Cho đường tròn (O; 9cm); vẽ 6 hình tròn bằng nhau bán kính R đều tiếp xúc trong với (O) và mỗi đường tròn đều tiếp xúc với hai đường khác bên cạnh nó1. Cho hai đường tròn đồng tâm; tro[r]
(1)ƠN TẬP HÌNH 9 Vấn đề: Hệ thức lượng tam giác vuông.
1 Tam giác vng tam giác có góc vng
2 Trong tam giác vng ta có định lí Pytago dùng để tính cạnh chứng minh đẳng thức có liên quan đến bình phương cạnh
Tam giác ABC vng A đó: BC2=AB2+AC2.
3 Trong tam giác vng A trung tuyến AM = BC/2
B A
M c h b
C’ b’
A C B H C
a
4 Cơng thức tính diện tích tam giác ABC vng A: S=1/2 AB.AC=1/2.a.h Từ cơng thức diện tích ta có ngay: a.h = b.c
6 Cơng thức hình chiếu lên cạnh huyền: b’.c’= h2.
7 Công thức cạnh góc vng hình chiếu: b2= a.b’. Và c2=a.c’.
8 Công thức nghịch đảo đường cao: 2
1 1
h b c . Các cách để c/m tam giác tam giác vuông:
9.1 Chỉ tam giác có góc vng
9.2 Chỉ tam giác thỏa định lí Pytago đảo tức : BC2=AB2+AC2.thì tam
giác vuông A
9.3 Chỉ trung tuyến AM = BC/2 Thì tam giác vng A Bài tập:
1 Cho tam giác ABC vng A có AB=3cm; BC=5cm AH đường cao Tính BH; CH;AC AH
2 Cho tam giác ABC cân A có BC=16cm; AH=6cm Một điểm D BH:
BD=3,5 cm C/m ▲ DAC vuông
3 Cho ▲ ABC vng A có AC=10cm; AB=8cm Tính: a BC
b Hình chiếu AB AC lên BC c Đường cao AH
4 Cho ▲ ABC vng A có BC=20cm; AC=18cm Tính AB;BH; CH AH Cho ▲ ABC vuông A, có BC=12cm Tính chiều dài hai cạnh góc vng
biết
2
AB AC
6 Cho ▲ ABC vng A có đường cao AH Biết BH=10cm; CH=42 cm Tính BC; AH; AB AC
7 Cho đường trịn tâmO bán kính R=10cm.Dây cung AB có trung điểm I a Tính AB OI=7cm
(2)8 Cho đường tròn tâm O có đường kính AB=26,5 cm Vẽ dây cung
AC=22,5cm H hình chiếu C AB, nối BC Tính BC; BH; CH OH
9 Hình thang ABCD cân; đáy lớn AB= 30cm, đáy nhỏ CD=10cm góc A 600.
a Tính cạnh BC
b Gọi M; N trung điểm AB CD Tính MN
10.Cho đa giác lồi ABCD có AB=AC=AD=10cm, góc B 600 góc A
900.
a Tính đường chéo BD
b Tính khoảng cách BH Điều kiện từ B D đến AC c Tính HK
d Vẽ BE DC kéo dài Tính BE; CE DC
11.Cho đoạn thẳng AB=2a Từ trung điểm O AB vẽ Ox AB O Trên Ox
lấy D: OD=a/2.từ B kẽ BC AD kéo dài
a Tính AD; AC BC theo a
b Kéo dài DO đoạn OE=a C/m bốn điểm A; C; B E nằm đường trịn
c Xác định tính chất CE với góc ACB
d Vẽ đường vng góc với BC B cắt CE F Tính BF e Gọi P giao điểm AB CE Tính AP BP
12.Cho ▲ ABC nhọn, nội tiếp (O;R) có: góc AOB= 900 góc AOC =1200.
a C/m O tam giác ABC b Tính góc tam giác ABC
c Tính đường cao AH BC theo R Vấn đề: tỉ số lượng giác góc nhọn.
1 Muốn có tỉ số lượng giác góc nhọn ta phải có tam giác vng Trong tam giác vng có góc nhọn đó:
a Sin =đối/ huyến
b Côsin = kề/ huyền
c Tan = đối / kề = sin /cos
d Cotan = kề/ đối = cos/ sin = 1/tan
3 Nếu hai góc phụ tức + = 900 đó:
Sin = cos
Cos = sin
Tan = cot
Cot = tan
4 Bảng giá trị lượng giác thường dùng: 00; 300; 450; 600 900.
5 Từ định lí Pytago tam giác vng ta có ngay: sin2
+cos2 =1
6 Từ định nghĩa ta có: tan .cot =
7 Từ tỉ số lượng giác ta thấy tam giác vuông cho goc cạnh yếu tố cịn lại tính
8 Có thể dùng tỉ số lượng giác để đo chiều cao thực tế
(3)Bài tập:
1 Cho tam giác ABC, đường cao AH Tính tỉ số lượng giác góc: ABH HAB
2 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính tỉ số lượng giác góc ACB So sánh tỉ số lượng giác:
a Sin300 sin 720.
b Cos 450 cos 75010’
c Tan650 tan450.
d Cot100 cot350.
