S6 chuyen đề 3 chủ đề 4 pp quy nap

CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIACÓ DƯ CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC CHỨNG MINH BÀI TỐN CHIA HẾT PHẦN I.TĨM TẮT LÝ THUYẾT TÍNH CHẤT CHUNG  n   1) a b b c a c 2) a a với a khác 3) 0b với b khác 4)Bất số chia hết cho TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU - Nếu a, b chia hết cho m a  b chia hết cho m a  b chia hết cho m - Tổng (Hiệu) số chia hết cho m số chia hết cho m số cịn lại chia hết cho m - Nếu số a, b chia hết cho m số không chia hết cho m tổng, hiệu chúng khơng chia hết cho m TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TÍCH - Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m thi bội a chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m , b chia hết cho n a.b chia hết cho m.n m m - Nếu a chia hết cho b thì: a b CÁC TÍNH CHẤT KHÁC: 1) 0a ( a 0) 2) a a ; a 1 (a 0) 3) a b; b c  a c 4) a m ; bm  pa qbm 5) a : (m.n)  a m ; a n 6) a m ; a n ; (m, n) 1  a mn 7) a m ; bn  ab mn 8) ab m ;(b, m) 1  a m Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 9) abp (p số nguyên tố) a p b p CÁC TÍNH CHẤT SUY LUẬN ĐƯỢC - Trong hai số tự nhiên liên tiếp có số chẵn số lẻ - Tổng hai số tự nhiên liên tiếp số lẻ - Tích hai số tự nhiên liên tiếp số chẵn - Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho - Tổng hai số tự nhiên số lẻ có số tự nhiên số chẵn PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI 1, Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh biểu thức (với n số mũ)chia hết cho số 2, Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh biểu thức (với n số) chia hết cho số 3, Dạng 3: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh biểu thức (với n số mũ) chia hết cho số I Phương pháp giải: * Để chứng minh mệnh đề với n   phương pháp quy nạp toán học, ta thực bước sau: PHƯƠNG PHÁP 1: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n 1 Bước 2: Giả sử mệnh đề với n k 1 ( giả thiết quy nạp) Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề với n k  PHƯƠNG PHÁP 2: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n 1 có nghĩa F1 A Bước 2: Giả sử mệnh đề với n k 1 có nghĩa Fk A Bước 3:Ta chứng minh Fk 1  Fk A II Bài toán: n Bài 1: Chứng minh rằng:  chia hết cho với n   Giải: n Đặt An 4  Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ * Với n 0 , ta có A0 4  6  k * Giả sử mệnh đề với n k 0 , suy Ak 4   k 1 k * Với n k  , xét Ak 1 4  4  4k (3  1)  4k  4k   3 3  Ak 1  n Vậy  chia hết cho với n   n * Bài 2: Chứng minh rằng:  chia hết cho với n   Giải: n Đặt An 7  1 * Với n 1 , ta có A1 7  6  k * Giả sử mệnh đề với n k 1 , suy Ak 7   k 1 k * Với n k  , xét Ak 1 7  7  k 7 (6  1)  7 k  7k   6 6  Ak 1  n * Vậy  chia hết cho với n   n * Bài 3: Chứng minh rằng:  chia hết cho với n   Giải: n Đặt An 9  1 * Với n 1 , ta có A1 9  8  k * Giả sử mệnh đề với n k 1 , suy Ak 9   k 1 k * Với n k  , xét Ak 1 9  9  9k (8  1)  9k  