3.2 Một phương pháp khác thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính
3.2.1 Miền xác định của thác triển của một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính
Cho Y là không gian Banach tách được,X là không gian Banach tách được với cơ sở Schauder e = (en)∞n=1. Cơ sở liên hợp của e, ký hiệu là e∗ = (e∗n)∞n=1. Với mỗi x ∈X ta có
x= X∞ n=1
(x, e∗n)en
Xét toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ :X →LY0(Ω), ta được Φx=
X∞ n=1
(x, e∗n)Φen
và là chuỗi hội tụ theo xác suất.
Ký hiệu D(Φ) là tập hợp các biến ngẫu nhiên X−giá trị usao cho chuỗi X∞
n=1
(u, e∗n)Φen (3.9) hội tụ theo xác suất. Hiển nhiên X ⊂ D(Φ)⊂LX0 (Ω).
Định nghĩa 3.2.1. D(Φ) được gọi là miền xác định của thác triển của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ.
Nếu u ∈ D(Φ) thì tổng (3.9) được ký hiệu bởi Ψu (với Ψ : D(Φ) → LY0(Ω)) và được hiểu là tác động củaΦ lên biến ngẫu nhiên u.
Mệnh đề 3.2.1. Ta có các tính chất sau:
1. D(Φ) là không gian con tuyến tính của LX0 (Ω) và Ψ : D(Φ) →LY0(Ω) là tuyến tính.
2. Nếu α∈LR0(Ω) và u∈ D(Φ) thì αu∈ D(Φ) và Ψ(αu) =αΨu.
Đặc biệt, nếu u có dạng u = Pn
i=1
ξixi, xi ∈ X, ξi ∈ LR0(Ω) thì u ∈ D(Φ) và Ψ(u) =
Pn i=1
ξiΦxi
3. Nếu u là biến ngẫu nhiên có giá trị đếm được u= P∞
i=11Eixi khi đó u∈ D(Φ) và Ψ(u) =
X∞ i=1
1EiΦxi = Φ(u(ω))(ω)
không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở (en). Đặc biệt, D(Φ) là trù mật trong LX0 (Ω).
Chứng minh. 1.Ψ tuyến tính là điều hiển nhiên.
2. Ta dễ dàng chứng minh được tính chất: Nếuα ∈LR0(Ω), Xn ∈LX0 (Ω), Xn P
→X thì αXn P
→αX và nếu αn∈LR0(Ω), X ∈LX0 (Ω), αn P
→α thì αnX →P αX.
Đặt Yn= Pn
i=1
(αu, e∗i)Φei, Xn= Pn
i=1
(u, e∗i)Φei. Ta có Yn=αXn. Bởi vìXn P
→Ψ(u)nên từ tính chất trên ta cóYn =αnX →P αΨ(u). Do đóαu∈ D(Φ) và Ψ(αu) =αΨ(u).
3. Đặt
Zn= Xn
i=1
(u, e∗k)Φek, Z = X∞
i=1
1EiΦxi = Φ(u(ω))(ω) Ta cần chứng minh Zn P
→Z. Với mỗii ta có p−lim
n 1EiZn=1EiΦxi =1EiZ. Do vậy:
P(kZn−Zk> t) = X∞
i=1
P(kZn−Zk> t, Ei)
≤ XN
i=1
P(k1EiZn−1EiZk> t) + X∞ i=N+1
P(Ei) Cho n → ∞và N → ∞ ta được lim
n P(kZn−Zk> t) = 0.
Bổ đề 3.2.1. Cho (αn) là dãy chuẩn r−dừng (1 < r < 2), (cn) là dãy số thực, 1≤s <∞, s 6=r và en = (0, ...,0,1, ...). Khi đó chuỗi
X∞ n=1
αncnen
hội tụ trongls là điều kiện cần và đủ để 1. (cn)∈ls ứng với trường hợp s < r.
2. (cn)∈lr ứng với trường hợp s > r.
Ví dụ 3.2.1. Cho X = lp, Y = lt và (αn) là dãy chuẩn r−dừng (1 < r < 2), ở đó 1< p < r < t <2p và en = (0, ...,0,1, ...). Ta có các tính chất:
1. Với mỗix∈X thì chuỗi X∞ n=1
αn(x, e∗n)en (3.10)
hội tụ h.c.c trong Y =lt và xác định được một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ :X →Y.
2. Với mỗi dãy c = (cn) ∈ lp chuỗi P∞
n=1
αncnen hội tụ trong X = lp và xác định được một biến ngẫu nhiênX−giá trị u.