4 Cho tam giác vng A có đường cao AH chia BC thành BH=64cm CH=81cm Tính cạnh góc tam giác ABC
5 Cho ▲ ABC vuông A Tìm tỉ số lượng giác góc B khi: a BC =5cm AB=3cm
b BC=13 cm AC=12 cm c AC= 4cm AB=3cm
6 Cho biết sin =0,8 Tính tỉ số lượng giác lại
7 Cho sin = ½ Tính tỉ số lượng giác góc 900-
8 Cho biết tan =3 Tính tỉ số lượng giác lại
9 Cho ▲ ABC vng A có AB=10cm AC=15cm a Tính góc B
b Phân giác góc B cắt AC I Tính AI c Vẽ AH BI H Tính AH
10.Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB=2R Bán kính OC AB, gọi M
một điểm nằm OC cho: tanOAM =3/4 AM cắt nửa đường trịn (O) D Tính AM; AD BD
Vấn đề: định nghĩa xác định đường tròn.
1 Tập hợp điểm cách O cho trước khoảng R không đổi gọi đường trịn tâm O bán kính R Kí hiệu: (O; R)
2 Để xác định đường tròn ta có cách sau: 2.1 Biết tâm O bán kính R
2.2 Biết điểm khơng thẳng hàng nằm đường tròn Cho (O; R) điểm M Khi có khả sau:
3.1 Nếu MO > R M nằm ngồi đường trịn (O; R)
3.2 Nếu MO=R M nằm đường trịn (O;R) Kí hiệu: M (O; R)
3.3 Nếu MO < R M nằm đường tròn (O; R)
4 Dây cung đoạn thẳng nối hai điểm đường trịn Đường kính dây cung qua tâm Vậy đường kính dây cung lớn đường tròn
5 Muốn c/m điểm nằm (O; R) ta khoảng cách từ điểm đến O R Các cách khác sau xét sau
6 Đường trịn qua hai điểm A B có tâm nằm trung trực AB đường tròn ngoại tiếp tam giác vng có tâm trung điểm cạnh huyền Bài tập:
1 Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB đáy lớn CD ; góc C=D =600;
(4)2 Cho ▲ ABC vuông A có AB=6cm; AC= 8cm Khi bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác bao nhiêu?
3 Cho hình thoi ABCD; gọi O giao điểm hai đường chéo M; N; R S hình chiếu O AB; BC; CD DA C/m điểm M; N; R S thuộc đường trịn
4 Cho hình chữ nhật ABCD có AB=12cm; BC=9cm a C/m: A; B; C D thuộc đường trịn b Tính bán kính đường trịn
5 Cho hai đường thẳng xy x’y’ vng góc O Một đoạn thẳng AB=6cm chuyển động cho A nằm xy B x’y’ Hỏi trung điểm M AB chuyển động đường nào?
6 Cho ▲ ABC có đường cao AH CK C/m:
a C/m: B; K; H C nằm đường trịn Xác định tâm đường trịn
b So sánh Kí hiệu BC
Vấn đề: tính chất đối xứng xủa đường tròn.
1 Đường tròn hình có tâm đối xứng tâm đường trịn Đường trịn có vơ số trục đối xứng đường kính
3 Đường kính vng góc dây cung qua trung điểm ngược lại Hai dây cung chúng cách tâm
5 Dây cung gần tâm dài ngược lại
6 Vận dụng tính chất ta tính độ dài đoạn c/m tính chất so sánh đoạn thẳng dựa vào đường tròn
Bài tập:
1 Cho (O) dây cung CD Từ O kẽ tia vng góc CD M cắt (O) H Tính bán kính R (O) biết: CD=16cm MH=4cm
2 Cho (O; 2cm), MN dây cung đường tròn có độ dài 2cm Khi khoảng cách từ O đến MN bao nhiêu?
3 Cho (O; 12cm) có đường kính CD Vẽ dây MN qua trung điểm I OC cho góc NID 300 Tính MN.
4 Cho đường trịn (O) cung BC có số đo 600 Từ B kẽ dây BD vng góc
đường kính AC từ D kẽ dây DF //AC Tính số đo cung DC; AB; FD Một dây cung AB chia đường tròn (O) thành hai cung thỏa số đo cung AmB
bằng hai lần số đo cung AnB a Tính số đo hai cung b Tính góc ▲ AOB c Tính khoảng cách từ O đến AB
6 Một dây cung AB chia đường tròn (O) thành hai cung thỏa số đo cung AmB ba lần số đo cung AnB
a Tính số đo hai cung b Tính góc ▲ AOB c Tính khoảng cách từ O đến AB
(5)Vấn đề: vị trí tương đối đường thẳng đường tròn.
