S6 chuyen đề 3 chủ đề 1 pp phan tich thanh thua so

CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CĨ DƯ Chủ đề 1: Phương pháp phân tích thành thừa số để chứng minh toán chia hết PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.PHÉP CHIA HẾT Với a, b số tự nhiên b khác Ta nói a chia hết cho b tồn số tự nhiên q cho a = b q 2.TÍNH CHẤT CHUNG 1) a b bc a c 2) a a với a khác 3) 0b với b khác 4) Bất số chia hết cho 3.TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU - Nếu a, b chia hết cho m a + b chia hết cho m a - b chia hết cho m - Tổng số chia hết cho m số chia hết cho m số cịn lại chia hết cho m - Nếu số a, b chia hết cho m số khơng chia hết cho m tổng, hiệu chúng khơng chia hết cho m 4.TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TÍCH - Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n a.b chia hết cho m.n n n - Nếu a chia hết cho b thì: a b *) Chú ý: a n a n - b n   a  b  ,  n 2 - bn  (a  b), n chẵn 5.DẤU HIỆU CHIA HẾT a) Dấu hiệu chia hết cho 2: số chia hết cho chữ số tận số số chẵn Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ b) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 9): số chia hết cho (hoặc 9) tổng chữ số số chia hết cho (hoặc 9) *) Chú ý: Một số chia hết cho (hoặc 9) dư tổng chữ số chia cho (hoặc 9) dư nhiêu ngược lại c) Dấu hiệu chia hết cho 5: số chia hết cho chữ số số có tận d) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 25): số chia hết cho (hoặc 25) hai chữ số tận số chia hết cho (hoặc 25) e) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 125): số chia hết cho (hoặc 125) ba chữ số tận số chia hết cho (hoặc 125) f) Dấu hiệu chia hết cho 11: số chia hết cho 11 chi hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11 PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Chứng minh biểu thức số có chứa lũy thừa chia hết cho số tự nhiên biểu thức số I.Phương pháp giải: -Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử (phân tích thành thừa số) để xét tính chất chia hết - Chứng minh hai biểu thức chia hết cho biểu thức số khác II.Bài toán 27 77 Bài 1: Chứng minh rằng: A 27  chia hết cho 82 Lời giải Ta có A 27 27  377  33   27  377 381  377 377 34  82.377 82   (đpcm) Bài 2: Chứng minh rằng: a) A 5   7 b) B 10  59 13 c) C 81  27  45 d) D 10  10  10 555 222 15 e) F 16  33 Lời giải 3 a) Ta có A 5   5 (5  1) 5 217 7 6 b) Ta có B 10  (2.5)  5 (2  5) 59.5 59 Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 13 28 27 26 26 26 c) Ta có C 81  27  3   3 (3   1) 5.3 5.3 7 7 7 d) Ta có D 10  10  10 10 (10  10  1) 111.10 111.(2.5) 222.2 222(555.2 555) F 165  215 220  215 215 (25 1) 33.215 33 ) Ta có e Bài 3: Chứng minh rằng: 51 a) A 2  17 19 17 b) B 17  19 18 63 c) C 36  17 Lời giải 17 a) Ta có A 251   23    23  1  48  45  1 7  48  45  1 7 19 17 19 17 b) Ta có B 17  19 (17  1)  (19  1) 19 19 18 18 17 17 16 Mà 17  (17  17 )  (17  17 )  (17  17 )   (17  1) 1718  17  1  1717  17  1  1716  17  1    17 1 18.1718  18.1717  18.1716   18  1 18.(1718  1717  1716   1)18 Mà 1917   1917  1916    1916  1915    1915  1914     19  1 1916  19  1  1915  19  1  1914  19  1   19  1 1916.18  1915.18  1914.18  18 18.