S6 CHUYEN đề 3 CHỦ đề 1 PP PHAN TICH THANH THUA SO

CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CĨ DƯ Chủ đề 1: Phương pháp phân tích thành thừa số để chứng minh toán chia hết PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.PHÉP CHIA HẾT Với a, b số tự nhiên b khác Ta nói a chia hết cho b tồn số tự nhiên q cho a = b. q 2.TÍNH CHẤT CHUNG 1) 2) 3) a Mb a Ma 0Mb bMc a Mc với a khác với b khác 4) Bất số chia hết cho 3.TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU - Nếu a, b chia hết cho m a+b chia hết cho m a-b chia hết cho m - Tổng số chia hết cho m số chia hết cho m số cịn lại chia hết cho m - Nếu số a, b chia hết cho m số không chia hết cho m tổng, hiệu chúng khơng chia hết cho m 4.TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TÍCH - Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n a.b chia hết cho - Nếu a chia hết cho b thì: m.n a n Mb n *) Chú ý: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ (a n (a n ) - b n M( a − b ) , ∀ n ≥ ) - bn M(a + b), ∀n chẵn 5.DẤU HIỆU CHIA HẾT a) Dấu hiệu chia hết cho 2: số chia hết cho chữ số tận số số chẵn b) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 9): số chia hết cho (hoặc 9) tổng chữ số số chia hết cho (hoặc 9) *) Chú ý: Một số chia hết cho (hoặc 9) dư tổng chữ số chia cho (hoặc 9) dư nhiêu ngược lại c) Dấu hiệu chia hết cho 5: số chia hết cho chữ số số có tận d) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 25): số chia hết cho (hoặc 25) hai chữ số tận số chia hết cho (hoặc 25) e) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 125): số chia hết cho (hoặc 125) ba chữ số tận số chia hết cho (hoặc 125) f) Dấu hiệu chia hết cho 11: số chia hết cho 11 chi hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11 PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Chứng minh biểu thức số có chứa lũy thừa chia hết cho số tự nhiên biểu thức số I.Phương pháp giải: -Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử (phân tích thành thừa số) để xét tính chất chia hết - Chứng minh hai biểu thức chia hết cho biểu thức số khác II.Bài toán Bài 1: Chứng minh rằng: A = 27 27 + 377 chia hết cho 82 Lời giải ( ) A = 27 27 + 377 = 33 Ta có 27 ( ) + 377 = 381 + 377 = 377 34 + = 82.377 M 82 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC (đpcm) Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Bài 2: Chứng minh rằng: a) c) A = 55 − 54 + 53 M7 b) C = 817 − 279 − 913 M45 F = 165 + 215 M33 e) d) B = 106 − 57 M59 D = 109 + 108 + 107 M555 222 Lời giải A = 55 − 54 + 53 = 53 (52 − + 1) = 53.21M7 a) Ta có B = 106 − 57 = (2.5)6 − 57 = 56 (26 − 5) = 59.56 M59 b) Ta có C = 817 − 279 − 913 = 28 −327 − 326 = 326 (32 − − 1) = 5.326 M5.32 c) Ta có D = 109 + 108 + 107 = 107 (102 + 10 + 1) = 111.10 = 111.