1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng độ dài đường vng góc từ điểm đến đường thẳng
2 Cho đường trịn (O; R) đường thẳng d có trường hợp sau: 2.1 Nếu d(O;d) = OH > R đường thẳng đường trịn khơng có điểm
chung Ta nói đường thẳng đường trịn ngồi không cắt
2.2 Nếu d(O; d) = OH = R đường thẳng đường trịn có điểm chung H Khi ta nói đườngthẳng tiếp xúc đường trịn (đường thẳng gọi tiếp tuyến (O))
2.3 Nếu d(O; d) = OH < R đường thẳng d cắt đường tròn (O; R) hai điểm phân biệt A B Đường thẳng gọi cát tuyến với (O; R) Vậy muốn xác định vị trí đường thẳng d đường trịn ta cần tìm bán kính
R khoảng cách d(O; d) so sánh kết luận Bài tập:
1 Cho đường thẳng đường tròn bảng sau:
R D Quan hệ
4
4
50 75
3
2
2 Cho ▲ ABC có góc B > C, AB=x; AC=y chiều cao AH= h Hỏi bán kính đường trịn tâm A có giá trị để (A; R) cắt BC theo trường hợp:
a Hai giao điểm nằm B C b B C nằm hai giao điểm
3 Cho ▲ cân OAB có OA=OB=5cm AB=6cm Hỏi bán kính R đường trịn (O; R) có giá trị để đường tròn tiếp xúc AB
Vấn đề: tiếp tuyến đường tròn.
1 Cho (O; R) tiếp tuyến (O; R) đường thẳng tiếp xúc với (O; R) Vậy d tiếp tuyến (O; R) <=> d OA A A gọi tiếp điểm
.O
D A
3 Nói cách khác : d tiếp tuyến (O; R) <=> d(O; d) =R
(6)5 Từ điểm A (O; R) ta kẽ tiếp tuyến nhất, đường thẳng qua A vng góc bán kính OA
6 Từ hai điểm A B (O) kẽ hai tiếp tuyến cắt M MA= MB A
O M B
7 Ngồi ta cịn có : MO phân giác góc AOB OM phân giác góc AOB
8 Phương pháp vẽ tiếp tuyến với (O) từ điểm nằm (O) 8.1 Ta nối OM
8.2 Vẽ ( I; OM/2) cắt (O) hai điểm A B 8.3 Nối MA MB hai tiếp tuyến Bài tập:
1 Cho đường tròn tâm O; dây cung CD Qua O vẽ OH CD H, cắt tiếp
tuyến C đường tròn M C/m MD tiếp tuyến (O)
2 Cho (O) mà M (O) Vẽ hai tiếp tuyếm MA MB; gọi H giao điểm OM với AB C/m: OM AB HA=HB
3 Cho nửa đường tròn tâm (O), đường kính AB vẽ Ax AB By AB
cùng phía nửa đường trịn Gọi I điểm đường tròn Tiếp tuyến I gặp Ax C By D C/m: AC+BD = CD
4 Cho đường tròn (O; 5cm) Từ M (O) vẽ hai tiếp tuyến MA MB cho MA MB M
a Tính MA MB
b Qua trung điểm I cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến cắt OA; OB C D Tính CD
5 Cho (O) từ M (O) vẽ hai tiếp tuyến MA MB cho góc AMB =600
Biết chu vi tam giác MAB 18cm, tính độ dài dây cung AB
6 Cho (O) từ M (O) vẽ hai tiếp tuyến MA MB Kéo dài OB đoạn BI=OB C/m: góc BMI 1/3 góc AMI
7 Cho (O) có đường kính AB.vẽ dây xung AC kéo dài AC đoạn CD=AC
a C/m: tam giác ABD cân
b Xác định vị trí C để biến đổi tiếp tuyến (O) B tính góc DAB
Vấn đề: vị trí tương đối hai đường tròn.
1 Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) dựa vào khoảng cách OO’ R; R’ ta có khả sau:
2 Nếu OO’ = R-R’ với R > R’ hai đường tròn tiếp xúc
3 Nếu OO’ = R +R’ hai đường trịn có điểm chung điểm giao điểm OO’ hai đường tròn Ta gọi hai đường tròn tiếp xúc ngồi
4 Nếu OO’ < R+R’ hai đường tròn cắt hai điểm Hai điểm nhận OO’ làm trung trực
(7)6 OO’ < R-R’ hai đường trịn đựng (O; R) chứa (O’; R’) hay (O’; R) chứa (O; R)
7 Hai đường tròn đồng tâm hai đường trịn có tâm
8 Nếu có hai đường trịn tiếp tuyến chung chúng đường nối tâm OO’ đồng quy
- Nếu đồng quy bên đoạn OO’ gọi tiếp tuyến chung - Nếu đồng quy bên ngồi đoạn OO’ gọi tiếp tuyến chung - Điếm đồng quy chia OO’ theo tỉ lệ tỉ lệ hai bán kính
9 Bài tập:
1 Hãy điền vào bảng sau vị trí (O; R) (O’; R’) biết:
R R’ OO’ Quan hệ
8cm 7cm 9cm
15cm 6cm 9cm
5cm 3cm 10cm
12cm 4cm 6cm
10cm 8cm 18cm
1dm 8cm 2dm
2 Cho hai đường tròn (A; R1); (B; R2) (C; R3) đơi tiếp xúc nga
Tính R1; R2 R3 biết AB= 5cm; AC= 6cm BC=7cm
3 Cho hai đường tròn (O; 5cm) (O’; 5cm) cắt A B Tính độ dài dây cung chung AB biết OO’ = 8cm
4 Cho (O; R) đường tròn (O’; R’) cắt A B với R > R’ Vẽ đường kính AOC AO’D C/m ba điểm B; C D thẳng hàng
5 Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B; vẽ cát tuyến chung MAN cho MA=AN Đường vng góc với MN A cắt OO’ I C/m I trung điểm OO’
6 Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Gọi M giao điểm hai tiếp tuyến chung BC tiếp tuyến chung C/m BC tiếp tuyến đường tròn đường kính OO’ M
7 Hai đường trịn (O; R) (O’; R) tiếp xúc ngồi M Đường trịn (O) (O’) tiếp xúc với đường tròn lớn (O”; R”) E F Tính bán kính R” biết chu vi tam giác OO’O” 20cm
8 Cho đường trịn (O; 9cm); vẽ hình trịn bán kính R tiếp xúc với (O) đường tròn tiếp xúc với hai đường khác bên cạnh Tính bán kính R
9 Cho hai đường tròn đồng tâm; đường tròn lớn vẽ hai dây cung AB=CD tiếp xúc với đường tròn nhỏ M N cho AB CD I Tính
bán kính đường trịn nhỏ biết IA=3cm IB= 9cm
Vấn đề: đường tròn ngoại tiếp- nội tiếp bàng tiếp tam giác… đa giác.
