Biến ngẫu nhiên xác suất thống kê

Ví dụ HỘP 1 HỘP 2 HỘP 3 Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm.. Trong ví dụ trên, giai đoạn đầu của phép thử là lấy ra 1 trong 3 hộp, giai đoạn hai là lấy ra một s

a) Các biến cố độc lập

• Hai biến cố A và B liên quan đến một phép thử

T được gọi là đc lp nếu P(AB) = P( ) ( )A P B

Khi P(B)>0, thì P(AB) = P( ) ( )A P B

⇔ ( ) ( )

( )B P

AB

P A

P = ⇔ P( )A = P(A/B)

Như vậy, việc xảy ra của biến cố B không làm

thay đổi xác suất của biến cố A

Chú ý

Nếu A và B độc lập thì hai biến cố trong mỗi cặp

sau cũng độc lập : A và B ; A và B; A và B

Định nghĩa

Các biến cố A1, A2, …, A n liên quan đến phép thử

T được gọi là đc lp toàn phn nếu với mọi tổ

2

Ví dụ

Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm Rút ngẫu nhiên lần lượt 4 sản phẩm theo kiểu mỗi lần rút thì kiểm tra xong và hoàn lại Nếu tất cả 4 sản phẩm này đều tốt thì lô hàng được nhận Tìm xác suất để lô hàng này được nhận

Giải

H = “lô hàng được nhận”,

A i = “sản phẩm rút ở lần thứ i là tốt”, (i = 1, 2, 3, 4)

H = A1A2A3A4 và A1, A2, A3, A4 độc lập toàn phần nên

P(H) = P(A1A2A3A4) = P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

Chú ý

A1, A2, …, A n độc lập toàn phần ⇒ độc lập từng đôi một Nhưng điều ngược lại có thể không đúng

Ví dụ

Gieo một khối tứ diện đều có mặt thứ nhất sơn đỏ, mặt thứ hai sơn xanh, mặt thứ ba sơn vàng, mặt thứ tư sơn 3 màu: đỏ, xanh, vàng Ký hiệu Đ, X,

V tương ứng là biến cố xuất hiện mặt có màu đỏ, xanh, vàng

Ta có:

P(Đ) = P(X) = P(V) =

2

14

⇒ Đ, X, V độc lập từng đôi

P(Đ/X V) = 1 ≠ P(Đ) ⇒ Đ, X, V không độc lập toàn phần ☺

b) Công thức xác suất đầy đủ

• Các biến cố H1, H2, … , Hn được gọi là một

nhóm đy đ các bin c nếu thỏa hai điều kiện sau:

 HiHj = ∅ với mọi i ≠ j ;

 ∪n i=1 H i = Ω

Định lí Giả sử H1, H2, … , H n là một nhóm đầy đủ các biến cố có xác suất khác 0 và A là một biến cố

P H

P A

P

1

/ (công thức Xác suất đầy đủ)

Chứng minh

(AHi)(AHj) = (AA)(HiHj) = A∅ = ∅ và

A A

H A

n i i

P

1

theo Quy tắc cộng xác suất

Do Công thức nhân xác suất:

P H

P A

P

1

/ ☺

Ví dụ

HỘP 1 HỘP 2

HỘP 3 Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm Tìm xác suất để lấy được chính phẩm

Do đó, theo Công thức Xác suất đầy đủ

P(A) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3)

=

20

153

115

103

110

6

3

1

⋅+

⋅+

Nhận xét mang tính kinh nghiệm:

Nếu phép thử gồm 2 giai đoạn, biến cố A liên quan

đến giai đoạn sau, thì các kết quả có thể có của giai đoạn đầu chính là một nhóm đầy đủ

Trong ví dụ trên, giai đoạn đầu của phép thử là lấy

ra 1 trong 3 hộp, giai đoạn hai là lấy ra một sản phẩm từ 1 hộp đã được lấy ra

c) Công thức Bayes

Định lí

Giả sử H1, H2, … , Hn là một nhóm đầy đủ các biến

cố có xác suất khác 0 và A là một biến cố nào đó trong cùng một phép thử, P(A) ≠ 0 Với mỗi i = 1, 2,

H A

P H

P

H A

P H

P

1

//

(công thức Bayes)