9k   8 8  Ak 1  n * Vậy  chia hết cho 8với n   n * Bài 4: Chứng minh rằng: 13  chia hết cho với n   Giải: Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ n Đặt An 13  1 * Với n 1 , ta có A1 13  12  k * Giả sử mệnh đề với n k 1 , suy Ak 13   k 1 k * Với n k  , xét Ak 1 13  13 13  13k (12  1)  k 13k 12  13       6 6  Ak 1  n * Vậy 13  chia hết cho với n   n * Bài 5: Chứng minh rằng: 16  chia hết cho 15 với n   Giải: n Đặt An 16  1 * Với n 1 , ta có A1 16  15  15 k * Giả sử mệnh đề với n k 1 , suy Ak 16   15 k 1 k * Với n k  , xét Ak 1 16  16 16  16k (15  1)  k 16k 15  16        15  15  Ak 1  15 n * Vậy 16  chia hết cho 15 với n   * n1  chia hết cho với n   Bài 6: Chứng minh rằng: Giải: n 1 Đặt Bn 2  * Với n 1 , ta có B1 2  3  k 1 * Giả sử mệnh đề với n k 1 , suy Bk 2   2( k 1) 1  22 k 12  * Với n k  , xét Bk 1 2 22 n 1.22  22 n 1.(3  1)  k 1 k 1 3.2     2   3 3  Bk 1  * n1  chia hết cho với n   Vậy Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 2n * Bài 7: Chứng minh rằng:  chia hết cho 35 với n   Giải: 2n Đặt Bn 6  * Với n 1 , ta có B1 6  35  35 2k * Giả sử mệnh đề với n k 1 , suy Bk 6   35 2( k 1)  6 2k 62  * Với n k  , xét Bk 1 6 62 k (35  1)  62 k 35  62 k      35  35  Bk 1  35 2n * Vậy  chia hết cho 35 với n   n * Bài 8: Chứng minh rằng:  15n  chia hết cho với n   Giải: n Đặt Cn 4  15n  1 * Với n 1 , ta có C1 4  15.1  18  k * Giả sử mệnh đề với n k 1 , suy Ck 4  15k   k 1 * Với n k  , xét Ck 1 4  15(k  1)  4.4k  15k  14 4.(4k  15k  1)  45k  18 4.(4k  15k  1)  9(2  5k )          9 9  Ck 1  n * Vậy  15n  chia hết cho với n   * n Bài 9: Chứng minh rằng:  6n  chia hết cho với n   Giải: n Đặt Dn 4  6n  * Với n 1 , ta có D1 4  6.1  18  k * Giả sử mệnh đề với n k 1 , suy Dk 4  6k   k 1 * Với n k  , xét Dk 1 4  6(k  1)  4.4k  6k  14 Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 4.(4k  6k  8)  18k  18 4.(4 k  6k  8)  18(1  k )         9 9  Dk 1  * n Vậy  6n  chia hết cho với n   n * Bài 10: Chứng minh rằng:  3n  chia hết cho với n   Giải: n Đặt En 7  3n  1 * Với n 1 , ta có E1 7  3.1  9  k * Giả sử mệnh đề với n k 1 , suy Ek 7  3k   k 1 * Với n k  , Xét Ek 1 7  3(k  1)  7.7 k  21k   18k  7.(7 k  3k  1)  9(2 k  1)         9 9  Ek 1  n * Vậy  3n  chia hết cho với n   n * Bài 11: Chứng minh rằng:  15n  chia hết cho với n   Giải: n Đặt En 4  15n  1 * Với n 1 , ta có E1 4  15.1  18  k * Giả sử mệnh đề với n k 1 , suy Ek 4  15k   k 1 * Với n k  , xét Ek 1 4  15(k  1)  4.4k  15k  15  3.4k  15  4k  15k  3  4k    Ek 4 Mà k      4k     Ek 1  n * Vậy  15n  chia hết cho với n   n * Bài 12: Chứng minh rằng: 16  15n  chia hết cho 225 với n   Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Giải: n Đặt Fn 16  15n  1 * Với n 1 , ta có F1 16  15.1  0  225 k * Giả sử mệnh đề với n k 1 , suy Fk 16  15k   225 k 1 * Với n k  , xét Fk 1 16  15(k  1)  16.16k  15k  16 16k  15k   15  16k  1 Fk  15  16 k  1 Ta có : 16k   15  15  16 k  1  225  Fk 1  225 n * Vậy 16  