(2.5) = 222.26.57 M222(= 555.27.56 M555) d) Ta có F = 165 + 215 = 20 + 215 = 215 (25 + 1) = 33.215 M33 e) Ta có Bài 3: Chứng minh rằng: a) c) A = 251 − 1M7 b) B = 1719 + 1917 M 18 C = 3663 − 1M7 Lời giải A = 251 − = ( 23 ) − = ( 23 − 1) ( 248 + 245 + + 1) = ( 48 + 45 + + 1) M7 17 a) Ta có B = 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 − 1) b) Ta có 1719 + = (1719 + 1718 ) − (1718 + 1717 ) + (1717 + 1716 ) − + (17 + 1) Mà TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ = 1718 ( 17 + 1) − 1717 ( 17 + 1) + 1716 ( 17 + 1) − + ( 17 + 1) = 18.1718 − 18.1717 + 18.1716 − + 18 ( 1) = 18.(1718 − 1717 + 1716 + + 1) M 18 1917 − = ( 1917 − 1916 ) + ( 1916 − 1915 ) + ( 1915 − 1914 ) + + ( 19 − 1) Mà = 1916 ( 19 − 1) + 1915 ( 19 − 1) + 1914 ( 19 − 1) + +( 19 − 1) = 1916.18 + 1915.18 + 1914.18 + +18 = 18.(1916 + 1915 + 1914 + +1) M 18 ( 1) Từ ( 2) ⇒ B = 1719 + 1917 M 18 ( 2) (đpcm) C = 3663 − = ( 36 63 − 36 62 ) + ( 36 62 − 36 61 ) + ( 36 61 − 36 60 ) + + (36 − 1) c) Ta có C = 3662 ( 36 − 1) + 3661 ( 36 − 1) + 3660 ( 36 − 1) + + (36 − 1) C = 3662.35 + 3661.35 + 3660.35 + + 35 C = 35 ( 3662 + 3661 + 3660 + + 1) M7 (đpcm) Bài 4: Chứng minh rằng: a) A = 165 + 215 M 33 b) B = 88 + 220 M 17 Lời giải A = 165 + 215 = (24 )5 + 215 = 220 + 215 = 215.(25 + 1) = 215.33M33 a) Ta có B = 88 + 220 = (23 )8 + 220 = 224 + 220 = 220.(24 + 1) = 220.17 M 17 b) Ta có TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Bài 5: Cho A = 20 + 21 + 22 + 23 + + 299 Chứng minh A chia hết cho 31 Lời giải Nhận xét: Để chứng minh tổng lũy thừa chia hết cho số k ta cần thực nhóm số hạng để biến đổi tổng dạng tích số k với biểu thức A = 20 + 21 + 2 + 23 + + 299 = ( 20 + 21 + 22 + 23 + 24 ) + 25 ( 20 + 21 + 22 + 23 + 24 ) + + 295 ( 20 + 21 + 2 + 23 + ) = ( 20 + 21 + 22 + 23 + 24 ) ( + 25 + 210 + + 295 ) = 31 ( + 25 + 210 + + 295 ) M 31 Bài 6: Cho A = + + 22 + 23 + + 299 A = 2100 − Chứng minh A chia hết cho 3; 15; 31 Lời giải Ta có A có 100 số hạng A = (1 + 2) + (22 + 23 ) + + (298 + 299 ) a) Ta có = + 22.(1 + 2) + + 298.(1 + 2) = 3.(1 + 22 + 24 + + 298 ) M3 A = (1 + + 22 + 23 ) + (2 + 25 + 26 + 27 ) + (296 + + 299 ) b) Ta có = 15.(1 + 24 + + 296 ) M 15 Bài 7: Cho M = + + 32 + 33 + + 3118 + 3119 Chứng minh M chia hết cho 13 Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CĨ DƯ Ta có: M = (1 + + 32 ) + (33 + 34 + 35 ) + + (3117 + 3118 + 3119 ) = (1 + + 32 ) + 33 (1 + + 32 ) + + 3117.(1 + + 32 ) ⇒ M = 13 + 33.13 + + 13.3117 = 13.(1 + 33 + + 3117 ) M 13 Bài 8: Cho B = + + 32 + + 311 Chứng minh B chia hết cho Lời giải Ta có: B = + + 32 + + 311 = (1 + 3) + (32 + 33 ) + + (310 + 311 ) = + 32.(1 + 3) + + 310.(1 + 3) = + 32.4 + + 310.4 = 4.(1 + 32 + + 310 ) M4 Bài 9: Cho C = + 52 + 53 + + 58 Chứng minh C chia hết cho 30 Lời giải C = + 52 22 + 53 + + 58 = (5 + 52 ) + (53 + 54 ) + + (57 + 58 ) Ta có: = 30 + 52.