1 Cho tam giác ABC, đường tròn qua đỉnh A; B C tam giác gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
(8)3 Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC gọi đường tròn nội tiếp tam giác
4 Tâm đường tròn nội tiếp điểm cách cạnh nên giao điểm ba đường phân giác
5 Đường tròn tiếp xúc với cạnh BC phần kéo dài hai cạnh (AB AC) gọi đường trịn bàng tiếp góc A
6 Vậy đường trịn bàng tiếẩmtong góc A có tâm giao điểm phân giác góc A hai phân giác B C
7 Một tam giác có ba đường trịn bàng tiếp
8 Tam giác nội tiếp đường trịn đường trịn gọi ngoại tiếp tam giác Tam giác ngoại tiếp đường trịn đường trịn ngoại tiếp tam giác
Bài tập:
1 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R) Tính: c Cạnh tam giác ABC
d Chiều cao AH theo R
2 Cho tam giác ABC D điểm cạnh BC Gọi (O) đường tròn nội tiếp tam giác ABC H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD C/m B; H O thẳng hàg
3 Cho tam giác ABC vng A có AB=c; AC=b Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp r bán kính đường trịn nội tiếp C/m : b+c = 2(R+r) Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O; r) có AB=c; AC=b BC=a C/m: diện tích
tam giác ABC (a+b+c) r
Vấn đề: Góc tâm- số đo độ cung—so sánh cung.
1 Góc tâm góc có đỉnh tâm đường trịn
2 Góc cắt đường trịn A B cung AB cung bị chắn góc tâm AOB
3 Ta có tính chất: số đo cung bị chắn số đo góc tâm chắn cung So sánh cung: cung lớn có số đo lớn ngược lại Cung có góc tâm lớn lớn ngược lại
6 Bài tập:
1 Cho (O; 5cm) điểm M cho OM=10cm Vẽ hai tiếp tuyến MA MB Tính góc tâm hai tia OA OB tạo
2 Cho tam giác ABC, vẽ nửa đường tròn đường kính BC cắt AB D AC E So sánh cung BD; DE EC
3 Cho hai đường tròn (O; R) (O; r) với R > r Điểm M (O; R) Qua M vẽ hai tiếp tuyến với (O; r), cắt (O; R) A B (A nằm M B); cắt (O; R) C D (C nằm D M) C/m: hai cung AB CD
4
Vấn đề: Liên hệ cung dây.
(9)2 Ta ý với hai điểm A B (O) tạo hai cung lớn cung nhỏ Sau ta xét cung nhỏ
3 Hai dây cung <=> hai cung Dây lớn <=> cung lớn
Bài tập:
1 Cho (O) đường kính AB Từ A B vẽ hai dây cung AC BD song song Qua O vẽ đường vng góc AC M BD N So sánh hai cung AC BD
2 Cho (O) dây cung AB chia đường tròn thành hai cung thỏa:
1
3
AmB AnB a Tính số đo cung theo độ
b C/m: khoảng cách từ tâm O đến dây AB AB/2
3 Trên đường tròn (O) vẽ hai cung AB CD thỏa: AB2CD C/m: AB < 2.CD. Vấn đề: góc nội tiếp
1 Góc nội tiếp (O) góc có đỉnh nằm đường trịn (O) hai cạnh cắt (O) hai điểm phân biệt
2 Để có góc nội tiếp thường ta có ba điểm nằm đương trịn
3 Số đo góc nội tiếp chắn cung ½ số đo góc tâm chắn cung Chú ý cung
4 Góc nội tiếp có số đo ½ số đo cung bị chắn
5 Cùng cung có nhiều góc nội tiếp góc Đặc biệt góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng 900.
7 Các cung góc nội tiếp chắn cung ngược lại
8 Cung lớn góc nội tiếp chắn cung lớn Bài tập:
1 Cho (O) có hai bán kính OA OB vng góc Lấy C (O):
4
sd AC sdBC . Tính góc tam giác ABC
2 Cho tam giác ABC cân A có góc A 500 Nửa đường trịn đường kính
accắt AB D BC H Tính số đo cung AD; DH HC
3 Cho (O) có đường kính AB vng góc dây cung CD E C/m: CD2= 4AE.BE
Vấn đề: góc tạo bỡi tiếp tuyến dây cung.
