Những Khái Niệm Cơ Bản Về Lý Thuyết Xác Suất Câu Hỏi Trắc Nghiệm Vận Dụng

i TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MƠN TỐN  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN SINH VIÊN THỰC HIỆN ThS DƯƠNG THỊ TUYỀN TRẦN TẤN THANH NGÀNH: TOÁN THỐNG KÊ KHĨA 32 BỘ MƠN TỐN – KHOA KHTN CẦN THƠ - 05/2010 ii LỜI CẢM ƠN - -Bốn năm ngồi giảng đường Đại học khoảng thời gian tuyệt vời sinh viên Ở đó, chúng tơi nhận dạy dỗ tận tình q Thầy Cơ, giúp đỡ nhiệt tình bạn bè nhiều hoạt động khác từ Đoàn Thanh Niên Và để đạt kết học tập mong muốn, phải phấn đấu hết mình, vượt qua nhiều thử thách học tập sống Luận văn tốt nghiệp kết năm tháng đầy điều đáng nhớ, thử thách cuối để hồn tất chương trình đại học Trong q trình nghiên cứu đề tài, tơi gặp số khó khăn, vướng mắc Cô hướng dẫn giải đáp thật tận tình Nhân đây, tơi xin tỏ lịng biết ơn Cơ Dương Thị Tuyền, xin chân thành cảm ơn Cô giúp em hoàn thành luận văn giúp chúng em giải khó khăn học tập sống Thành kính biết ơn tồn thể q Thầy Cơ Bộ mơn Tốn khoa Khoa Khoa Học Tự Nhiên, tồn thể Thầy Cơ trường Đại học Cần Thơ truyền đạt cho chúng em kiến thức làm hành trang bước vào sống Và xin gởi lời cảm ơn đến Cha Mẹ thành viên gia đình đặt trọn niềm tin tạo điều kiện cho tơi hồn thành chương trình Đại học Xin cảm ơn người bạn bên tơi, tơi vượt qua khó khăn thử thách suốt quãng đời sinh viên Cần Thơ, tháng năm 2010 Trần Tấn Thanh iii MỤC LỤC - Trang LỜI MỞ ĐẦU .1 Chương 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1 Phép thử biến cố 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Các loại biến cố quan hệ chúng .2 1.2 Định nghĩa xác suất 1.2.1 Khái niệm xác suất 1.2.2 Định lý xác suất theo lối cổ điển .6 1.2.3 Định nghĩa xác suất theo lối thống kê .8 1.2.4 Định nghĩa xác suất theo lối hình học .9 1.3 Cơng thức tính xác suất .10 1.3.1 Công thức cộng xác suất 10 1.3.2 Xác suất có điều kiện cơng thức nhân xác suất .11 1.3.3 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes 13 1.3.4 Công thức Bernoulli 15 Chương 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 17 2.1 Giải tích tổ hợp 17 2.2 Những khái niệm lý thuyết xác suất 21 Chương 3: GIỚI THIỆU PHẦN MỀM McMIX 50 3.1 Giới thiệu 50 3.2 Đặc điểm tính 50 3.3 Kết chạy phần mềm McMIX 51 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 LỜI MỞ ĐẦU - - Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật tượng ngẫu nhiên Ra đời từ kỷ 17 ứng dụng sâu rộng ngành kinh tế - xã hội khoa học kĩ thuật Môn xác suất thống kê giảng dạy môn học bậc học phổ thông, trung học chuyên nghiệp, cao đẳng… Tuy nhiên để tạo đề thi trắc nghiệm để đánh giá kết học tập học sinh địi hỏi người giáo viên phải tốn nhiều công sức thời gian Nhằm giúp cho giáo viên giảm bớt phần gánh nặng biên soạn đề thi, chọn đề tài “Những khái niệm lý thuyết xác suất - Câu hỏi trắc nghiệm vận dụng” Nội dung đề tài gồm có chương: - Chương 1: Giới thiệu khái niệm xác suất như: phép thử, loại biến cố, định nghĩa xác suất, cơng thức tính xác suất … - Chương 2: Dựa sở lý thuyết để tạo câu hỏi trắc nghiệm mà giáo viên cho thi hay kiểm tra bậc