(1916  1915  1914  1)18 Từ  1 c) Ta có  2   2 B 1719  1917 18 (đpcm) C 3663   3663  3662    36 62  36 61    3661  3660    (36  1) C 3662  36  1  3661  36  1  3660  36  1   (36  1) C 3662.35  3661.35  3660.35   35 C 35  3662  3661  3660   1 7 (đpcm) Bài 4: Chứng minh rằng: Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 15 a) A 16  33 20 b) B 8  17 Lời giải 15 15 20 15 15 15 a) Ta có A 16  (2 )  2  2 (2  1) 2 3333 b) Ta có B 88  220 (23 )8  20 2 24  20 220.(2  1) 2 20.17 17 99 Bài 5: Cho A 2      Chứng minh A chia hết cho 31 Lời giải Nhận xét: Để chứng minh tổng lũy thừa chia hết cho số k ta cần thực nhóm số hạng để biến đổi tổng dạng tích số k với biểu thức A 20  21  22  23   299  20  21  2  23  24   25  20  21  22  23  24    295  20  21  22  23    20  21  2  23  24    25  210   295  31   25  210   295  31 99 100 Bài 6: Cho A 1      A 2  Chứng minh A chia hết cho 3; 15; 31 Lời giải Ta có A có 100 số hạng 98 99 a) Ta có A (1  2)  (2  )   (2  ) 3  22.(1  2)   298.(1  2) 3.(1  2    298 )3 96 99 b) Ta có A (1    )  (2    )  (2   ) 15.(1  24   296 ) 15 118 119 Bài 7: Cho M 1       Chứng minh M chia hết cho 13 Lời giải Ta có: M (1   32 )  (33  34  35 )   (3117  3118  3119 ) Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ (1   32 )  33 (1   32 )   3117.(1   32 )  M 13  33.13   13.3117 13.(1  33   3117 ) 13 11 Bài 8: Cho B 1     Chứng minh B chia hết cho Lời giải Ta có: B 1   32   311 (1  3)  (32  33 )   (310  311 ) 4  32.(1  3)   310.(1  3) 4  32.4   310.4 4.(1  32   310 ) 4 Bài 9: Cho C 5     Chứng minh C chia hết cho 30 Lời giải 8 Ta có: C 5  22    (5  )  (5  )   (5  ) 30  52.(5  52 )   56.(5  52 ) 30  52.30   56.30 30.(1  52   56 ) 30 60 Bài 10: Cho D 2     Chứng minh D chia hết cho 3, 7, 15 Lời giải 60 Ta có: D 2     (2  22 )  (23  24 )   (259  260 ) 2.(1  2)  23.(1  2)   259.(1  2) 2.3  23.3   259.3 3.(2  23   259 ) 3 D 2  22  23   260 (2  22  23 )  (24  25  26 )   (258  259  260 ) 2.(1   22 )  24.(1   2 )   258.(1   2 ) 2.7  24.7   258.7 Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 7.(2  24   258 ) 7 D 2  22  23   260 (2  2  23  24 )  (25    28 )   (257  258  259  60 ) 2.(1   22  23 )  25.(1   2  23 )   257.(1   2  23 ) 57 2.15  25.15   257.15 15.(2    ) 15 1991 Bài 11: Cho E 1      Chứng minh E chia hết cho 13 41 Lời giải 1991 Ta có: E 1      (1   32 )  (33  34  35 )   (31989  31990  31991 ) E 13  33.(3   32 )   31989.(1   32 ) 13 13.33   31989.13 13.(1  33   31989 )13 E 1   32  33   31991 E (1  32  34  36 )  (3  33  35  37 )   (31984  31986  31988  31990 )  (31985  31987  31989  31991 ) E (1  32  34  36 )  3.(1  32  34  36 )   31984.(1  32  34  36 )  31985 (1  32  34  36 ) E (1  32  34  36 ).(1    31984  31985 ) 820.(1    31984  31985 ) 41.20.(1    31984  31985 )41 Bài 12: 100 a) Chứng minh rằng:     3 2000 b) Chứng minh rằng:     8 c) Chứng minh rằng: S 31  32  33   31997  31998 26 100 d) Chứng minh rằng: B 3     (có 100 số hạng) chia hết cho 120 Lời giải 100 99 100 a) Ta có     (2  )  (2  ) 21 (1  2)   299 (1  2) 3(21  23   2999 ) 3 2000 (7  )  (73  )   (71999  2000 ) b) Ta có:      7(1  7)  73 (1  7)   71999 (1  7) 8(7    71999 ) 8 c) Ta có 26 13.2, ta chứng minh S chia hết cho 13 Ta có S có 1998 số hạng, chia làm 666 nhóm Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ S (31  32  33 )   (31996  31997  31998 ) 13.