3. u∈ D(Φ) nếu và chỉ nếu (cn)∈lr/2 (vì r < 2p nên lr/2 ⊂lr).
Ta chứng minh các kết luận của ví dụ 3.2.1.
1. P
|(x, e∗n)|p <∞ và p < r dẫn đến P
|(x, e∗n)|r <∞. Bởi vì t > r nên theo bổ đề 3.2.1 thì chuỗi (3.10) hội tụ h.c.c trong không gian Y =lt. Công thức
Φx= X∞ n=1
αn(x, e∗n)en (3.11) xác định một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φtừ X vàoY. 2. Vì p < r, theo bổ đề 3.2.1 thì chuỗi P∞
n=1
αncnen hội tụ trong không gian X =lp. 3. Ta có
X∞ n=1
(u, e∗n)Φen= X∞ n=1
α2ncnen
Do đó u∈ D(Φ) khi và chỉ khi P∞
n=1
α2tn|cn|t<∞ hay là chuỗi X∞
n=1
αn
p|cn|en
hội tụ trong không gian l2t. Vì 2t > r nên theo bổ đề 3.2.1 ta kết luận được rằng u∈ D(Φ) khi và chỉ khi (p
|cn|)∈lr, khi đó (cn)∈lr/2.
Sau đây ta xét một ví dụ chứng tỏ rằng D(Φ) không cần thiết phải là một không gian con đóng của LX0 (Ω) và ánh xạ Ψ :D(Φ) →LY0(Ω) không cần thiết liên tục.
Ví dụ 3.2.2. Cho X = L2[0; 1] vàΦlà một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từX →R xác định bởi tích phân ngẫu nhiên Wiener
Φx= Z 1
0
x(t)dW(t),
trong đóW(t)là một quá trình Wiener. Cho (en)là một cơ sở trực chuẩn củaX. Đặt ξn = Φen. Dễ thấy (ξn) là dãy các biến ngẫu nhiên Gauss độc lập và có cùng phân phối N(0,1). Đặt:
un= Xn k=1
ξk
k ek, u= X∞
k=1
ξk
kek
Chuỗi sau hội tụ h.c.c theo chuẩn của X vì X∞
i=1
ek
k 2 =
X∞ i=1
1 k2 <∞ Do đóun P
→u. Theo mệnh đề 3.2.1 ta cóun∈ D(Φ). Bây giờ ta chứng minhu /∈ D(Φ).
Ta chứng minh tính chất: Cho(αn)là một dãy các biến ngẫu nhiên Gauss độc lập có giá trị thực với Eαn= 0. NếuP
n
α2n <∞ h.c.c thì P
n
Eα2n<∞. Thật vậy, đặt α = (αn)∞n=1. Vì P
n
α2n < ∞ h.c.c nên α là biến ngẫu nhiên Gauss với giá trị thuộc không gian Hilbert l2. Theo định lý Fernique (xem 7.) ta được P
n
Eα2n=Ekαk2 <∞. Bây giờ ta đặt
αn= ξn
√n Bởi vì P
n
Eα2n =P
n
1
n =∞nên theo tính chất đã nêu trên ta kết luận được rằng X∞
i=1
(u, en)Φen = X∞
i=1
ξ2n n =
X∞ i=1
α2n =∞ h.c.c Do đó u /∈ D(Φ).
Tiếp theo, ta chứng minh ánh xạΨ :D(Φ)→LR0(Ω) không liên tục. Đặt:
ak= (aki)i≥1 = 1 k, ...,1
k,0, ...,0, ...
, k ≥1, ξi = Φei, αki =akiξi, vk =
X∞ i=1
αkiei = Xk
i=1
αkiei
Khi đó (ξi) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối N(0,1). Theo mệnh đề 3.2.1 thì vk ∈ D(Φ). Từ luật của số lớn ta suy ra
kvkk2 = Xk
i=1
α2ki = 1 k2
Xk i=1
ξi2 →0 h.c.c khi k → ∞ Vậy ta có vk →0 trongLX0 (Ω). Nhưng cũng theo luật số lớn thì
Ψ(vk) = X∞
i=1
(vk, ei)Φei= X∞
i=1
αkiξi = 1 k
Xk i=1
ξi2 →1 h.c.c khi k → ∞ Do đó Ψlà ánh xạ không liên tục.
Định lý sau nói về đặc trưng của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ khi D(Φ) = LX0 (Ω).
