HSG 6 CD 2 dãy số VIẾT THEO QUY LUẬT

Chuyên đề 2: DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Câu (Đề thi HSG huyện) Chứng minh : Với k  N* ta ln có : k  k    k     k   k  k    k  k   Áp dụng tính tổng :S =     n  n   Lời giải Biến đổi : k  k    k     k   k  k    k  k     k     k     k  k   Áp dụng tính :             n  n    n  n    n     n   n  n   Cộng lại ta có : S  n  n    n    S  Câu n  n  1  n   (Đề thi HSG huyện) Cho S    a) Tính S b) Chứng minh S 126    2006 Lời giải a) Ta có 5S 5S – S  5 4S  5 Vậy S =      2007 2007     2007  – 2007 5      5 b) S  5  Biến đổi Vì 126 Câu   5  5   5        S  126.5        126  S 2003  126 (Đề thi HSG 6) Cho số: A = 10 11 12 …….58 59 60 - Số A có chữ số? - Hãy xóa 100 chữ số số A cho số lại là: + Nhỏ + Lớn 5 2003 5 2006  2006  Lời giải A = 10 11 12 …… 58 59 60 * Từ đến có : chữ số Từ 10 đến 60 có: 51 = 102 chữ số Vậy: Số A có + 102 = 111 chữ số (0,5đ) * Nếu xóa 100 chữ số số A số A cịn 11 chữ số Trong số A có chữ số có chữ số đứng trước chữ số 51 52 53 … 58 59 60  Trong số nhỏ có chữ số đứng trước  số nhỏ số có chữ số  Số nhỏ 00000123450 = 123450 (0,5đ) * Trong số A có chữ số Nếu số lớn có chữ số đứng liền số là: 99999960  Số có chữ só khơng thỏa mãn  Số lớn có chữ số liền số có dạng 99999…  Các chữ số cịn lại 78 59 60 Vậy số lớn nhất: 99999785860 Câu (Đề thi HSG 6) A  Cho:     33.38  26  12  28  27   9   Tìm biết: x x B  ;    4 1  1   17.24 B A Lời giải Ta có: A = B= A   B 55 2 x Câu x 13 18   10 17 31 38   33 38   11     5 38 11     73 38  1 B :    A 24  4 55  13  63 24 3.8 10   4    11 x    x  15 (Đề thi HSG 6) Chứng minh rằng: A= ( 1999 + 19992 + 19993 +.+ 19991998 )  2000 Lời giải 24.31  31 38 A  9 1  9   9  1  9     9  2000 1999  1999    1999 1997 1997 1  9   2000  A 2000 (Đề thi HSG 6) Câu A Tính tỷ số biết A   7.31 B  7.41  10.41 , 10.57 B  19.31   19.43 Lời giải   1 A 5 3 5 5 31 57  A B     11 1  B B       1 3 3 7  A       (Đề thi HSG 6) Câu Chứng minh :     100 1 Lời giải Ta có    1    …………… 100 2  9 0 Vậy 1  2   99 100   100   100    1   1 99  100    99  100 1 100 (Đề thi HSG huyện 2013 - 2014) Câu Tính tổng: S 3 2 2 Lời giải S 3 S 2 Mà 3 2 3 2 2 S 23.43  11 23.57 Suy S 3 S Hay 2S S Câu .Suy 9 S 3069 512 512 (Đề thi HSG huyện Hưng Hà) a) Tính giá trị biểu thức: A B 2014 1 555 4444 33333 11 13 222 12221 244442 330 60 b) Cho E 92 10 11 92 1 45 50 55 ;F 100 Tính 500 E F Lời giải a) Ta thấy A tích luỹ thừa số từ tới Số thừa số A A 1 có Vậy B 1007 (thừa số) 2014 1 thừa số 0 thừa số 1 555 444 33333 11 13 222 12221 24444 330 60 13 1 1 1 2 5 4 13 1 1 1 1 1 7 1 1 4 5 7 11 11 14 14 15 15 28 B E 1 13 28 28 92 E 10 11 Mà 8 10 11 F 100 là: A 92 10 92 E Số số hạng Câu 10 Vậy b) 2014 1 2014 : A là: A với số mũ tự nhiên liên tiếp tăng dần 1 11 1 10 11 S 2 2 92 1 10 11 E 100 