(31  34   31996 )  S13.2 26         666so hang chan2 d) Ta có B (3  32  33  34 )   (397  398  399  3100 )  B120              120 120 11 Bài 13: Cho C 1      Chứng minh a) C chia hết cho 13 b) C chia hết cho 40 Lời giải 10 11 a) Ta có C (1   )  (3   )   (3   ) 13(1    ) 13 b) Nhóm số hạng vào nhóm ta C 40   34  38  chia hết cho 40 (đpcm) 3 3 Bài 14: Chứng minh rằng: A 1     100 chia hết cho B 1   100 Lời giải Ta có B   100     99     50  50  101.50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 101 A (13  1003 )  (23  993 )  (503  513 ) A (1  100)(12  100 100 )  (2  99)(2  2.99  99 )   (50  51)(502  50.51  512 ) A 101(12  100 100  2  2.99  992   502  50.51  512 ) 101  1 Lại có: A (13  993 )  (23  983 )   (503  1003 )  A 50(2)              50 50 Từ (1) (2) suy A chia hết cho 50 50.101 B Dạng 2: Chứng minh biểu thức đại số có chứa lũy thừa chia hết cho số tự nhiên I.Phương pháp giải: -Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử (phân tích thành thừa số) để xét tính chất chia hết -Vận dụng tính chất chia hết tổng, hiệu II.Bài toán Bài 15: Chứng minh rằng: Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ a) A = n  n 30 , n   n 2 n 2 n n c) C 3    10 b) B = n  10n  9384 với n lẻ n   4.n d) D 2  115, n  N n e) C 10 18.n  127 Lời giải A = n  n = n  n  1 a) Ta có n  n  1  n + 1  n 1  n  1 n  n + 1  n  1 6  n  1 n  n + 1 tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho  *  Mặt khác A = n  n = n  n  1 n  n  1  n  1 n  n  1  n    = n  n  1  n    5.n  n  1  n    n  1 n  n  1  n    5.n  n  1 Mà n    n  1 n  n + 1  n   5.n  n  1 là tích năm số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho chia hết cho  A = n  n 5  ** Từ (*) (**), ta có A chia hết cho 30 b) Ta có A n  10.n   n  n    9.n   n  n  1   n  1  n  1  n    n  1  n + 1  n  3  n +   n  3  n  1  n + 1  n +  Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Vì n lẻ nên đặt n 2.k  1 k  Z  nên A  2.k   2.k  2.k +   2.k +  16  k  1 k  k + 1  k +  16 Và  1  k  1 k  k + 1  k +  tích số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội 2, 3, nên A bội 24 hay A chia hết cho 24 Từ c) Ta có  1  2  A  16.24  hay A 384 n n C 3n 2  2n   3n  2n 3n.(32 1)  2n.(2  1) 10.3  5.2   10 n d) Ta có  2  n D 24.n  16   16  16 n-1    16 n-1  16 n-2 10    (16  1) n-1 D 16  16  1  16 n   16  1   (16  1) n-1 D 16 15  16n  2.15  15 n-1 D 15.(16  16 n    1) 15 e) Ta có C 10n 18.n  (10 n  1) 18.n 99  18.n  Sè 99 9 có n chu sè  C 9.(11  2.n)  Sè 111 có n chu sè 1 C 9.L Xét biểu thức ngoặc L 11  2.n 11  n  3.n  Sè 111 có n chu sè 1 Ta biết số tự nhiên tổng chữ số có số dư phép chia cho Sè 11 1 n chu sè 1 có tơng chu sè là1 1  1 n  có n chu sè 1  11 1 n chu sè 1 n có sè du phép chia cho 3n  (11  n)3  L 3  9.L 27 Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ  C 10 n 18 n-127 Điều ngược lại 3 Bài 16: Cho n số tự nhiên khác 0, chứng minh A n  (n 1) (n  2) 9 Lời giải A 3.n.(n  1).(n  1)  9.n 9   18.n          3 Ta có 9 9 (đpcm) n Bài 17: Chứng minh rằng: A 10  72.n  chia hết cho 81 Lời giải n n n Ta có A 10   72.n (10  1).(10 10   10  1) 9.(10n   10n    10  1)  9.n  81.n 9.(10n    10   n)  81.n 9  (10n   1)  (10n   1)   (1  1)  +81.n k k Lại có: 10  (10  1)(10  10 1) 9   (10n   1)  (10n   1)  (1  1)  81   (10n   1)  (10 n   1)   (1  1)  + 81.n 81  A 81 Dạng 3: Chứng minh biểu thức đại số chia hết cho số I.Phương pháp giải: - Chứng minh biểu thức có chữ số tận chia hết cho số - Vận dụng tính chất chia hết tổng II.Bài toán Bài 18: Chứng minh n   tích (n  3).