(5 + 52 ) + + 56.(5 + 52 ) = 30 + 52.30 + + 56.30 = 30.(1 + 52 + + 56 )M30 Bài 10: Cho D = + 2 + 23 + + 260 Chứng minh D chia hết cho 3, 7, 15 Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CĨ DƯ Ta có: D = + 22 + 23 + + 260 = (2 + 22 ) + (23 + ) + + (259 + 260 ) = 2.(1 + 2) + 23.(1 + 2) + + 259.(1 + 2) = 2.3 + 23.3 + + 259.3 = 3.(2 + 23 + + 259 ) M3 D = + 22 + 23 + + 260 = (2 + 22 + 23 ) + (2 + 25 + 26 ) + + (258 + 259 + 260 ) = 2.(1 + + 22 ) + 4.(1 + + 22 ) + + 258.(1 + + 2 ) = 2.7 + 24.7 + + 258.7 = 7.(2 + 24 + + 258 ) M7 D = + 22 + 23 + + 260 = (2 + 22 + 23 + 24 ) + (25 + 26 + 27 + 28 ) + + (257 + 258 + 259 + 60 ) = 2.(1 + + 22 + 23 ) + 25.(1 + + 22 + 23 ) + + 257.(1 + + 22 + 23 ) 57 15 = 2.15 + 25.15 + + 257.15 = 15.(2 + + + ) M Bài 11: Cho E = + + 32 + 33 + + 31991 Chứng minh E chia hết cho 13 41 Lời giải E = + + 32 + 33 + + 31991 = (1 + + 32 ) + (33 + 34 + 35 ) + + (31989 + 31990 + 31991 ) Ta có: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ E = 13 + 33.(3 + + 32 ) + + 31989.(1 + + 32 ) = 13 + 13.33 + + 31989.13 = 13.(1 + 33 + + 31989 )M 13 E = + + 32 + 33 + + 31991 E = (1 + 32 + 34 + 36 ) + (3 + 33 + 35 + 37 ) + + (31984 + 31986 + 31988 + 31990 ) + (31985 + 31987 + 31989 + 31991 ) E = (1 + 32 + 34 + 36 ) + 3.(1 + 32 + 34 + 36 ) + + 31984.(1 + 32 + 34 + 36 ) + 31985 (1 + 32 + 34 + 36 ) E = (1 + 32 + 34 + 36 ).(1 + + + 31984 + 31985 ) = 820.(1 + + + 31984 + 31985 ) = 41.20.(1 + + + 31984 + 31985 ) M41 Bài 12: a) Chứng minh rằng: b) Chứng minh rằng: c) Chứng minh rằng: d) Chứng minh rằng: 21 + 2 + 23 + + 2100 M3 + + 73 + + 2000 M S = 31 + 32 + 33 + + 31997 + 31998 M26 B = + 32 + 33 + + 3100 (có 100 số hạng) chia hết cho 120 Lời giải 21 + 22 + 23 + + 2100 = (21 + 22 ) + (299 + 2100 ) a) Ta có = 21 (1 + 2) + + 299 (1 + 2) = 3(21 + 23 + + 2999 ) M3 + + 73 + 74 + + 72000 = (7 + ) + (73 + ) + + (71999 + 2000 ) b) Ta có: = 7(1 + 7) + 73 (1 + 7) + + 71999 (1 + 7) = 8(7 + + + 71999 ) M 26 = 13.2, c) Ta có ta chứng minh S chia hết cho 13 Ta có S có 1998 số hạng, chia làm 666 nhóm TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ S = (31 + 32 + 33 ) + + (31996 + 31997 + 31998 ) = 13.(31 + 34 + + 31996 ) ⇒ SM 13.2 = 26 44 4 43 666so hang chanM B = (3 + 32 + 33 + 34 ) + + (397 + 398 + 399 + 3100 ) ⇒ BM 120 4 43 4 4 43 M 120 M 120 d) Ta có Bài 13: Cho C = + + 32 + 33 + + 311 Chứng minh a) C chia hết cho 13 b) C chia hết cho 40 Lời giải C = (1 + + 32 ) + (33 + 34 + 35 ) + + (39 + 310 + 311 ) = 13(1 + 33 + + 39 ) M 13 a) Ta có C = 40 ( + 34 + 38 ) b) Nhóm số hạng vào nhóm ta Bài 14: Chứng minh rằng: chia hết cho 40 (đpcm) A = 13 + 23 + 33 + + 1003 chia hết cho B = + + 100 Lời giải B = ( + 100 ) + ( + 99 ) + + ( 50 + 50 ) = 101.50 Ta có Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 101 A = (13 + 1003 ) + (23 + 993 ) + (503 + 513 ) A = (1 + 100)(12 + 100 + 1002 ) + (2 + 99)(22 + 2.99 + 992 ) + + (50 + 51)(502 + 50.51 + 512 ) A = 101(12 + 100 + 100 + 2 + 2.99 + 992 + + 50 + 50.51 + 512 ) M 101 ( 1) A = (13 + 993 ) + (23 + 983 ) + + (503 + 1003 ) ⇒ A M50(2) 14 43 14 43 42 43 M 50 M 50 M 50 Lại có: 50.101 = B Từ (1) (2) suy A chia hết cho TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Dạng 2: Chứng minh biểu thức đại số có chứa lũy thừa chia hết cho số tự nhiên I.Phương pháp giải: -Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử (phân tích thành thừa số) để xét tính chất chia hết -Vận dụng tính chất chia hết tổng, hiệu II.Bài toán Bài 15: Chứng minh rằng: A = n5 − nM 30 ∀n∈ ¢ a) , c) e) C = 3n + − 2n + + 3n − 2n M 10 b) B = n − 10n + 9M 384 với n lẻ n∈¢ D = 24.n − 1M 15, ∀n ∈ N d) C = 10 n + 18.n − 1M27 Lời giải A = n − n = n ( n − 1) a) Ta có = n ( n − 1) ( n + 1) ( n + 1) = ( n − 1) n ( n + 1) ( n + 1) M6 ( *) ( n − 1) n ( n + 1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho A = n − n = n ( n − 1) Mặt khác = n ( n − 1) ( n + 1) = n ( n − 1) ( n − + ) = n ( n − 1) ( n − ) + 5.n ( n − 1) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CĨ DƯ - Chứng minh biểu thức có chữ số tận chia hết cho số - Vận dụng tính chất chia hết tổng II.Bài tốn Bài 18: Chứng minh (n + 3).(n + 6) ∀n ∈ ¥ tích chia hết cho Lời giải Ta xét trường hợp: Nếu n số lẻ  n + số chẵn;  n + số lẻ Mà số chẵn nhân với số lẻ có tận số chẵn ⇒ ( n + 3)( n + 6)M2 Mếu n số chẵn n +3 số lẻ; n+6 số chẵn Mà tích số lẻ với số chẵn có tận chữ số chẵn ⇒ (n + 3).(n + 6) M2 Vậy với n thuộc N tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho (đpcm) (1005.a + 2100.b) Bài 19: Chứng minh chia hết cho 15 với a, b thuộc ¥ Lời giải 1005M3 Vì Vì 2100M3 nên nên 1005. a M3 2100.bM3 với với ∀ a ∈ ¥ ∀b ∈ ¥ ⇒ (1005.a + 2001.b) M3, ∀a, b ∈ ¥ 1005M5 Vì Vì 2100M5 nên nên 1005.a M5 2100.bM5 với với ∀a ∈ ¥ ∀b ∈ ¥ ⇒ (1005.a + 2001.b)M5, ∀a, b ∈ ¥ TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ (3;5) = ⇒ (1005.a + 2001.b) M 15 Mà ∀a, b ∈ ¥ với Dạng 4: Chứng minh tốn chia hết theo tính chất hai chiều I.Phương pháp giải: - Vận dụng tính chất chia hết tổng II.Bài toán Bài 20: Chứng minh abcd a) b) c) abc chia hết cho 29 chia hết cho 21 m + 4.n ⇔ a + 3.b + 9.c + 27.d M29 ⇔ a + 2.b + 4.cM21 ⇔ 10.m + n M 13, ∀m, n ∈ ¥ chia hết cho 13 Lời giải a) Ta có: abcd M 29 ⇔ 1000.a + 100.b + 10.c + d M 29 ⇔ 2000.a + 200.b + 20.c + 2.d M29 ⇔ 2001.a − a + 203.b − 3.b + 29.c − 9.c + 29.d − 27.d M29 ⇔ (2001.a + 203.b + 29.c + 29.d) − (a + 3.b + 9.c − 27.d) M 29 ⇔ (29.69.a + 29.7.b + 29.c + 29.d) − (a + 3.b + 9.c − 27.d) M 29 ⇔ (a + 3.b + 9.c − 27.d) M 29 b) Ta có: abc M 21 ⇔ 100.a + 10.b + cM21 ⇔ (100.a − 84.a) + (10.b − 42.b) + (c + 63.c) + 84.a + 42.b − 63.c M21 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ ⇔ 16.a − 32.b + 64.c + 84.a + 42.b − 63.c M21 ⇔ (16.a − 32.b + 64.c) + (84.a + 42.b − 63.c) M 21 ⇔ 16.