CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

Một số dạng toán về dãy số viết theo quy luật và phương pháp giải.. Tôi nhận thấy trong việc giảng dạy môn Đại số còn nhiều mảng kiến thức mà học sinh chưa có phương pháp giải cụ thể như

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I Lý do chọn chuyên đề:……… 2

II Mục đích, phạm vi của chuyên đề:……… 3

PHẦN II: NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ. A NỘI DUNG: I Cơ sở lí luận:……… 3

II Cơ sở thực tiễn:……… 3

III Các kiến thức vận dụng ……… 4

IV Một số dạng toán về dãy số viết theo quy luật và phương pháp giải 6 1 Dạng 1: Tính tổng của các lũy thừa với cơ số là số tự nhiên 8

2 Dạng 2: Tính tổng của các tích: 9

3 Dạng 3: Dãy phân số: ……… 13

4 Dạng 4: Tính tổng, tính số số hạng của dãy: ……… 18

5 Dạng 5: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức: … 20

B ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN VÀ CÔNG TÁC GIẢNG DẠY 1 Ứng dụng vào thực tiễn 22

2 Hiệu quả khi áp dụng chuyên đề 22

3 Bài học kinh nghiệm 22

PHẦN III: KẾT LUẬN. 1 Kết quả nghiên cứu: 23

2 Đề xuất 23

NHỮNG TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT

- THCS: Trung học cơ sở

- SGK: Sách giáo khoa

- GVG: Giáo viên giỏi

- BCNN: Bội chung nhỏ nhất

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I Lý do chọn chuyên đề:

Như chúng ta đã biết Toán học có một vị trí vô cùng quan trọng trong đời sống, nó không những giúp chúng ta có khả năng tính toán, phát triển tư duy, suy luận logic mà còn là tiền đề của các môn khoa học khác Vì thế Toán học được

gọi là môn “công cụ” Nhưng trong quá trình học toán đặc biệt là phần Đại số

việc nắm và vận dụng kiến thức, tìm ra phương pháp giải đối với học sinh là khó khăn Vì vậy với những người làm công tác giáo dục trong nhà trường có nhiệm

vụ trang bị kiến thức cũng như phương pháp giải đối với từng dạng toán cho học sinh

Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh, tôi đã không ngừng học hỏi và trao đổi với đồng nghiệp Tôi nhận thấy trong việc giảng dạy môn Đại số còn nhiều mảng kiến thức mà học sinh chưa có phương pháp giải cụ thể như : Các bài toán chia hết, các bài toán về cấu tạo số, các dạng toán về biểu thức, các dạng

phương trình Đặc biệt là dạng toán “Dãy số viết theo quy luật” đây là dạng

toán tương đối khó đối với học sinh THCS Học sinh khó hiểu khi đứng trước dạng bài toán này vì thế các em còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài tập (chưa tìm ra quy luật của dãy số) Trong khi đó dạng toán này chưa đề cập nhiều trong sách giáo khoa, chủ yếu chỉ đưa ra một vài bài toán trong sách nâng cao, không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự vận động kiến

thức của mình Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài “Dãy số viết theo quy luật” để

giúp các em tháo gỡ khó khăn trên

II Mục đích, phạm vi của chuyên đề:

1 Mục đích của chuyên đề:

- Nhằm trao đổi kinh nghiệm giảng dạy phân môn Toán THCS

- Giúp học sinh THCS có phương pháp giải đối với từng dạng bài tập dãy

số viết theo quy luật.

2 Phạm vi của chuyên đề:

- Áp dụng cho dạng toán dãy số viết theo quy luật ở bậc THCS

PHẦN II: NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ.

A NỘI DUNG:

I Cơ sở lí luận:

Theo Polya thì phương pháp tìm lời giải thường được tiến hành theo 4 bước:

- Tìm hiểu đề toán

- Xây dựng chương trình giải

- Thực hiện chương trình giải

- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

- Khai thác, phát triển bài toán

II Cơ sở thực tiễn.

- Từ thực tế giảng dạy của giáo viên và học toán của học sinh THCS

- Qua trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp

III Kiến thức vận dung:

1 Quy đồng mẫu số nhiều phân số:

- Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu)

- Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu

- Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng

2 Các phép tính của phân số:

a Cộng, trừ phân số cùng mẫu:

M

B A M

B M

(M≠0)

M

B A M

B M

(M≠0, A≥B)

b Cộng, trừ phân số không cùng mẫu:

- Quy đồng mẫu các phân số.