(n  6) chia hết cho Lời giải Ta xét trường hợp: Nếu n số lẻ n  số chẵn; n  số lẻ Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CĨ DƯ Mà số chẵn nhân với số lẻ có tận số chẵn  ( n  3)( n  6)2 Mếu n số chẵn n  số lẻ; n  số chẵn Mà tích số lẻ với số chẵn có tận chữ số chẵn  (n  3).(n  6) 2 Vậy với n thuộc N tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho (đpcm) Bài 19: Chứng minh (1005.a  2100.b) chia hết cho 15 với a, b thuộc  Lời giải Vì 10053 nên 1005 a 3 với  a   Vì 21003 nên 2100.b 3 với b    (1005.a  2001.b)3, a, b   Vì 10055 nên 1005.a 5 với a   Vì 21005 nên 2100.b 5 với b    (1005.a  2001.b)5, a, b   Mà (3;5) 1  (1005.a  2001.b) 15 với a, b   Dạng 4: Chứng minh tốn chia hết theo tính chất hai chiều I.Phương pháp giải: - Vận dụng tính chất chia hết tổng II.Bài toán Bài 20: Chứng minh a) abcd chia hết cho 29  a  3.b  9.c  27.d 29 b) abc chia hết cho 21  a  2.b  4.c 21 c) m  4.n chia hết cho 13  10.m  n 13, m, n   Lời giải a) Ta có: abcd 29  1000.a  100.b 10.c  d 29  2000.a  200.b  20.c + 2.d 29 Trang 11 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ  2001.a  a  203.b  3.b  29.c  9.c  29.d  27.d 29  (2001.a  203.b  29.c  29.d)  (a  3.b  9.c  27.d) 29  (29.69.a  29.7.b  29.c  29.d)  (a  3.b  9.c  27.d) 29  (a  3.b  9.c  27.d) 29 b) Ta có: abc 21  100.a  10.b  c21  (100.a  84.a)  (10.b  42.b)  (c  63.c)  84.a  42.b  63.c 21  16.a  32.b  64.c  84.a  42.b  63.c 21  (16.a  32.b  64.c)  (84.a  42.b  63.c) 21  16.(a  2.b  4.c)  (21.4.a  21.2.b  21.3.c) 21  a  2.b  4.c 21 c) Ta có: m + 4.n 13  3.(m + 4.n)13  3.m + 12.n 13  13.m - 10.m + 13.n - n 13  (13.m + 13.n) - (10.m + n) 13  13.(m + n) - (10.m + n) 13  (10.m + n)13 Ta có abcabc abc000  abc 1000.abc  abc 1001.abc 7.11.13.abc7;11;13 (đpcm) Bài 21: Chứng minh a) Nếu ab  cd  eg chia hết cho 11 abcdeg chia hết cho 11, điều ngược lại có khơng? b) Nếu abc  deg 7 abcdeg chia hết cho Lời giải a) Ta có abcdeg 10000.ab 100.cd  eg Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 9999.ab  ab  cd  eg  abcdeg 11      99.cd      11 11 11 Điều ngược lại b) abcdeg 1000.abc  deg 1001.abc  abc  deg 1001.abc  deg)     (abc    7 7  abcdeg 7 Dạng 5: Chứng minh tốn có vận dụng tính chất chia hết để tìm số dư I.Phương pháp giải: - Vận dụng tính chất chia hết tổng II.Bài toán Bài 22: a) Chứng minh rằng: Tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho b) Chứng minh rằng: Tổng số chẵn liên tiếp chia hết cho 10, tổng số lẻ liên tiếp chia 10 dư Lời giải a) Ta có tổng ba số tự nhiên liên tiếp là: n  n   n   3.n   3 với n số tự nhiên  với n số tự nhiên tổng số tự nhiên liên tiếp n  n   n   n  4.n   b) Tổng số tự nhiên chẵn liên tiếp k 2.k  2.k   2.k   2.k   2.k   10.k  20  10 với Tổng số tự nhiên lẻ liên tiếp 2.k   2.k   2.k   2.k   2.k  10.k  25 chia cho 10 dư (đpcm) Bài 23: a) Chứng minh rằng: Với n thuộc N 60.n  45 chia hết cho 15 không chia hết cho 30 b) Chứng minh khơng có số tự nhiên mà chia cho 15 dư chia dư c) Chứng minh rằng: A n  n  không chia hết cho 5, n   Lời giải Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ a) Ta có: 6015  60.n 15  60.n  4515 (theo tính chất chia hết tổng) 6030  60.n 30 ; 45 không chia hết cho 30  60.n  45 không chia hết cho 30 (theo tính chất chia hết tổng) b) Giả sử có số a   thỏa mãn hai điều kiện a 15.q1  63 a 9.q  khơng chia hết cho Đó điều mâu thuẫn Vậy khơng có số tự nhiên thỏa mãn (đpcm) c) Vì n.