15n  chia hết cho 225 với n   n 1 n 2 Bài 13: Chứng minh Bn 3  chia hết cho với n   Giải: * Với n 0 , ta có B0 3  7  k 1 k 2 * Giả sử mệnh đề với n k 0 , suy Bk 3   2( k 1) 1  2k 12 * Với n k  , xét Bk 1 3 32.32 k 1  2.2k 2 9  32 k 1  2k 2   7.2k 2 k 2 9 Bk  7.2   7 7 n 1 n 2 Vậy Bn 3  chia hết cho với n   n 1 2n * Bài 14: Chứng minh Bn 11  12 chia hết cho 133 với n   Giải: * Với n 1 , ta có B1 11  12 133  133 k 1 2k   133 * Giả sử mệnh đề với n k 1 , suy Bk 11  12 k 1  12 2( k 1)1 * Với n k  , xét Bk 1 11 11.11k 1  122 k  1.122 11.11k 1  122 k 1 (11  133) Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 2k  11 Bk  133.12       133  133  Bk 1  133 n 1 2n  Vậy Bn 11  12 chia hết cho 133 n 2 Bài 15: Chứng minh rằng: 4.3  32n  36 chia hết cho 32 với n   Giải: n 2  32n  36 Đặt Gn 4.3 * Với n 0 , ta có G0 4.3  32.0  36 0  32 k 2  32k  36  32 * Giả sử mệnh đề với n k 0 , suy Gk 4.3 2( k 1)   32(k  1)  36 * Với n k  , xét Gk 1 4.3 9.4.32 k 2  32k  9  4.32 k 2  32k  36   32  8k  32  9 Gk  32  8k  32         32  32  Gk 1  32 n 2 Vậy 4.3  32n  36 chia hết cho 32 với n   n 3 Bài 16: Chứng minh rằng:  26n  27 chia hết cho 169 với n   Giải: n 3 Đặt Gn 3  26n  27 * Với n 0 , ta có G0 3  26.0  27 0  169 k 3 * Giả sử mệnh đề với n k 0 , suy Gk 3  26k  27  169 3( k 1) 3  26(k  1)  27 * Với n k  , xét Gk 1 3 27.33k 3  26k  26  27 27  33k 3  26k  27   26.26k  676 27 Gk  169  4k          169  169  Gk 1  169 n 3 Vậy  26n  27 chia hết cho 169 với n   n3  chia hết cho với n   Bài 17: Chứng minh rằng: Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Giải: Ta sử dụng phương pháp 2 n 3 5 Đặt Gn 3 * Với n 0 , ta có G0 3  32  k 3 5  * Giả sử mệnh đề với n k 0 , suy Gk 3 * Xét Gk 1  Gk 32( k 1)3    32 n 3   32 k 5  32 k 3 9.32 k 3  32 k 3 32 k 3 (9  1) 32 k 3  n3  chia hết cho với n   Vậy n Bài 18: Chứng minh rằng: 10  18n  chia hết cho 27 với n   Giải: Ta sử dụng phương pháp n Đặt Gn 10  18n  * Với n 0 , ta có G0 1  18.0  0  27 k * Giả sử mệnh đề với n k 0 , suy Gk 10  18k   27 * Xét Gk 1  Gk 10k 1  18(k  1)    10k  18k  1 10k (9  1)  18 9  10 k   k Đặt H k 10  k Ta có H 10  3  H k   H k 9.10  Nên: Gk 1  Gk 9  10k    27 n Vậy 10  18n  chia hết cho 27 với n   n 3 Bài 19: Chứng minh rằng:  40n  27 chia hết cho 64 với n   Giải: Ta sử dụng phương pháp 2 n 3  40n  27 Đặt Gn 3 * Với n 0 , ta có G0 3  40.0  27 0  64 k 3  40k  27  64 * Giả sử mệnh đề với n k 0 , suy Gk 3 * Xét Gk 1  Gk 32( k 1)3  40(k  1)  27   32 k 3  40k  27  Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 32 k 5  32 k 3  40 8.32 k 3  40 8  32 k 3   k 3  chia hết cho với n   (bài 17) Mà Nên: Gk 1  Gk 8  32 k 3    64 n 3 Vậy  40n  27 chia hết cho 64 với n   n 1 * Bài 20: Chứng minh rằng:  40n  67 chia hết cho 64 với n   Giải: Ta sử dụng phương pháp 2 n 1 Đặt Gn 3  40n  67 * Với n 1 , ta có G1 3  40.1  67 0  64 k 1 * Giả sử mệnh đề với n k 1 , suy Gk 3  40k  67  64 * Xét Gk 1  Gk 32( k 1)1  40(k  1)  67   32 