Đang tải... (xem toàn văn)
thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com CHUYÊN ĐỀ 3 PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Chủ đề 1 Phương pháp phân tích thành thừa số để chứng minh các bài toán chia hết PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 PHÉP CHIA[.]
thuvienhoclieu.com CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CĨ DƯ Chủ đề 1: Phương pháp phân tích thành thừa số để chứng minh toán chia hết PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.PHÉP CHIA HẾT Với a, b số tự nhiên b khác Ta nói a chia hết cho b tồn số tự nhiên q cho 2.TÍNH CHẤT CHUNG 1) 2) 3) với a khác với b khác 4) Bất số chia hết cho 3.TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU - Nếu a, b chia hết cho m chia hết cho m chia hết cho m - Tổng số chia hết cho m số chia hết cho m số cịn lại chia hết cho m - Nếu số a, b chia hết cho m số không chia hết cho m tổng, hiệu chúng khơng chia hết cho m 4.TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TÍCH - Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n a.b chia hết cho - Nếu a chia hết cho b thì: *) Chú ý: chẵn 5.DẤU HIỆU CHIA HẾT a) Dấu hiệu chia hết cho 2: số chia hết cho chữ số tận số số chẵn b) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 9): số chia hết cho (hoặc 9) tổng chữ số số chia hết cho (hoặc 9) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com *) Chú ý: Một số chia hết cho (hoặc 9) dư tổng chữ số chia cho (hoặc 9) dư nhiêu ngược lại c) Dấu hiệu chia hết cho 5: số chia hết cho chữ số số có tận d) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 25): số chia hết cho (hoặc 25) hai chữ số tận số chia hết cho (hoặc 25) e) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 125): số chia hết cho (hoặc 125) ba chữ số tận số chia hết cho (hoặc 125) f) Dấu hiệu chia hết cho 11: số chia hết cho 11 chi hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11 PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Chứng minh biểu thức số có chứa lũy thừa chia hết cho số tự nhiên biểu thức số I.Phương pháp giải: -Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử (phân tích thành thừa số) để xét tính chất chia hết - Chứng minh hai biểu thức chia hết cho biểu thức số khác II.Bài toán Bài 1: Chứng minh rằng: chia hết cho 82 Lời giải Ta có (đpcm) Bài 2: Chứng minh rằng: a) b) c) d) e) 222 Lời giải a) Ta có b) Ta có c) Ta có d) Ta có thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com e) Ta có Bài 3: Chứng minh rằng: a) b) c) Lời giải a) Ta có b) Ta có Mà Mà Từ (đpcm) c) Ta có (đpcm) Bài 4: Chứng minh rằng: a) b) Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com a) Ta có b) Ta có Bài 5: Cho Chứng minh A chia hết cho 31 Lời giải Nhận xét: Để chứng minh tổng lũy thừa chia hết cho số k ta cần thực nhóm số hạng để biến đổi tổng dạng tích số k với biểu thức Bài 6: Cho Chứng minh A chia hết cho 3; 15; 31 Lời giải Ta có A có 100 số hạng a) Ta có b) Ta có Bài 7: Cho Chứng minh M chia hết cho 13 Lời giải Ta có: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 8: Cho Chứng minh B chia hết cho Lời giải Ta có: Bài 9: Cho Chứng minh C chia hết cho 30 Lời giải Ta có: Bài 10: Cho Chứng minh D chia hết cho 3, 7, 15 Lời giải Ta có: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 11: Cho Chứng minh E chia hết cho 13 41 Lời giải Ta có: Bài 12: a) Chứng minh rằng: b) Chứng minh rằng: c) Chứng minh rằng: d) Chứng minh rằng: (có 100 số hạng) chia hết cho 120 Lời giải a) Ta có b) Ta có: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com c) Ta có ta chứng minh S chia hết cho 13 Ta có S có 1998 số hạng, chia làm 666 nhóm ) Ta có d Bài 13: Cho Chứng minh a) C chia hết cho 13 b) C chia hết cho 40 Lời giải a) Ta có b) Nhóm số hạng vào nhóm ta Bài 14: Chứng minh rằng: chia hết cho 40 (đpcm) chia hết cho Lời giải Ta có Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 101 Lại có: Từ (1) (2) suy A chia hết cho