F (Đề thi HSG huyện 2012 - 2013) Cho (số hạng) (Có 92 100 100 1 93 100 8: 100 40 nhóm) a) Chứng minh S b) Tìm chữ số tận c) Tính tổng S S Lời giải a)      S 100 Tổng gồm 100 số hạng chia thành nhóm, nhóm có số hạng ta có: S 2 2 2 2 15 15 2 2 15 2 2 2 97 Từ (1) (2) có chữ số tận S S hay 2 S 2 101 2 hay 97 S (2) 97 S 2 chia hết cho 101 2 100 2 nên 2 2 2 100 (Đề thi HSG huyện 2013 - 2014) Chứng minh rằng: a) b) 1 1 1 1 199 200 101 102 51 52 100 2 200 .9 Lời giải a) Ta có 1 1 1 1 1 1 199 200 1 1 199 1 199 200 1 101 102 103 b) Ta có: 98 200 200 1 199 200 1 (ĐPCM) 1 100 200 2 2 (đpcm) 15 S 2S 15 S 10 97 5 b) Vì S S (1) Lại có tất số hạng c) Câu 11 100 99 2 100 .9 .1 0 .9 0 .9 .1 0 2 .9 0 5 .9 0 .4 2 .2 2 .2 50 cs Câu 12 2 51 52 53 100 2 2 50 cs (Đề thi HSG huyện 2013 - 2014) Cho S 5 5 5 2012 Chứng tỏ S chia hết cho 65 Lời giải S S Vì Câu 13 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Vậy 780 65 S 2012 chia hết cho 2009 ( 5 5 ) 65 (Đề thi HSG huyện 2006 - 2007) a) Cho tổng gồm số hạng: 2014 S Chứng minh rằng: S 4 4 2014 4 2014 b) Tìm tất số tự nhiên chữ số n , biết rằng: n n S n 2014 , S n tổng Lời giải a) Ta có 4S Suy ra: 3S 4S S 1 1 4M 4 1 Ta có: 3M 4M M 4 3S S b) Nếu n Suy ra: n Mặt khác Vậy n số có S n n số có n 999 S n 2014 2014 1 4 2013 chữ số 27 2012 M 2013 M 2014 2013 4 4 Đặt Do đó: 2013 4 4 2013 3S 2014 1026 nên chữ số, suy S n n 999 2014 n S n ( không thỏa mãn ) số có 27 36 chữ số Do n 2014 36 1978 Vì * Nếu n n 1a 1a * Nếu n 1c Và 1c 12 2d c + Với c d Vậy n d n 1a 2b 86 20cd 2014 c + Với a b 104 20cd a 2014 a 10 , mà nên a (thỏa mãn) Ta có: , nên 19ab 19ab 104 1988 20cd n 2014 2b n 2002 Câu 14 2b 104 b Ta có: 19ab 1910 nên 2014 1( 1c c , ta có c 2d d 12 2014 c n 2006 (thỏa mãn) không thỏa mãn) 8; 0 (Đề thi HSG huyện) Tính: A   2     20 Lời giải Ta có : A       2A – A  Câu 15 21  – 4  2 21   2 –     20 – 20 2 21 (Đề thi HSG huyện) Cho : S       0 a) Tính S b) Chứng minh S Lời giải a) Ta có S     Suy : 8S  2 1  S  2004 2002 3 2004 2004 1 b) S  3    3   4  1       Suy : Câu 16   3 6 1998 3 3   1998      S (Đề thi HSG huyện) Chứng minh tổng sau chia hết cho 1998 3 3 3  a A       2  59 60 Lời giải A       Ta có:   2  2     2  2    1    2 Câu 17  2   Vậy   3  59 60       2  58     57   1  57  59 2 2    60 57   A (Đề thi HSG 6) Chứng minh rằng: a)  b) 1     16  32   64 99     99 100 3  100 16 Lời giải a) Đặt A=  2A=  1     16  2 64  2        32   2A+A =3A =   1  1  3A <  A < b) Đặt A  3 A 1  4A  1  4A  1 Đặt B= 1 3 3 4B = B+3B=      3 3 3 3 3     3  3  3  99 3 4 3 99   99         98 98 98  99    32007 -3 +3 = 3x => 32007 = 3x => x = 2007 Câu 23  S  1 S  Cho A    3  a) Thu gọn A b) Tìm x để 2A+3 = 3x   51        28  3 28  14  25 14   (Đề thi HSG 6) Cho B = + 32 + 33 + + 3100 Tìm số tự nhiên n, biết 2B + = 3n Lời giải B = + 32 + 33 + + 399 + 3100 (1) 3B = 32 + 33 + + 3100 + 3101 (2) Lấy (2) trừ (1) ta được: 2B = 3101 - Do đó: 2B + = 3101 Theo đề 3B + = 3n Vậy n = 101 15 1 (1) 15 15 10  20 10  (2) 2T    2T  T   T  2 Đặt Nên 2017  2014 2017 2015  2016 2015  2017 2016 2017 2016  2N  1 2015 2015  2014    2 2014  N 1 2015 T  1 2016  2 2015 2015   2   2 2N  N  1 2  2     2 N   2017  2014  2016   2017  3 2016 2016  T  Câu 119 (Đề thi HSG huyện 2018-2019) 1) Cho tổng gồm 2014 số hạng: S  Chứng minh    4   2014 2014 S  2) Tìm tất số tự nhiên chữ số n n , biết n  S(n )  2014, S(n) tổng Lời giải 1) S      4  3S  S  S     3S    4  4M    2014   S   2013  2013 2013 2014 2014  4   2013 2012   M  2) Nếu n số có chữ số Suy  D at M   4 4    3M  M  M     4  3S    1 2013 n  999 S(n )  27 n  S ( n )  9    ( k tm ) Mặt khác n  n  S ( n )  nên n số có chữ số Vậy n số tự nhiên có chữ số, suy S  n    Do vậy, n     n  19ab  n  2014    n  c d Vì n  a b Ta *Nếu có: a b     a  b   2014   1a  b   1a  b   a Và 1a   b       a , a  a   b   n  8 ( tm ) n  c d Ta *Nếu có: c d     c  d   2014  0  1c  d   1c  d   c Và 1c Vậy  c   d   n  0 ( tm )  12    c   d  1( k tm ) n  1988; 2006  Câu 120 (Đề thi HSG huyện Hậu Lộc 2017-2018)       A  1   1   1              Thực phép tính: Lời giải       A  1   1   1               16  2018  .2 2 3 4 8  .2 2  4036 2019 Câu 121 (Đề thi HSG huyện 2018-2019) Thực tính: a) A  1 b) B  1 3 1     24  1  35      46   2013      2011  2013 1  2012  2014 2  4 Lời giải a ) T a c o ù     n   A  1 n  n  1 2 3 4 2014    1    2 2013 2 2 A  A    2    2014         2        1014552 1 1 1   b) B  2           1 4 2  2014   1 1  1 1  1  1     ;     ; .;        3 5 1  2011 2013   T hay :  1  1       ;     ; ;          2    2  2012 2014  1 1 1 1  1   B                 3 2011 2013 2012 2014  2013 2014  B   Câu 122 (Đề thi HSG huyện Cẩm Thủy 2017-2018) S  Cho 2     Chứng minh S  Lời giải S      Ta có 2      S  Vậy S      1   2   3     8 Câu 123 (Đề thi HSG huyện Cẩm Thủy 2017-2018) Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng:     n  a a a Lời giải  1      n  a a a    n  n :  1 a  n  n    3 a Mà 37 số nguyên tố * n > 37 suy Nên n  37 n   n   a    n  vô lý suy xảy n = 37 n + = 37   3 a   a  a  +) Với n = 37 38  N (loại)   3 a   a  a   N +) Với n + = 37 thỏa mãn Vậy n = 36, a = Câu 124 (Đề thi HSG ) Tính: =4  A     20 Lời giải: 2A ⇒ =      2A  A = 21   4  Câu 125 (Đề thi HSG ) Cho : S    a) Tính 21   2    2    20 2 20  = 21 2002 S b) Chứng minh S  Lời giải: a) Ta có S       S       2 Suy ra: 8S  1 2004 ⇒S= (0,5đ) 2004 2002 1 2004 (0,5đ) b) S  3 =  30 = 3 3 3 3 4   3  1      6 1998 3 3   1998    1998 3 3 3    (0,75đ) suy ra: S  (0,25đ) Câu 126 (Đề thi HSG ) Cho A = + 32 + 33 + 34 ………+ 3100 chứng minh A chia hết cho 120 Lời giải: Ta nhóm làm 25 nhóm, nhóm số hạng sau: A = (3 + 32 + 33+ 34) +……+ (397+398+399+3100) = (1 + + 32+33)+…….+ 397(1+3+32+33) 0,5 đ Ta lại thấy: + + 32+33 = 40 Nên A = 40 (3 + 35 +39 +………+397 ) 0,5đ = 40.3 (30 + 34 +38 +………+396 ) 0,5đ = 120 (30 + 34 +38 +………+396 ) Điều chứng tỏ A (đpcm) 0,5đ Câu 127 (Đề thi HSG ) Cho A = + 73 + 75 + + 71999 Chứng minh A chia hết cho 35 Lời giải: A = + 73 + 75 + + 71999 = (7 + 73) + (75 + 77) + + (71997 +71999) A = 7(1 + 72) + 75(1 + 72) + + 71997(1 + 72) A = 7.50 + 75 50 + 79.50 + + 71997.50  A Chia hết cho (1) A = + 73 + 75 + + 71999 = 7.( 70 + 72 + 74 + + 71998)  A Chia hết cho (2) Mà ƯCLN(5,7) =  A Chia hết cho 35 Câu 128 (Đề thi HSG ) Cho m 1 n    với m, n số tự nhiên 1998 Lời giải: m 1 n  1   Từ đến 1998 có 1998 số Nên vế phải có 1998 số hạng 1998 ta ghép thành 999 cặp sau:   1  n 1998   1    1997  2 m  1999 1999  1998 1997   1      1996 1999     1000  999    1999   1996     999 1000 Quy đồng tất 999 phân số ta được: m  1999 a  1999 a  1999 a   1999 a 997  1999 a 998  1999 a 999 n 1996 19978 1998 Với a1 , a2 , a3 , , a998 , a999  N m  1999 ( a  a  a   a 997  a 998  a 999 ) n 1996 1997 1998 Vì 1999 số nguyên tố Nên sau rút gọn, đưa dạng phân số tối giản tử số cịn thừa số 1999 Vậy m Chia hết cho 1999 Câu 129 (Đề thi HSG huyện Đầm Hà trường Quảng Lợi 2007-2008) Tính tổng sau phương pháp hợp lý nhất: A  1     B      9 Lời giải Ta có: A   A   A  1      1       49 50 49  50 50 Ta cịn có: B   B   B      12 39 1   39        37 39 13 Câu 130 (Đề thi HSG huyện Đầm Hà trường Quảng Lợi 2007-2008) Tìm n  * biết:       n –   2 Lời giải Ta có: suy Vậy 1        n – 1  n n   n  2n 2  n  225 n  15 Câu 131 (Đề thi HSG 6) Tính giá trị biểu thức sau: C  16 14    5  Lời giải C  16   15  15 14   31  31  31  31  5  45  45  45  52  52  45    52  52 65  65   65  70   15  70 14   11 210 Câu 132 (Đề thi HSG huyện Ngọc Lạc trường Cao Thịnh 2006-2007) Tính giá trị biểu thức : a) A             0    0   0 b) B        ( B có 2005 số hạng) Lời giải a) A                0  0     0  0         ( có 1002 số hạng)  1003 b) B        ( B có 2005 số hạng) 1 C Ta cịn có: C                 ( C có 1002 cặp)      6012 B  6013 Vậy Câu 133 (Đề thi HSG Phòng GD-ĐT Tam Dương 2018-2019) A 1 Cho   A     B  Tính  1   ;B  2012 1007    1008 2013 Lời giải Ta có: A 1 1  1  Vậy 1    2012   1  1  2      2012 2012  2   1 1    1       2012  1006  1   1008  A 1   B  B  A  A   B    1007 Suy ra:    2013 1  B 2012 2013 1 2013 1 2012 Câu 134 (Đề thi HSG cấp trường) Chứng minh rằng: a)  b) 1   3 1  16   32   64 99    99 100  3  100 16 Lời giải a) Đặt A  1   2A  1    2  16  2 32     2A  A  3A  1  64 2  2    1   1  3A   A  b) Đặt A    3A  1    4A  1 Đặt B 1   3B   3 2 4B  B  3B    3  3  4 99 3 97 99  100 100  99 100 100 (1) 99  98   B   4A  B   98 99  98      98 100 98  99 99     99      Từ (1) (2)   3 3   3 3  3  4A  1 (2)  A  16 Câu 135 (Đề thi HSG cấp trường) Tính tổng S      9 0 Lời giải S      9 0 S       9 0    3    9 0            9 0 1          9 0  9 0 1 S  9 1 1 :  3 0 1 Câu 136 (Đề thi HSG cấp trường) Chứng tỏ  41  42   43 1  79  80 12 Lời giải Ta thấy đến 41 Vậy  41 có 40 phân số 80  42 1   43  78 79  80 1   1 1                42 59 60   61 62 79 80   41 Vì  41 20 60   42 60  61   62 (2) 80 1   1 1               60 60 60   80 80 80 80   60 Ta có:  (1)  20  80   Từ   ,   ,    (3 ) 12  41  42   43  78  79 80  12 Câu 137 (Đề thi HSG cấp trường) Tính tổng S   6    1 chứng tỏ S 1 Lời giải Ta có 3   S  2.       1 1   30 1 1  2.       1   2.    5 29 32  32  32   Vậy S  Câu 138 (Đề thi HSG cấp trường) Cho 10 số tự nhiên bất kỳ: a , a , ., a Chứng minh có số tổng số số liên tiếp dãy chia hết cho 10 Lời giải Lập dãy số Đặt B  a B  a1  a B  a1  a  a B  a  a   a Nếu tồn B i  i  1, ,  Nếu không tồn B i nào chia hết cho 10 tốn chứng minh chia hết cho 10 ta làm sau: Ta đem cho 10 10 số dư (các số dư  1, , 3, ,  ) Theo nguyên tắc B i chia Dirichle, phải có số dư Các số Bm  Bn chia hết ch10  m  n (đpcm) Câu 139 (Đề thi HSG cấp trường) Tìm số tự nhiên chữ số n a biết rằng:     Lời giải n  aaa Từ 1; 2;……;n có n số hạng    n  Suy n ( n  1)     n  a a a Mà theo ta có: n Suy  1 n  a a a  a 1  a 3  n  n    3 a n  n  1 Vì tích n Vì số  1 n chia hết cho số nguyên tố 37 nên n  37 n  chia hết cho 37 48 n  37 n   74   n   37 có chữ số nên Với n  ( k tm ) n   37  Với  6 ( tm ) n  6, a        6 Vậy Câu 140 (Đề thi HSG cấp trường) S  Cho  1     48 1  49 P  50  49 48    47 Lời giải P   49  48   47 48  49        48     1    2        1   49   48   47    50 50  50 50 50 50  50          1 48  50 49 48  49 1  S   50.       49  P 50  50 Câu 141 (Đề thi HSG cấp trường) Cho M  2     2009  2010 Chứng Lời giải Ta có: M  1    0 0  0 minh M 1  49 Hãy tính S P M  1  1  2 M 1     2008  2009 1  2009 2010  M 1 2010 Câu 142 (Đề thi HSG cấp trường Bắc Nghĩa) M  Tính   9 1  3   99   99 98 97 1 1     100 A  b) Cho  92   B   45 10   50 11   100   55 Lời giải a)M    3   1   2        7 9   1 1 1          5 7 59 61   1  56 84       61  305 305 b) A      99 99 98 97 1 1     100 98          99 98 97   99  1 1     100 Tử số  100   100   100  99    1         1   99   98    100  99  100 100 100                98 97   99  100 99  100 98  100 97   100  100 100 1    100.      99 98   100 Vậy 1   100        100 99 A   100 1    100 (1) 92 500 Tính A B 92   B  10  45  11  50 92   100   55 500 Tử số =92    10 92   11 100 8       92  1    1    1     9  10   11     1   100   8  8                 100   10 11 1     40.      