S6 chuyên đề 4 chủ đề 2 chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Ước Bội số nguyên Với a, b  Z b 0 Nếu có số nguyên q cho a bq ta nói a chia hết cho b Ta cịn nói a bội b b ước a Nhận xét - Nếu a bq ta nói a chia cho b q viết a : b q - Số bội số nguyên khác Số ước số nguyên - Các số -1 ước số nguyên Ước chung hai hay nhiều số ước tất số Ước chung số a, b, c kí hiệu ƯC(a, b, c) Ước chung lớn - Ước chung lớn hai hay nhiều số số lớn tập hợp ước chung số Các tính chất - ¦CLN( a,1) 1; BCNN  a,1 a - Nếu a b  ¦CLN(a, b) b; BCNN  a, b  a - Nếu a, b nguyên tố  ( a, b) 1;  a, b a.b - ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) BC(a ,b) = B(BCNN(a, b)) Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN a dm ¦CLN(a, b) d;   ¦CLN( m, n) 1; b dn - Nếu 10 2.5 ¦CLN(10,15) 5;   ¦CLN(2,3) 1 15 3.5 Ví dụ c am BCNN  a, b  c;   ¦CLN(m, n) 1; c bn - Nếu 30 10.3 BCNN  10,15 30;   ¦CLN(2,3) 1 30  15.2  Ví dụ - ab ¦CLN(a,b).BCNN  a,b  PHẦN II BÀI TẬP: Dạng 1: Tìm ƯCLN số: I Phương pháp giải Bài tốn: Tìm ¦CLN  a1 , a2 , , an  Phương pháp giải thường dùng: Giả sử a1 d a d     d ?  an d II.Bài toán * Bài 1: Cho n  N Chứng minh a) ¦CLN  n  3,2 n  5 1 Trang ¦CLN  a1 , a2 , , an  d CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN b) ¦CLN  3n  3, 4n   1 Lời giải: * a) Gọi ¦CLN(n  3,2 n  5) d (d  N ) n  3d    2 n  5d 2n  d  2 n  5d    2n     2n    d   2n   2n   d  1d  d 1 Vậy  n  3; 2n  5 1 4(3n  7)7 ¦CLN(3n  3, n  9) d( d  N * )    3(4n  9)d b) Gọi 12 n  28d  12n  27d    12n  28    12n  27   d   12n  28  12 n  27  d  1d  d 1 Vậy ¦CLN  3n  3, 4n   1 Bài 2: Cho a, b số tự nhiên lẻ, b  N Chứng minh ¦CLN( a, ab  128) 1 Lời giải:  a d    ab  128d d lẻ  128d d lẻ Đặt d ¦CLN(a, ab  128) Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN  27 d d lẻ  2d d lẻ  d 1 Vậy ( a, ab  128) 1 * Bài 3: Chứng tỏ 17n  16( n  N ) ¦CLN( n,2) 1;¦CLN( m,3) 1 Lời giải: 2   (n, 2) 1 +) Theo đầu ta có: 17 n  16  17 n  12  17 n  chẵn  n lẻ  n  2   (n,3) 1 +) Vì 17 n  16  17n  13  n  2  ) (nếu n 3  17n 3  17n  13  lo¹i  n  Bài 4: Cho hai số nguyên tố a b Chứng tỏ 11a  2b 18a  5b số nguyên tố có ước chung 19 Lời giải Gọi d (11a  2b,18a  5b)  5(11a  2b)  2(18a  5b) d  19a d  d 19 19a dk (k  N * )  d k 19     k 19 Đặt đpcm - Nếu k 19  k 19q  19a dk d 19.q  a dq  a d 2b d    b d  d  ¦C(a, b) 1  d 1 5b d Bài 5: Chứng m n m minh n ¦CLN(a, b) 1 rằng: * ¦CLN(a  b , a  b ) 1m, n  N a m  b n  Trang a, b khác tính chẵn lẻ CHUN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Lời giải: m n 2a m d  a  b d d ¦CLN( a  b , a  b )   m  n a  b n d   2 b d a) m n m n a m d   n b d Vì a, b khác tính chẵn lẻ nên d lẻ Giả sử d   d có ước số số nguyên tố, giả sử ước nguyên tố p m  a p  n   b p ap  p  ¦C( a, b); ma : ( a, b) 1  1p  p 1    b p vô lý Vậy d 1  d 1  đpcm Bài 6: Tìm ƯCLN 2n  3n  với n  N Lời giải: Gọi d ¦CLN  2n  1,2n  3  d  N *  2n  1d 6n  3d 3  2n  1 d      3n  2d 6n  4d 2  3n   d Khi ta có :    6n     6n  3 d  1d  d ¦  1  1;  1 Do ¦C  n  1,3n  1 ước d, ước Vì ước hay ước -1 có chung tập hợp Vậy ¦C  n  1,3n  1 ¦  1   1;1 Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Bài 7: Tìm ƯCLN 9n  24 3n  Lời giải: ¦CLN  9n  24,3n   d  d  N * Gọi 9n  24d 9n  24d    9n  12d Khi ta có: 3n  4d   9n  24    9n  12  d  12 d  d  ¦  12   1; 2; 3; 4; 6; 12 Do  3n   d , mà 3n  Do khơng chia hết cho 3, nên d   3;6;13 d   1; 2; 4 - Để d 2 n phải chẵn - Để d 4 n phải chia hết cho - Để d 1 n số lẻ Vậy n 4k   k  N  n 4k  k  N  n 2k  1 k  N  ¦CLN  9n  24,3n   2 ¦CLN  9n  24,3n   4 ¦CLN  9n  24,3n   1 Bài 8: Cho n số tự nhiên, tìm ƯCLN 21n  14n  Lời giải: a) Gọi Trang ¦CLN  21n  5,14 n  3  d  N * (loại) CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Khi ta có: 14n  3d    21n  4d 3  14n  3 d 42n  9d    42n  8d 2  21n   d   42n     42n   d  1d  d 1 Vậy ¦CLN  21n,14n  3 1 Bài 9: Cho n số tự nhiên, tìm ƯCLN 18n  30n  Lời giải: Gọi ¦CLN  18n  2,30n  3  d  N * 5  18n   d 18n  2d 90n  10d      30n  3d 90n  9d 3  30n  3 d Khi ta có:    90n  10    90n   d  1d  d 1 Vậy ¦CLN  18n  2,30n  3 1 Bài 10: Cho n số tự nhiên, tìm ƯCLN 24n  18n  Lời giải: Gọi ¦CLN  24 n  7,18n  5  d  N * 3  24n   d  24n  d 72n  21d      18n  5d 72n  20d   18n   d Khi ta có:    72n  21   72n  20  d  1d  d 1 Vậy ¦CLN  24n  7,18n  5 1 Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Bài 11: Biết ¦CLN  a, b  95 Tìm ¦CLN  a  b, a  b  Lời giải:  a  b, a  b  d  Gọi d  N*  a  b d  2b d  d  ¦    d ¦  b   a  b d a  bd  2a d   d ¦   d ¦  a  a  b  d  hoặc mà  a, b  95, Vậy nên d 95 d 2  a  b, a  b  2 d 95 Bài 12: Cho m, n hai số tự nhiên Gọi A tập hợp ước số chung m n , B tập hợp ước số chung 11m  5n 9m  4n Chứng minh A B Lời giải: Gọi d ¦CLN  11m  5n,9m  4n   d  N * Khi ta có: 11m  5n d   9m  4n d 99m  45n d 9  11m  5n  d   99m  44nd 11 9m  4n  d   99m  45n    99m  44n  d  n d (1)   11m  5n  d 11m  5nd     9m  4n d  9m  4n  d    Tương tự ta có:   45m  20n    44m  20n   m d Trang (2) 44m  20n d   45m  20n d CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Từ (1) (2) ta có : d  ¦C(m, n)  d  ¦( A) B  ¦  d  ¦  A  Vậy A B Bài 13: Tìm ƯC n  3n  với n  N Lời