(a − 2.b + 4.c) + (21.4.a + 21.2.b − 21.3.c) M 21 ⇔ a − 2.b + 4.c M21 c) Ta có: m + 4.n M 13 ⇔ 3.(m + 4.n) M 13 ⇔ 3.m + 12.n M 13 ⇔ 13.m - 10.m + 13.n - n M 13 ⇔ (13.m + 13.n) - (10.m + n)M 13 ⇔ 13.(m + n) - (10.m + n) M 13 ⇔ (10.m + n)M 13 Ta có abcabc = abc000 + abc = 1000.abc + abc = 1001.abc = 7.11.13.abc M7;11;13 (đpcm) Bài 21: Chứng minh ab + cd + eg a) Nếu abcdeg chia hết cho 11 abc − deg M7 b) Nếu chia hết cho 11, điều ngược lại có khơng? abcdeg chia hết cho Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ abcdeg = 10000.ab + 100.cd + eg a) Ta có = 9999.ab + cd + eg ⇒ abcdeg M 11 { + ab 14 43 + 99.cd 42 43 M 11 M 11 M 11 Điều ngược lại abcdeg = 1000.abc + deg b) = 1001.abc − abc + deg = 1001.abc − deg) 14 43 − (abc 43 M M ⇒ abcdeg M7 Dạng 5: Chứng minh tốn có vận dụng tính chất chia hết để tìm số dư I.Phương pháp giải: - Vận dụng tính chất chia hết tổng II.Bài toán Bài 22: a) Chứng minh rằng: Tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho b) Chứng minh rằng: Tổng số chẵn liên tiếp chia hết cho 10, tổng số lẻ liên tiếp chia 10 dư Lời giải n + n + + n + = ( 3.n + 3) M3 a) Ta có tổng ba số tự nhiên liên tiếp là: tổng số tự nhiên liên tiếp với n số tự nhiên /4 n + n + + n + + n + = 4.n + M với n số tự nhiên 2.k + 2.k + + 2.k + + 2.k + + 2.k + = ( 10.k + 20 ) M 10 b) Tổng số tự nhiên chẵn liên tiếp k TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC với Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Tổng số tự nhiên lẻ liên tiếp (đpcm) 2.k + + 2.k + + 2.k + + 2.k + + 2.k + = 10.k + 25 chia cho 10 dư Bài 23: a) Chứng minh rằng: Với n thuộc N 60.n + 45 chia hết cho 15 không chia hết cho 30 b) Chứng minh khơng có số tự nhiên mà chia cho 15 dư chia dư c) Chứng minh rằng: A = n2 + n +1 không chia hết cho 5, ∀n ∈ ¥ Lời giải a) Ta có: 60M 15 ⇒ 60.n M 15 ⇒ 60.n + 45M 15 60M30 ⇒ 60.n M30 ⇒ 60.n + 45 (theo tính chất chia hết tổng) ; 45 không chia hết cho 30 khơng chia hết cho 30 (theo tính chất chia hết tổng) b) Giả sử có số a ∈¥ thỏa mãn hai điều kiện a = 15.q1 + 6M3  a = 9.q + khơng chia hết cho Đó điều mâu thuẫn Vậy khơng có số tự nhiên thỏa mãn (đpcm)  n.( n + 1) c) Vì tích hai số tự nhiên liên tiếp, hai số liên tiếp ln có số chẵn ⇒  n.( n + 1) số chẵn, cộng thêm số lẻ ⇒  n.( n + 1) + số lẻ ⇒  n.( n + 1) + không chia hết cho TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ  n.