- Cộng các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫu chung

c Nhân các phân số:

B.D

A D

C B

A = C (B, D≠0)

d Chia 2 phân số:

B.C

A D

C : B

c b

a + = c +a (b, d≠0)

- Phép nhân:

b

d d

c b

= +

c b n d

c b

c b n

d

c b

b

a n

d

c b

am : an = am-n (a ≠ 0, m > n)(a.b)m = am bm (m ≠ 0)

(am)n = am.n (m,n ≠ 0) Quy íc:

a b

m x x

(x.y)m = xm ym

n n n y

x y

- Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều:

Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d

IV Một số dạng toán về dãy số viết theo quy luật và phương pháp giải.

1 Dạng 1: Tính tổng của các lũy thừa với cơ số là số tự nhiên.

1.1 Bài toán 1: Tính các tổng sau:

=> 2B+B=2101+1 => 3B=2101+1=> B=

3

1

2 101 +

* Ta nghĩ tới bài toán tổng quát:

- Tính tổng: S= 1+a+a 2 +a 3 +…+ a n-1 +a n (a> 1 ;n∈N) Ta nhân cả 2 vế của

S với a Rồi trừ vế với vế ta được S=

1

1 1

−

− +

a

a n

.

- Tính tổng: P= 1-a+a 2 -a 3 +…+ a 2n (a > 1 ;n∈N) Ta nhân cả 2 vế của P

với a Rồi cộng vế với vế ta được P=

1

1 1 2 +

+ +

Giải:

2010 1

Ta nhân cả 2 vế của S với a d Rồi trừ vế với vế ta được S= ( )

1

1 1

−

− +

d

d n a

+ +

d

d n a

=333 300

Ta chú ý tới đáp số 99.100.101 là tích của 3 số, trong đó 99.100 là số hạng cuối của A và 101 là số tự nhiên liền sau của 100, tạo thành tích của 3 số tự nhiên liên tiếp Ta có kết quả tổng quát như sau:

Ta chưa biết cách tính tổng các bình phương các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ

1, nhưng liên hệ với bài toán 1, ta có:

6(12+32+52+ … +992)= 99.100.101

(12+32+52+ … +992)=

6

101 100 99

* Ta có bài toán tổng quát: P= 12+32+52+ +(2n+1)2=( ) ( ) ( )

6

3 2 2 2 1

 22+42+62+…+1002 =

6

102 101 100

* Ta có bài toán tổng quát: M=22+42+62+…+(2n)2= ( )( )

6

2 2 1 2

2n n+ n+

Khai thác 3

M=22+42+62+…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2) = ( )( )

6

2 2 1 2

2n n+ n+

* Ta có bài toán tổng quát: Q=12+22+32+…+n2= ( )( )

6

1 2 1 n+ n+

= +

Trong bài toán 1 ta nhân A với 3, trong bài toán 2 ta nhân A với 6 Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách k giữa hai thừa số trong mỗi hạng tử.

3.3 Bài toán 3: Tính A = 1.2.3+2.3.4+…+98.99.100

Giải:

Trở lại bài toán 1, mỗi hạng tử của tổng A có hai thừa số thì ta nhân A với 3

lần khoảng cách giữa hai thừa số đó Học tập cách đó, trong bài toán này ta nhân hai vế của A với 4 lần khoảng cách đó vì ở đây mỗi hạng tử có 3 thừa số

Ta giải được bài toán như sau.

4A= 1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+…+98.99.100.4

= 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5(6-2)+…+98.99.100(101-97)

= 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+…+98.99.100.101-97.98.99.100 = 98.99.100.101

⇒A =

4

101.100.99

− n n n n

Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ở bài 3 ta có bài toán:

Với khoảng cách là a ta tách: (n-a)n(n+a)=n 3 -a 2 n

Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 8 ta có:

Trong các bài toán trên ta có thể thay đổi số hạng cuối cùng của dãy số bằng số hạng tổng quát theo quy luật của dãy

* Vận dụng cách giải trên hãy giải các bài toán sau:

2 2

1 100

1

3

1 2

*) Hướng dẫn tìm lời giải:

Đây là bài toán chứng minh đẳng thức, ta phải biến đổi vế trái bằng vế phải

Ở bài này ta thấy vế phải của đẳng thức là tổng của các phân số có mẫu lớn hơn

tử 1 đơn vị Để tổng mỗi phân số đó với một phân số nào đó bằng 1 thì ta phải cộng vế phải với biểu thức trong ngoặc của vế trái Từ đó ta có điều phải chứng minh.