k 1  40k  67  32 k 3  32 k 1  40 8.32 k 1  40 8  32 k 1   k 1 Đặt H k 3  2( k 1) 1   (32 k 1  5) Ta có H1 3  32  H k   H k 3 32 k 3  32 k 1 8.32 k 1  Nên: Gk 1  Gk 8  32 k 1    64 n 3 * Vậy  40n  27 chia hết cho 64 với n   Dạng 2: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh biểu thức (với n số) chia hết cho số I Phương pháp giải: * Để chứng minh mệnh đề với n   phương pháp quy nạp toán học, ta thực bước sau: PHƯƠNG PHÁP: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n 1 Bước 2: Giả sử mệnh đề với n k 1 ( giả thiết quy nạp) Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề với n k  Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Ta dùng số Hằng đẳng thức sau:  a  b a  2ab  b  a  b a  2ab  b  a  b 3 a  3a 2b  3ab  b3  a  b a  3a 2b  3ab  b3 II Bài toán: * Bài 1: Chứng minh với n   n  n chia hết cho Giải: Đặt An n  n * Với n 1 , ta có A1 1  0  3 * Giả sử mệnh đề với n k 1 , suy Ak k  k  3 * Với n k  , xét Ak 1 ( k  1)  (k  1) k  3k  3k   k   k  k    k  k         3 3  Ak 1  * Vậyvới n   n  n chia hết cho * Bài 2: Chứng minh với n   n  11n chia hết cho Giải: Đặt An n  11n * Với n 1 , ta có A1 1  11.1 12  * Giả sử mệnh đề với n k 1 , suy Ak k  11k  * Với n k  , xét Ak 1 (k  1)  11(k  1) k  3k  3k   11k  11  k  11k    k  k    k  11k    k ( k  1)            6 2  Ak 1  Trang 11 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CĨ DƯ * Vậy với n   n  11n chia hết cho * Bài 3: Chứng minh với n   ta ln có n  3n  5n chia hết cho Giải: Đặt An n  3n  5n * Với n 1 , ta có A1 1  3.1  5.1 9  3 * Giả sử mệnh đề với n k 1 , suy Ak k  3k  5k  3 * Với n k  , xét Ak 1 ( k  1)  3(k  1)  5(k  1) k  3k  3k   3k  6k   5k  k  3k  5k  3k  9k   Ak  3(k  3k  3)       3 3  Ak 1  * Vậy với n   ta ln có n  3n  5n chia hết cho * Bài 4: Chứng minh với n   ta ln có 2n  3n  n chia hết cho Giải: Đặt An 2n  3n  n * Với n 1 , ta có A1 2.1  3.1 1 0  * Giả sử mệnh đề với n k 1 , suy Ak 2k  3k  k  * Với n k  , xét Ak 1 2( k  1)  3(k  1)  ( k  1) 2k  6k  6k   3k  6k   k  2k  3k  k  6k  Ak  6 k  6 6  Ak 1  * Vậy với n   ta ln có 2n  3n  n chia hết cho * n Bài : Chứng minh với số n   S n (n  1)(n  2) (n  n) chia hết cho Giải: *Với n 1 , ta có S1 1  2  2 k * Giả sử mệnh đề với n k 1 , suy S k (k  1)(k  2) ( k  k )  Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ * Với n k  , xét S k 1 (k  2)(k  3) [(k  1)  (k  1)] 2(k  1)(k  2) (k  k ) 2.S k k k 1 Mà S k   2.Sk   S k 1  2k 1 * n Vậyvới số n   S n (n  1)(n  2) (n  n) chia hết cho Dạng 3: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức I Phương pháp giải: * Để chứng minh mệnh đề với n   phương pháp quy nạp toán học, ta thực bước sau: PHƯƠNG PHÁP: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n 1 Bước 2: Giả sử mệnh đề với n k 1 ( giả thiết quy nạp) Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề với n k  có nghĩa n k  ta chứng minh vế trái vế phải II Bài toán: * Bài 1: Chứng minh với n   ta có đẳng