S6 CHUYÊN đề 5 CHỦ đề 2 số NGUYÊN tố, hợp số

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 5-SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ ĐỂ TÌM SỐ NGUN TỐ PHẦN I.TĨM TẮT LÝ THUYẾT SỐ NGUYÊN TỐ -Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1,chỉ có ước -Số ngun tố nhỏ vừa số nguyên tố chẵn số -Không thể giới hạn số nguyên tố tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố vô hạn -Khi số nguyên tố nhân với tích chúng khơng số phương -Ước tự nhiên nhỏ khác số tự nhiên coi số nguyên tố a >1 -Để kết luận số tự nhiên a số nguyên tố ( ),chỉ cần chứng minh a khơng chia hết cho số ngun tố mà bình phương khơng vượt q a -Nếu tích a Mp ab Mp ⇒   b Mp (p số nguyên tố) a n Mp ⇒ a Mp -Đặc biệt (p số nguyên tố) 4n ± 1(n ∈ N* ) -Mọi số nguyên tố vượt có dạng: 6n ± 1(n ∈ N* ) -Mọi số nguyên tố vượt có dạng: -Hai số nguyên tố sinh đôi hai số nguyên tố đơn vị PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tìm số nguyên tố để hay nhiều biểu thức đồng thời số nguyên tố I Phương pháp giải -Dựa vào dấu hiệu chia hết tính chất số nguyên tố ,hợp số, để giải tốn chứng minh giải thích n n - Trong số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho - Nắm tính chất đặc trưng số nguyên tố để giải tốn TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ II Bài tốn p Bài 1: Tìm số ngun tố cho số sau số nguyên tố p + 10, p + 14 a, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 b, Lời giải: a, p = 2⇒ p+2= - Với p=2 hợp số, nên không thỏa mãn đề p = ⇒ p + 10 = 13, p + 14 = 17 p=3 số nguyên tố Do thỏa mãn đề p = 3k + 2, ( k ∈ N ) p>3 p p p = 3k + - Với , số nguyên tố nên có dạng - Với p = 3k + ⇒ p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) M3 + Nếu ⇒ p = 3k + hợp số p = 3k + ⇒ p + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4) M3 + Nếu b, - Với ⇒ p = 3k + hợp số p=3 Vậy không thỏa mãn đề không thỏa mãn đề p + 10, p + 14 số nguyên tố p = ⇒ p+6 =8 p = ⇒ p+6 =9 p=2 hợp số, nên p=3 không thỏa mãn đề - Với hợp số, nên không thỏa mãn đề p = ⇒ p + = 7, p + = 11, p + = 13, p + 12 = 17, p + 14 = 19 p =5 - Với số nguyên tố, nên thỏa mãn đề p p>5 p 5k + 1,5k + 2,5k + 3,5k + 4, (k ∈ N* ) - Với số nguyên tố nên nên có dạng p = 5k + ⇒ p + 14 = 5k + 15M5 + Nếu ⇒ p = 5k + hợp số TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC không thỏa mãn đề Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ p = 5k + ⇒ p + = 5k + 10M5 + Nếu ⇒ p = 5k + hợp số không thỏa mãn đề p = 5k + ⇒ p + 12 = 5k + 15M5 + Nếu ⇒ p = 5k + hợp số p = 5k + ⇒ p + = 5k + 10M5 + Nếu không thỏa mãn đề ⇒ p = 5k + hợp số p=5 Vậy không thỏa mãn đề p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 số nguyên tố Bài 2: Tìm số lẻ liên tiếp số nguyên tố Lời giải: 2k + 1, 2k + 3, 2k + 5(k ∈ N * ) Gọi số lẻ liên tiếp là: Trong số lẻ liên tiếp ln có số chia hết cho - Nếu 2k + 3M3 ⇒ 2k M ⇒ kM mà 2k + số nguyên tố Mà không số nguyên tố nên 2k + 5M3 ⇒ 2k + 2M3 ⇒ 2(k + 1) M3 ⇒ (k + 1) M3 - Nếu kiện - Nếu Mà 2k + 1M ⇒ 2k + = nguyên tố ⇒ k =1 (vì 2k + 2k + số nguyên tố ⇒ k = −1 trái với điều ⇒ k = ⇒ 2k + = 5; 2k + = số nguyên tố) số thỏa mãn đề 3, 5, Vậy số tự nhiên lẻ cần tìm p Bài 3: Tìm số nguyên tố p cho vừa tổng vừa hiệu hai số nguyên tố Lời giải: p Giả sử p3 > p p = p1 + p = p3 − p p1 , p , p3 , p số ngun tố cần tìm ta có ( số nguyên tố ) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ p1 , p p Để số nguyên tố chẵn p1 > p2 p3 , p có hai số số chẵn có hai số số ⇒ p2 = p = Giả sử p = p +2 = p3 − ⇒ p3 = p1 + Ta có: p1 , p1 + 2, p1 + Ta thấy số nguyên tố lẻ liên tiếp ⇒ p1 = ⇒ p = p1 + = Theo câu p = ⇒ = + = − Thử lại: Vậy số cần tìm Bài 4: Tìm k∈N k + 1, k + 2, , k + 10 để dãy số chứa nhiều số nguyên tố Lời giải: -Nếu -Nếu -Nếu k=0⇒ k =1 ⇒ Ta có dãy số có số nguyên tố 2;3; 4; ;11 Ta có dãy số k=2⇒ k ≥3⇒ 1; 2;3; ;10 có số nguyên tố 2;3;5;7 ⇒ 2;3;5; 7;11 ⇒ 3; 4;5; ;12 Ta có dãy số Có số nguyên tố có số nguyên tố 3;5; 7;11 ⇒ Có số nguyên tố Có số nguyên tố k + 1, k + 2, , k + 10 -Nếu Dãy số chẵn liên tiếp gồm số lớn bao gồm số lẻ liên tiếp sơ Vì số dãy lớn nên suy số chẵn liên tiếp hợp số số lẻ liên tiếp tồn số chia hết cho số hợp số Vậy k =1 giá trị cần tìm p + 94, p + 1994 p Bài 5: Tìm số nguyên tố cho: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC số nguyên tố Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải: p=2 p + 94 = 96 p=2 - Với số nguyên tố nên hợp số Do khơng thỏa mãn đề p=3 ⇒ p + 94 = 97, p + 1994 = 1997 p=3 - Với số nguyên tố số nguyên tố Do thỏa mãn đề p = 3k + 2, ( k ∈ N , k > ) p p>3 p p = 3k + - Với , số nguyên tố nên có dạng p = 3k + ⇒ p + 1994 = 3k + + 1994M3 + Nếu ⇒ p = 3k + hợp số p = 3k + ⇒ p + 94 = 3k + + 94M3 không thỏa mãn đề ⇒ p = 3k + + Nếu hợp số không thỏa mãn đề p=3 Vậy số nguyên tố cần tìm p p + 18, p + 24, p + 26, p + 32 Bài 6: Tìm số nguyên tố cho số nguyên tố Lời giải: p=2 p + 94 = 96 ⇒ p=2 hợp số không thỏa mãn đề p=3 p + 94 = 97, p + 1994 = 1997 p=3 - Với ta có số nguyên tố, thỏa mãn đề p = 3k + 2, ( k ∈ N , k > ) p>3 p = 3k + - Với , p số nguyên tố nên p có dạng - Với ta có p = 3k + ⇒ p + 1994 = 3k + + 1994M3 + Nếu + Nếu Vậy p = 3k + ⇒ p + 94 = 3k + + 94M3 p=3 hợp số không thỏa mãn đề ⇒ p = 3k + hợp số, khơng thỏa mãn đề số nguyên tố cần tìm p + 2, p + 8, p + 16 p Bài 7: Tìm số nguyên tố Lời giải: p=2 - Với ⇒ p = 3k + cho: số nguyên tố ⇒ p + 94 = 96 số nguyên tố TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ⇒ p=2 hợp số không thỏa mãn đề Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ p=3 ⇒ p + 94 = 97, p + 1994 = 1997 - Với số nguyên tố ⇒ p=3 số nguyên tố ( p = 3k + 2, k ∈ N * p>3 p p = 3k + - Với , số nguyên tố nên p có dạng p = 3k + ⇒ p + 1994 = 3k + + 1994M3 + Nếu thỏa mãn đề ) ⇒ p = 3k + không thỏa mãn đề p = 3k + ⇒ p + 94 = 3k + + 94M3 ⇒ p = 3k + + Nếu hợp số, khơng thỏa mãn đề p=3 Vậy số nguyên tố cần tìm p Bài 8: Tìm số nguyên tố cho: p − 1, p − a, số nguyên tố p + 1, p + b, số nguyên tố Lời giải: a, - Với hợp số p = ⇒ p − = 3, p − = ⇒ p=2 thỏa mãn đề ⇒ p=3 - Với số nguyên tố thỏa mãn đề p = 3k + 2, k ∈ N * p>3 p = 3k + - Với , p số nguyên tố nên p có dạng p = 3k + ⇒ p − = ( 3k + 1) − = 12 k + 3M3 ⇒ p = 3k + + Nếu hợp số không thỏa mãn đề p = 3k + ⇒ p − = ( 3k + ) − = 6k + 3M3 ⇒ p = 3k + + Nếu hợp số nên không thỏa mãn đề p=3 p=2 Vậy số nguyên tố cần tìm b, p=2 ⇒ p +1 = ⇒ p=2 - Với số nguyên tố hợp số không thỏa mãn đề p=3 ⇒ p + = 7, p + = 13 ⇒ p =3 - Với số nguyên tố số nguyên tố thỏa mãn đề * p = 3k + 2, k ∈ N p>3 p p = 3k + p = ⇒ p − = 5, p − = 11 số nguyên tố ( - Với , số nguyên tố nên p có dạng TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ) ( ) Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ p = 3k + ⇒ p + = ( 3k + 1) + = 6k + 3M3 + Nếu ⇒ p = 3k + hợp số không thỏa mãn đề p = 3k + ⇒ p + = ( 3k + ) + = 12k + 9M3 + Nếu p=3 Vậy số nguyên tố cần tìm Bài 9: Tìm tất số tự nhiên Lời giải: n=0 - Với n =1 - Với n+3= để không thỏa mãn đề n + n + n + n + n + 13 n + 15 , , , , , số nguyên tố hợp số Do n=0 n =1 khơng thỏa mãn đề hợp số Do khơng thỏa mãn đề n=2 n + 13 = 15 n=2 - Với hợp số Do khơng thỏa mãn đề n=3 n+3= n=3 - Với hợp số Do khơng thỏa mãn đề n + = 5, n + = 7, n + = 11, n + = 13, n + 13 = 17, n + 15 = 19 n=4 - Với thì số ngun tố n=4 Do thỏa mãn đề n = 4k + 1, n = 4k + 2, n = 4k + 3, ( k ∈ N * ) n>4 - Với n có có dạng + Với + Với + Với Do n+9 = n ⇒ p = 3k + hợp số nên n = 4k + n = 4k + n = 4k + n=4 thì n + = 4k + n + = 4k + hợp số Do hợp số Do n + 13 = 4k + + 13 = 4k + 15 n = 4k + n = 4k + không thỏa mãn không thỏa mãn hợp số Do n = 4k + khơng thỏa mãn thỏa mãn đề p q 7p+q pq + 11 Bài 10: Tìm tất số nguyên tố , cho số nguyên tố Lời giải: pq + 11 Nếu Suy pq số ngun tố phải số lẻ số nguyên tố lớn p q số chẵn, số TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ p = ⇒ p + q = 14 + q Giả sử số nguyên tố ⇒ p = 2, q = q = ⇒ p + q = 7.2 + = 16 + Nếu hợp số, không thỏa mãn ⇒ p = 2, q = q = ⇒ p.q + 11 = 2.3 + 11 = 17 p + q = 7.2 + = 17 + Nếu số nguyên tố, thỏa mãn đề q = 3k + 2, ( k ∈ N * ) q>3 q q = 3k + + Nếu , số nguyên tố nên có dạng ⇒ q = 3k + q = 3k + ⇒ p + q = 14 + 3k + 1M + Với hợp số không thỏa mãn q = 3k + ⇒ pq + 11 = 2q + 11 = ( 3k + ) + 11 = 6k + 15M ⇒ q = 3k + + Với hợp số không thỏa mãn p = 2, q = Vậy q=2 p=3 Xét tiếp TH làm tương tự ta p = 2, q = p = 3, q = Vậy p 5p + Bài 11: Tìm số nguyên tố cho số nguyên tố Lời giải: p + = 17 p=2 - Nhận thấy số nguyên tố, p>2 - Với Nếu số nguyên tố p = 2k + 1, ( k ∈ N * ) p p số ngun tố có dạng p = 2k + ⇒ p + = ( 2k + 1) + = 10k + 12M2 p=2 p = 2k + hợp số, nên không thỏa mãn Vậy số nguyên tố cần tìm p, q p q Bài 12: Ta gọi hai số tự nhiên liên tiếp, số ngun tố khác Tìm số p, q, r p2 + q2 + r nguyên tố liên tiếp cho số nguyên tố Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ p , q, r p, q, r 3k ± p2 + q2 + r Nếu số nguyên tố khác có dạng suy chia cho dư 2 2 2 2 p +q +r M p +q +r > p +q +r p = 3, q = 5, r = Khi nên hợp số Vậy , 2 2 2 p + q + r = + + = 83 số nguyên tố Bài 13: Tìm số nguyên tố Lời giải: a cho 6a + 13 số nguyên tố 25 ≤ 6a + 13 ≤ 45 29;31;37; 41; 43 Ta có : Từ 25 đến 45 có số nguyên tố : Nên ta có bảng sau : Mà 6a + 13 29 31 37 41 43 a 3 14 a số nguyên tố nên a=3 a=5 Vậy a=3 a=5 a.b.c = 3(a + b + c) a , b, c Bài 14: Tìm số nguyên tố Lời giải: cho a.b.c = 3(a + b + c ) ⇒ abc M Vì Giả sử aM3 , a số nguyên tố ⇒a =3 3.b.c = 3(3 + b + c) ⇒ bc = + b + c Ta có ⇒ bc − b = + c ⇒ b(c − 1) = + c ⇒ b(c − 1) = + (c − 1) ⇒ (b − 1)(c − 1) = ⇒ (b, c) ∈ { (3,3);(2,5)} TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ (a, b, c) ∈ { (3,3,3);(2,3,5)} Vậy p, q p q Bài 15: Ta gọi số nguyên tố liên tiếp số ngun tố khác.Tìm số 2 p, q, r p +q +r nguyên tố liên tiếp cho số nguyên tố Lời giải: p, q, r +Nếu p, q, r khác mà số nguyên tố ⇒ p, q, r chia dư dư ( hay dư -1 ) ⇒ p ,q , r chia dư ⇒ p2 + q + r chia hết cho Vậy tồn số 2;3;5 p , q, r + TH1: Bộ số thỏa mãn tương ứng là: 3;5; p , q, r + TH2: Bộ số thỏa mãn đề Khi tương ứng là: Khi 22 + 32 + 42 = 38 32 + 42 + 52 = 83 hợp số Do ba số không số nguyên tố Do ba số 3,5, Vậy số nguyên tố liên tiếp cần tìm là: pq + q p = r p, q, r Bài 16: Tìm số nguyên tố cho: Lời giải: pq + q p > ⇒ r > ⇒ Vì r số lẻ ( r số nguyên tố ) ⇒ pq , q p có số lẻ số chẵn TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ p = 3k + 2, (k ∈ N ) p Hoàn toàn tương tự ta chứng minh khơng có dạng p = 3k , (k ∈ N ) ⇒ m = 6k ⇒ m M6 Do Vậy m chia hết cho Bài 27: a) Chứng minh số dư phép chia số nguyên tố cho 30 là số nguyên tố Khi chia cho 60 kết sao? b) Chứng minh tổng (n,30) = n lũy thừa bậc số nguyên tố lớn số nguyên tố Lời giải: p = 30 + r p < r < 30 r r a) Giả sử số nguyên tố với Nếu hợp số có ước ngun tố q ≤ 30 ⇒ q = 2;3;5 q = 2;3;5 r r =1 r Nhưng với chia hết cho 2; 3; (vơ lí) Vậy số ngun tố p = 109 = 60.1 + 49 Khi chia cho 60 kết khơng cịn nữa, chẳng hạn p b) Số nguyên tố 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 chia cho 30 dư p2 ≡ r = 1,11,19, 29 Với (mod 30) p ≡ 19 r = 7,13,17, 23 Với mà 49 hợp số (mod 30) p4 ≡ Suy (mod 30) p1, p2, , pn Giả sử số nguyên tố lớn q = p14 + p2 + + pn ≡ n Khi ⇒ q = 30k + n (mod 30) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC (n,30) = số nguyên tố nên Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 2n + 1, 2n − 1(n ∈ N, n > 2) Bài 28: Hai số số ngun tố hay khơng ? Vì ? Lời giải: 2n + 1, 2n , 2n − (2,3) = Vì số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 3.Mà (1) nguyên tố nên không chia hết cho số n n>2 Mà n + > 3, 2n − > (2) nên (1) (2) n + 1, 2n − Từ , suy số phải chia hết cho ⇒ 2n + 1, 2n − 1(n ∈ N, n > 2) Hai số số nguyên tố Bài 29: Cho số nguyên tố lớn 3,trong số sau lớn số trước d đơn vị.Chứng minh d M6 Lời giải: p Các số nguyên tố lớn nên có dạng 3k + * 3k + (k ∈ N ) d Có số mà có dạng nên tồn hai số thuộc dạng, hiệu chúng ( d d d hết cho Mặt khác chia hết cho hiệu hai số lẻ.Vậy chia hết cho 2d ) chia Bài 30: Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố lẻ liên tiếp.Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai số ngun tố sinh đơi chia hết cho Lời giải: p Gọi số nguyên tố lơn p Mà lẻ nên 3k + 1, 3k + 2(k ∈ N) p số nguyên tố lớn nên p = 3k + Dạng p + 1M2 (1) p có dạng p + = 3k + 3M3 p = 3k + khơng xảy TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC hợp số (Loại) Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ⇒ p = 3k + ⇒ p + = 3k + 3M3 (2) (1) (2) ⇒ p + 1M6 ⇒ Từ , ĐPCM Bài 31: Chứng minh số dư phép chia số nguyên tố cho 30 là số nguyên tố Lời giải: p số nguyên tố Giả sử Nếu r p = 30k + r = 2.3.5.k + r(k ∈ N* , r ∈ N* , < r < 30) p hợp số r có dạng q < 30 ⇒ q ∈ { 2, 3,5} q có ước nguyên tố cho q ∈ { 2,3,5} Nhưng với Vậy r =1 2,3,5 p chia hết cho r ( Vô lý ) số nguyên tố a1 , a2 , , an Bài 32: Cho dãy số nguyên dương a1 = 2, an xác định sau: a1a2 a3 an −1 + ước nguyên tố với n≥2 ak ≠ 5, ∀k ∈ N * Chứng minh Lời giải: a1 = 2, a2 = n≥3 Ta có , giả sử với mà có số ước nguyên tố lớn số A = 2.3.a3 an −1 + A = 5m m≥2 A khơng thể chia hết cho 2, cho Vậy xảy với Suy A − = 5m − 1M4 A − = 2.3.a3 an −1 Mà Vậy a3 an −1 không chia hết cho A số lẻ (vơ lí) a ≠ 5, ∀k ∈ N * khơng có ước ngun tố 5, tức TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 33: Trong dãy số tự nhiên tìm 1997 số liên tiếp mà khơng có số ngun tố hay không ? Lời giải: Chọn dãy số: a1 = 1998!+ a1 M2 a = 1998!+ a M3 a = 1998!+ a M4 …… ………… a1997 = 1998!+ 1998 a1997 M 1998 a1 ; a ;a ; ;a1997 Như vậy: Dãy số gồm có 1997 số tự nhiên liên tiếp khơng có số số ngun tố Bài 34: Trong dãy số tự nhiên tìm hay khơng ? n (n > 1) số liên tiếp mà khơng có số ngun tố Lời giải: Chọn dãy số: a1 = (n + 1)!+ a1 M2, a > a1 nên a = (n + 1)!+ a M3, a > hợp số a2 nên a = (n + 1)!+ a M4, a > a3 nên …… a n = (n + 1)!+ (n + 1) hợp số hợp số ………… a n M(n + 1), a n > n + an nên TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC hợp số Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ a1 ;a ;a ; ;a n Như vậy: Dãy số gồm có n số tự nhiên liên tiếp khơng có số số nguyên tố PHẦN III BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG p +1 p Bài 1: Cho p +1 số nguyên tố lớn Chứng minh hợp số ( Trích đề HSG lớp Trực Ninh năm học 2017-2018) Lời giải: Do k > 1, k ∈ N p = 3k + 1; p = 3k − p số nguyên tố lớn nên có dạng p = 3k + + Nếu với p + = 6k + = 3(2k + 1) p +1 Suy hợp số (vô lí) p = 3k − 1, k > + Nếu Do p + = 12k − = 3.(4k − 1) (4k − 1) > k >1 nên p +1 Do hợp số ab; cd abcd Bài 2: Biết nguyên tố có bốn chữ số thỏa mãn số nguyên tố b = cd + b − c abcd Hãy tìm ( Trích đề HSG lớp Sông Lô năm học 2018-2019) Lời giải: ab; cd b, d Vì số nguyên tố nên lẻ khác b = b = cd + b − c ⇔ b − b = 9c + d ⇔ b(b + 1) = 9c + d Ta lại có b =1 Nếu ( Khơng thỏa mãn) TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 9c + d = ⇒ c = 0, d = b=3 Nếu nên ( Không thỏa mãn) b = ⇒ 9c + d = 42 ⇒ d = 42 − 9c ⇒ c = 4; d = Nếu ( Loại) b = ⇒ 9c + d = 72 ⇔ d = 72 − 9c ⇒ c = 7, d = Nếu ( thỏa mãn) a ∈ {1; 2;7} Suy abcd ∈ {1979; 2979;7979} Vậy p = b c + a , q = a b + c, r = c a + b Bài 3: Cho số p, q, r có số số nguyên tố Chứng minh số ( Trích đề HSG lớp TP Bắc Ninh năm học 2018-2019) Lời giải: a , b, c Trong số có số tính chẵn lẻ Giả sử hai số tính chẵn lẻ a b p = bc + a Suy Suy p=2 số nguyên tố chẵn nên a = b =1 q = c +1 Khi r = c +1 q=r nên p, q, r Vậy ba số có số Bài 4: Giả sử p3 + p2 + p+2 p số nguyên tố Chứng tỏ số nguyên tố ( Trích đề HSG lớp Gia Bình năm học 2018-2019) Lời giải: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 21 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ p2 + = p=2 +) Với khơng số ngàn tố p + = 11 p=3 +) Với p + p + = 37 số nguyên tố p > ⇒ p = 3k ± 1(k ∈ N , k ≥ 2) +) Với ⇒ p + = (3k ± 1)2 + = 9k ± 6k + = 3(3k ± 2k + 1)M3 p2 + nên p2 + p=3 Vậy có p3 + p2 + số nguyên tố p 20 − p Bài 5: Cho hợp số số nguyên tố lớn Chứng minh chia hết cho 100 ( Trích đề HSG lớp huyện Lục Nam năm học 2018-2019) Lời giải: p 20 − = ( p − 1)( p16 + p12 + p8 + p + 1) Ta có p Do p sốnguyên tố lớn nên ⇒ p2 + số lẻ p2 − số chẵn ⇒ p4 −1 chia hết cho ⇒ p 20 − chia hết cho ⇒p p Vì số nguyên tố lớn số không chia hết cho p4 −1 Lập luận ta chia hết cho p16 + p12 + p + p + Lập luận ta chia hết cho TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 22 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ p 20 − Suy chia hết cho ( 4; 25) = Mà ( p 20 − 1) M 100 nên ( đpcm) Bài 6: Chứng minh hai số n 2n + 10n + số nguyên tố với số tự nhiên ( Trích đề HSG lớp Như Thanh năm học 2018-2019) Lời giải: d = UCLN (2n + 1,10n − 7) Đặt ⇒ (2n + 1) Md Vì Do d =2 +) Nếu d =2 5(2n + 1) Md ⇒ 2Md d =1 (2n + 1)M2 ( Vô lý) ⇒ d =1 = UCLN (2n + 1,10n + 7) Vậy 2n + 10n + hai nguyên tố với số tự nhiên n p − 1M24 p Bài 7: Cho số nguyên tố lớn 3.Chứng minh ( Trích đề HSG lớp huyện Kim Thành năm học 2018-2019) Lời giải: p − = ( p − 1)( p + 1) Ta có p Vì số ngun tố lớn nên ( p − 1)( p + 1) M8 (1) suy p −1 p lẻ Do TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC p +1 hai số chẵn liên tiếp Từ Trang 23 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ( p − 1) p( p + 1)M3 p − 1; p; p + Xét ba số tự nhiên liên tiếp Ta có p p Mà số nguyên tố lớn nên ( p − 1)( p + 1) M3 (2) (1) Từ ( 3;8 ) = (2) không chia hết cho Mà số nguyên tố nên suy kết hợp với 3.8 = 24 p − 1M24 ta suy p − 2q = ( p; q ) Bài 8: Tìm tất cặp số nguyên tố (đpcm) cho Lời giải: p − 2q = Từ p = 2q + ta p Do ta suy số nguyên tố