2.1 Các khái niệm cơ bản
2.1.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 2.1.3. Cho X, Y là các không gian Banach tách được.
1. Một ánh xạ Φ :X 7−→LY0(Ω) được gọi là ánh xạ ngẫu nhiên từ X vào Y hay ánh xạ ngẫu nhiên Y−giá trị với miền xác định là X.
2. Một ánh xạ ngẫu nhiên Φ : X 7−→ Y được gọi là ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính nếu ánh xạ Φ : X 7−→ LY0(Ω) là tuyến tính, chẳng hạn như với x1, x2 ∈ X, λ1, λ2 ∈R ta có
Φ(λ1x1+λ2x2) =λ1Φ(x1) +λ2Φ(x2) h.c.c
3. Một ánh xạ ngẫu nhiên Φ :X 7−→Y được gọi là ngẫu nhiên liên tục nếu p− lim
x→x0
Φx= Φx0
nghĩa là Φx hội tụ đến Φx0 theo xác suất khi x→x0.
4. Một ánh xạ ngẫu nhiên Φ :X 7−→Y được gọi là một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính nếu nó tuyến tính và ngẫu nhiên liên tục.
5. Họ (ui, i∈ I) của các biến ngẫu nhiên Y−giá trị được gọi là bị chặn theo xác suất nếu
t→∞limsup
i∈I
P{kuik> t}= 0
và gọi là bị chặn h.c.c nếu tồn tại một biến ngẫu nhiên giá trị thực k(ω) sao cho với mỗi i∈I thì
kui(ω)k ≤k(ω) h.c.c
Định nghĩa 2.1.4. Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ :X 7−→Y gọi là bị chặn nếu họ (Φx, x∈ B, B ={x ∈X : kxk ≤ 1}) là bị chặn, chẳng hạn như tồn tại một biến ngẫu nhiên giá trị thực k(ω) sao cho mỗi x∈B
kΦx(ω)k ≤k(ω) h.c.c Tương đương với mỗi x∈X
kΦx(ω)k ≤k(ω)kxk h.c.c
Định lý 2.1.3. Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ :X →Y là bị chặn khi và chỉ khi Φ có bản sao thuộc LX0 (Ω).
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử rằng toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ bị chặn.
ChoM là tập hợp trù mật, đếm được trong X vàZ là tập hợp các tổ hợp tuyến tính có dạng Pn
i=1
rixi, trong đó xi ∈M, ri ∈ Q.
Rõ ràng Z là một không gian con tuyến tính trong Q và trù mật trong X. Ta cần tìm tập D1 có xác suất bằng 1 sao cho mỗi ω ∈D1 thì:
Φ(r1z1+r2z2)(ω) =r1Φz1(ω) +r2Φz2(ω) ∀z1, z2 ∈Z;r1, r2 ∈Q (2.6)
Khi đó tồn tại một tậpD2 có xác suất bằng 1 sao cho mỗi ω∈D2 thì:
kΦz(ω)k ≤k(ω).kzk ∀z ∈Z Đặt D=D1T
D2, với ω∈D xác định T(ω) :Z →Y vớiT(ω)z = Φz(ω).
Từ (2.6) suy raT(ω)là tuyến tính trên Z.
Hơn nữa, T(ω)liên tục đều trên Z. Thật vậy, cho z1, z2 ∈Z thì kT(ω)z1−T(ω)z2k=kΦ(z1−z2)(ω)k ≤k(ω).kz1−z2k
Do đó T(ω) là một mở rộng tới một ánh xạ tuyến tính liên tục T(ω) : X → Y hay T(ω)∈L(X, Y). Đặt T(ω) = T0 vớiω /∈D. Ta có T : Ω →L(X, Y).
Suy ra mỗi x∈X thì: Φx(ω) =T(ω)xh.c.c.
Cho dãy (zn) ∈ Z sao cho limzn = x. Mỗi ω ∈ D thì Φzn(ω) = T(ω)zn,∀n. Do đó lim Φzn(ω) = limT(x)zn=T(ω)x,∀ω∈D. Suy raΦzn hội tụ h.c.c tớiT(ω)x. Nhưng p−lim Φzn = Φx hay Φx(ω) =T(ω)x h.c.c.
Từ đó ta có∀x∈X :P{Φx=T x}= 1h.c.c. HayT là một bản sao của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ, T ∈LX0 (Ω).
Điều kiện đủ. Giả sử toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ có bản sao là T ∈ LX0 (Ω).
Cho dãy (xn) trù mật trong hình cầu đơn vị B = {x ∈ X : kxk ≤ 1} và k(ω) = sup
n kΦxn(ω)k. Khi đók(ω) là đo được.