*) Cách giải:

100 -

100

99

4

3 3

2 2

1 100

1

3

1 2

3

1 2

3

1 2

3

1 2

4

3 3

2 2 1

3

1 2

1 1

100 số 1

là bình phương của một số tự nhiên n (n≥ 2).

1

=

3

1 2

1

=

100

1 99

b a

1

=

3

1 2

1

=

100

1 99

1

+

3 2

1

+

4 3

1

+ +

100 99 1

1 − +

4

1 3

1 − + +

100

1 99

< 1 (Điều phải chứng minh).

Mở rộng bài toán: Chứng minh rằng: A= 2

1 44 43

1

4 3

1 3 2

1 2 1

=

A

Lời giải :

45

44 45

1 1

45

1 44

1 44

1 43

1

3

1 2

1 2

1 1 1

=

−

=

− +

− + +

− +

−

=

A A

Vì 1 2 = 2 ; 2 3 = 6 ; ; 43 44 = 1892 ; 44 45 = 1980 ta có bài toán khó hơn chút xíu

3.4 Bài toán 4: Tính tổng :

1980

1 1892

1

12

1 6

1 2

Và tất nhiên ta cũng nghĩ đến bài toán ngược

3.5 Bài toán 5: Tìm x thuộc N biết :

( ) 45

44 1

1

3 2

1 2 1

+ + + +

x x

Hơn nữa ta có :

45 44

1 45

1

; ;

3 2

1 3

1

; 2 1

1 2

1

2 2

3

1 2

1

2 2

2 + + + <

Mặt khác 0< 2 2 45 2

1

3

1 2

1 + + +

Do vậy, cho ta bài toán “tưởng như khó”

3.7 Bài toán 7: Chứng tỏ rằng tổng :

2 2

1

3

1 2

1

+ + +không phải là số nguyên

Chúng ta cũng nhận ra rằng nếu a1 ; a2 ; ; a44 là các số tự nhiên lớn hơn 1

và khác nhau thì

+ + + 2 ≤

44

2 2

2 1

1

1 1

a a

1

3

1 2

1 + + +

Giúp ta đến với bài toán Hay và Khó sau :

3.8 Bài toán 8: Tìm các số tự nhiên khác nhau a1 ; a2 ; a3 ; ; a43 ; a44 sao cho

1 1 12 1

44

2 2

2 1

= + + +

a a

a

Ta còn có các bài toán “gần gũi” với bài toán 5 như sau :

3.9 Bài toán 9: Cho 44 số tự nhiên a1 ; a2 ; ; a44 thỏa mãn

1 1 12 1

44

2 2

2 1

= + + +

a a

a

Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau

3.10 Bài toán 10: Tìm các số tự nhiên a1 ; a2 ; a3 ; ; a44 ; a45 thỏa mãn a1 < a2

<a3 < < a44 < a45 và

1. 1. 4544

.

1

1

45 44 44 43 3

2 2 1

= +

+ + +

a a a a a

a a a

b) Biến đổi số chia:

Trong đó : n gọi là số số hạng của dãy cộng

d hiệu giữa hai số hạng liên tiếp

Từ (I) ta có: a n a1 1

n d

−

= + (II) Công thức (II) giúp ta tính được số số hạng của một dãy cộng khi biết : Số hạng đầu a1, số hạng cuối a n và hiệu d giữa hai số hạng liên tiếp

2 Để tính tổng S các số hạng của dãy cộng: a a a a a1 , , , , , , 2 3 4 5 a n Ta viết:

b) Cũng hỏi như trên nếu viết từ 1 đến 1000000

Hướng dẫn: a) ta bổ sung thêm chữ số 0 vào vị trí đầu tiên của dãy số (không làm thay đổi kết quả) Tạm chưa xét số 100 Từ 0 đến 99 có 100 số, ghép thành 50 cặp: 0 và 99; 1 và 98; 2 và 97;… mỗi cặp có tổng các chữ số bằng 18 Tổng các chữ số của 50 cặp bằng: 18.50 = 900 Thêm số 100 có tổng các chữ số bằng 1 ĐS: 901

b) Tương tự: ĐS: 27000001

Bài toán 4: Cho

1 2 3 4

1 2,

3 4 5,

6 7 8 9,

10 11 12 13 14,

S S S S

ĐS: S100 = 515100

Bài toán 5: Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số 100! chứa thừa số nguyên tố 7

với số mũ bằng bao nhiêu?