thức:     (2n  1) n Giải: *Với n 1 , ta có vế trái có số hạng 1, vế phải 1 Vậy hệ thức với n 1 * Đặt vế trái Sn , giả sử đẳng thức với n k 1 Tức là: S k 1     (2k  1) k Ta phải chứng minh đẳng thức với n k  , nghĩa phải chứng minh:     (2k  1)  [2( k  1)  1] ( k  1) Thật vậy, ta có: S k 1 Sk  [2(k  1)  1] k  2k  (k  1) * Vậy đẳng thức với n   * Bài 2: Chứng minh với n   ta có đẳng thức: Giải: Trang 13     3n   n(3n  1) CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 1(3.1  1) 2 *Với n 1 , ta cóvế trái có số hạng 2, vế phải Vậy hệ thức với n 1 * Đặt vế trái Sn , giả sử đẳng thức với n k 1 Tức là: S k 2     3k   k (3k  1) Ta phải chứng minh đẳng thức với n k  , nghĩa phải chứng minh:    (3k  1)  [3(k  1)  1]  (k  1)[(3( k  1)  1] Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: S k 1 S k  3k   k (3k  1)  3k  2 3k  k  6k    3(k  2k  1)  k   (k  1)[3( k  1)  1] * Vậy đẳng thức với n   * Bài 3: Chứng minh với n   ta có đẳng thức: Giải:     n  n(n  1) 1(1  1) 1 *Với n 1 , ta có vế trái có số hạng , vế phải Vậy hệ thức với n 1 * Đặt vế trái Sn , giả sử đẳng thức với n k 1 Tức là: S k 1     k  k (k  1) Ta phải chứng minh đẳng thức với n k  , nghĩa phải chứng minh:     k  (k  1)  (k  1)(k  2) Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: S k 1 S k  k  Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ   k (k  1)  k 1 k  k  2k  (k  1)(k  2)  2 * Vậy đẳng thức với n   * Bài 4: Chứng minh với n   ta có đẳng thức: Giải: 1.2  2.3  3.4   n(n  1)  n(n  1)(n  2) 1(1  1)(1  2) 2 *Với n 1 , ta có vế trái 1.2 2 , vế phải Vậy hệ thức với n 1 * Đặt vế trái Sn , giả sử đẳng thức với n k 1 Tức là: S k 1.2  2.3  3.4   k (k 1)  k (k  1)(k  2) Ta phải chứng minh đẳng thức với n k  , nghĩa phải chứng minh: 1.2  2.3  3.4   k ( k 1)  ( k 1)( k  2)  (k  1)(k  2)(k  3) Thật vậy, ta có: S k 1 S k  (k  1)(k  2)  k (k  1)(k  2)  (k  1)(k  2)  k (k  1)(k  2)  3(k  1)(k  2)  ( k  1)( k  2)( k  3) * Vậy đẳng thức với n   * Bài 5: Chứng minh với n   ta có đẳng thức: 1.2  2.5  3.8   n(3n  1) n ( n  1) Giải: *Với n 1 , ta có vế trái 1.2 2 , vế phải (1  1) 2 Vậy hệ thức với n 1 * Đặt vế trái Sn , giả sử đẳng thức với n k 1 Tức là: S k 1.2  2.5  3.8   k (3k  1) k (k  1) Ta phải chứng minh đẳng thức với n k  , nghĩa phải chứng minh: S k 1 1.2  2.5  3.8   k (3k  1)  (k  1)(3k  2) ( k  1) ( k  2) Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Thật vậy, ta có: S k 1 S k  (k  1)(3k  2) k ( k  1)  ( k  1)(3k  2) (k  1)(k  3k  2) (k  1)( k  2)(k  3) * Vậy đẳng thức với n   * Bài 6: Chứng minh với n   ta có đẳng thức: 1.4  2.7  3.10   n(3n  1) n(n  1) Giải: *Với n 1 , ta có vế trái 1.4 4 , vế phải 1(1  1) 4 Vậy hệ thức với n 1 * Đặt vế trái Sn , giả sử đẳng thức với n k 1 Tức là: S k 1.4  2.7  3.10   k (3k 1) k ( k 1) Ta phải chứng minh đẳng thức với n k  , nghĩa phải chứng minh: S k 1 1.4  2.7  3.10   k (3k  1)  ( k  1)(3k  4) (k  1)(k  2) Thật vậy, ta có: S k 1 S k  (k  1)(3k  