học như: phổ thông, cao đẳng, đại học… - Chương 3: Giới thiệu phần mềm trắc nghiệm Chương NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1.1.1 Khái niệm Việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng gọi phép thử Kết phép thử gọi biến cố Kí hiệu biến cố A, B, C… Ví dụ 1: Tung xúc xắc phép thử, xúc xắc xuất mặt biến cố Ví dụ 2: Bắn phát súng vào bia phép thử, viên đạn trúng bia (hay khơng trúng bia) biến cố Ví dụ 3: Từ lô hàng gồm sản phẩm tốt có phế phẩm, lấy ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra chất lượng phép thử Còn lấy phế phẩm (hay phẩm) biến cố Như biến cố xảy phép thử gắn liền với thực 1.1.2 Các loại biến cố quan hệ chúng - Biến cố chắn: Là biến cố định xảy thực phép thử Kí hiệu:  Ví dụ 4: Tung xúc xắc, gọi A biến cố “con xúc xắc xuất mặt có số chấm nhỏ 7”  gọi biến cố chắn ta có A   - Biến cố không thể: Là biến cố định không xảy thực phép thử Kí hiệu: Ø Ví dụ 5: Lấy sách có 100 trang lật ngẫu nhiên trang Gọi A biến cố lật trang 102 ta có A  Ø - Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố xảy khơng thể xảy thực phép thử Người ta thường kí hiệu biến cố ngẫu nhiên A, B, C… Ví dụ 6: Tung ngẫu nhiên xúc xắc Gọi A biến cố “xúc xắc xuất mặt chấm” A gọi biến cố ngẫu nhiên Tất biến cố mà ta gặp thực tế thuộc ba loại biến cố Tuy nhiên biến cố ngẫu nhiên loại biến cố thường gặp lý thuyết xác suất chủ yếu nghiên cứu loại biến cố - Biến cố thuận lợi: Biến cố A gọi thuận lợi cho biến cố B xảy A kéo theo xảy B Kí hiệu: A  B hay A  B Ví dụ 7: Khi tung xúc xắc đồng chất cân đối Gọi A biến cố xúc xắc xuất mặt có số chấm chẵn Ai biến cố xúc xắc xuất mặt có số chấm i (1,6 ) Ta có: A2  A; A4  A; A6  A - Biến cố tương đương: Hai biến cố A B gọi tương đương với A xảy biến cố B xảy ngược lại Kí hiệu: A  B Ví dụ 8: Xét phép thử: chọn ngẫu nhiên ba bệnh nhân bệnh viện Gọi: A biến cố có người nữ người chọn B biến cố có hai người nam người chọn Khi đó, ta có: A = B - Biến cố tổng: Biến cố C gọi tổng hai biên cố A B C xảy hai biến cố A biến cố B xảy Kí hiệu: C  A  B Tổng quát: Biến cố C gọi tổng n biến cố A1, A2,…., An Nếu A xảy có biến cố Ai xảy Kí hiệu: C = A1 + A2 + … + An Ví dụ 9: Từ túi kẹo gồm có hai loại kẹo trái kẹo sữa lấy ngẫu nhiên viên kẹo Gọi: C biến cố chọn viên kẹo trái kẹo sữa A biến cố chọn viên kẹo sữa B biến cố chọn viên kẹo trái Thì ta có biển diễn biến cố C thơng qua biến cố A B C = A+B - Biến cố tích: Biến cố C gọi tích hai biến cố A biến cố B C xảy A B đồng thời xảy Kí hiệu C = A.B Tổng quát: Biến cố C gọi tích n biến cố A1, A2,…., An C xảy n biến cố đồng thời xảy Kí hiệu: C = A1.A2….An Ví dụ 10: Từ túi kẹo gồm có hai loại kẹo trái kẹo sữa lấy ngẫu nhiên viên kẹo Gọi: C biến cố chọn hai viên kẹo khác loại A biến cố chọn viên kẹo sữa B biến cố chọn viên kẹo trái Khi ta có: C = A.B - Biến cố sơ cấp: Là biến cố khơng thể phân tích thành tổng hai hay nhiều biến cố khác Hay nói cách khác biến cố sơ cấp biến cố khơng có biến cố khác thuận lợi cho ngoại trừ Tập hợp tất biến cố sơ cấp phép thử gọi khơng gian biến cố sơ cấp Kí hiệu:  Ví dụ 11: Tung xúc xắc cân