( n  1) tích hai số tự nhiên liên tiếp, hai số liên tiếp ln ln có số chẵn  n.( n  1) số chẵn, cộng thêm số lẻ  n.( n  1)  số lẻ  n.( n  1)  không chia hết cho Để chứng minh n.( n  1)  không chia hết cho ta thấy hai số n n  có chữ số tận sau: n   0;1; 2;3; 4;5; 6;7;8;9 Tương ứng số tận n  1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;  tích n.( n  1) tận 0; 2; 6; 0; 0; 2; 6; 2; Hay n.( n  1) 1 tận là: 1; 3; không chia hết cho 998 1000 Bài 25: Cho S 3    a) Tính S b) Chứng minh S chia cho dư Lời giải a) Ta có tổng S có 100 số hạng S 32  34  3998  31000  32.S 34  3998  31000  31002 1002 S  S 3 31002  32   S b) Nhóm hạng tử với dư hạng tử dư Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ S= (32  34 )  (36  38  310 )   (396  398  3100 )               907 du 7 7 100 Bài 26: Cho B 3     (có 100 số hạng) Tìm số dư chi B cho 82 Lời giải Ta có  82 , tổng hai lũy thừa cách số hạng chia hết cho 82 nên ta nhóm số hạng với cịn dư số hạng B (3  32  33  34 )  (35  312 )   (393   3100 ) k k 1 k 7 Ta chứng minh:    82 k k 4 k 1 k 5 k 3 k.2 7 ) (3 k  k 1  k 2  k 3 )(1  34 ) 82 (đúng) Thật vậy: (3  )  (3  )  (3  3 Vậy số dư chia B cho 82 số dư hạng tử lại là:    cho 82 Kết luận: số dư 38 Bài 27: Tìm số nguyên dương n nhỏ cho viết tiếp số vào 2015 ta số chia hết cho 113 Lời giải Giả sử n có k chữ số Theo ta có: 2015.n 113 Có: k 2015.n 2015 10  n (17.13  94).10 k  n  k chu so  2015.n 13  94.10 k  n 113(1) +) k 1  (1)  94.10  n 113  8.113  36  n 113  36  n 113  n 9  36  n / 113  loai  +) k 2  (1)  94.10  n 113  8.113  21  n 113  21  n 113 Mà 10 n 99  21  n 113  n 92 Vậy n 92 giá trị cần tìm Bài 28: Chứng minh rằng: Nếu abc37 bca;cab chia hết cho 37 Lời giải Ta có: Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ A abc (a.10  b.10  c) 37  10 A (a.103  b.102  10.c) 37  10 A 1000.a  10 2.b  10.c  10.A 10  a  999.a bca  999.a   .b 10.c   37.27.a bca 10.A 37  bc a 37 Tương tự 10 bc a 37;999 b37  c ab37 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Lời giải Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a;a  1;a  2(a  N) Tổng ba số tự nhiên liên tiếp : a  a   a   3.a  3 3 (đpcm) Bài 2: Tổng số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho khơng? Lời giải Gọi số tự nhiên liên tiếp là: a;a  1;a  2;a   a   Tổng số tự nhiên liên tiếp là: a  a   a   a  4.a  Do chia hết 4a chia hết cho mà không chia hết (4.a  6) không chia hết cho  Tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Kết luận: Vậy lúc tổng n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Bài 3: Chứng minh (495.a  1035.b) chia hết cho 45 với a , b số tự nhiên Lời giải Vì 4959 nên 1980.a 9 với a Vì 10359 nên 1035.b 9 với b Nên (495.a 1035.b) 9 Chứng minh tương tự ta có: (1980.a  1995.b)5 với a, b Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Mà (9,5) 1  (495.a  1035.b)45 Bài 4: Chứng minh tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Lời giải Gọi hai số chẵn liên tiếp là: 2.n; 2.n   n  *  Tích hai số chẵn liên tiếp là: 2.n  2.n   4.n  n  1 Vì n; n  khơng tính chẵn lẻ nên n; n 1 chia hết cho Mà chia hết  4.n  n  1 8 4.n  n  1 chia hết cho 4.2  2.n  2.n   8 Bài 5: Chứng minh a) Tích ba số tự nhiên liên tiếp ln chia hết cho b) Tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Lời giải a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp n, n  1, n  Tích ba số tự nhiên liên tiếp n.