác thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính
3.2.2 Trường hợp Φe i là độc lập
Trong mục này ta luôn giả định rằng Φ là một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ X vào Y sao cho dãy các biến ngẫu nhiên Y−giá trị (Φei) là độc lập. Ví dụ, nếu Φ là một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ L2[0; 1] vào R được xác định bởi tích phân ngẫu nhiên Wiener
Φx= Z 1
0
x(t)dW(t)
khi đó dãy (Φei) là độc lập với (en) một cơ sở trực chuẩn trong L2[0; 1] (xem ví dụ 3.2.2).
Định lý 3.2.3. Cho Y là không gian Hilbert. Ký hiệu Fn là σ−đại số sinh bởi (Φe1, ...,Φen). Khi đó mỗi u ∈ LX0 (Ω) điều kiện: (u, e∗n) là Fn−1−đo được, với mỗi n >1 là điều kiện đủ để có u∈ D(Φ).
Chứng minh. Trước tiên ta có bổ đề sau:
Bổ đề 3.2.2. Cho Y là một không gian Hilbert và (zn) là một dãy biến ngẫu nhiên cú giỏ trị trong Y. Ký hiệu Fn là σ−đại số sinh bởi (z1, ..., zn) vààn(ω) là phõn phối
đều cú điều kiện của zn cho bởi Fn−1. Giả sử rằng với hầu khắp nơi ω dóy (àn) là khả tích theo nghĩa: Nếu (ξn) là một dãy biến ngẫu nhiên Y−giá trị độc lập xác định trờn một khụng gian xỏc suất sao cho phõn phối của ξn là àn(ω), khi đú chuỗi P
ξn
hội tụ trongLY0(Ω). Với điều kiện này, chuỗi P
n
zn hội tụ trong LY0(Ω).
Quay trở lại chứng minh định lý 3.2.3, cho àn(ω) là phõn phối đều cú điều kiện của zn= (u, e∗n)Φen cho bởi Fn−1. Vì (u, e∗n) là Fn−1−đo được và Φen là độc lập với Fn−1 nên ta có
àn(ω)(E) =P{(u, e∗n)Φen∈E|Fn−1}=P{ω0 : (u(ω), e∗n)Φen(ω0)∈E} (3.13) Gọi νn(x) là phân phối của biến ngẫu nhiên(x, e∗n)Φen. Từ (3.13) ta có
àn(ω) =νn[u(ω)] (3.14) Vì mỗi x∈ X dãy {(x, e∗n)Φen}là độc lập và chuỗi P
n
(x, e∗n)Φen hội tụ trong LY0(Ω) nờn từ (3.14) dẫn đến dóy (àn) là khả tớch. Từ bổ đề 3.2.2, ta kết luận được rằng chuỗi P
n
(u, e∗n)Φen hội tụ trong LY0 (Ω) hay ta có u∈ D(Φ).
Nhớ lại rằng, một không gian Banach được gọi làp−trơn đều (1< p≤2) nếu mô đun của tính trơn xác định bởi công thức
ρ(t) = sup
kxk=1,kyk=t
kx+yk+kx−yk −2 2
thỏa mãn điều kiệnρ(t) = 0(tp).
Một không gian Banach được gọi là p−có thể trơn nếu nó đẳng cấu với một không gian p−trơn đều. Các không gianLp, lp là các không gian min(2, p)−có thể trơn.
Định lý 3.2.4. XétX =lp vàY là một không gian Banach p−có thể trơn (1< p≤2) và (ei) là cơ sở trực chuẩn trong lp. Giả sử rằng EkΦxkp < ∞ với mọi x ∈ X và EΦei = 0 với mọi i. Khi đó, mỗi u∈LX0 (Ω) điều kiện đủ để u∈ D(Φ) là
(u, e∗n) là Fn−1 −đo được, với mỗi n > 1 (3.15)
Chứng minh. Cho t, >0, đặt:
umn= Xn i=m
αiei, αi = (u, e∗i),
Ci ={ω : Xi k=m
|αk|p ≤p}, ξi =αi1Ci
và u = Pn
i=m
ξiei. Ta có:
P{kΨumnk> t;kumnk ≤}=P{k Xn k=m
αkΦekk> t,kumnk ≤}=
=P{k Xn k=m
ξkΦekk> t,kumnk ≤} ≤P{Ψu > t} (3.16) vì từ bất đẳng thức kumnk ≤ dẫn đếnαi =ξi với mọi m ≤i ≤n.
Giả sử rằng αi làFi−1−đo được dẫn đến ξi cũng làFi−1−đo được. Vì EΦei = 0, dãy (ξiΦei,Fi)ni=m tạo thành một hiệu martingaleY−giá trị. Vì Y là p−có thể trơn nên theo bất đẳng thức Assoad - Pisier (xem 9.), tồn tại một hằng số C1 >0 sao cho
EkΨukp =E
Xn i=m
ξiΦei
p
≤C1
Xn i=m
EkξiΦeikp
Vì EkΦxkp < ∞ nên toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ là ánh xạ từ X vào LYp(Ω).
Theo định lý đồ thị đóng thìΦ là liên tục. Do đó tồn tại một hằng sốC2>0sao cho với mọix∈X thì EkΦxkp ≤C2kxkp. Đặc biệt,EkΦekkp ≤C2 với mọi k. Do đó
EkξiΦeikp =E{|ξi|pE{kΦeikpFn−1}}=E|ξi|pEkΦeikp ≤C2Ekξikp (3.17) Vì thế nên
EkΨukp ≤C1C2
Xn i=m
Ekξikp =CEkukp, ở đó C =C1C2
Ta cókukp = Pn
k=m|αk|p1Ck. Cố định ω, nếu |αm(ω)|p > p thì u(ω) = 0.