Dạng 2: Chứng minh biểu thức đại số có chứa lũy thừa chia hết cho số tự nhiên I.Phương pháp giải: -Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử (phân tích thành thừa số) để xét tính chất chia hết -Vận dụng tính chất chia hết tổng, hiệu thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com II.Bài toán Bài 15: Chứng minh rằng: a) b) , c) với n lẻ d) e) Lời giải a) Ta có tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Mặt khác Mà là tích năm số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho chia hết cho Từ (*) (**), ta có A chia hết cho 30 b) Ta có thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Vì n lẻ nên đặt nên Và tích số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội 2, 3, nên A bội 24 hay A chia hết cho 24 Từ hay ) Ta có c d) Ta có e) Ta có Xét biểu thức ngoặc Ta biết số tự nhiên tổng chữ số có số dư phép chia cho thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Điều ngược lại Bài 16: Cho n số tự nhiên khác 0, chứng minh Lời giải Ta có (đpcm) Bài 17: Chứng minh rằng: chia hết cho 81 Lời giải Ta có Lại có: Dạng 3: Chứng minh biểu thức đại số chia hết cho số I.Phương pháp giải: - Chứng minh biểu thức có chữ số tận chia hết cho số - Vận dụng tính chất chia hết tổng II.Bài tốn Bài 18: Chứng minh tích chia hết cho Lời giải thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com Ta xét trường hợp: Nếu n số lẻ số chẵn; số lẻ Mà số chẵn nhân với số lẻ có tận số chẵn Mếu n số chẵn số lẻ; số chẵn Mà tích số lẻ với số chẵn có tận chữ số chẵn Vậy với n thuộc N tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho (đpcm) Bài 19: Chứng minh chia hết cho 15 với a, b thuộc Lời giải Vì nên với Vì nên với Vì nên với Vì nên với Mà với Dạng 4: Chứng minh tốn chia hết theo tính chất hai chiều I.Phương pháp giải: - Vận dụng tính chất chia hết tổng II.Bài toán Bài 20: Chứng minh a) b) c) chia hết cho 29 chia hết cho 21 chia hết cho 13 Lời giải thuvienhoclieu.com Trang 11 thuvienhoclieu.com a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: Ta có (đpcm) Bài 21: Chứng minh a) Nếu chia hết cho 11 chia hết cho 11, điều ngược lại có khơng? thuvienhoclieu.com Trang 12 thuvienhoclieu.com b) Nếu chia hết cho Lời giải a) Ta có Điều ngược lại b) Dạng 5: Chứng minh tốn có vận dụng tính chất chia hết để tìm số dư I.Phương pháp giải: - Vận dụng tính chất chia hết tổng II.Bài toán Bài 22: a) Chứng minh rằng: Tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho b) Chứng minh rằng: Tổng số chẵn liên tiếp chia hết cho 10, tổng số lẻ liên tiếp chia 10 dư Lời giải a) Ta có tổng ba số tự nhiên liên tiếp là: với n số tự nhiên tổng số tự nhiên liên tiếp với n số tự nhiên b) Tổng số tự nhiên chẵn liên tiếp k với Tổng số tự nhiên lẻ liên tiếp (đpcm) chia cho 10 dư Bài 23: a) Chứng minh rằng: Với n thuộc N chia hết cho 15 không chia hết cho 30 b) Chứng minh khơng có số tự nhiên mà chia cho 15 dư chia dư thuvienhoclieu.com Trang 13 thuvienhoclieu.com c) Chứng minh rằng: không chia hết cho 5, Lời giải a) Ta có: (theo tính chất chia hết tổng) ; 45 không chia hết cho 30 không chia hết cho 30 (theo tính chất chia hết tổng) b) Giả sử có số thỏa mãn hai điều kiện khơng chia hết cho Đó điều mâu thuẫn Vậy khơng có số tự nhiên thỏa mãn (đpcm) c) Vì tích hai số tự nhiên liên tiếp, hai số liên tiếp ln ln có số chẵn số chẵn, cộng thêm số lẻ số lẻ không chia hết cho Để chứng minh không chia hết cho ta thấy hai số n Tương ứng số tận tích Hay có chữ số tận sau: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; tận 0; 2; 6; 0; 0; 2; 6; 2; tận là: 1; 3; không chia hết cho Bài 25: Cho a) Tính S b) Chứng minh S chia cho dư Lời giải a) Ta có tổng S có 100 số hạng thuvienhoclieu.com Trang 14 thuvienhoclieu.com b) Nhóm hạng tử với dư hạng tử dư S= Bài 26: Cho (có 100 số hạng) Tìm số dư chi B cho 82 Lời giải Ta có , tổng hai lũy thừa cách số hạng chia hết cho 82 nên ta nhóm số hạng với dư số hạng Ta chứng minh: Thật