S6 chuyên đề 1 chủ đề 4 dãy sô viết theo quy luật dãy cộng,các dãy khác

CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 1- SỐ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT: DÃY CỘNG VÀ CÁC DÃY KHÁC PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT - Dãy cộng dãy số có số hạng ( kể từ số hạng thứ hai) lớn số hạng liền trước số đơn vị - Dãy cộng dãy số cách - Một số phương pháp giải: Phương pháp 1: + Tính số số hạng tổng theo cơng thức : Số số hạng  Số hạng cuối  Số hạng đầu  : Khoảng cách  + Nhóm hai số hạng thành cặp cho giá trị cặp (Lưu ý nhóm vừa hết số hạng thành cặp số số hạng số chẵn thừa số hạng số số hạng số lẻ) Cách tính số hạng thứ n dãy là: Sốá hạng thứ n  Số số hạng  1 Khoảng cách  Số hạng đầu + Tính tổng dựa vào giá trị cặp số cặp vừa nhóm Lưu ý tìm số cặp mà cịn dư số hạng tìm tổng ta phải cộng số hạng dư vào Phương pháp 2: + Dựa vào cơng thức: Số số hạng  Số hạng cuối  Số hạng đầu  : Khoảng cách  Tổng  Số hạng đầu  Số hạng cuối  Số số hạng :2 Phương pháp 3: + Dựa vào toán Gau-xơ : Viết tổng A theo thứ tự ngược lại tính A + A Từ tính tổng A Phương pháp 4: + Phương pháp khử liên tiếp: Tách số hạng thành hiệu số trừ hiệu trước số bị trừ hiệu sau: a1 = b1 – b2 , a2 = b2 – b3 , , an = bn – bn+ Khi ta có An = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + ) = b1 – bn + Phương pháp 5: Phương pháp dự đoán quy nạp PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1:Tính tổng số hạng cách Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN I.Phương pháp giải Muốn tính tổng dãy số có quy luật cách thường hướng dẫn học sinh tính theo bước sau: Số số hạng  Bước 1: Tính số số hạng có dãy: Số hạng cuối  Số hạng đầu Khoảng cách số hạng liên tiếp  Số hạng cuối  Số hạng đầu Tổng dãy   Bước 2: Tính tổng dãy: 1   Sốsố hạng  (quy tắc dân gian: dĩ đầu, cộng vĩ, chiết bán, nhân chi) Với dãy số tăng dần ta có: Số hạng cuối Số hạng lớn Số hạng đầu Số hạng nhỏnhất Ở tập đây, dãy cộng với số tự nhiên đa phần ta gặp dãy tăng dần Tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến n là: S 1     n   n  1 n *) Chú ý: II.Bài toán Bài 1: Có số tự nhiên có hai chữ số? Tính tổng chúng Lời giải: Cách 1: Các số tự nhiên có hai chữ số 10;11;12; ;99 Số số là: 99  10  90 (số)  1 Ta có: A 10  11  12   99 A 99  98   11  10   Cộng  1 với   áp dụng tính chất giao hoán kết hợp phép cộng ta được: A  A  10  99    11  98     98  11   99  10  109  109   109 109 Nên A 109.90  A 109.90 : 45.109 4905 Cách 2: Trang với n  N;n>3 CHUN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN  99  10  Số số hạng dãy:  90 (số hạng) (khoảng cách số hạng liên tiếp dãy 1, số hạng đầu dãy 10, số hạng cuối dãy 99) Tổng dãy: A 99  10 90 4905 Bài 1: Tính giá trị A biết A 1      2014 Lời giải: Dãy số có số số hạng  2014 – 1 :1  2014 (số hạng)  2014 1 2014 : 2029105 Giá trị A Đáp số: 2029105 Bài 3: Cho dãy số: 2, 4, 6,8,10,12, Tìm số hạng thứ 2014 dãy số trên? Số số hạng  *) Phân tích: Từ cơng thức Ta có: Số hạng cuối  Số hạng đầu Khoảng cách số hạng liên tiếp 1  Số số hạng  1  Khoảng cách số hạng liên tiếp   Số hạng cuối  Số hạng đầu   Số số hạng  1  Khoảng cách số hạng liên tiếp    Số hạng đầu Số hạng cuối   Số hạng đầu Số hạng cuối    Số số hạng  1  Khoảng cách số hạng liên tiếp   Lời giải: Số hạng thứ 2014 dãy số  2014 –1  4028 Đáp số: 4028 Bài 4: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn dãy 2019 ? *) Phân tích: Với dãy số tăng dần ta có: Số hạng cuối Số hạng lớn Số hạng đầu Số hạng nhỏnhất Số hạng đầu Số hạng cuối    Số số hạng  1  Khoảng cách số hạng liên tiếp   Lời giải: Số hạng bé dãy số là: Trang 2019   50 – 1  1921 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Tổng 50 số lẻ cần tìm  2019  1921 50 : 98500 Đáp số: 98500 Bài 5: Một dãy phố có 15 nhà Số nhà 15 nhà đánh số lẻ liên tiếp, biết tổng 15 số nhà dãy phố 915 Hãy cho biết số nhà dãy phố số nào? *) Phân tích: Dựa vào cơng thức với dãy số có quy luật tăng dần: Số số hạng  Bước 1: Suy ra: Số hạng cuối  Số hạng đầu Khoảng cách số hạng liên tiếp 1  Số số hạng  1  Khoảng cách số hạng liên tiếp  Số hạng cuối  Số hạng đầu  Số hạng cuối  Số hạng đầu Tổng dãy   Bước 2: Suy ra:   Sốsố hạng   2.Tổng dãy  :  Số số hạng  Số hạng cuối  Số hạng đầu Bài tốn cho biết số số hạng 15, khoảng cách số hạng liên tiếp dãy tổng dãy số 915 Từ bước học sinh tính hiệu tổng số nhà đầu số nhà cuối Từ ta hướng dẫn học sinh chuyển tốn dạng tìm số bé biết tổng hiêu hai số Lời giải: Hiệu số nhà cuối số nhà đầu  15  1  28 Tổng số nhà cuối số nhà đầu 915 :15 122 Số nhà dãy phố  122  28  : 47 (bài toán tổng hiệu quen thuộc) Đáp số: 47 Bài 6: Tính tổng 21 số lẻ liên tiếp *) Phân tích: Để giải tốn ta cần xác định quy luật cách số lẻ liên tiếp Tuy nhiên số hạng tổng biết nên ta cần áp dụng công thức tính tổng nêu phương pháp Lời giải: Tổng 21 số lẻ liên tiếp là: S 1     33  35  37  39  41 Cách 1: Tính tổng theo công thức phương pháp Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Các số hạng liên tiếp tổng cách giá trị d 2 tổng có 21 số hạng nên: S 1     33  35  37  39  41   41  1 21 441 Cách 2: Nhóm số hạng tạo thành cặp số có tổng nhau, ta thấy:  39 42  41 42  37 42  35 42  Nếu ta xếp cặp số từ hai đầu dãy số vào, ta cặp số có tổng 42 Số cặp số là: 20 : 10 (cặp số) dư số hạng dãy số số 21 Vậy tổng 19 số lẻ liên tiếp là: 42.10  21 441 Bài 7: Tính tổng A 1      2021 *) Phân tích: Nhận thấy dãy số 1, 2,3, 4, , 2019 dãy số tự nhiên cách Khoảng cách hai số hạng liền kề Để tính tổng A ta vận dụng bốn phương pháp đầu nêu cụ thể ta có cách giải sau: Lời giải:  2021 – 1 :1  2021 (số hạng) Cách 1: Tổng A có số số hạng là: Do ta chia A thành 1010 cặp dư số hạng chẳng hạn số 2021 A 1     2020  2021 A      2020   2021 A   2020     2019     1010  1011  2021 A 2021 1010  2021 A 2021 1011 A 2043231 Cách 2:  2021 –1 :1  2021 Tổng A có số số hạng là: Tính tổng: A (2021  1).2021: 2043231 Cách 3: Tính A  A + Trang A 1     2020  2021 (có 2021 số hạng) CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN A 2021  2020  2019  2018  Do đó: A 2022  2022  2022  2022  2022  A 2022.2021 (có 2021 số hạng)  A 2022 2021: 2043231 Cách 4: Trước hết ta tách số hạng A (là số 1) thành hiệu có số hạng tích hai số hạng liên tiếp tổng A (một thừa số số hạng 1): 1  (1.2 – 0.1) Từ ta tách số hạng cịn lại tổng A thành hạng tử mà tính tổng A hạng tử triệt tiêu hàng loạt: 1  (2.3 – 1.2);  (3.4 – 2.3); ; 2021  (2021.2022  2020.2021) 2 Do đó: A  (1.2 – 0.1  2.3 –1.2  3.4 – 2.3  – 2019.2020  2021 2022 – 2020.2021) A  2021.2022 2043231 Cách 5: Từ cách phân tích để có lời giải cách nghĩ đến trình bày tốn theo cách sau gọn hơn: A 1     2020  2021 A 2      2021 A 1.2  2.2  2.3  2.4   2021 A 1  –    –1 3  –    2021  2022 – 2020  A 1.2 2.3 – 1.2 3.4 – 2.3   2022 2021 – 2020 2021 A 2022 2021 A  2022 2021: 2043231 Nhận xét: Ở cách dùng phương pháp khử liên tiếp Mỗi số hạng A (chỉ có thừa số ) khoảng cách hai số hạng ta nhân A với lần khoảng cách Bài 8: Tính tổng A 1     100 Lời giải: Cách 1: Ta có: Trang A (1  100).100 n.