P H

H A

P H

P

H A

P H

Nhận xét

Theo Công thức Xác suất đầy đủ, biểu thức

P(H1)P(A/H1) + ⋅⋅⋅ + P(H n)P(A/H n) chính là P(A), nên Công thức Bayes hay được dùng cùng với Công thức Xác suất đầy đủ

Ví dụ

HỘP 1 HỘP 2

HỘP 3 Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, thấy đó là chính phẩm Tìm xác suất

P(H1/A) = [P(H1)P(A/H1)]/P(A) = 36/121 ☺

• Công thức Bayes có ứng dụng đa dạng và phong phú trong nhiều lĩnh vực khác nhau vì đó

là công thức cho phép nắn lại phán đoán, cập nhật thông tin, tính lại xác suất P(H i) khi đã có thêm thông tin về biến cố A xuất hiện

Trong ví dụ trên, trước khi phép thử được tiến hành

P(H1) = 1/3 Còn sau khi đã biết kết quả của phép thử, thì xác suất của H1 bằng 36/121

Ví dụ

Người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về một sản phẩm định đưa ra thị trường và thấy có:

• 34 người trả lời “S mua”,

• 96 người trả lời “Có th s mua”

• 70 người trả lời “Không mua”

Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời trên là 40%, 20% và 1%

1) Hãy đánh giá thị trường tiềm năng của sản phẩm

đó (hay tỉ lệ người thực sự mua sản phẩm đó)

2) Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì

có bao nhiêu phần trăm đã trả lời “S mua”?

Giải

A = “Lấy ngẫu nhiên một khách hàng thì người đó

sản phẩm”

Tỉ lệ khách hàng sản phẩm = P(A)

H1 = “Người đó trả lời S mua”,

H2 = “Người đó trả lời Có th s mua”,

H3 = “Người đó trả lời Không mua”

H1, H2, H3 là nhóm đầy đủ các biến cố

P(H1) = P(“Người đó trả lời S mua”)

1) Theo Công thức xác suất đầy đủ

= 0 01

200

702

0200

964

0200

34

,,

0

1 1

,

,,

=

A P

H A

P H

P

≈ 0,40597 = 40,597%. ☺

Ví dụ

Giả sử V là việc đi từ tỉnh A đến tỉnh B theo một trong các phương tiện: ôtô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay Mỗi ngày có 10 chuyến ôtô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy, 2 chuyến máy bay Theo Quy tắc cộng, V có 20 cách làm

 Quy tắc nhân

Giả sử một việc V được hoàn thành khi và chỉ khi toàn bộ n việc V1, V2, , Vn khác nhau được hoàn thành Mỗi việc Vi có k i cách làm Khi đó số cách thực hiện V bằng k1⋅k2⋅⋅⋅k n

Ví dụ

Theo Quy tắc nhân, số cách bỏ n viên bi vào k

hộp bằng k n

 Chỉnh hợp

• Một tập con gồm k phần tử sắp thứ tự của một tập n phần tử được gọi là một chnh h p chp

này

Đặc biệt, một chỉnh hợp chập n của n phần tử được gọi là một hoán vị của n phần tử này

Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử bằng

=

k n

A n(n - 1)(n - 2)⋅⋅⋅(n – k + 1)

Số tất cả các hoán vị của n phần tử bằng P n = n!

Ví dụ

Có A32 = 3⋅2 = 6 cách chọn 2 trong 3 người đi làm nhiệm vụ, trong đó một người làm đội trưởng

n

Ví dụ

Có C32 = 3 cách chọn 2 trong 3 người đi làm nhiệm

vụ

 Quy tắc chia nhóm

• Cho tập hợp A gồm n phần tử Chia A ra k

nhóm sao cho: nhóm thứ i có ni phần tử (n1+n2+ ⋅⋅⋅ +n k = n) Khi đó số cách chia nhóm bằng

Số cách chia = 4 ≈ 5,3.(10)28

)

!13(

Chương 2

_ _

Những đại lượng như: lượng khách vào 1cửa hàng trong ngày, số khuyết tật của 1 sản phẩm vừa làm

ra, nhiệt độ ở 1 thời điểm trong ngày, con số mũi tên trỏ tới trong trò chơi Chiếc nón kỳ diệu… có đặc điểm chung là ta không thể đoán trước được giá trị

nó sẽ nhận Những đại lượng kiểu này được gọi là

bin ngu nhiên (bnn) Ta dùng những chữ cái

hoa như X, Y, Z …để ký hiệu biến ngẫu nhiên

Nhu cầu dự báo dẫn đến việc phải nghiên cứu bnn

Biến ngẫu nhiên được chia làm 2 loại:

 Một bnn được gọi là ri rc nếu ta có thể liệt

kê tất cả các giá trị có thể của nó thành một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn

Ví dụ Số khuyết tật của 1 sản phẩm vừa làm ra

 Một bnn X được gọi là liên tc nếu:

Các giá trị có thể của X lấp đầy một hay một

số khoảng của trục số, thậm chí lấp đầy cả trục số

Ví dụ Nhiệt độ ở một thời điểm trong ngày

'2  QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA

BIẾN NGẪU NHIÊN

Chỉ biết tập các giá trị có thể của một bnn là chưa

đủ để xác định nó Chẳng hạn, gọi X := số lần xuất hiện mặt sấp khi gieo một đồng xu 3 lần, Y := số lần ra 1 chấm khi gieo một con xúc xắc 3 lần Tập giá trị có thể của X, Y trùng nhau, là {0, 1, 2, 3}

Nhưng nói chung P{X = i} ≠ P{Y = i} Vì vậy, một

bnn được xác định khi ta biết xác suất để nó nhận giá trị bất kỳ, hay nhận giá trị trong một khoảng bất kỳ Một hình thức cho phép làm điều đó được gọi là quy lut phân phi xác sut ca bnn

Những hình thức cho quy luật ppxs: công thức, bảng ppxs, hàm pbxs, hàm mật độ

Cho quy luật ppxs bằng công thức

Ví dụ

Một người nhằm bắn một mục tiêu cho tới khi trúng được một phát thì thôi (số phát bắn không hạn chế) Xác suất trúng đích của mỗi phát bắn bằng p Tìm quy luật ppxs của số viên đạn được

sử dụng

Tính P{X = 1} + P{X = 2} + P{X = 3} + ⋅⋅⋅

 Cho quy luật ppxs bằng bảng

Giả sử bnn X có thể nhận các giá trị x1, x2,…, x n

với các xác suất tương ứng là p1, p2,…, pn

Quy luật ppxs của X được cho bởi bảng

Chú ý p1 + p2 + ⋅⋅⋅ + pn = 1

Cho quy luật ppxs bằng hàm phân bố xác suất

• Hàm phân b xác sut (hay hàm phân b)

của bnn X là

F(x) := P{X < x}

Nếu X là bnn rời rạc và có tập giá trị được sắp là x1 < x2 <

 Cho quy luật ppxs bằng hàm mật độ

Người ta chứng minh được : Nếu X là bnn liên tục thì P{X = a} = 0 ∀a∈R Tuy nhiên giá trị X có thể

nhận lại có thể tập trung vào một khoảng nào đó

{ }

ε

εε

2

+5

Nếu tồn tại

ε

εε

}+5

<

<

-{5lim

Tổng quát, ta có định nghĩa

• Hàm mt đ của bnn liên tục X, ký hiệu là p(x),

là hàm thỏa mãn điều kiện

ε

εε

}+

<

<

-{xlim

=)

0 0

x X

P x

p

với mọi x0 sao cho vế phải tồn tại

dt t

p

Từ 3) suy ra ∫∞

∞ -

+

1

=)

( dt t

Ném ngẫu nhiên một điểm lên đường tròn

(C): x2 + y2 = 22 Tìm hàm pbxs và hàm mật độ của hoành độ điểm

đó

... data-page="41">

''2  QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA

BIẾN NGẪU NHIÊN

Chỉ biết tập giá trị bnn chưa

đủ để xác định Chẳng hạn, gọi X := số lần xuất mặt sấp... class="text_page_counter">Trang 39

Biến ngẫu nhiên chia làm loại:

 Một bnn gọi ri rc ta liệt

kê tất giá trị thành dãy số hữu hạn vơ hạn

Ví dụ...

nó nhận Những đại lượng kiểu gọi

bin ngu nhiên (bnn) Ta dùng chữ

hoa X, Y, Z …để ký hiệu biến ngẫu nhiên

Nhu cầu dự báo dẫn đến việc phải nghiên cứu bnn