đối đồng chất Gọi: Ai biến cố xúc xắc xuất mặt i chấm (i = 1,6 ) Vậy ta có biến cố A1, A2,…,A6 biến cố sơ cấp  = {A1 , A , , A n } - Biến cố xung khắc: Hai biến gọi xung khắc với A.B = Ø Tổng quát: Nhóm biến cố B1, B2,…, Bn gọi biến cố đầy đủ xung khắc đôi tổng chúng biến cố chắn hai biến cố chúng xung khắc Ví dụ 12: Tung xúc xắc cân đối đồng chất Gọi: A biến cố xúc xắc xuất mặt có số chấm lẻ B biến cố xúc xắc xuất mặt có số chấm chẵn Khi đó, ta có A, B nhóm biến cố đầy đủ xung khắc vì: A + B =  A.B = Ø - Biến cố đối lập: Biến cố không xảy biến cố A gọi biến cố đối lập biến cố A Kí hiệu: A Ví dụ 13: Một lơ hàng gồm có 10 sản phẩm sản phẩm xấu chọn ngẫu nhiên hai sản phẩm kiểm tra Gọi A biến cố có sản phẩm xấu, B biến cố khơng có sản phẩm xấu Ta có A B hai biến cố đối lập A  B , B  A - Biến cố đồng khả năng: Các biến cố A1, A2 , An gọi đồng khả chúng có khả xuất thực phép thử - Biến cố độc lập: Hai biến cố gọi độc lập biến cố xảy hay không xảy không ảnh hưởng đến khả xảy hay không xảy biến cố ngược lại Tổng quát: Nhóm biến cố A1, A2, … , An gọi độc lập toàn phần biến cố nhóm độc lập với tích tổ hợp biến cố cịn lại Ví dụ 14: Có túi kẹo, túi chứa viên kẹo trái kẹo sữa Chọn ngẫu nhiên viên kẹo từ lọ Gọi Ai biến cố chọn viên kẹo sữa từ túi thứ i (i =1,2,3,4) Ta có: A , A , A , A  nhóm độc lập toàn phần Chú ý: Hai biến cố đối lập với chúng xung khắc với Nhưng hai biến cố xung khắc với chưa chúng đối lập với 1.2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 1.2.1 Khái niệm xác suất Biến cố ngẫu nhiên xảy hay không xảy phép thử điều khẳng định trước Tuy nhiên trực quan ta thấy biến cố ngẫu nhiên khác có khả xảy khơng giống nhau, chẳng hạn trực giác ta thấy biến cố “ra mặt sấp” tung đồng xu có khả xảy nhiều biến cố “ra mặt chấm” tung xúc xắc Hơn lặp lặp lại nhiều lần phép thử điều kiện ta thấy tính chất ngẫu nhiên biến cố dần khả xảy biến cố thể theo qui luật định Từ ta thấy đo lường khả khách quan xuất biến cố Định nghĩa: Xác suất biến cố số đặc trưng cho khả khách quan xuất biến cố thực phép thử Để tính xác suất biến cố, người ta xây dựng định nghĩa định lý sau 1.2.2 Định lý xác suất theo cổ điển a/ Ví dụ: Tung xúc xắc cân đối đồng chất Gọi A biến cố “xúc xắc xuất mặt chẵn” Ta tìm xác suất biến cố A Giải Khi tung xúc xắc cân đối đồng chất ta thấy có trường hợp xảy ra: Xúc xắc mặt 1; 2; ; chấm Những trường hợp có khả xảy Người ta thường gọi trường hợp thỏa mãn điều kiện kết cục “đồng khả năng” Trong sáu kết cục đồng khả năng, ta thấy có kết cục mà kết cục xảy biến cố A xảy Đó kết cục: xúc xắc mặt 2; 4; chấm Những kết cục mà xảy làm cho biến cố A xảy gọi kết cục thuận lợi cho A Như mặt trực quan ta thấy khả xảy biến cố A hay 0,5 Đó cách tính xác suất theo lối cổ điển b/ Định nghĩa: Xác suất xuất biến cố A tỉ số số kết cục thuận lợi cho A số kết cục đồng khả xảy phép thử Nếu kí hiệu P(A) xác suất biến cố A m số kết cục thuận lợi cho A, n số kết cục đồng khả xảy phép thử P(A) = m n c/ Các tính chất xác suất Từ định nghĩa cổ điển xác suất, ta dễ dàng suy tính chất sau đây: 1) Nếu A biến cố ngẫu nhiên thì: 0