1 Góc tạo bới tiếp tuyến tiếp điểm A dây cung AX gọi góc tạo bỡi tiếp tuyến dây cung
2 Số đo góc ½ số đo góc tâm chắn cung AX Số đo góc ½ số đo cung AX
4 Số đo góc số đo góc nội tiếp chắn cung Bài tập:
1 Cho (O) ba điểm A; B C (O) Dây cung CB kéo dài gặp tiếp tuyến A M So sánh góc: AMC ABC va ACB;
(10)3 Cho (O; R) có hai đường kính AB CD vng góc I điểm cung AC cho vẽ tiếp tuyến qua I cắt DC kéo dài M thì: IC=CM
a Tính góc AOI b Tính độ dài OM
Vấn đề: góc có đỉnh bên – bên ngồi đường trịn.
1 Cho (O) M (O) có hai đường thẳng qua M tạo thành góc Góc góc bên đường trịn Hai đường thẳng cắt đường tròn tạo thành cung
2 Khi số đo góc đường trịn tổng số đo hai cung chia hai A
B M
C D
2
sd AB sdCD AMB CMD
3 Cho (O) M (O) góc mà cạnh ln tiếp xúc cắt (O) gọi góc ngồi đường trịn (O) M Khi góc cắt đường tròn tao thành hai cung; cung lớn cung nhỏ
4 Số đo góc ngồi sđ cung lớn – cung nhỏ sau chia hai
C A
C
A A
M M n m
M B
D B B
2
sdCD sd AB
AMB
2
sdCB sd AB
AMB
2
sd AmB sd AnB AMB
Bài tập:
1 Cho điểm A; B; C D theo thứ tự (O) cho: số đo cung sau: AB= 400; CD=1200 Gọi I giao điểm AC biến đổi M giao điểm
của DA CB kéo dài Tính góc CID AMB
2 Cho (O); từ M (O) ta vẽ cát tuyến MAC MBD cho góc CMD có số đo 400 Gọi E giao điểm AD BC Biết góc AEB 700; tính số đo
các cung AB CD
3 Cho (O) M (O); vẽ tiếp tuyến MA cát tuyến MBC qua O (B nằm M C) Đường trịn đường kính MB gặp MA E
C/m: sd AnC sdBmA sdBkE với AnC; BmA BkE cung góc
AMC
(11)1 Cho đoạn thẳng AB cố định quỹ tích điểm M cho: AMB cho
trước cung Cung gọi cung chứa góc độ nhận AB làm
dây
2 Cho dây AB độ ta có hai cung chứa góc độ nhận AB làm
dây hai cung đối xứng qua AB
3 Cách vẽ cung chứa góc độ nhận AB làm dây sau:
3.1 Có AB: A vẽ tia At tạo AB góc
3.2 Tại A vẽ tia Ax At cắt trung trực AB O
3.3 Vẽ cung trịn (O; OA) phía chứa O
3.4 Khi cung cung chứa góc nhận AB làm dây
3.5 Ta lấy O’ đối xứng O qua AB vẽ cung tròn (O’; O’A) ta đượ cung thứ hai
Baì tập:
1 Vẽ cung chứa góc 450 đoạn AB= 4cm.
2 Vẽ cung chứa góc 1200 đoạn CD= 10cm.
3 Cho (O) có đường kính AB, điểm C di động (O) Gọi M giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC Điểm M di động đường nào?
Vấn đề: tứ giác nội tiếp.
1 Tứ giác nội tiếp tứ giác có đỉnh nằm đường trịn
2 Tứ giác ABCD nội tiếp đồng nghĩa điểm A; B; C D nằm đường tròn
3 Tứ giác nội tiếp đường trịn đường trịn gọi ngoại tiếp tứ giác Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác giao điểm ba đường trung trực
ba cạnh tứ giác
5 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) OA= OB= OC = OD =R
6 Chú ý: O nằm ngồi tứ giác; nằm nằm cạnh lúc nằm
7 Cho ABCD tứ giác nội tiếp A+C= B+D = 1800.
8 Ngược lại tứ giác ABCD có A+C =1800 B+D=1800 ABCD nội tiếp.
9 Để c/m tứ giác ABCD nội tiếp ta có cách sau: a Chỉ A+C =1800.
b Chỉ B+D=1800.
c Chỉ bốn điểm A; B;C D thuộc đường trịn cụ thể d Chỉ góc nội tiếp A B nhìn CD góc
(12)1 Cho ▲ ABC có AB>AC Vẽ ba đường cao AH; BK CF; I trực tâm ▲ ABC Nêu tên tứ giác nội tiếp đường tròn nối HK; KF FH
2 cho góc nhọn xOy Trên cạnh Ox lấy A B: OA=2cm; OB=6cm Oy lấy hai điểm C D: OC=3cm; OD=4cm nối BD AC c/m: ABCD nội tiếp Cho (O) A (O) Từ M tiếp tuyến A vẽ cát tuyên MBC Gọi I
trung điểm BC C/m: AMIO nội tiếp
Vấn đề: đa giác ngoại tiếp nội tiếp đường tròn.