Bài toán 6: Tính số hạng thứ 50 của các dãy sau:

2 1

1

1 3 2

1 3 5 9 3

S S S

B ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN VÀ CÔNG TÁC GIẢNG DẠY

1 Ứng dụng vào thực tiễn.

Căn cứ vào mục tiêu môn học, căn cứ vào thực trạng học sinh học môn Toán,

đặc biệt phân môn Đại số, trong những năm học vừa qua và cả năm học này tôi đã

áp dụng đề tài của mình một cách thường xuyên vào giảng dạy chủ yếu là BD HSG

2 Hiệu quả khi áp dụng đề tài.

* Hiệu quả khi áp dụng đề tài được đánh giá qua các cuộc giao lưu HSG hàng năm

* Qua quá trình áp dụng đề tài, tôi thấy khả năng suy luận và chứng minh các dãy số viết theo quy luật đã được nâng lên Hầu hết các em chứng minh và giải được những bài toán từ vận dụng thấp trở lên, nhiều em còn đưa ra được những bài toán tổng quát, những bài toán ở mức độ vận dụng cao

3 Bài học kinh nghiệm.

Từ bước đầu nghiên cứu chuyên đề “ Dãy số viết theo quy luật " tôi thấy vấn

đề này rất cần thiết không những đối với học sinh mà cả đối với giáo viên, nhất là giáo viên đang BD HSG

Vì vậy mỗi giáo viên chúng ta cần tích cực, thường xuyên trong công tác bồi dưỡng và tự bồi dưỡng để tích luỹ chuyên môn, nghiệp vụ cho bản thân thông qua các hình thức: học hỏi bạn bè đồng nghiệp,đọc tài liệu , xem truyền hình, tạp chí

PHẦN III :KẾT LUẬN.

1 Kết quả nghiên cứu:

Trên đây là chuyên đề “ Dãy số viết theo quy luật " được rút ra trong quá trình

giảng dạy và bồi dưỡng HSG nhiều năm trở lại đây của trường THCS Thái Hòa cũng

như của bản thân Hầu hết học sinh, (chủ yếu là học sinh khá, giỏi) khi được trang bị

chuyên đề “ Dãy số viết theo quy luật " đều trở lên tự tin khi gặp những bài toán dãy

số, có em đã đưa ra được nhiều phương pháp giải hay, khai thác, mở rộng được nhiều bài toán Bước đầu phát hiện học sinh có năng lực, từ đó GV có phương pháp dạy , bồi dưỡng nhằm phát huy trí tuệ, tính say mê sáng tạo của các em

Trước khi được áp dụng chuyên đề này nhiều em không làm được cũng như không biết hướng giải bài toán dãy số viết theo quy luật Nhưng khi áp dụng chuyên

đề nhiều em làm tốt những bài “ Dãy số viết theo quy luật " Từ thực nghiệm nhỏ

này khẳng định tính đúng đắn của chuyên đề đồng thời nói lên phần nào tác dụng của nó Đó là kết quả khiêm tốn của chuyên đề mà tôi đã nghiên cứu

2 Đề xuất.

Còn nhiều “ Dãy số viết theo quy luật " và nhiều ví dụ hấp dẫn khác mong

các bạn đồng nghiệp tiếp tục trao đổi vấn đề này

Vì khả năng và thời gian có hạn, còn nhiều yếu tố khách quan chưa đáp ứng kịp thời, đề tài này có thể chưa sâu và toàn diện, không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong các thầy, cô giáo, và đồng nghiệp biết đến, quan tâm để cùng nhau xây dựng đề tài Rất mong được sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện, đạt hiệu quả và được dụng rộng rãi hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bộ SGK, SBT môn Toán lớp 6, 7 ,8, 9 của NXB GD

2 Nâng cao và phát triển Đại số lớp 6, 7, 8, 9 của tác giả Vũ Hữu Bình

3 Thực hành giải toán của Vũ Dương Thuỵ NXB GD 1998

4 Tuyển chọn những bài thi HSG Toán của Lê Hồng Đức

Thái Hòa, ngày 20 tháng 3 năm 2015

Người thực hiện

Nguyễn Quốc Hùng