Định lý 3.2.1. NếuΦlà một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn thìD(Φ) = LX0 (Ω) và Ψu không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở (en). Ngược lại, nếu D(Φ) = LX0 (Ω) thì Φ phải là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn.
Chứng minh. Ta biết rằng toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ được gọi là bị chặn khi và chỉ khi tồn tại một biến ngẫu nhiên có giá trị thực dương k(ω)sao cho mỗi x∈X thì
kΦx(ω)k ≤k(ω).kxk h.c.c
Giả sử rằng toán tử Φbị chặn, khi đó theo chứng minh của định lý 2.1.3 tồn tại một ánh xạ T : Ω→L(X, Y) sao cho với mỗix∈X ta có
Φx(ω) = T(ω)x h.c.c
Bây giờ ta xét tập Dvới P(D) = 1 mà mỗi ω ∈D và với mọi n ta có Φen(ω) =T(ω)en
Do đó với mỗi ω∈D thì X∞ n=1
(u(ω), e∗n)Φen(ω) = X∞ n=1
(u(ω), e∗n)T(ω)en=
=T(ω) X∞
n=1
(u(ω), e∗n)en
=T(ω)(u(ω)) Vậy chuỗi P∞
n=1
(u(ω), e∗n)Φenhội tụ h.c.c nên nó hội tụ theo xác suất. Dẫn đếnu∈ D(Φ) và Ψu(ω) =T(ω)(u(ω))không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở e = (en).
Để chứng minh ý thứ hai của định lý ta giả sử rằng D(Φ) = LX0 (Ω). Đặt Ψnu=
Xn i=1
(u(ω), e∗i)Φei
và chú ý Ψn là ánh xạ tuyến tính liên tục từ LX0 (Ω) vàoLY0(Ω). Giả sửlim
n Ψnu= Ψu với mọi u∈LX0 (Ω). Theo định lý Banach - Steinhaus thì Ψlà ánh xạ tuyến tính liên tục từ LX0 (Ω) vào LY0 (Ω). Mặt khác, ta có
Ψ(u) = Xn
i=1
1EiΦxi
vớiu= Pn
i=11Eixi. Theo định lý 3.1.2 ta được Φlà toán tử bị chặn.
Với mỗi toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ, ký hiệu F(Φ) làσ−đại số sinh bởi họ {Φx, x∈X}. Biến ngẫu nhiênu∈LX0 (Ω) gọi là độc lập vớiΦnếu F(u) vàF(Φ)độc lập.
Định lý 3.2.2. Giả sử rằng u là độc lập với Φ. Khi đó u ∈ D(Φ). Hơn nữa, Ψu không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở (en).
Chứng minh. Cho t >0. Vì tính độc lập của uvà dãy (Φen)ta có P
Xn i=m
(u, e∗i)Φei
> t
= Z
X
P Xn i=m
(x, e∗i)Φei
> t
dà(x) (3.12) ở đú àlà phõn phối của u. Vỡ mỗi x∈X ta cú
m,n→∞lim P Xn i=m
(x, e∗i)Φei
> t
= 0
Từ định lý hội tụ trội ta kết luận được chuỗi P∞
i=1
(u, e∗i)Φei hội tụ trongLY0(Ω) hay ta cóu∈ D(Φ).
Tiếp theo, cho V là tập con của LX0 (Ω) chứa các biến ngẫu nhiên độc lập với Φ và cho V0 ⊂V là không gian con tuyến tính của các biến ngẫu nhiên đơn giản. Dễ thấy V là một không gian con đóng của LX0 (Ω) và V0 trù mật trong V trang bị bởi tô pô trong LX0 (Ω). Với mỗi n ta xác định ánh xạΨn:V →LY0 (Ω) bởi
Ψnu= Xn
i=1
(u, e∗i)Φei
Dễ thấy rằng Ψn là ánh xạ tuyến tính liên tục từ V vào LY0(Ω) và lim
n Ψnu= Ψu với mọi u ∈ V. Theo định lý Banach - Steinhaus, thì Ψ :V → LY0(Ω) cũng là một ánh xạ tuyến tính liên tục.
Mặt khác, theo mệnh đề 3.2.1, nếu u ∈ V0 thì Ψu có giá trị như nhau với mọi cơ sở e. Vì Ψliên tục trên V và V0 trù mật trong V nên ta kết luận được rằng Ψu có giá trị như nhau với mọi cơ sở e.