Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chương trình thay sách giáo khoa 2008 Click Bài 2 :... Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng Định nghĩa : Cho mặt phẳng ... Hãy viết phương
Trang 1Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
Chương trình thay sách giáo khoa 2008
Click
Bài 2 :
Trang 2I Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
Định nghĩa :
Cho mặt phẳng () Nếu vectơ a 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng () thì
n được gọi là vectơ pháp tuyến của ()
Chú ý : Nếu n là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì k n k . 0
cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó
Bài toán : Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng () và 2 vectơ không cùng phương
1; ;2 3 ; 1; ;2 3
a a a a b b b b có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng () Chứng minh rằng mặt phẳng () nhận vectơ :
2 3 3 2; 3 1 1 3; 1 2 2 1
n a b a b a b a b a b a b làm vectơ pháp tuyến
Giải : Ta có : a n a a b 1 2 3 a b3 2 a a b2 3 1 a b1 3 a a b3 1 2 a b2 1
1 2 3 1 3 2 2 3 1 2 1 3 3 1 2 3 2 1
a a b a a b a a b a a b a a b a a b
0
Tương tự : b n 0
Click
Trang 3Vậy vectơ n vuông góc với cả hai vectơ a & b
n b
a
'
a
'
b
Có nghĩa là giá của nó vuông góc với 2 đường
thẳng cắt nhau của mp () Suy ra giá của n
vuông góc với mp ()
vì a & b không cùng phương nên các
tọa độ của n không đồng thời bằng 0
Suy ra n 0 Nên n là một vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng ()
Vectơ n xáx định như trên
được gọi là tích có hướng ( Tích vectơ )
của 2 vectơ a & b ký hiệu là : n = a b hay :
n = a,b
Áp dụng : Trong kg Oxyz cho 3 điểm A(2;-1;3) B(4;0;1) C(-10;5;3) Hãy tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của mp (ABC)
Giải :
2;1; 2
12;6;0
AC
n AB AC 1.0 6 2 ; 1 12 2.0;2.6 1 12
2 3 3 2; 3 1 1 3; 1 2 2 1
n a b a b a b a b a b a b
12;12; 24 12 1;1; 2
Trang 4II Phương trình tổng quát của mặt phẳng :
Bài toán 1 :
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng () đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và nhận
; ;
n A B C làm vectơ pháp tuyến Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để điểm
M (x ; y ; z) thuộc mặt phẳng () là : A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C (z – z 0 ) = 0
Giải :
Ta có :
n
M 0
M
M M x x y y z z
M M M
0
0
n M M
Click
Trang 5Bài toán 2 :
Trong không gian Oxyz , chứng minh rằng tập hợp các điểm M(x ; y ; z) thõa mãn phương trình : Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó A , B , C không đồng thời bằng 0)
là một mặt phẳng nhận vectơ
Giải :
Ta lấy điểm M0 x y z0; ;0 0
; ;
n A B C làm vectơ pháp tuyến
sao cho Ax0 By0 Cz0 D 0 và A 0
Thì ta lấy x0 D ; y0 z0 0
A
Gọi () là mặt phẳng đi qua M 0 và nhận n A B C; ; làm vectơ pháp tuyến
Ta có : M A x x 0 B y y 0 C z z 0
0 0 0
0
Ax By Cz
Từ 2 bài toán trên có định nghĩa sau :
Click
Trang 6Định nghĩa :
Phương trình có dạng : Ax + By + Cz + D = 0 , trong đó A , B , C không đồng
thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng
Nhận xét :
a) Nếu mặt phẳng () có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có
một vectơ pháp tuyến là : n A B C ; ;
b) Phương trình mặt phẳng đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) nhận vectơ n A B C ; ; 0
làm vectơ pháp tuyến là : A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0
Áp dụng :
1 Hãy tìm một vectơ pháp tuyến của mp : 4x – 2y – 6z + 7 = 0
Giải : n4; 2; 6
2 Lập phương trình tổng quát của mp(MNP) với M(1;1;1) N(4;3;2) P(5;2;1)
Giải : Phương trình mp đi qua M ; N ; P thõa
0
A B C D
0
A B
A B C
4 5
Trang 7Các trường hợp riêng :
Trong không gian Oxyz cho mp () : Ax + By + Cz + D = 0 (1)
a) Nếu D = 0
Thì gốc tọa độ O có tọa độ thõa mãn
phương trình của mặt phẳng () Vậy ()
đi qua gốc tọa độ O
z
y O
x
)
Ax + By + Cz = 0
b) Nếu một trong 3 hệ số A , B , C
bằng 0 ví A = 0
Thì mặt phẳng () có vectơ pháp tuyến
0; ;
n B C Ta có n i 0 do .i
là vectơ chỉ phương của Ox , nên suy ra () song song hoặc chứa trục Ox
z
y O
x
)
By + Cz + D = 0
z
y O
x
)
Ax + Cz + D = 0
z
y O
x Ax + By + D = 0
)
Click
Trang 8* Áp dụng : Nếu B = 0 ; C = 0 thì mp () có đặc điểm gì ?
B = 0 thì () song song hoặc chứa trục Oy
C = 0 thì () song song hoặc chứa trục Oz ( ) song song hoặc chứa Oy và Oz
c) Nếu 2 trong 3 hệ số A , B , C bằng 0 Ví dụ A = B = 0 và C ≠ 0
thì suy ra () song song hoặc chứa trục Ox ; Oy Vậy () song song hoặc trùng mp(Oxy)
z
y O
x
D C
Cz + D = 0
z
y O
x
D B
By + D = 0
z
y O
x
D A
Ax + D = 0
* Nếu A = C = 0 và B ≠ 0 hoặc B = C = 0 và A ≠ 0 thì mp () có đặc điểm gì ?
Xem hình thứ 2 và thứ 3 để nêu đặc điểm Click
Trang 9Nhận xét :
* Nếu các hệ số A , B , C , D đều khác 0 thì bằng cách đặt a D;b D ; c D
Thì dưa phương trình (1) về dạng : x y z 1
a b c (2)
Khi đó mặt phẳng () cắt các trục Ox , Oy , Oz
tại các điểm có tọa độ ( a ; 0 ; 0) ( 0; b ; 0) và (0 ; 0 ; c)
phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn
Người ta còn gọi phương trình (2) là
z
y O
x a
b
c
Ví dụ : Trong không gian Oxyz cho 3 điểm
M(1;0;0) N(0;2;0) P(0;0;3) Hãy viết
phương trình mặt phẳng (MNP)
* Giải :
Áp dụng phương trình mp đoạn chắn có : 1
Hay 6x + 3y + 2z - 6 = 0
Click
Trang 10III Điều kiện để hai mặt phẳng song song , vuông góc :
Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng () và () có phương trình :
() : x – 2 y + 3z + 1 = 0 và () : 2x – 4y + 6z + 1 = 0
Có nhận xét gì về vectơ pháp tuyến của chúng ?
Vectơ pháp tuyến của () ; () là : n 1; 2; 3
2; 4; 6 2 1; 2; 3
Vậy : n 2.n
Và tích có hướng của chúng là :
0; 0; 0
Tổng quát : Trong không gian Oxyz cho hai mp ( 1 ) ; ( 2 ) có phương trình :
( 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ; ( 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
Có 2 vectơ pháp tuyến :
1 1 ; 1 ; 1 ; 2 2 ; 2 ; 2
Ta đi xét điều kiện để hai mp ( 1 ) và ( 2 ) song song hoặc vuông góc
Click
Trang 111 Điều kiện để hai mặt phẳng song song :
1 )
2 )
1
n
2
n
Ta nhận thấy hai mp ( 1 ) và ( 2 ) song song
hoặc trùng nhau khi và chỉ khi chúng cùng
vuông góc với một đường thẳng Nghĩa là hai
vectơ pháp tuyến n 1 ; n2
và chúng cùng phương Có :
1 2
• Nếu D 1 = k D 2 thì ( 1 ) và ( 2 ) trùng nhau
• Nếu D 1 ≠ k D 2 thì ( 1 ) và ( 2 ) song song
Vậy có kết luận sau :
Click
Trang 12Chú ý : Hai mp ( 1 ) và ( 2 ) cắt nhau n1 k n. 2
2 )
1
n
2
n
1 )
Ví dụ :
Viết phương trình mặt phẳng () đi
qua M(1;-2;3) và song song với
mặt phẳng () : 2x – 3y + z + 5 = 0
Giải :
Vì mp () // () nên có vectơ pháp tuyến là :
2; 3;1
Vì mp () đi qua điểm M(1;-2;3) nên có phưoơng trình :
() : 2(x – 1) – 3(y + 2) + (z – 3) = 0 hay () : 2x – 3y + z – 1 = 0
Click
Trang 132 Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc :
2 )
1
n
2
n
1 )
Hai mp ( 1 ) và ( 2 ) vuông góc với nhau
Khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến n 1 & n2
tương ứng vuông góc với nhau
Vậy : 1 2 n 1 . n2 0
1 2 1 2 1 2 0
Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng () đi
qua 2 điểm M(3;1;-1) ; N(2;-1;4) và vuông góc với mặt phẳng () : 2x – y + 3z - 1 = 0
Giải : Vì mp () () nên nó song song hoặc chứa vectơ pháp tuyến n 2; 1;3
và mp () đi qua M , N nên chứa MN 1; 2;5
Vậy mp () có vectơ pháp tuyến là :
n MN n
1;3;5
Do đó mp () có phương trình là :
() : -1(x – 3) +3(y – 1) + 5(z + 1) = 0 x – 13 y – 5 z + 5 = 0
Click
Trang 14IV Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
Định lí :
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = 0
và điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) Khoảng cách từ M0 đến mp() là :
d M
Chứng minh :
Gọi M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ) là hình chiếu vuông góc của M 0 trên mp()
)
n
M 1
M 0
Xét 2 véctơ M M 1 0 x0 x1 ; y0 y1 ; z0 z1
và n A B C; ; là cùng phương Suy ra :
1 0 1 0
mà M 1 () nên : Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 Vậy D = - Ax 1 – By 1 – Cz 1 (2)
Thế (2) vào (1) có M M1 0 n Ax0 By0 Cz0 D
Gọi d(M 0 ; ()) = M 0 M 1 Ax0 By0 Cz0 D
n
Trang 15Ví dụ 1 : Tính khoảng cách từ gốc tọa độ và từ điểm M(1;-2;13) đến mặt phẳng
() : 2x – 2y – z + 3 = 0
Giải : Áp dụng công thức có :
2 2 2
2.0 2.0 1.0 3 3
3
2 2 2
2.1 2 2 1.13 3 4
;
3
Tính khoảng cách từ gốc tọa độ và từ điểm M(1;-2;13) đến mặt phẳng () : 2x – 2y – z + 3 = 0
Ví dụ 2 : Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song () : x + 2y + 2z + 11 = 0
và () : x + 2y + 2z + 2 = 0
Giải : Lấy 1 điểm bất kỳ của mp () ví dụ M(0 -11 ; 0 ; 0) Tính
2 2 2
3
Áp dụng : Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
() : x - 2 = 0 và () : x – 8 = 0
2 2 2
1
Trang 16Bài tập trắc nghiệm :
(1) : Cho mặt phẳng () đi qua điểm M(0;0;-1) và song song với giá của 2 vectơ
1; 2; 3 & 3; 0; 5
a b Phương trình mặt phẳng () là :
(2) : Cho 3 điểm A(0;2;1) B(3;0;1) C(1;0;0) Phương trình mp (ABC) là :
Click
Trang 17(3) : Gọi () là mp cắt ba trục tọa độ tại 3 điểm A(8;0;0) B(0;-2;0) C(0;0;4)
Phương trình mặt phẳng () là :
8 2 4
x y z
4 1 2
x y z
(4) :
Cho 3 mặt phẳng () : x + y + 2z + 1 = 0 () : x + y – z + 2 = 0 () : x – y + 5 = 0 Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào sai ?
A
B
C
//
D
Click
Trang 18V Bài tập :
Bài tập về nhà 1;2;3;4;5;6 ;7;8;9;10 trang 80 ; 81 sgk hh12 - 2008