Từ giả thiết suy ra tồn tại tậpDcó xác suất bằng1sao cho mỗiω∈Dthì Φxn(ω) = T(ω)xn,∀n. Cố định ω∈D ta có:
k(ω) = sup
n kΦxn(ω)k= sup
n kT(ω)xnk=kT(ω)k<+∞
Điều này có nghĩa là k(ω) là một biến ngẫu nhiên và kT(ω)k =k(ω) h.c.c. Với mỗi x∈X thì
kΦx(ω)k=kT(ω)xk ≤ kT(ω)k.kxk=k(ω).kxk h.c.c
Bổ đề 2.1.2. Cho X là không gian Banach với cơ sở (en),(e∗n) là cơ sở tương ứng của không gian Y và Φ :X → Y là một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính. Khi đó Φ bị chặn khi và chỉ khi tồn tại một tập D đo được có xác suất bằng 1 sao cho mỗiω ∈D và mỗi x∈X chuỗi P∞
k=1
(x, e∗k)Φek(ω) hội tụ trong Y.
Chứng minh. Giả sử Φ là toán tử bị chặn thì theo chứng minh của định lý 2.1.3 sẽ tồn tại một ánh xạ T : Ω →L(X, Y) và một tập đo được D có xác suất bằng 1 sao cho Φek(ω) =T(ω)ek,∀ek,∀ω∈D. Khi đó mỗi ω ∈Dvà mỗi x∈X ta có:
X∞ k=1
(x, e∗k)Φek(ω) = X∞
k=1
(x, e∗k)T(ω)ek =T(ω)X∞
k=1
(x, e∗k)ek
=T(ω)x
Ngược lại vớiω /∈D, đặtT(ω) =T0 và mỗiω ∈Dta xác định ánh xạT(ω) :X →Y bởi T(ω)x=
P∞ k=1
(x, e∗k)Φek(ω). Theo định lý Banach - Steinhaus thì T(ω)∈L(X, Y).
Từ đó ta có ánh xạT : Ω →L(X, Y) Vì x= P∞
k=1
(x, e∗k)ek, ta có Φx(ω) = P∞
k=1
(x, e∗k)Φek(ω), ở đó chuỗi bên phải hội tụ theo xác suất.
Nhưng chuỗi này hội tụ h.c.c tới biến ngẫu nhiên Y-giá trị ω 7−→ T(ω)x. Do đó Φx(ω) = T(ω)x h.c.c và theo chứng minh của định lý 2.1.3 thì toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φlà bị chặn.
Định lý 2.1.4. Cho X =lp(1≤p <+∞) và Φ là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ X →Y.
1. Điều kiện cần để Φbị chặn là sup
n kΦenk<+∞ h.c.c (2.7) 2. Với p > 1, Φ bị chặn nếu P∞
n=1kΦenkq < +∞ h.c.c (2.8), trong đó (en) là hệ vectơ chuẩn trong lp và q là phần tử liên hợp của p. Nếu Y có hữu hạn chiều thì (2.8) là điều kiện cần.
3. Với p= 1, điều kiện (2.7) là điều kiện đủ để Φ là toán tử bị chặn.
Chứng minh. 1. Được suy ra từ định nghĩa 2.1.4.
2. Giả sử có (2.8), đặt D = {ω : P∞
n=1kΦen(ω)kq < +∞}. Suy ra với ω ∈ D, x ∈ X = lp và theo bất đẳng thức Holder ta có: P∞
n=1k(x, en)Φen(ω)k < +∞, kéo theo P∞
n=1
(x, en)Φen(ω) hội tụ. Do đó theo bổ đề 2.1.2 thì Φ là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn.
Ngược lại, giả sửΦ là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn vàY =Rk;h1, h2, ..., hk
là cơ sở trực chuẩn trong Rk.
XétY =R, theo chứng minh của định lý 2.1.3 thì tồn tại một biến ngẫu nhiênlq−giá trịT(ω)sao choΦx(ω) =T(ω).xh.c.c. Do đó tồn tại một tập D có xác suất bằng 1 sao cho Φen(ω) = (T(ω), en)∀en và∀ω∈D.
Nên ta cóP
n kΦen(ω)kq=P
n |(T(ω), en)|q =kT(ω)kq hay là P
n kΦen(ω)k<+∞ Bây giờ ta xét mỗi hi mà toán tử ngẫu nhiên tuyến tính x 7−→ (Φx, hi) là bị chặn.
Theo trên ta có P
|(Φen, hj)|q < +∞ h.c.c. Rõ ràng có một hằng số C sao cho kykq ≤C.
Pk
j=1|(y, hk)|q,∀y∈Rk. Do đó X∞
n=1
kΦenkq ≤C.
Xk j=1
X∞ n=1
|(Φen, hj)|q <+∞ h.c.c
3. Đặt D = {ω : sup
n kΦen(ω)k < +∞}. Dễ thấy chuỗi P∞
n=1
Φen(ω) hội tụ với mỗi ω ∈D. Vì P(D) = 1 nên theo bổ đề 2.1.2 thì Φlà toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn.