Hướng dẫn giải: Với bài toán dạng này, ta có thể sử dụng các cách: + Dùng lược đồ + Dùng sơ đồ đoạn thẳng + Đưa về bài toán " tìm x" Lập phương trình Để phù hợp với nhận thức của học s[r]
(1)GIÚP HỌC SINH LỚP 4; PHÂN LOẠI VÀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI ( Kinh nghiệm xếp bậc 4) NGƯT Võ Văn Đàn Phòng GD&ĐT TP Vinh A ĐẶT VẤN ĐỀ Bồi dưỡng học sinh giỏi là việc làm cần thiết Trong chương trình toán tiểu học có nhiều nội dung liên quan đến việc bồi dưỡng học sinh giỏi Việc bồi dưỡng học sinh giỏi không nhằm giúp các em giải các bài toán khó, mà qua đó bồi dưỡng khả tư duy, suy luận để áp dụng vào sống đòi hỏi người Có nhiều dạng toán, bài toán có nhiều cách giải khác Trong đó có cách giải dùng đến kiến thức các lớp trên, chưa phù hợp với tư học sinh tiểu học ( - 11 tuổi ) Một vấn đề cần quan tâm đó là với nội dung bài toán đó cần giải theo lôgic và khả suy nghĩ các em Trong bài viết này tôi muốn đề cập đến phương pháp giải toán khá quen thuộc và gần gũi với học sinh tiểu học đó là Giải bài toán phương pháp tính ngược từ cuối ( suy luận từ cuối - suy luận từ lên ) Với loại toán này cần giúp học sinh phân loại nào, có cách giải nào, các bước giải thực trình tự nào? Qua đây tôi muốn trao đổi cùng bạn đọc và đồng nghiệp quan tâm đến việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán số vấn đề xung quanh cách suy nghĩ, dẫn dắt học sinh tìm tòi lời giải bài toán B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I THẾ NÀO LÀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI ? Có số bài toán mà ta có thể tìm số chưa biết cách thực liên tiếp các phép tính (hoặc quá trình biến đổi) ngược với các phép tính đã cho bài toán Như là từ kết cuối cùng, ta tính ngược lại để tìm giá trị trước cuối và tiếp tục số phải tìm Giải bài toán phương pháp gọi là phương pháp tính ngược từ cuối suy luận từ cuối suy luận từ lên II MỘT SỐ DẠNG CƠ BẢN Loại toán giải phương pháp tính ngược từ cuối có nhiều dạng Trong bài viết này tôi xin đưa số dạng bản, gần gũi với học sinh tiểu học và hướng giải cho các dạng đó 1- Dạng thứ nhất: Dạng biến đổi các phép tính đơn giản, quá trình tìm tòi cách giải có thể dùng lược đồ đưa bài toán tìm x quen thuộc 2- Dạng thứ 2: Các phép biến đổi liên quan đến phân số ( các phép chia phức tạp ) quá trình tìm tòi cách giải và giải nên sử dụng SĐĐT ( Sơ đồ đoạn thẳng ) , phương pháp đặc biệt phù hợp với học sinh tiểu học 3- Dạng thứ 3: Quá trình biến đổi là việc thêm bớt từ phần này qua phần số đơn vị số lần số phần địa cần đến Phương pháp suy luận để tìm tòi cách giải chuẩn xác và gần gũi, phù hợp với nhận thức các em là cách lập bảng biến đổi Lop4.com (2) 4- Dạng thứ 4: Quá trình biến đổi liên tiếp phức tạp cuối cùng các phần chia Để tìm tòi cách giải cần biết phân tích từ thành phần " trước cuối" hay " áp chót" và mối quan hệ gía trị " áp chót" và gía trị cuối cùng để suy kết bài toán III CÁC VÍ DỤ VÀ HƯỚNG DẪN Dạng thứ nhất: Ví dụ 1.1: Tìm số biết đem số đó cộng với 32, bao nhiêu đem chia cho 3, nhân với thì 120 Hướng dẫn giải: Với bài toán dạng này, ta có thể sử dụng các cách: + Dùng lược đồ + Dùng sơ đồ đoạn thẳng + Đưa bài toán " tìm x" ( Lập phương trình ) Để phù hợp với nhận thức học sinh tiểu học ( đặc biệt là các em còn mức trung bình vươn lên khá giỏi ), ta nên hướng dẫn các em sử dụng lược đồ sau: + 32 :3 x4 B A? C - 32 x3 Nếu ta quay lược đồ này góc 90 120 :4 ta có cách nói suy luận từ lên - 32 32 x3 A? B C A :4 120 B»ng c¸c dÊu mòi tªn ng-îc víi qu¸ + trình biến đổi đề ta dễ dàng gióp c¸c em t×m kÕt qu¶ bµi to¸n C x = 120 VËy, muèn t×m C ta lµm thÕ nµo vµ b»ng bao nhiªu ? : ( 120 : = 30 VËy C = 30 ) B : = 30 VËy, muèn t×m B ta lµm thÕ nµo vµ b»ng bao nhiªu ? ( 30 x = 90 VËy B = 90 ) x A + 32 = 90 VËy, muèn t×m A ta lµm thÕ nµo vµ b»ng bao nhiªu ? ( 90 - 32 = 58 VËy A = 58 - §©y chÝnh lµ sè ph¶i t×m cña bµi to¸n ) L-u ý: L-ợc đồ nên sử dụng phần nháp để tìm tòi cách giải NÕu vÏ vµo bµi lµm th× r-êm rµ vµ mÊt thêi gian Bµi gi¶i cô thÓ: Sè tr-íc nh©n víi lµ: 120 : = 30 Sè tr-íc chia cho lµ: 30 x = 90 Sè ph¶i t×m ( hay tr-íc céng 32 ) lµ: 90 - 32 = 58 §¸p sè: 58 Lop4.com (3) Bài toán trên ta có thể h-ớng dẫn học sinh giải ph-ơng pháp dùng sơ đồ ®o¹n th¼ng nh- sau: Số cần tìm : 32 Số sau cộng với 32: Số sau chia cho 3: Cuối cùng : 120 Lưu ý: Số sau cộng với 32 hay trước chia cho là * Giải cách đưa bài toán tìm X ( tìm thành phần chưa biết phép tính - lập phương trình ) Gọi số cần tìm là X ta có : ( X + 32 ) : x = 120 Giải: ( X + 32 ) : = 120 : ( X + 32 ) : = 30 X + 32 = 30 x X + 32 = 90 X = 90 - 32 X = 58 Lưu ý: bài toán tìm X dạng bản: X+a=b; Xxa=b; X-a=b; a-X=b, X:a=b; a:X =b Trong đó a, b là các số đã biết X là số cần tìm Hầu hết các bài toán tìm X tiểu học ( giải phương trình bậc có ẩn số ) không dạng bản, qua số biến đổi tương đương đưa dạng trên Ví dụ 1.2: Tìm số biết số đó nhân với cộng với 45, bao nhiêu nhân với chia cho và cuối cùng trừ 17 thì kết là 2073 Hướng dẫn giải: Dùng lược đồ: x5 + 45 A X? X? :5 x4 B :2 C - 45 :4 - 17 x2 Bài giải: ( Nên hướng dẫn học sinh trình bày theo kiểu đây) Số trước trừ 17 là : 2073 + 17 = 2090 Số trước chia cho là : 2090 x = 4180 Số trước nhân với là : 4180 : = 1045 Số trước cộng với 45 là : 1045 - 45 = 1000 Số phải tìm là : 1000 : = 200 Đáp số: 200 Dùng SĐĐT Lop4.com 2073 D + 17 (4) Dạng bài này tìm tòi cách giải phương pháp sử dụng SĐĐT phải vẽ phiền phức Cách vẽ và cách trình bày tương tự ví dụ 1.1, nên không trình bày đây Sử dụng cách đưa bài toán tìm X Việc sử dụng cách đưa bài toán tìm X khá đơn giản, tương tự ví dụ 1.1, việc đưa giải phương trình này chưa thật phù hợp với học sinh tiểu học Bên cạnh đó cần lưu ý học sinh sử dụng dấu ngoặc đơn cách hợp lý Cụ thể: Gọi số phải tìm là X ta có: (X x + 45 ) x : - 17 = 2073 Giải bài toán này ta tìm X = 200 Cách giải tương tự ví dụ 1.1 đã trình bày - Dạng thứ hai: Ví dụ 2.1: Một người đem bán số cam Lần đầu bán 1/3 số cam, lần thứ hai bán 1/3 số cam còn lại, lần thứ ba bán 20 thì còn 56 Hỏi lúc đầu người đó có tất bao nhiêu cam ? Hướng dẫn giải: Dùng lược đồ: Dạng này dùng lược đồ thì khó khăn việc biểu diễn phần còn lại sau lần bớt Cụ thể: Bớt 1/3 X X? Bớt 1/3 A A - 20 B 56 ( Suy luận theo đường mũi tên có nét đứt để giải bài toán ) + Bán 20 quả, còn 56 Vậy, muốn tìm số cam trước bán 20 ta có thể làm nào? ( lấy 56 cộng với 20, ta có 56 + 20 = 76 Như B = 76 ) + Bớt 1/3 A thì B, tức 76 Vậy, muốn tìm A ta có thể làm nào ? Hướng dẫn cách nghĩ: A bớt 1/3 nó thì còn 2 A, mà A 3 76 , A = 76: 2/3 = 114 ( có thể trình bày A = 76 : x = 114) Vậy A = 114 + Bớt 1/3 X thì A, tức 114 Vậy, muốn tìm X ta có thể làm nào ?Tương tự cách tìm A ta có: X = 114 : 2/3 = 171.Vậy, X ( số cần tìm ) là 171 Cách giải cụ thể: Trước bán 20 , người đó còn số cam: 56 + 20 = 76 ( ) Số cam còn lại trước bán lần thứ hai là: 76 : 2/3 = 114 ( ) Số cam người đó đem bán là: 114 : 2/3 = 171 ( ) Đáp số 171 Dùng SĐĐT ( Phương pháp chủ công loại này ) Để phù hợp với HS tiểu học ( đặc biệt học sinh chưa học các phép tính phân số ) Nên hướng dẫn HS sử dụng phương pháp dùng SĐĐT Lop4.com (5) Ta có SĐĐT sau: Số cam cần tìm: Số cam còn lại sau bán lần I: Số cam còn lại sau bán lần II : 20 qu¶ Cuối cùng 56 Hướng dẫn giải: Tìm số cam còn lại sau bán lần thứ hai ( hay trước bán lần thứ ba ) Số cam còn lại sau bán lần thứ hai biểu diễn hai đoạn thẳng: đoạn cuối cùng 56 và đoạn biểu diễn 20 Như vậy, muốn tìm số cam còn lại sau lần bán thứ hai ta làm nào? ( 56 + 20 = 76 ) Tìm tiếp số cam còn lại sau bán lần thứ Số cam này biểu diễn đoạn thẳng có phần nhau, mà phần đó chính là 76 Vậy, muốn tìm số cam còn lại sau lần bán thứ ta có thể làm nào? ( lấy 76 chia để tìm phần, nhân với để có phần cụ thể 76 : x = 114) Tìm số cam người đó đem bán Toàn số cam này biểu diễn đoạn thẳng chứa phần nhau, mà đó có phần 114 Vậy, muốn tìm số cam người đó đem bán ta có thể làm nào ? ( lấy 114 chia để tìm phần, nhân với để tìm phần - Cụ thể : 114 : x = 171) Bài giải cụ thể: Số cam còn lại sau bán lần thứ hai là : 65 + 20 = 76 ( quả) Số cam còn lại sau bán lần đầu là: 76 : x = 114 (quả) Số cam lúc đầu là : 114 : x = 171 ( quả) Đáp số: 171 cam Sử dụng cách đưa bài toán tìm X: Với dạng này, ta hướng dẫn học sinh giải cách đưa bài toán tìm X thì gặp số khó khăn học sinh tiểu học là học sinh chưa học các phép tính phân số Ta có thể đưa bài toán tìm X không thuộc dạng sau: Gọi số cam cần tìm là X ( X là số tự nhiên lớn - đơn vị : ) X- 1 x X - x ( X - x X ) - 20 = 56 3 Ví dụ 2.2: Một người đem bán số trứng sau: Lần đầu bán cho khách 1/2 số trứng và biếu khách Lần thứ hai bán 1/2 số trứng còn lại và lại biếu khách Lần thứ ba bán 1/2 số trứng còn lại sau hai lần trước và lại biếu khách Cuối cùng người đó còn 10 trứng Hỏi lúc đầu người đó có bao nhiêu trứng đem bán ? Hướng dẫn giải: Dùng sơ đồ đoạn thẳng Như loại bài này, sử dụng phương pháp dùng SĐĐT để giải là tối ưu Lop4.com (6) Vẽ sơ đồ: Một nửa Số trứng ?: Sè trøng cßn l¹i sau lÇn b¸n thø nhÊt: Một nửa Sè trøng cßn l¹i sau lÇn b¸n thø hai : Một nửa Cuối cùng : 10 Theo sơ đồ ta có ( nhìn ngược từ lên ): + Một nửa số trứng còn lại sau bán lần thứ hai gồm đoạn thẳng biểu diễn 10 trứng và Muốn tính nửa số trứng còn lại sau bán lần thứ hai ta có thể làm nào ? ( 10 + = 11 ) Muốn tính số trứng còn lại sau bán lần thứ hai ta làm nào ? ( 11 x = 22 ) + Một nửa số trứng còn lại sau bán lần thứ gồm 22 và Từ đó dễ thấy cách tính số trứng còn lại sau bán lần thứ là: ( 22 + ) x = 46 + Một nửa số trứng lúc đầu gồm 46 và Từ đó dễ thấy cách tính số trứng người đó đem bán là: ( 46 + ) x = 94 ( ) Bài giải cụ thể: Số trứng còn lại sau bán lần thứ hai là: ( 10 + ) x = 22 ( ) Số trứng còn lại sau bán lần thứ là: ( 22 + ) x = 46 ( ) Số trứng người đó đem bán là: ( 46 + ) x = 94 ( ) Đáp số: 94 trứng Lưu ý: Có thể hướng dẫn học sinh thử lại, tạo thêm niềm tin cho các em: 94 : - = 46 , 46 : - = 22 ; 22 : - = 10 Dùng lược đồ: X- X-1 A-1 A- A X? B- B B-1 10 ( Suy luận theo đường mũi tên có nét đứt ) + Tìm B: B - B - = 10 B - = 10 B = 11 B = 11 x = A - = 22 A - = 22 A = 23 A = 23 x = X = 47 X = 47 x = 22 + Tìm A: A 46 + Tìm X: X - X - = 46 X - = 46 94 Lop4.com (7) Nhận xét: Với cách này rõ ràng học sinh đã phải dùng đến phép tính phân số, bên cạnh đó lại phải kết hợp với việc đặt ẩn số không thật phù hợp với tư học sinh tiểu học Đưa bài toán "tìm X ": Trong trường hợp bài này, đưa bài toán " tìm X " thì quá phức tạp học sinh tiểu học Để cho học sinh có thể nắm nên chuyển thành các bước nhỏ sau: Gọi số trứng người đó đem bán là X ( X là số tự nhiên lớn ), ta có: Số trứng còn lại sau lần bán thứ là: X- 1 X-1= X-1 2 Số trứng còn lại sau lần bán thứ hai là: 1 1 X - - ( X - 1) - = X 2 Số trứng còn lại sau lần bán thứ ba là: 1 X- - ( X- )-1= X4 2 Theo bài toán ta có: X - = 10 X= 94 ( tự giải ) Qua các cách giải trên ta thấy với dạng này, sử dụng SĐĐT là hợp lý Ví dụ 2.3: An có số bi đựng hộp Lần đầu An lấy 1/3 số bi hộp bỏ trở lại bi Lần thứ hai An lấy 1/4 số bi còn lại lại bỏ lại bi Lần thứ ba An lấy 1/2 số bi còn lại hộp và bỏ lại bi Lần thứ tư An lấy 2/3 số bi còn lại các lần lấy trên và bỏ lại bi thì hộp có 15 bi Hỏi lúc đầu hộp có bao nhiêu bi ? Hướng dẫn giải: Dùng SĐĐT (Phương pháp chủ công loại này) phần ba Số bi ? bi Số bi còn lại sau lần lấy T1: bi Số bi còn lại sau lần lấy thứ hai: bi Số bi còn lai sau lần lấy thứ ba: bi Cuối cùng: 15 bi Theo SĐĐT ta thấy: + Số bi còn lại sau lần lấy thứ ba có phần ? (3 phần) Ta có thể tìm phần không ? Muốn tìm phần đó ta có thể làm nào? (15 - = 10) Vậy số bi còn lại sau lần lấy thứ ba là ? (10 x = 30 bi ) Lop4.com (8) + Số bi còn lại sau lần lấy thứ hai chứa phần ? ( phần ) Muốn tìm giá trị phần đó ta có thể làm nào ? ( 30 - = 26 ) Vậy số bi còn lại sau lần lấy thứ hai là ? ( 26 x = 52 ) + Số bi còn lại sau lần lấy thứ chứa phần ? ( phần ) Muốn tìm giá trị phần ta có thể làm nào ? - Trước hết phải tìm giá trị phần Muốn tìm giá trị phần ta có thể làm nào ? và bao nhiêu ? ( 52 - = 51 ) - Để tìm giá trị phần ta có thể làm nào ? ( 51 : = 17 ) Vậy, muốn tìm số bi còn lại sau lần lấy thứ ta có thể làm nào ? ( 17 x = 68 ) + Số bi lúc đầu hộp có phần ? ( phần ) Ta có thể tính giá trị phần trước ? ( phần ) Muốn tính giá trị phần này ta có thể làm nào ? ( 68 - = 66 ) Ta dễ dàng tính phần.Vậy, muốn tính số bi hộp lúc đầu An ta có thể làm nào ? ( 66 : x = 99 ) Bài giải cụ thể ( Lưu ý có số bước cần làm gộp để bài giải không quá dài dòng ) Số bi còn lại sau lần lấy thứ ba là : ( 15 - ) x = 30 ( bi ) Số bi còn lại sau lần lấy thứ hai là: ( 30 - ) x = 52 ( bi ) Số bi còn lại sau lần lấy thứ là: ( 52 - ) : x = 68 ( bi ) Số bi lúc đầu hộp An là : ( 68 - ) : x = 99 ( bi ) Đáp số : 99 bi Dạng bài này có thể vận dụng lược đồ đưa bài toán "tìm X " để giải có nhiều khó khăn học sinh tiểu học Tuy vậy, học sinh khá giỏi thật nên khuyến khích các em giải theo nhiều cách khác Nhưng rõ ràng cách giải SĐĐT là hợp lý Dạng thứ ba Ví dụ 3.1: Có ba hộp bi A, B, C Lần đầu chuyển từ hộp A sang hộp B 20 bi và từ hộp C sang hộp B 15 bi Lần thứ hai chuyển từ hộp B sang hộp C 40 bi và từ hộp C sang hộp A 15 bi Lần thứ ba chuyển từ hộp B sang hộp A 18 bi và từ hộp C sang hộp B bi Cuối cùng hộp A có 140 bi, hộp B có 160 bi và hộp C có 180 bi Hỏi lúc đầu hộp có bao nhiêu bi ? Hướng dẫn giải Để tìm tòi cách giải dạng này có nhiều cách, cách phù hợp với học sinh tiểu học là lập bảng Việc lập bảng không yêu cầu trình bày vào bài giải mà cần thực nháp để có cách trình bày chính xác Ta có thể lập bảng sau: NỘI DUNG CHUYỂN SỐ BI Ở CÁC HỘP Lần 1: - Từ A - Từ C Lần 2: - Từ B - Từ C B 20 bi B 15 bi C 40 bi A bi A * Lần 3: - Từ B - Từ C A 18 bi B bi * B 20 * 40 HÀNG C 15 * * 18 Lop4.com * (9) CUỐI CÙNG 140 bi 160 bi 180 bi Lưu ý: + Các dấu * các ô 2A, 2B, 2C là số bi còn lại sau chuyển lần thứ + Các dấu * các ô 3A, 3B, 3C là số bi còn lại sau chuyển lần thứ hai + Khi nháp cần cột số bi các hộp là Dựa vào bảng trên, phương pháp suy luận từ lên ta tìm các * hàng hàng và cuối cùng là hàng - đó chính là số bi các hộp phải tìm Tìm giá trị các ô hàng ( số bi hộp trước chuyển lần thứ ba hay sau chuyển lần thứ hai ) - Số bi hộp C ( ô 3C ) Bớt bi còn 180 bi Vậy, muốn tính số bi hộp C trước chuyển lần thứ ba ta có thể làm nào ? và bao nhiêu ? ( 180 + = 184) - Số bi hộp B ( ô 3B ) Bớt 18 bi và thêm vào bi thì còn 160 bi Vậy, muốn tính số bi hộp B trước chuyển lần thứ ba ta có thể làm nào ? và bao nhiêu? ( 160 + 18 - = 174 ) - Số bi hộp A ( ô 3A) Thêm vào 18 bi thì 140 bi Vậy, muốn tính số bi hộp A trước chuyển lần thứ ba ta có thể làm nào ? và bao nhiêu? (140 18 = 122) Ta có thể tính số bi hộp A cách khác: Việc luân chuyển luẩn quẩn ba hộp đó nên tổng số bi ba hộp là không đổi Đã tính hai hộp thì dễ dàng tính hộp còn lại Cụ thể: Tổng số bi ba hộp luôn là: 140 + 160 + 180 = 480 (bi) Số bi hộp A trước chuyển lần thứ ba là: 480 - 174 - 184 = 122 (bi) Tìm giá trị các ô hàng ( số bi hộp trước chuyển lần hay sau chuyển lần thứ ) Bằng phương pháp suy luận trên ta có thể tính số bi các hộp hàng cách đơn giản sau: - Số bi ô 2C là: 184 - 40 + = 149 ( bi ) - Số bi ô 2B là: 174 + 40 = 214 ( bi ) - Số bi ô 2A là: 122 - = 117 ( bi ) Tìm số bi lúc đầu hộp ( số bi các ô hàng ) Bằng phương pháp suy luận và tìm hàng 3, hàng ta dễ dàng tính số bi lúc đầu hộp - Số bi lúc đầu hộp C là: 149 + 15 = 164 ( bi ) - Số bi lúc đầu hộp B là: 214 - 20 - 15 = 179 ( bi ) - Số bi lúc đầu hộp A là: 117 + 20 = 137 ( bi ) Như vậy, với bài toán khá phức tạp ( với HS tiểu học ) phương pháp dẫn dắt hợp lý, ta đã đưa giải nhiều bài toán " " mà bài Lop4.com (10) toán " " là việc tìm thành phần chưa biết phép tính, học sinh có thể giải không khó khăn Bên cạnh suy luận tìm tòi theo kiểu " hàng ngang", ta có thể hướng dẫn giúp học sinh suy luận theo kiểu " cột dọc " Cách này khá hữu hiệu Đây thực chất là ta lại sử dụng lược đồ xếp theo kiểu cột Cụ thể sau: A C B - 20 +20, + 15 A2 -15 C2 B2 +5 - 40 + 40, - B3 A3 + 18 C3 -18, +4 -4 160 140 180 Nhìn vào lược đồ cột, thực theo chiều các mũi tên "dài", ta dễ dàng tính số bi hộp lúc đầu Chú ý xét " thêm ", " bớt" cột không cần biết đâu chuyển đến hay chuyển đâu Các bước giải bài toán có thể làm gộp ngắn gọn sau: Số bi hộp A lúc đầu là: 140 - 18 - + 20 = 137 ( bi ) Số bi hộp B lúc đầu là: 160 - + 18 + 40 - 15 - 20 = 179 ( bi ) Số bi hộp C lúc đầu là: 180 + + - 40 + 15 = 164 ( bi ) Đáp số: Hộp A: 137 bi; Hộp B: 179 bi; Hộp C: 164 bi Ví dụ 3.2: Có hai thùng đựng dầu A và B Lần đầu chuyển 26 l từ thùng A sang thùng B Lần thứ hai chuyển từ thùng B sang thùng A số lít dầu gấp lần số lít dầu có thùng A Lần thứ ba chuyển từ thùng A sang thùng B số lít dầu đúng số lít dầu có thùng B thì cuối cùng thùng A có 48 l, thùng B có 60 l Hỏi lúc đầu thùng có bao nhiêu lít dầu ? Đây là bài toán thuộc dạng thứ ba Trong đó cần lưu ý, chuyển từ địa này sang địa khác có cách: - Chuyển số đơn vị cụ thể ( tương tự ví dụ 3.1) - Chuyển số lần có địa chuyển đến Hướng dẫn giải: Lập bảng NỘI DUNG CHUYỂN Lần 1: Chuyển 26 bi từ A Lần 2: Chuyển từ B lần số dầu có A Lần 3: Chuyển từ A SỐ BI Ở CÁC HỘP B HÀNG B A số lít dầu gấp A 26 2A 2B B số lít dầu đúng 3A 3B 10 Lop4.com (11) số dầu có B CUỐI CÙNG 48 lít 60 lít + Tính số lít dầu thùng trước chuyển lần thứ ba ( các ô 3A, 3B ) - Số lít dầu thùng B ( ô 3B) Sau chuyển lần thứ ba ( cuối cùng ), thùng B có 60 l Đã chuyển từ thùng A sang thùng B số dầu số dầu thùng B có để 60 l Vậy trước chuyển lần thứ ba thùng B có bao nhiêu lít dầu ? Muốn tính ta phải làm nào ? ( 60 : = 30 - có thể minh hoạ SĐĐT để các em dễ hiểu ) - Số lít dầu thùng A ( ô 3A ) Bớt 30 còn 48 Vậy, muốn tìm số lít dầu thùng A trước chuyển lần thứ ba ta có thể làm nào ? ( 30 + 48 = 78 - 48 + 60 - 30 = 78 ) + Tính số lít dầu thùng trước chuyển lần thứ hai - Số lít dầu thùng A ( ô 2A ) Được thêm lần chính nó thì 78 Vậy, muốn tìm "chính nó" hay số lít dầu thùng A trước chuyển lần thứ hai ta có thể làm nào và bao nhiêu ? ( 78 : = 26 ) Nên mimh hoạ SĐĐT để học sinh dễ hiểu 78 đã có thêm - Số lít dầu thùng B ( ô 2B ) Muốn tính số lít dầu ô 2B ta có thể làm nào ? ( 48 + 60 - 26 = 82 ) + Tính số lít dầu thùng lúc đầu ( ô 1A, 1B ), hay trước chuyển lần thứ - Số lít dầu thùng B lúc đầu: Được thêm 26 thì 82 Vậy, muốn tìm số dầu lúc đầu thùng B ta có thể làm nào ? ( 82 - 26 = 56 ) - Từ đó tìm số lít dầu thùng A lúc đầu là: 108 - 56 = 52 ( l ) Sử dụng lược đồ cột B A + 26 + 26 - 26 2B 2A + thêm lần nó :3 Bớt lần ( 2A ) ( gấp lần ) 3A 3B Trừ lần ( 3B ) + 30 + thêm lần nó 48 60 11 Lop4.com (12) Bài giải cụ thể: Tổng số lít dầu hai thùng luôn là: 60 + 48 = 108 ( l ) Số lít dầu thùng B trước chuyển lần thứ ba là: 60 : = 30 ( l ) Số lít dầu thùng A trước chuyển lần thứ ba là: 108 - 30 = 78 ( l ) Số lít dầu thùng A trước chuyển lần thứ hai là: 78 : = 26 ( l ) Số lít dầu thùng B trước chuyển lần thứ hai là: 108 - 26 = 82( l ) Số lít dầu thùng B lúc đầu là: 82 - 26 = 56 ( l ) Số lít dầu thùng A lúc đầu là: 108 - 56 = 52 ( l ) Đáp số: Thùng A: 52 l; Thùng B: 56 l Chú ý: Nếu xếp theo lược đồ cột thì không thể tính liên tục thùng ví dụ 3.1 Dạng thứ tư Đây là dạng tương đối phức tạp các bài toán giải phương pháp suy luận từ cuối Những cái khó đó là: - Kết cuối cùng thường không phải là số cụ thể - Quá trình thay đổi phức tạp, có tính quy luật Muốn giải dạng này, cần giúp học sinh sử dụng SĐĐT để phân tích và tìm giá trị " áp chót" ( trước cuối ) Từ đó tính đáp số bài toán Ví dụ 4.1: Một tổ công nhân sau hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ thưởng số tiền Người tổ trưởng đem chia số tiền đó sau: - Tổ trưởng 100000 đồng và 1/10 số tiền còn lại - Tổ phó 200000 đồng và 1/10 số tiền còn lại - Công nhân thứ 300000 đồng và 1/10 số tiền còn lại - Công nhân thứ hai 400000 đồng và 1/10 số tiền còn lại Cứ tiếp tục chia người cuối cùng thì số tiền thưởng chia cho tất người Hỏi số tiền thưởng cho tổ là bao nhiêu và người thưởng bao nhiêu tiền ? Ví dụ này là bài toán thuộc dạng suy luận từ cuối Cái cuối cùng đây không biết cụ thể, mà biết là cách biến đổi thì cuối cùng số tiền chia cho người là Bằng các cách giải với các ví dụ trước với loại này không thể thực Để giúp HS giải loại này ta cần phân tích, xét phần " áp chót" và phần "chót" để tìm cách giải Bằng SĐĐT ta có: " Áp chót " " Cuối cùng" 1/10 " Cuối cùng " Trước hết phải thấy người cuối cùng nhận số tiền là số nguyên trăm nghìn đồng thì vừa hết ( tức là 1/10 phần còn lại là 0) Nếu không thì người này chưa phải là người cuối cùng 12 Lop4.com (13) Theo sơ đồ ta thấy: Người " Áp chót " nhận số nguyên trăm nghìn đồng và 1/10 số tiền còn lại Như vậy, 9/10 số tiền còn lại là người cuối cùng Người cuối cùng nhận số nguyên trăm nghìn và người "áp chót" 100000 đ Vậy, 100000 đ đó chính là 1/9 số tiền người cuối cùng nhận Từ đó ta có: + Số tiền người cuối cùng nhận là: 100000 : 1/9 = 900000 (đồng ) + Số người tổ đó là: người + Số tiền toàn tổ là: 900000 x = 8100000 ( đồng ) Cũng lập luận trên ta có thể có cách trình bày thứ hai sau: Gọi số nguyên trăm nghìn đồng người " áp chót" nhận là A, phần còn lại là B đồng Từ đó ta có: Số tiền người "áp chót" nhận biểu diễn theo A và B nào ? ( A + B) 10 Số tiền người cuối cùng nhận biểu diễn nào ? ( B) 10 Theo bài toán, số tiền chia cho người, có nghĩa là số tiền người " áp chót" nhận số tiền người cuối cùng nhận, nên ta có thể biểu diễn quan hệ số tiền hai người này nào ? ( A + A= B= B 10 10 B) 10 Mặt khác, người cuối cùng nhận B là vừa hết, nên số tiền người cuối 10 cùng nhận số nguyên trăm nghìn người " áp chót" nhận và thêm 100000 đ Tức là: B = A + 100000 10 B= B + 100000 10 10 B = 100000 10 B = 100000 : 1/10 = 1000000 Vậy, số tiền người nhận là: 1000000 x 9/10 = 900000 ( đ ) Từ đó tính số tiền tổ: + Cách 1: Theo quy luật cộng thêm số nguyên trăm nghìn, dễ thấy tổ có người Vậy : Tổng số tiền thưởng là: 900000 x = 8100000 ( đ ) + Cách 2: Từ chỗ người thưởng 900000 đ, nên ta có: 100000 đ + 1/10 số tiền còn lại = 900000 đ 1/10 số tiền còn lại là 8000000 đ Vậy, tổng số tiền thưởng là : 8000000 + 100000 = 8100000 ( đ ) Lưu ý: Về cách tính số người tổ có thể thực theo cách sau: Số người tổ đó là: ( 900000 - 100000 ) : ( 200000 - 100000) + = ( người ) Ví dụ 4.2: Một người đem bán số cam sau: Người thứ mua và 1/6 số cam còn lại Người thứ hai mua 18 và 1/6 số cam còn lại Người thứ ba mua 27 và 1/6 số cam còn lại 13 Lop4.com (14) Cuối cùng số cam vừa hết và số cam người mua Hỏi người đó đã bán bao nhiêu cam ? Hướng dẫn giải: Tương tự ví dụ 4.1, trước hết ta cần khảng định số điều sau: + Người thứ mua quả, người thứ hai mua 18 quả, người thứ ba mua 27 quả, … Vậy, quy luật đây là người mua sau người mua liền trước + Người cuối cùng mua số nguyên cam thì vừa hết, có nghĩa phần dư còn lại là + Người " áp chót" mua số nguyên cam và 1/6 số cam còn lại thì 5/6 số cam còn lại này là số cam người cuối cùng mua + Số cam người mua là Ta sử dụng SĐĐT: Cuối cùng "Áp chót" (A) (B) Cuối cùng Đặc biệt lưu ý: Phần nguyên số cam người cuối cùng mua phần nguyên số cam người " áp chót" mua và thêm Vậy, 1/6 số cam còn lại sau người " áp chót" mua số nguyên cam là Vậy, số cam người cuối cùng mua là: x = 45 ( ) Số người mua cam là: ( 45 - ) : ( 18 - ) + = ( người ) Số cam người đó đem bán là: 45 x = 225 ( ) Ta có thể hướng dẫn các em giải theo cách khác: Gọi phần nguyên số cam người "áp chót" mua là A, phần còn lại là B ( xem hình vẽ ) Số cam người " áp chót" mua biểu diễn theo A và B : A + B B Theo bài A = B Từ đó: B - B = B = 6 6 Số cam người " cuối cùng " mua biểu diễn theo B là: toán ta có: A + B= B 6 B = 54 Mỗi người mua số cam : 54 : x = 45 quả, số cam người đó đem bán là: 45 x = 225 (quả) Khái quát vấn đề Mô hình chung loại toán giải phương pháp suy luận từ cuối là: CẦN TÌM + Mét sè + NhiÒu sè b»ng KẾT QUẢ SAU BIẾN ĐỔI LẦN THỨ NHẤT (CHƯA BIẾT ) KẾT QUẢ SAU BIẾN ĐỔI LẦN THỨ HAI (CHƯA BIẾT) 14 Lop4.com KẾT QUẢ SAU BIẾN ĐỔI LẦN THỨ BA (CHƯA BIẾT) … CUỐI CÙNG ( đã biết) (15) Các bước thực ngược để giải bài Quy trình giải chủ yếu thực các bước theo chiều mũi tên ngược với chiều mũi tên biến đổi ban đầu Việc thực các phép tính hoàn toàn phụ thuộc vào quá trình biến đổi Có bài việc biến đổi đơn giản, có bài biến đổi phức tạp Có số bài toán kết cuối cùng có thể không phải là số cụ thể mà có thể lại là bài toán, giải các bài toán đó ta sễ tìm các kết cuối cùng ( thông thường là các bài toán Tổng - Tỉ, Hiệu - Tỉ … ) IV KẾT LUẬN VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Như đã trình bày phần đặt vấn đề, toán tiểu học có nhiều dạng, nhiều phương pháp giải Giải bài toán phương pháp suy luận từ cuối là dạng khá quen thuộc Nhưng học sinh nắm chắc, nhớ lâu, vận dung linh hoạt, sáng tạo và làm bài các em tự tin vào khả mình không phải là dễ Nhiệm vụ người dạy toán là phải đốt lên " lửa " yêu toán lòng các em Hệ thống, phân loại, phân tích, tìm cách giải là cách làm tạo niềm tin cho các em Trên sở này, chúng ta có thể nghĩ tới không dạy dạng toán này mà nhiều dạng toán khác áp dụng quy trình này để giúp các em nắm kiến thức, phương pháp tư lôgic giải toán và sống Nhiều năm tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi toán tiểu học, tôi nhận thấy việc giúp các em nhận dạng, tìm tòi cách giải toán trên có hiệu cao Trên tinh thần đó các em nắm khá kiến thức, vận dụng linh hoạt và khá sáng tạo Tôi đã cố gắng, chưa phải đã đưa giải pháp tối ưu Tôi bài viết mình còn nhiều khiếm khuyết, mong nhận giáo bạn đọc và đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn nhiều, nhiều PHỤ LỤC I- CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Những phương pháp giải toán cấp Tác giả: Đỗ Trung Hiệu - Vũ Dương Thuỵ Toán chọn lọc cấp Tác giả: Đỗ Trung Hiệu - Nguyễn Khắc An Vũ Hoàng Lâm - Nguyễn Thị Phước Hảo 255 bài toán chọn lọc số học Tác giả: Vũ Dương Thuỵ - Trương Công Thành - Nguyễn Ngọc Đạm Giải các bài toán khó 3, 4, Tác giả: Hoàng Kỳ Toán bồi dưỡng học sinh lớp Tác giả: Nguyễn Áng - Dương Quốc Ấn Hoàng Thị Phước Hảo - Phan Thị Nghĩa Toán bồi dưỡng học sinh lớp Tác giả: Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Trung Hiệu Toán chọn lọc lớp Tác giả: Phạm Đình Thực 15 Lop4.com (16) II- MỘT SỐ BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Tìm số biết rằng, số đó trừ 80, bao nhiêu nhân với cộng với 192 thì 792 Mẹ cho hai anh em số tiền để mua sách Nếu anh cho em số tiền đúng số tiền em, em lại cho anh số tiền đúng số tiền còn lại anh thì em có 35000 đồng và anh có 30000 đồng Hỏi mẹ đã cho người bao nhiêu tiền ? Có ba hộp bi A, B, C Lần đầu chuyển 10 bi từ hộp A sang hộp B và 15 bi từ hộp C sang hộp B Lần thứ hai chuyển bi từ hộp A sang hộp B và bi từ hộp B sang hộp C Lần thứ ba chuyển 20 bi từ hộp C sang hộp A và 18 bi từ hộp B sang hộp A Lần thứ tư chuyển bi từ hộp A sang hộp B và bi từ hộp C sang hộp B, thì cuối cùng hộp A có 190 bi, hộp B có 350 bi, hộp C có 280 bi Hỏi lúc đầu hộp có bao nhiêu bi ? Một người chợ bán cam Lần thứ bán 1/2 số cam cộng thêm 1/2 Lần thứ hai bán 1/2 số cam còn lại cộng thêm 1/2 Lần thứ ba bán 1/2 số cam còn lại cộng thêm 1/2 Lần thứ tư bán 1/2 số cam còn lại cộng 1/2 thì vừa hết Tính số cam người đó đem bán (Toán cổ) Một tên tham lam gặp quỷ cạnh cầu Tên này than phiền nỗi nghèo khổ mình Con quỷ nói " Tôi có thể giúp anh Cứ lần anh qua cầu thì số tiền anh tăng gấp đôi; sau đó anh phải trả cho tôi 24 xu Bằng lòng ?" Tên tham lam lòng Sau qua cầu ba lần thì thấy túi mình không còn xu nào Hỏi lúc đầu tên tham lam có bao nhiêu tiền ? Trong buổi lao động trồng cây đầu xuân, lớp 5A đã chia số cây cho các tổ sau: Tổ Một trồng 20 cây và 4/ 100 số cây còn lại; Tổ Hai trồng 21 cây và 4/100 số cây còn lại; Tổ Ba trồng 22 cây và 4/100 số cây còn lại; ………………………………………………… Cứ chia tổ cuối cùng thì vừa hết số cây và số cây tổ đem trồng Hỏi lớp A có tổ và tổ chia bao nhiêu cây ? Trong hộp có 130 bi Hai bạn chơi trò bốc bi Mỗi lần có thể lấy từ đến bi Ai lấy viên bi cuối cùng người đó thắng Bạn bốc trước, theo bạn nên lấy nào để bạn luôn là người thắng ? CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG 16 Lop4.com (17)