( n + 1) + Để chứng minh không chia hết cho ta thấy hai số n  n + có chữ số tận sau:  n ∈ { 0;1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9} Tương ứng số tận ⇒  n + 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;  n.( n + 1) tích tận 0; 2; 6; 0; 0; 2; 6; 2;  n.( n + 1) +1 Hay Bài 25: Cho tận là: 1; 3; không chia hết cho S = 32 + 34 + 3998 + 31000 a) Tính S b) Chứng minh S chia cho dư Lời giải a) Ta có tổng S có 100 số hạng S = 32 + 34 + 3998 + 31000 ⇒ 32.S = 34 + 3998 + 31000 + 31002 32.S − S = 31002 − 32 ⇒ S = 31002 − 32 b) Nhóm hạng tử với dư hạng tử dư (32 + 34 ) + (36 + 38 + 310 ) + + (396 + 398 + 3100 ) 14 43 44 43 4 43 =90M du M M S= Bài 26: Cho B = + 32 + 33 + + 3100 (có 100 số hạng) Tìm số dư chi B cho 82 Lời giải 30 + 34 = 82 Ta có , tổng hai lũy thừa cách số hạng chia hết cho 82 nên ta nhóm số hạng với dư số hạng B = (3 + 32 + 33 + 34 ) + (35 + 312 ) + + (393 + + 3100 ) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Ta chứng minh: 3 k + 3 k +1 + + 3 k + M 82 (3 k + 3 k + ) + (3 k +1 + 3 k +5 ) + (3 k +3 + 3 k.2+ ) = (3 k + 3 k +1 + 3 k + + 3 k +3 )(1 + 34 ) M 82 Thật vậy: (đúng) Vậy số dư chia B cho 82 số dư hạng tử lại là: + 32 + 33 + 34 cho 82 Kết luận: số dư 38 Bài 27: Tìm số nguyên dương n nhỏ cho viết tiếp số vào 2015 ta số chia hết cho 113 Lời giải Giả sử n có k chữ số Theo ta có: 2015.n M 113  k  k 2015.n = 2015 10 { + n = (17.13 + 94).10 + n  k chu so Có: ⇒ 2015.n M 13 ⇔ 94.10  k + n M 113(1)  k = ⇒ (1) ⇔ 94.10 + n M 113 ⇔ 8.113 + 36 + n M 113 ⇔ 36 + n M 113 +) < n ≤ ⇒ 36 + n M/ 113 ( loai )  k = ⇒ (1) ⇔ 94.102 +  n M 113 ⇔ 8.113 + 21 +  n M 113 ⇔ 21 +  n M 113 +) Mà 10 ≤ n ≤ 99 ⇒ 21 + n = 113 ⇔ n = 92 Vậy n = 92 giá trị cần tìm Bài 28: Chứng minh rằng: Nếu abcM 37 bca;cab chia hết cho 37 Lời giải Ta có: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ A = abc = (a.102 + b.10 + c)M37 ⇒ 10 A = (a.103 + b.10 + 10.c) M37 ⇒ 10 A = 1000.a + 102.b + 10.c ⇒ 10.A = 10 b +210.c { 44 4+3a + 999.a = bca + 999.a 37.27.a bca 10.A M 37 ⇒  bc a M 37 10. bc a M37;999. bM37 ⇒  c  abM37 Tương tự BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Lời giải a;a + 1; a + 2(a ∈ N) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a + a + + a + = ( 3.a + ) M3 Tổng ba số tự nhiên liên tiếp : (đpcm) Bài 2: Tổng số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho khơng? Lời giải a;a + 1;a + 2;a + ( a ∈ ¥ ) Gọi số tự nhiên liên tiếp là: Tổng số tự nhiên liên tiếp là: a + a + + a + + a + = 4.a + (4.a + 6) Do chia hết 4a chia hết cho mà không chia hết ⇒ không chia hết cho Tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Kết luận: Vậy lúc tổng n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 21 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ (495.a + 1035.b) Bài 3: Chứng minh chia hết cho 45 với a , b số tự nhiên Lời giải 495M9 Vì Vì 1035M9 nên 1980.a M9 nên 