1 Đa giác đa giác có tất cạnh góc
2 Đa giác nội tiếp (O) đa giác có đỉnh nằm (O) Khi đường trịn gọi ngoại tiếp đa giác
3 Đa giác ngoại tiếp (O) đa giác có cạnh tiếp xúc (O) Khi (O) gọi ngoại tiếp đa giác
4 Mỗi đa giác có đường trịn ngoại tiếp đường trịn nơị tiếp hai đường đồng tâm Tâm giao điểm hai đường trung trực hai cạnh hai đường phân giác hai góc
5 Bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác khoảng cách từ tâm đến đỉnh: OA= Bán kính đường trịn nội tiếp đa giác khoảng cách từ tâm O đến cạnh
Khoảng cách gọi trung đoạn đa giác Cho n giác cạnh a đó:
7.1 Chu vi đa giác: 2p= na với p nửa chu vi (tên thường dùng) 7.2 Mỗi góc có số đo: A=B=…=
0 (n 2).180
n
7.3 Bán kính đường trịn ngoại tiếp: R=
0 180 2sin
a
n .(dùng tỉ số lượng giác).
7.4 Bán kính đường tròn nội tiếp r=
0 180 tan
a n . 7.5 Ta có: R2-r2 = a2/4.
7.6 Diện tích đa giác đều: S= n/2.a.r
Bài tập:
1 Cho (O; R) Nêu cách vẽ hình vng ABCD nội tiếp (O) Tính trung đoạn hình vng theo R
2 Cho ▲ ABC cạnh 6cm
a Vẽ đường tròn ngoại tiếp ▲ ABC b Vẽ đường tròn nội tiếp ▲ ABC c Tính hai bán kính R r
3 Cho (O; 6cm) Nêu cách vẽ lục giác nội tiếp Tính trung đoạn lục giác (dùng hai đường tròn phụ)
Vấn đề: độ dài đường trịn diện tích hình trịn.
(13)3 Nếu cho cung n0 (O; R) độ dài cung là:
0 180
R n l
Vì đường trịn 3600 dài 2
R nên 10 dài
2 R 360 180
R
sau ta nhân lên Diện tích của(O; R) : S= R2
5 Trên (O; R) cho cung AB có số đo n0 hình quạt OAB có diện tích:
Squạt OAB =
0
0 360
n R
.= lab.R/2
6 Hình viên phân ta lấy phần quạt bỏ tam giác OAB viên phân : tính diện tích viên phân lấy Sh.quạt- Stgiac OAB
7 Hình xuyến hình tạo có hai đường trịn đồng tâm (O; R) (O; r) với R > r Bằng cách lấy đường tròn lớn bỏ đường trịn nhỏ Phần hình xuyến
Vậy: Sxuyến = Stron lớn- Stròn nhỏ = ( R2-r2)
8 =3.14… thường dùng =3.14
Bài tập:
1 Cho = 3,14 điền vào bảng sau:
R Đường kính d Độ dài C Diện tích
6
94,2
28,26
2 Cho (O; 10cm) tính độ dài cung có số đo: 300; 600 1200 lấy
=3,14
3 Đường trịn (O; R) có độ dài cung AB 1cm số đo cung AB 300 Tính
bán kính R
4 Cho (O; 10cm) tính diện tích hình quạt trịn ứng với cung 600; 900 1200.
5 Cho nửa đường trịn (O; 10cm) có đường kính AB Vẽ hai nửa đường trịn đường kính OA OB nửa dường trịn (O; 10cm) Tính diện tích phần nằm ba đường tròn
6 Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC, lấy A (O) cho AB < AC Vẽ hai nửa đường trịn đường kính AB AC phía ngồi tam giác ABC
C/m: SABC tổng hai diện tích hai hình trăng khuyết phía ngồi (O)
Vấn đề: phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
1 Ta ba điểm tạo thành góc bẹt (1800).
2 Vận dụng tính chất đường đồng quy
3 C/m hai tia AB AC trùng theo tiên đề Ơclit(cùng song song đường) Chỉ điểm nằm đường
5 Có thể AB+BC=AC Bài tập:
(14)2 Cho ▲ ABC có AB < AC, tia đối BA CA lấy hai điểm D E: BD=CE Gọi I trung điểm BC, M trung điểm DE Vẽ hai hình bình hành BIFD CIGE ngồi ▲ ABC C/m: F; M G thẳng hàng
3 cho ▲ ABC vng A gọi H hình chiếu A xuống BC vẽ tiếp tuyến BD CE với đường tròn (A; AH) c/m: D; A E thẳng hàng
4 cho (O) (O’) cắt A B qua A kẽ cát tuyến cắt (O) C (O’) D đường kính DO’I cắt đường kính COC’ M c/m: A; I vàC’ thẳng hàng
5 Cho nửa đươừng tròn (O) đường kính AC nửa đường trịn (O’) đường kính AB với AB < AC tiếp xúc A Vẽ đường vng góc trung điểm I BC gặp nửa (O) M; vẽ tiếp tuyến PD với (O’) C/m:A; D M thẳng hàng
Vấn đề: phương pháp c/m hai đoạn thẳng nhau.