Ngược lại, cho i(ω) là chỉ số lớn nhất sao cho
i(ω)P
k=m|αk(ω)|p ≤p. Khi đó ku(ω)kp =
i(ω)P
k=1|αk(ω)|p ≤p. Do đó, ta cókukp ≤p dẫn đến EkΨukp ≤Cp (3.18)
Theo bất đẳng thức Chebyshev ta có
P{kΨuk> t} ≤ EkΨukp
tp (3.19) Từ (3.16) và (3.19) ta được
P{kΨumnk> t;kumnk ≤} ≤ Cp
tp (3.20) Do đó ta có
P{kΨumnk> t} ≤P{kΨumnk> t;kumnk ≤}+P{kumnk> } ≤
≤ Cp
tp +P{kumnk> } Cho m, n→ ∞ta được
lim sup
m,n→∞
P{kΨumnk> t} ≤ Cp tp Cho →0 ta được lim sup
m,n→∞
P{kΨumnk> t}= 0 hay ta có
m,n→∞lim P
k Xn i=m
(u, e∗i)Φeik> t
= 0 Từ đây suy ra u∈ D(Φ).
Định lý 3.2.5. Cho Y là một không gian Banach p−có thể trơn (1< p≤2). Giả sử rằngEkΦxkp <∞với mọi x∈X vàEΦei = 0với mọii. Khi đó, với mỗiu∈LX0 (Ω), điều kiện:
(u, e∗n) là Fn−1 −đo được, với mỗi n > 1 (3.21)
và X
n
E|(u, e∗n)|p <∞ (3.22) sẽ dẫn đến u∈ D(Φ).
Chứng minh. Đặt αi = (u, e∗k). Từ (3.21), từ tính độc lập của (Φei) và từ đẳng thức EΦei = 0 dẫn đến (αiΦei,Fi) có dạng là một hiệu martingale Y−giá trị. Vì Y là p−có thể trơn nên theo bất đẳng thức Assoad - Pisier tồn tại một hằng số C1 > 0 sao cho
Ek Xn i=m
αiΦeikp ≤C1EkαiΦeikp (3.23)
Vì EkΦxkp < ∞ nên toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ là ánh xạ từ X vào LYp(Ω).
Theo định lý đồ thị đóng thìΦ là liên tục. Do đó tồn tại một hằng sốC2>0sao cho với mọix∈X thì EkΦxkp ≤C2kxkp. Đặc biệt,EkΦekkp ≤C2 với mọi k. Vì thế nên
EkαiΦeikp =E{|αi|pE{ΦeikpFn−1}}=E|αi|pEkΦeikp ≤C2Ekαikp (3.24) Từ (3.23) và (3.24) ta được
Ek Xn i=m
αiΦeikp ≤C1C2
Xn i=m
Ekαikp (3.25)
Từ (3.22) và (3.25) kết luận được rằng chuỗi P∞
i=1
αiΦei hội tụ trong LYp(Ω), do đó hội tụ trong LY0(Ω).
Chú ý: nếu thiếu điều kiện (3.21) thì điều kiện (3.22) không suy ra được rằng u ∈ D(Φ). Chẳng hạn, trong ví dụ 3.2.2, p = 2 và toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ thỏa mãn E|Φx|2 <∞,EΦei = 0 và Y = R là 2−có thể trơn. Điều kiện (3.22) thỏa mãn với biến ngẫu nhiên u vì
X
k
E|(u, e∗k)|2 =X
k
1 k2 <∞ nhưng u /∈ D(Φ).
Kết luận
Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu một số vấn đề của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính như tính bị chặn, sự hội tụ và phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính. Không kể những khái niệm cơ bản và kiến thức chuẩn bị, luận văn thu được các kết quả chính sau đây:
1) Một số vấn đề về toán tử ngẫu nhiên tuyến tính
2) Một số phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Mặc dù rất cố gắng nhưng luận văn sẽ không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tác giả luận văn rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp để bổ sung hoàn thiện đề tài cũng như nhận thức của tác giả.
Lời cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo đã truyền đạt những kiến thức quý báu và tinh thần làm việc hăng say trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của mình. Đặc biệt là người hướng dẫn khoa học GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng, thầy đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn đề tài giúp tác giả hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, ngày 24 tháng 09 năm 2015 Học viên
Vũ Danh Được
Tài liệu tham khảo
1. Skorokhod, A. V. (1984), Random Linear Operators, Reidel Publishing Com- pany, Dordrecht.
2. Gikhman, I. I., Skorokhod, A. V. (1975), Theory of Random Processes, I.
Moscow, ’Nauka’, pp. 664.
3. Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2009), Lý thuyết xác suất, Nhà Xuất Bản Giáo Dục, Hà Nội.
4. Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội.
5. Thang, D. H., Thinh, N. (2004), Random bounded operators and their exten- sion, Kyushu J. Math, 58, pp. 257 - 276.
6. Thang, D. H., Cuong, T. M. (2009), Some procedures for extending random operators.
7. Hoffmann - Jorgensen, J. (1977), Probability in Banach spaces,Lecture Notes in Math, 598, pp. 1 - 186.
8. Dorogovtsev, A. A. (1986), On application of Gaussian random elements, Theor. veroyat. i primen., 30, pp. 812 - 814.
9. Woyczynski, W. A. (1978), Geometry and martingales in Banach space II, Advances in Probab., 4, pp. 267 - 517.
10. Thang, D. H. (1987), Random operator in Banach space, Probab. Math.
Statist., 8, pp. 155 - 157.
11. Thang, D. H., Cuong, T. M. (2009), A method of extending random operators,