55 500   45 50 Vậy 1   40       500   45 50 55 B   40 1 1     45 50 55 500 Từ (1) (2) A  100  B (2)  250% 40 Câu 143 (Đề thi HSG huyện Việt Yên) Cho 3 3  3  3 A                2 2  2  2  2 2012 3 B    2 Lời giải Ta có: 3 3  3  3 A                2 2  2  2  2 3 2012 3 3 3 3  A               2 2 2 2 3 (1) 2013 (2) Lấy (2) trừ (1) ta được: 3 A A    2 3 A    2 Vậy 2013   2013 B  A    A  2014 2013  3  2013 2012 2013 2012   Câu 144 (Đề thi HSG huyện Quỳnh Lưu) Cho biểu thức : M      Chứng tỏ rằng: a) M chia hết cho 2013 :2 b) M khơng phải số phương Lời giải a ) M      80  5    5  5            5     5 79      78 78  30 M      b) Ta thấy :  80 80 chia hết cho (1) Mặt khác,    chia hết cho 80 Suy M      không chia hết cho 25 (2) Từ (1) (2) suy M khơng số phương Câu 145 (Đề thi HSG quận Ba Đình 1990-1991) Cho A   B  7  A   Tính tỉ số  11  3 ? B Lời giải A  B   B     A  1 Vậy   11     50 80 130              4 7     11  24 28 52          19  31 43  23  43 57  4 7 130 52 Câu 146 (Đề thi HSG trường THCS Lê Ngọc Hân 1997-1998) Tính tổng: A  B    1   1     Lời giải: Ta có :  n ( n  1) ( n  ) ( n  ) 3 n ( n  1) ( n  ) ( n  )  3 n  n n ( n  1) ( n  ) ( n  )    n3 n     n ( n  1)( n  )( n  ) n ( n  1)( n  )( n  )     1     n ( n  1)( n  ) ( n  1)( n  )( n  )  Nên : A =      27 28 29 30  1 4059 451         8120 B= 1  1   1  1  3 101                  5   11   305 308  5 308  385 Vậy A B  451  8120 101  385 28390 89320 Câu 147 (Đề thi HSG 6_ Quận Hai bà Trưng 1996 - 1997) Cho dãy phân số viết theo qui luật: ; ; ; 1 6 2 a) Tìm phân số thứ 45 dãy số b) Tính tổng 45 phân số Lời giải: a) Phân số thứ 45 dãy số : 3 b) Tổng 45 phân số :  5     1 6   1 1         3   11 16 16 21 Câu 148 (Đề thi HSG 6) a) Tính tổng: S   2  b) Chứng minh rằng:   2   9 3 3  3  100 9 0  40 Lời giải: a) S  2  2   1   2    3  2  9   9 9 0    9 0   231  45    236  1298 1 1 1  2       3 1  1  98  99  99   100  1  99 99 49 1  2   1   100 50 50  100  b) 33 3 3  3 100  3      3  3      3  3  3 3  3  97 3 96 3 98 3 3  99 3 100 3 3   96 3   120.3   3 3 3    96  40 Câu 149 (Đề thi HSG 6) Một dãy số cộng có 45 số hạng Biết số hạng 50 Hãy xác định dãy số cộng Lời giải: Trước số hạng có 22 số hạng , sau số hạng có 22 số hạng * Nếu cơng sai d  u   2  Dãy số 28, 29, 30, 50, 71, 72 * Nếu cơng sai d  u   2  u   2  Dãy số 6, 8, 10, 50, 92, 94 Dễ thấy công sai d lớn ... chữ số, tức A có n  chữ số, suy ra: 20 12  20 12 20 12 0  10 06   n  20 12 n n  20 12  20 12  10  20 12 20 12 n  20 12  10 06 20 12 n  20 12  0 n 20 12 20 12  10  n  20 12 1 0 20 12 20 12 ? ?2 ... 20 17 20 15  20 16 20 15  20 17 20 16 20 17 20 16  2N  1 20 15 20 15  20 14    2 2014  N 1 20 15 T  1 20 16  2 2015 20 15   2   2 2N  N  1 2  2     2 N   20 17  20 14  20 16 ... HSG huyện Vĩnh Lộc 20 17 -20 18) Cho tổng T  2  2    20 16 20 15  20 17 20 16 Lời giải T  2  2    20 16 20 15  20 17 20 16 So sánh T với 3 2T    2T  T   T  2? ?? Đặt Nên 20 17  20 14 20 17