1 Dùng hai tam giác
2 Dùng tính chất tam giác; hình thang cân; hình bình hành;…
3 Sử dụng tính chất đường chéo hình Tính chất đường trung bình Sử dụng tính chất bắc cầu
Bài tâp:
1 Cho hình vng ABCD tâm O; qua O kẽ hai đường MON EOF vng góc O với M; N AB CD E;F AC BC C/m: MN=EF
2 Cho tam giác ABC cân A Một điểm M AB tia đối tia CA lấy N:
CN=BM Nối MN cắt BC I.c/m: MI=IN
3 Cho ▲ ABC có AB<AC Qua trung điểm M BC vẽ đường vuông gócvới phân giác góc A cắt AB I AC K C/m: BI=CK
4 Cho nửa (O) có đường kính AB=2R Lấy hai điểm C D cung AB: cung AC; CD BD Kéo dài dây AC đoạn: EC=AC kéo dài AD đoạn DI=AD Nối BI C/m: BI=AE
5 Cho ▲ ABC có AB > AC góc A gấp đơi góc B Một điểm M AB D
trên tia đối AC: AM=AD Nối DM kéo dài cắt BC N C/m: MN=BN
Vấn đề:phương pháp c/m hai đường thẳng vng góc.
1 Hai đường thẳng vng góc hai đường thẳng cắt góc tạo thành có góc vuông 900.
2 Cho điểm O d có đường thẳng qua O d
3 Cho a//b c a c b
4 Ngồi ta cịn dùng tính chất khác xem hai đường thẳng hai cạnh tam giác vuông Xét tính chấtấtm giác cân; tam giác vng; hình thoi, hình chữ nhật;… Để c/m hai đường thẳng vng góc
Bài tập:
1 Cho ▲ ABC Trên tia đối CB lấy điểm M cho CM=AB C/m: AM
AB
2 Cho hình vng ABCD, cạnh BC lấy M tia đối tia CD lấy N: CN=CM C/m: DM BN
(15)4 Cho (O) Vẽ hai tiếp tuyên xy // x’y’ với hai tiếp điểm A B; vẽ hai tiếp tuyến t //t’ với C D hai tiếp điểm t cắt xy x’y’ M; N t’ cắt xy x’y’ K I C/m: MI NK
5 Cho (O) đường kính AB Kéo dài AB đoạn BC kéo dài dây cung AD đoạn DM cho AB.AC=AD.AM C/m: MC AB
Vấn đề: c/m hai đường thẳng song song.
1 Hai đường thẳng song song hai đường thẳng khơng có điểm chung( khơng làm gì)
2 Hai đường thẳng song song có đường thẳng cắt qua tạo cặp: 2.1 So le
2.2 Đồng vị
2.3 Các góc phía đồng vị
3 Hai đường thẳng vng góc đường thứ ba song song Hai cạnh đối hình bình hành song song
5 Tính chất dường trung bình tam giác hình thang
6 Các tính chất hình khác hình hộp chữ nhật… Tính chất bắc cầu: a//b b//c a//c
Bài tập:
1 Cho ▲ ABC có AB<AC Ba trung tuyến AM; BD CK Từ K kẽ Kx//BD từ D kẽ Dy//AB hai đường gặp I C/m: AM//CI
2 Cho (O) có hai đường kính AB CD vng góc Từ C kẽ Cx cắt AB M (O) N Đường vng góc với AB M cắt tiếp tuyến với (O) vẽ từ N I Vẽ tiếp tuyến ID C/m: Cx //OI
3 Cho hình năm cạnh lồi ABCDE Gọi M; N ;H K trung điểm cạnh AB; CD; BC DE Nối MN HK Gọi I; F trung điểm MN HK C/m: IF//AE
Vấn đề: c/m đường thẳng đồng quy.
1 Các đường thẳng đồng quy đường thẳng qua điểm Ta điểm O c/m đường thẳng qua Ta gọi O giao điểm hai đường thẳng đường cịn lại qua Ta dùng tính chất đường chéo hình bình hành; hình chữ nhật để
đường qua trung điểm cạnh
5 Vận dụng tính chất đường đồng quy tam giác Ta vận dụng định lí Talet đảo đoạn song song Bài tập:
1 Cho ▲ ABC có AB <AC H trực tâm Gọi M; N; P trung điểm cạnh: AB; BC AC E; F G trung điểm AH; BH CH C/m: MG; PF EN đồng quy
2 Cho tứ giác lồi ABCD Gọi E; F; G H trung điểm cạnh: BC; AB; AD CD I; J trung điểm hai đường chéo BD AC C/m: FH; GE IJ đồng quy
(16)4 Cho ▲ ABC có AB<AC Vẽ phía ngồi tam giác ba hình vuông: ABHI; ACED BCFG Nối DI; EF GH Gọi AJ; BK CL lấn lượt ba đường cao ▲ AID; ▲ BHG ▲ CEF.c/m: AJ; BK CL đồng quy
( Sử dụng trung điểm ▲ ABCtính chất trung tưyến)
Vấn đề: c/m hệ thức hình học.