1035.b M9 với a với b (495.a +1035.b) M Nên (1980.a + 1995.b) M Chứng minh tương tự ta có: với a, b (9,5) = Mà ⇒ (495.a + 1035.b)M45 Bài 4: Chứng minh tích hai số chẵn liên tiếp ln chia hết cho Lời giải Gọi hai số chẵn liên tiếp là: 2.n; 2.n + ( n ∈ ¥ * ) 2.n ( 2.n + ) = 4.n ( n + 1) Tích hai số chẵn liên tiếp là: n; n + Vì n; n + khơng tính chẵn lẻ nên 4.n ( n + 1) Mà chia hết chia hết cho chia hết cho 4.2 ⇒ 4.n ( n + 1) M8 ⇒ 2.n ( 2.n + ) M8 Bài 5: Chứng minh a) Tích ba số tự nhiên liên tiếp ln chia hết cho TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 22 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CĨ DƯ b) Tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Lời giải n, n + 1, n + a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp n.(n + 1).(n + 2) Tích ba số tự nhiên liên tiếp Một số tự nhiên chia cho nhận số dư 0; 1; ⇒ n.(n + 1).(n + 2) M Nếu r = n chia hết cho Nếu r =1 n = 3.k + (k số tự nhiên) ⇒ n + = 3.k + +2 = (3.k +3) M ⇒ n.(n + 1).(n + 2) M Nếu r=2 n = 3.k + (k số tự nhiên) ⇒ n + = 3.k + +1 = (3.k +3) M ⇒ n.(n + 1).(n + 2) M n.(n + 1).(n + 2) Tóm lại: chia hết cho với n số tự nhiên ⇒ n.(n + 1).(n + 2) ( n + 3) M4 b Chứng minh tương tự ta có chia hết cho với n số tự nhiên Kết luận: Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Bài 6: Chứng minh rằng: a) b) ab + ba ab − ba chia hết cho 11 chia hết cho với a > b Hướng dẫn giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 23 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ ab + ba = (10.a + b) + (10.b + a) a) Ta có: = 11.a + 11.b chia hết cho 11 ab − ba = (10.a + b) − (10.b − a) b) Ta có: = 9.a − 9.b Bài 7: Chứng minh chia hết cho ab + cd M 11 abcd M 11 Hướng dẫn giải Ta có: abcd = 100.ab + cd = 99.ab + (ab + cd) M 11 Bài 8: Biết abcM27 chứng minh bca M 27 Hướng dẫn giải Ta có: abcM27 ⇒ abc0M27 ⇒ 1000.a + bc0 M 27 ⇒ 999.a + a + bc0M 27 ⇒ 27.37a + bca M 27 Vì 27.37a M27 nên bca M27 Bài 9: Cho chữ số 0, a, b Hãy viết tất số có ba chữ số tạo ba số Chứng minh tổng tất số chia hết cho 211 Hướng dẫn giải a0b ; ab0 ; ba0 ; b0a Tất số có ba chữ số tạo ba chữ 0, a, b là: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 24 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Tổng số là: a0b + ab0 + ba0 + b0a = 100.a + b + 100.a + 10.b + 100.b + 10.a + 100.b + a = 211a + 211b = 211 ( a + b ) M211 Bài 10: Chứng minh 21132000 − 20112000 chia hết cho Hướng dẫn giải Để số vừa chia hết cho số phải có chữ số tận ⇒ Cần chứng minh số bị trừ số trừ có chữ số tận Chú ý: Số tự nhiên a có chữ số tận an có chữ số tận ( 21132000 = 21134 21112000 ) 500 500 = ⇒ 21132000 có chữ số tận ln có chữ số tận ⇒ 21132000 − 20112000 ⇒ 21132000 − 20112000 có chữ số tận chia hết cho Bài 11: Chứng minh a) Nếu viết thêm vào đằng