4) k (k  1) (k 1)(3k  4) ( k  1)[k (k  1)  3k  4] (k  1)(k  4k  4) (k  1)(k  2)2 * Vậy đẳng thức với n   1 1 2n       n * 2n Bài 7: Chứng minh với n   ta có đẳng thức: Giải: 21  1  *Với n 1 , ta có vế trái , vế phải Vậy hệ thức với n 1 * Đặt vế trái Sn , giả sử đẳng thức với n k 1 1 1 2k  S k      k  k 2 Tức là: Ta phải chứng minh đẳng thức với n k  , nghĩa phải chứng minh: Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 1 1 2k 1  S k 1      k  k 1  k 1 2 Thật vậy, ta có: S k 1 Sk  2k 1  2k  1  k 1 2k  2(2k  1)  k 1 k 2.2  2k 1  2 k 1 1   2k 1 2k 1 2k 1 * Vậy đẳng thức với n   1 1 n      n(n  1) n  Bài 8: Chứng minh với n   ta có đẳng thức: 1.2 2.3 3.4 Giải: * 1 1   *Với n 1 , ta có vế trái 1.2 , vế phải  Vậy hệ thức với n 1 * Đặt vế trái Sn , giả sử đẳng thức với n k 1 1 1 k Sk       1.2 2.3 3.4 k (k 1) k 1 Tức là: Ta phải chứng minh đẳng thức với n k  , nghĩa phải chứng minh: 1 1 k 1 S k 1        1.2 2.3 3.4 k (k  1) (k 1)(k  2) k  Thật vậy, ta có: S k 1 S k  (k  1)(k  2)  k  k  (k  1)(k  2)  k (k  2)  (k  1)(k  2) k  2k   (k  1)(k  2) ( k  1) k 1   (k  1)(k  2) k  * Vậy đẳng thức với n   Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 1 1 n      (3n  2)(3n  1) 3n  Bài 9: Chứng minh với n   ta có đẳng thức: 1.4 4.7 7.10 Giải: * 1 1   *Với n 1 , ta có vế trái 1.4 , vế phải 3.1  Vậy hệ thức với n 1 * Đặt vế trái Sn , giả sử đẳng thức với n k 1 1 1 k Sk       1.4 4.7 7.10 (3k  2)(3k  1) 3k  Tức là: Ta phải chứng minh đẳng thức với n k  , nghĩa phải chứng minh: 1 1 k 1 S k 1        1.4 4.7 7.10 (3k  2)(3k  1) (3k  1)(3k  4) 3k  Thật vậy, ta có: S k 1 Sk  (3k  1)(4k  4)  k  3k  (3k  1)(3k  4)  k (3k  4)  (3k  1)(3k  4)  3k  4k  (3k  1)(3k  4)  (k  1)(3k  1) k 1  (3k  1)(3k  4) 3k  * Vậy đẳng thức với n   Bài 10: Chứng minh với số nguyên dương n 2 ta có: 1   n 1  1  1                    16   n  2n Giải: *Với n 2 , ta có vế trái 1 1   4 , vế phải 2.2 Vậy hệ thức với n 2 * Đặt vế trái Sn , giả sử đẳng thức với n k 2 1   k 1  1  1  S k                   16   k  2k Tức là: Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Ta phải chứng minh đẳng thức với n k  , nghĩa phải chứng minh: 1     k 2  1  1  S k 1                      16   k   ( k 1)  2( k  1)   S k 1 Sk     (k  1)  Thật vậy, ta có:  k 1      2k  (k  1)   k  k (k  2) k 2  2k ( k  1) 2( k  1) * Vậy đẳng thức với n   * Bài 11: Chứng minh với n   ta có đẳng thức: Giải: 12  2  32   n  n(n  1)(2n  1) 1.2.3 1 *Với n 1 , ta có vế trái 1 , vế phải Vậy hệ thức với n 1 * Đặt vế trái Sn , giả sử đẳng thức với n k 1 Tức là: S k 12  2  32   k  k (k  1)(2k  1) Ta phải chứng minh đẳng thức với n k  , nghĩa phải chứng minh: S k 1 12  22  32   k  (k  1)  ( k  1)( k  2)(2k  3) Thật vậy, ta có: Sk 1 Sk  (k  1)  k (k  1)(2k  1)  (k  1) k (k  1)(2k  1)  6(k  1)   (k  1)[k (2k  1)  6( k  1)]  (k  1)(2k  k  6)  (k  1)(k  2)(2k  3) * Vậy đẳng thức với n   Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Trang 20