1 Tức ta phải c/m đẳng thức từ kiện đề cho
2 Ta thường dùng công thức tam giác vuông xuất góc vng (xem phần trước)
3 Ta dùng phương pháp hai tam giác đồng dạng để c/m tỉ số từ tỉ số ta suy đẳng thức cần c/m
4 Chú ý sử dụng tính chất bắc cầu nhiều tam giác đồng dạng Vận dụng công thức diện tích phân tích hình thành nhiều tam giác
cộng diện tích lại
6 Sử dụng tam giác để chuyển cạnh cần thiết
7 Dùng tính chất đường trung bình; hình bình hành; đoạn chắn bỡi đường thẳng //…
Bài tâp:
1 Cho (O) có đường kính AB Qua A kẽ tiếp tuyến xy Một điểm M Ax; nối
BM cắt (O) C C/m: MA2= MB.MC.
2 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) D điểm cung BC (cung nhỏ) CD AB kéo dài cắt M; BD AC kéo dài cắt N
C/m:AB2= BM.CN.
3 Cho ▲ ABC có AB<AC Từ M AB vẽ MEF //BC cắt AC E đường
thẳng song song AB vẽ từ C F AC cắt BF I C/m: IC2 = IE.IA.
4 Cho hình chữ nhật ABCD có AB=36mm; AD=24mm Từ D nối đến trung điểm M AB cắt AC I CB kéo dài K C/m: ID2=IM.IK.
5 Cho ▲ ABC vuông A Vẽ phân giác AD góc A (D BC) Gọi
khoảng cách từ D đến AB d C/m:
1 1
d b c (sdct S).
6 Cho (O; R) hai dây cung song song AD BE hai phía dây AB hợp với AB góc 450 Nối DE cắt AB M
C/m: MA2+MB2+MD2+ME2= 4R2.
(Sdtccung c/m:M=1vuông Kẽ đường kính BC xét tchìnhthang cung ▲v)
Vấn đề: c/m tứ giác nội tiếp.
Để c/m tứ giác ABCD nội tiếp ta có cách sau: Chỉ A+C =1800.
2 Chỉ B+D=1800.
3 Chỉ bốn điểm A; B;C D thuộc đường trịn cụ thể Chỉ góc nội tiếp A B nhìn CD góc
(17)1 Cho (O) đường kính AB M điểm tiếp tuyến xBy AM cắt (O) C; lấy D BM; nối AD cắt (O) I C/m: CIDM nội tiếp
2 Cho ▲ ABC vng A có AB=5cm AC= 3cm Đường cao AH (H BC) Đường tròn (H; HA) cắt AB D AC E C/m: CEBD nội
tiếp
3 Cho (O) đường kính AB; từ A B vẽ Ax AB By BA Vẽ tiếp tuyến
x’My’ (tiếp điểm M) cắt Ax C By D OC cắt AM I OD cắt BM K C/m: CIKD nội tiếp
4 Cho (O) đường kính AB, vẽ bán kính OC AB Từ B vẽ tiếp tuyến Bx Gọi
M trung điểm OC, AM kéo dài cắt đường tròn E Bx I Tiếp tuyến từ E cắt Bx D C/m: MODE nội tiếp
Vấn đề: tính góc.
1 Để tính góc ta dùng tính chất góc đối đỉnh; góc kề bù; góc phụ Các tính chất góc tam giác; góc góc ngồi
3 Vận dụng tính chất tổng góc tam giác; tứ giác
4 Vận dụng tính chất phân giác; phân giác phân giác vng góc Vạn dụng tính chất góc nội tiếp
6 Vận dụng tính chất tam giác đồng dạng
7 Các tính chất góc hai đường thẳng song song
8 Các tính chất hình thang; hình thang cân; hình bình hành; hình thoi;… Bài tâp:
1 Cho ▲ ABC cân A góc A 200 Lấy D
AC cho góc CBD=600
và lấy E AB: góc BCE=500 Tính góc BDE
2 Cho ▲ ABC cân A có trung tuyến AM phân giác CD Tính góc A biết AM=CD/2
3 Cho ▲ ABC cân A A=800 Lấy I ▲ ABC cho: góc IBC=100
và ICB=300 Tính góc BIA.
4 Cho (O) có đường kính AB Dây cung AC> BC Trên đường AC lấy hai điểm M N đối xứng qua C BC=MC=CN Tính góc ANB AMB Cho tứ giác ABCD có AB= 3 cm; BC=3cm ; CD=23 cm góc
BAD=ADC=600 Tính góc: ABC BCD.
6 Cho ▲ ABC có AB<AC Gọi (O) đường tròn nội tiếp ▲ ABC Các tiếp điểm thuộc cạnh AB AC M N Gọi K giao điểm phân giác góc BAC MN Tính góc AKC
7 Cho ▲ ABC nội tiếp (O; R) cho: BC-CA=R BC.CA=R2 Tính góc
▲ ABC
Vấn đề: c/m đường thẳng qua điểm cố định. Vấn đề: c/m lượng không đổi.