(n  1).(n  2) Một số tự nhiên chia cho nhận số dư 0; 1; Nếu r = n chia hết cho  n.(n  1).(n  2)3 Nếu r 1 n 3.k  (k số tự nhiên)  n  3.k  2 (3.k 3) 3  n.(n  1).(n  2) 3 Nếu r 2 n 3.k  (k số tự nhiên)  n  3.k  1 (3.k 3) 3  n.(n  1).(n  2) 3 Tóm lại: n.(n  1).(n  2) chia hết cho với n số tự nhiên Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ b Chứng minh tương tự ta có  n.(n  1).(n  2)  n  3 4 chia hết cho với n số tự nhiên Kết luận: Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Bài 6: Chứng minh rằng: a) ab  ba chia hết cho 11 b) ab  ba chia hết cho với a  b Hướng dẫn giải a) Ta có: ab  ba (10.a  b)  (10.b  a) 11.a  11.b chia hết cho 11 b) Ta có: ab  ba (10.a  b)  (10.b  a) 9.a  9.b chia hết cho Bài 7: Chứng minh ab  cd 11 abcd 11 Hướng dẫn giải Ta có: abcd 100.ab  cd 99.ab  (ab  cd)11 Bài 8: Biết abc27 chứng minh bca 27 Hướng dẫn giải Ta có: abc 27  abc027  1000.a  bc027  999.a  a  bc027  27.37a  bca 27 Vì 27.37a 27 nên bca 27 Bài 9: Cho chữ số 0, a, b Hãy viết tất số có ba chữ số tạo ba số Chứng minh tổng tất số chia hết cho 211 Hướng dẫn giải Tất số có ba chữ số tạo ba chữ 0, a, b là: a0b ; ab0 ; ba0 ; b0a Tổng số là: Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ a0b  ab0  ba0  b0a 100.a  b  100.a  10.b  100.b  10.a 100.b  a 211a  211b 211  a + b  211 2000 2000 Bài 10: Chứng minh 2113  2011 chia hết cho Hướng dẫn giải Để số vừa chia hết cho số phải có chữ số tận  Cần chứng minh số bị trừ số trừ có chữ số tận Chú ý: Số tự nhiên a có chữ số tận an có chữ số tận 21132000  21134  500 500   21132000 có chữ số tận 21112000 ln có chữ số tận  21132000  20112000 có chữ số tận  21132000  20112000 chia hết cho Bài 11: Chứng minh a) Nếu viết thêm vào đằng sau số tự nhiên có chữ số gồm chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 11 b) Nếu viết thêm vào đằng sau số tự nhiên có chữ số gồm chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 11 Hướng dẫn giải a) Gọi số tự nhiên có chữ số ab , viết thêm ta số abba Ta có: abba 1000.a  100.b  10.b  a 1001.a  110.b 11  91.a  10.b  11 b) Gọi số tự nhiên có chữ số abc , viết thêm ta số abccba Ta có: abccba 100000a 10000b  1000c 100c + 10b  a 100001a  10010b  1100c 11 9091.a  910.b  100.c  11 Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Bài 12: Chứng minh ab 2.cd abcd 67 Hướng dẫn giải Ta có: abcd 100.ab  cd 100.(2.cd)  cd 201.cd Vì 20167  abcd 67 Bài 13: Chứng minh A n  n chia hết cho 30 Hướng dẫn giải Bài tốn ln với n 0 n 1 Xét n 2 Đặt A n  n n  n  1  n  1 n  n  1  n  1  n  1 Ta có A 10 (vì n n có chữ số tận giống nhau) A 3 (vì A có tích số tự nhiên liên tiếp  n  1 n  n  1 )  A 3; A 10 Mà UCLN  3;10  1  A 3.10 30 Vậy A 30 Bài 14: Cho số có chữ số có dạng abc Chứng minh rằng:  abc  bca  cab   a  b  c  Hướng dẫn giải Ta có: abc +  abc  bca  cab  100.a 100.b 100.c 10.a 10.b 10.c  a  b  c 111.a  111.b  111.c  111  a  b  c     abc  bca  cab  a  b  c  Bài 15: Chứng minh abcdeg chia hết cho 23 29, biết abc 2.deg Hướng dẫn giải Ta có: abcdeg 1000.abc  deg Trang 20