sau số tự nhiên có chữ số gồm chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 11 b) Nếu viết thêm vào đằng sau số tự nhiên có chữ số gồm chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 11 Hướng dẫn giải a) Gọi số tự nhiên có chữ số Ta có: ab , viết thêm ta số abba abba = 1000.a + 100.b + 10.b + a = 1001.a + 110.b TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 25 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ = 11 ( 91.a + 10.b ) M 11 b) Gọi số tự nhiên có chữ số abc , viết thêm ta số abccba Ta có: abccba = 100000a + 10000b + 1000c + 100c + 10b + a = 100001a + 10010b + 1100c = 11( 9091.a + 910.b + 100.c ) M 11 ab = 2.cd Bài 12: Chứng minh abcd M67 Hướng dẫn giải abcd = 100.ab + cd = 100.(2.cd) + cd = 201.cd Ta có: Vì 201M 67 ⇒ abcd M 67 Bài 13: Chứng minh A = n5 − n chia hết cho 30 Hướng dẫn giải Bài tốn ln với Xét Đặt n=0 n =1 n≥2 A = n − n = n ( n + 1) ( n − 1) = n ( n + 1) ( n + 1) ( n − 1) Ta có A M3 AM 10 (vì n5 n có chữ số tận giống nhau) ( n − 1) n ( n + 1) (vì A có tích số tự nhiên liên tiếp TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ) Trang 26 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ ⇒ AM 3; A M 10 UCLN ( 3;10 ) = ⇒ A M3.10 = 30 Mà Vậy A M30 Bài 14: Cho số có chữ số có dạng abc ( abc + bca + cab ) M( a + b + c ) Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Ta có: abc ( abc + bca + cab ) = 100.a + 100.b + 100.c + 10.a + 10.b + 10.c + a + b + c + = 111.a + 111.b + 111.c + 111 ( a + b + c ) ( ) ⇒ abc + bca + cab M( a + b + c ) abc = 2.deg abcdeg Bài 15: Chứng minh chia hết cho 23 29, biết Hướng dẫn giải abcdeg = 1000.abc + deg Ta có: abc = 2.deg mà ⇒ abcdeg = 2001.deg = 23.29.3.deg ⇒ abcdeg chia hết cho 23 29 ab + cd + eg Bài 16: Chứng minh abcdeg chia hết cho 11 chia hết cho 11 Hướng dẫn giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 27 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ abcdeg = 10000.ab + 100.cd + eg Ta có: ( = 9999.ab + 99.cd + ab + cd + eg ( ab + cd + eg ) M111 Mà 9999.abM 11 ) 99.cd M 11 ⇒ abcdeg chia hết cho 11 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 28 ... + + 32 ) = 13 + 13 . 33 + + 31 989. 13 = 13 . (1 + 33 + + 31 989 )M 13 E = + + 32 + 33 + + 31 9 91 E = (1 + 32 + 34 + 36 ) + (3 + 33 + 35 + 37 ) + + ( 31 984 + 31 986 + 31 988 + 31 990 ) + ( 31 985 + 31 987... + 1) + 17 16 ( 17 + 1) − + ( 17 + 1) = 18 .17 18 − 18 .17 17 + 18 .17 16 − + 18 ( 1) = 18 . (17 18 − 17 17 + 17 16 + + 1) M 18 19 17 − = ( 19 17 − 19 16 ) + ( 19 16 − 19 15 ) + ( 19 15 − 19 14 ) + + ( 19 − 1) ... = 19 16 ( 19 − 1) + 19 15 ( 19 − 1) + 19 14 ( 19 − 1) + +( 19 − 1) = 19 16 .18 + 19 15 .18 + 19 14 .18 + +18 = 18 . (19 16 + 19 15 + 19 14 + +1) M 18 ( 1) Từ ( 2) ⇒ B = 17 19 + 19 17 M 18 ( 2) (đpcm) C = 36 63