vậy: (đúng) Vậy số dư chia B cho 82 số dư hạng tử lại là: cho 82 Kết luận: số dư 38 Bài 27: Tìm số nguyên dương n nhỏ cho viết tiếp số vào 2015 ta số chia hết cho 113 Lời giải Giả sử n có k chữ số Theo ta có: Có: +) +) Mà Vậy giá trị cần tìm thuvienhoclieu.com Trang 15 thuvienhoclieu.com Bài 28: Chứng minh rằng: Nếu chia hết cho 37 Lời giải Ta có: Tương tự BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Lời giải Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: Tổng ba số tự nhiên liên tiếp : (đpcm) Bài 2: Tổng số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho không? Lời giải Gọi số tự nhiên liên tiếp là: Tổng số tự nhiên liên tiếp là: Do chia hết 4a chia hết cho mà không chia hết không chia hết cho Tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Kết luận: Vậy lúc tổng n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Bài 3: Chứng minh chia hết cho 45 với a , b số tự nhiên Lời giải Vì Vì nên nên với a với b thuvienhoclieu.com Trang 16 thuvienhoclieu.com Nên Chứng minh tương tự ta có: Mà với a, b Bài 4: Chứng minh tích hai số chẵn liên tiếp ln chia hết cho Lời giải Gọi hai số chẵn liên tiếp là: Tích hai số chẵn liên tiếp là: Vì khơng tính chẵn lẻ nên Mà chia hết chia hết cho chia hết cho Bài 5: Chứng minh a) Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho b) Tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Lời giải a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp Tích ba số tự nhiên liên tiếp Một số tự nhiên chia cho nhận số dư 0; 1; Nếu r = n chia hết cho Nếu (k số tự nhiên) Nếu (k số tự nhiên) thuvienhoclieu.com Trang 17 thuvienhoclieu.com Tóm lại: chia hết cho với n số tự nhiên b Chứng minh tương tự ta có chia hết cho với n số tự nhiên Kết luận: Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Bài 6: Chứng minh rằng: a) chia hết cho 11 b) chia hết cho với Hướng dẫn giải a) Ta có: chia hết cho 11 b) Ta có: chia hết cho Bài 7: Chứng minh Hướng dẫn giải Ta có: Bài 8: Biết chứng minh Hướng dẫn giải Ta có: Vì nên Bài 9: Cho chữ số 0, a, b Hãy viết tất số có ba chữ số tạo ba số Chứng minh tổng tất số chia hết cho 211 Hướng dẫn giải thuvienhoclieu.com Trang 18 thuvienhoclieu.com Tất số có ba chữ số tạo ba chữ 0, a, b là: Tổng số là: Bài 10: Chứng minh chia hết cho Hướng dẫn giải Để số vừa chia hết cho số phải có chữ số tận Cần chứng minh số bị trừ số trừ có chữ số tận Chú ý: Số tự nhiên a có chữ số tận an có chữ số tận có chữ số tận ln có chữ số tận có chữ số tận chia hết cho Bài 11: Chứng minh a) Nếu viết thêm vào đằng sau số tự nhiên có chữ số gồm chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 11 b) Nếu viết thêm vào đằng sau số tự nhiên có chữ số gồm chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 11 Hướng dẫn giải a) Gọi số tự nhiên có chữ số , viết thêm ta số Ta có: b) Gọi số tự nhiên có chữ số , viết thêm ta số Ta có: thuvienhoclieu.com Trang 19 thuvienhoclieu.com Bài 12: Chứng minh Hướng dẫn giải Ta có: Vì Bài 13: Chứng minh chia hết cho 30 Hướng dẫn giải Bài tốn ln với Xét Đặt Ta có (vì có chữ số tận giống nhau) (vì A có tích số tự nhiên liên tiếp ) Mà Vậy Bài 14: Cho số có chữ số có dạng Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Ta có: + Bài 15: Chứng minh chia hết cho 23 29, biết Hướng dẫn giải thuvienhoclieu.com Trang 20 ... hết cho 21 chia hết cho 13 Lời giải thuvienhoclieu. com Trang 11 thuvienhoclieu. com a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: Ta có (đpcm) Bài 21: Chứng minh a) Nếu chia hết cho 11 chia hết cho 11 , điều ngược... chia hết cho 30 Lời giải Ta có: Bài 10 : Cho Chứng minh D chia hết cho 3, 7, 15 Lời giải Ta có: thuvienhoclieu. com Trang thuvienhoclieu. com Bài 11 : Cho Chứng minh E chia hết cho 13 41 Lời giải... 10 dư Bài 23: a) Chứng minh rằng: Với n thuộc N chia hết cho 15 không chia hết cho 30 b) Chứng minh khơng có số tự nhiên mà chia cho 15 dư chia dư thuvienhoclieu. com Trang 13 thuvienhoclieu. com