( n 1) 5050  TQ : A 1    n  2 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Cách 2: A 1     100; A 100  99  98    A   100     98     100  1 101.101 5050 Cách 3: 1  (1.2  0.1); 2  (2.3  1.2);  (3.4  2.3); 100  (100.101  99.100)  A  100.101 5050 Bài 9: Tính tổng A 2     100 Lời giải:  100   :  50 (số hạng) Tổng A có: A (100  2).50 (2  2n).n 2550  TQ : A 2    2n(n  N * )  A  n(n  1) 2 Bài 10: Tính tổng A 1     49 Lời giải:  49  1 :  25 (số hạng) Tổng A có: A (1  49).25 50.25  625 2 TQ : A 1    (2n  1)(n  N * )  A  (1  2n  1).n n.n n 2 19 S         2 2 Bài 11: Tính tổng *) Phân tích: Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Đây ví dụ mà số hạng tổng vừa số nguyên, vừa phân số Để tìm quy luật số hạng tổng ta cần viết số nguyên tổng dạng phân số có mẫu số Khi ta có tổng phân số có mẫu số, tổng tử số tổng số tự nhiên liên tiếp Lời giải: 19 19    19 S               2 2 2 2 Ta có: Xét tổng    18  19 tổng 19 số tự nhiên liên tiếp    18  19   19  1 19 190 190 S 95 Ta có tổng Bài 12: Tính tổng S 2    11   47  50 Lời giải: Các số hạng cách giá trị d 3 Tổng có  50   :  17 số hạng  S 17  50   : 442 Bài 13: Tính tổng S 5  10  15   100 Lời giải: Các số hạng cách giá trị d 5 Tổng có  100  5 :  20 số hạng  S 20  100  5 : 1050 Bài 14: Tính tổng A 98  93  88   13   Lời giải: Tổng A có  98  3 :  20 (số hạng)  A Bài 15: Cho S 7   11  97  99 a) Tính tổng S b) Tìm số hạng thứ 33 tổng Lời giải: + Số hạng đầu là: số hạng cuối là: 99 Trang  98  3 20 1010 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN + Khoảng cách hai số hạng là:  99 –  :  47 + S có số số hạng tính cách Tổng dãy: S   99   47 :  2491 b) Số hạng thứ 33 tổng :  33 –1  71 Bài 16: Cho dãy số 2;7;12; ; 22; a) Nêu quy luật dãy số b) Viết tập hợp B gồm số hạng liên tiếp dãy số đó, số hạng thứ năm c) Tính tổng 100 số hạng dãy số Lời giải: Xét dãy số 2; 7;12; 22 a) Quy luật: Dãy số cách với khoảng cách b) B  22; 27;32;37; 42 c) Gọi số hạng thứ 100 dãy x , ta có: ( x  2) :  100  x 497 Do tổng 100 số hạng đầu dãy là: (2  497) 100 : 24950 Bài 17: Người ta viết liền số tự nhiên 123456 a) Hỏi chữ số đơn vị số 53; 328; 1587 đứng hàng thứ bao nhiêu? b) Chữ số viết hàng thứ 427 chữ số nào? Lời giải: Viết liền số tự nhiên 123456 a) chữ số đầu tiên: 1, 2, ,9 44 số có hai chữ số tiếp theo: 10,11, ,53 Þ Chữ số hàng đơn vị số 53 hàng số:  44.2 97 Tương tự, chữ số hàng đơn vị số 328 hàng số  90.2  229.3 876 ; chữ số hàng đơn vị số 1587 hàng số  90.2  900.3  588.4 5241 b) Ta có: 427 9  90.2  79.3dö1 Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Khi số thứ 81 có chữ số là: 179 Chữ số viết hàng thứ 427 chữ số 1 101 103 S          35 3 3 Bài 18: Tính tổng Lời giải: 101 103      101  103 105 S          35  3 3 3 Ta có Xét tổng     101  103  105 tổng số tự nhiên lẻ liên tiếp từ đến 105, số tự nhiên lẻ liên tiếp cách đơn vị Tổng có: n  105  1 :  53     101 103 105  Ta có tổng S số hạng  105 1 53 2809 2809 Bài 19: Tính tổng B =1    10  70  73 Lời giải: B 1    10  70  73  B 1.6  4.6  7.6  10.6   70.6  73.6  B 1      –1   10 –    73  76 – 70   B 1.4  1.2  4.7 –1.4  7.10 – 7.4  73.76 – 73.70  B 2  73.76  B 5550  B  925 *) Nhận xét: Như tùy dạng mức độ tiếp thu kiến thức học sinh, thầy vận dụng linh hoạt phương pháp giải cho học trò dễ nhớ, phù hợp *) Mở rộng: Viết công thức tổng quát tính tổng dãy số tự nhiên liên tiếp cách sau: An 1      n – 1  n Lời giải: Bằng cách tính tổng tương tự tốn ta có: An n  n  1 : (n  N *)  1 Tuy nhiên hướng dẫn học sinh chứng minh phương pháp qui nạp: Trang 10