lẻ p = 2k + Từ ta đặt với k∈N* (2k + 1) = 2q + ⇔ 4k + 4k + = q + ⇔ k ( k + 1) = q Khi ta q2 Do q số chẵn nên p − 2q = Thay vào q=2 q số chẵn Mà số nguyên tố nên p=3 ta suy ( p, q ) = (3, 2) Vậy cặp sơ ngun tố thỏa mãn u cầu tốn xy ( x > y > 0) Bài 9: Tìm số nguyên tố có hai chữ số khác có dạng theo thứ tự ngược lại cuả số số phương cho hiệu số với số viết ( Trích đề HSG lớp huyện Thái Thụy năm học 2018-2019) Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 24 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ xy − yx Theo đề ta có: số phương 10x + y − (10 y + x ) = 10.( x − y ) − ( x − y ) = 9( x − y ) Khi số phương x− y Suy số phương x> y>0 Vì x, y ∈ {1, 2, ,9} nên Ta xét trường hợp sau: x − y =1 + TH1: x− y = + TH2: số nguyên tố nên x− y =9 xy = 73 xy + TH3: xy = 43 xy số nguyên tố nên xy số nguyên tố nên khơng có số thỏa mãn xy ∈ {43;73} Vậy p, q Bài 10: Tìm số nguyên tố số nguyên x x + px + 3q = thỏa mãn ( Trích đề HSG lớp huyện Kiến Xương năm học 2016-2017) Lời giải: x5 + px + 3q = ⇔ x ( x + p) = −3q Ta có q Vì số nguyên tố x x ∈{ − 1; −3; −q; −3q} số nguyên nên từ phương trình ta suy Ta xét trường hợp sau: + Nếu x = −1 + p = 3q , từ phương trình ta q=2 - Khi q Do số nguyên tố nên: p=5 ta TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 25 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ q>2 - + Nếu Khi nguyên tố p=2 p 3q số lẻ nên số nguyên tố chẵn Do p + 81 = q x = −3 , từ phương trình ta p = 2; q = 83 nguyên tố lẻ Từ ta x = −q q =1 nên khơng phải số p Do q số nguyên tố chẵn p + p4 + Nếu từ phương trình ta p + p4 > số nguyên tố nên p =3 Trường hợp không xảy p + 81 p = x = −3q + Nếu , phương trình ta p + 81 p > số nguyên tố nên q p Trường hợp không xảy q (−1;5; 2), (−3; 2;83) ( x; p; q ) Vậy số số thỏa mãn yêu cầu toán Bài 11: Chứng minh 2n − (n > 2) số nguyên tố 2n + hợp số ( Trích đề HSG lớp huyện Thanh Hà năm học 2015-2016) Lời giải: n − 2n 2n + Xét số tự nhiên liên tiếp , , Trong ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Do n>2 Lại có Mà 2n nên 2n − > , mà theo giả thiết khơng chia hết cho Do suy n>2 nên 2n + > Từ ta 2n − 2n + 2n + số ngun tố, 2n − khơng chia hết cho chia hết cho hợp số p, q, r Bài 12: Tìm số nguyên tố thỏa mãn điều kiện sau TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 26 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ≤ p < q < r 49 ≤ p − r 2q − r ≤ 193 ; ; ( Trích đề HSG lớp huyện Nam Sách năm học 2012-2013) Lời giải: 49 ≤ p − r ; p − r ≤ 193 Từ 2q − 193 ≤ r ≤ p − 49 ta có 5≤ p< q b > c >1 Trang 27 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ < ⇒ 2c < c Suy Với c=2 suy c ∈ { 2;3} , 1 1 1 1 < + + < ⇒ < + < ⇒ < < b c 10 a b b b b ∈ { 7;11} Do + Với + Với Với b=7 b = 11 c=3 Thay , từ từ 1 1 < + < a b 1 1 < + < a b từ giả thiết suy b=5 vào suy suy 1 < < 42 a 35 ⇒ a ∈ { 19; 23; 29;31;37; 41} < < 66 a 55 ⇒ a = 13 a>b 1 11 < + < ⇒ < ⇒b