giải: Gọi d ¦CLN  2n  1,3n  1  d  N * Khi ta có : 3  2n  1 d  2n  1d 6n  3d      3n  2d 6n  4d 2  3n   d   6n     n  3 d  1d  d  ¦  1  1;  1 Do ¦C  n  1,3n  1 ước d , ước Vì ước hay ước -1 có chung tập hợp Vậy ¦C  n  1,3n  1 ¦  1 (1,  1) ¦CLN  3n  1,5n   Bài 14: Cho hai số 3n  5n  hai số khơng ngun tố nhau, tìm Lời giải: Gọi ¦CLN  3n  1,5n   d Khi 3n  1d   5n  d 5  3n  1 d  3  5n   d   5n     3n  1 d  7d  d   1;7 Trang CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Mà d 1 nên d 7 Bài 15: Tìm ¦CLN  n  1,9n   với n  N Lời giải: Gọi d ¦CLN  n  1,9n     d  N * , Khi ta có : 2n  1d   9n  4d 9  2n  1 d   2  9n   d 18n  d  18n  8d   18n     18n   d  17 d  d  ¦  17   1; 17 Mà số dương nên ta có : d 1 d 17 Vậy ¦CLN  n  1, 9n   1 17 Dạng 2: Chứng minh hai số nguyên tố I Phương pháp giải Bài toán: Chứng minh hai số a, b nguyên tố nhau: Phương pháp giải: Giả sử d ¦CLN  a, b  Cách 1: Chỉ d 1 Cách 2: +) Giả sử d 1(d 2) (phương pháp phản chứng) +) Gọi p ước nguyên tố d Trang 10 ¦CLN  a, b  1 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN +) Chỉ p 1 (vô lý) +) Kết luận d 1 II Bài toán 3n   n  N  Bài 1: Chứng minh hai số n  hai số nguyên tố Lời giải: Gọi d ¦CLN  n  1,3n    d  N *  n  1d   3n  4d , nên ta có:  3n  3d   3n     3n  3 d  1d  3n  4d  n N  Vậy hai số n  3n  hai số nguyên tố với Bài 2: Chứng minh 2n  2n  hai số nguyên tố Lời giải: Gọi d ¦CLN  n  1, 2n    d  N * 2 n  1d   2n  3   n  1 d  2d  d ¦    1;2  Khi ta có: 2 n  3d Mà ta lại có  2n  1 d mà 2n  số lẻ nên d 2 (loại), d 1 Vậy hai số 2n  2n  hai số nguyên tố Bài 3: Chứng minh 14n  21n   n  N  Lời giải: Gọi d ¦CLN  n  1, 2n    d  N * Trang 11 hai số nguyên tố CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Khi ta có: 14n  3d    21n  4d 3  14n  3 d   2  21n   d 42n  9d  42n  8d   42n     42n  8 d  1d Vậy hai số 14n  21n  hai số nguyên tố Bài 4: Cho m số tự nhiên lẻ, n số tự nhiên Chứng minh m mn  hai số nguyên tố Lời giải: Giả sử m ( mn  ) chia hết cho số tự nhiên d , ta có: md   m.n  4d m.n d  m.n  4d  4d  d   2; 4;1 , md m lẻ  d 2 d 4 (loại) Vậy d 1 Khi m mn  hai số nguyên tố Bài 5: Cho ¦CLN  a, b  1 Chứng tỏ 8a  5b  nguyên tố Lời giải: Gọi ¦CLN  8a  3,5b  1 d  d  N * 8a  3b d 5(8a  3b) d      8(5a  b) d  5a  b d 40a  15bd  40a  8b d   40a  15b    40a  7b   7b d Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN 8a  3b d 8a  3bd     5a  b  d 15a  3bd    15a  3b    8a  3b  d  a d Vì ¦CLN  a, b  1 nên d 1 d 7 Bài 6: Chứng minh 2n  6n  hai số nguyên tố Lời giải: Gọi d ¦CLN  2n  1,6n  5 ,  d  N * Khi ta có : 3  2n  1 d  2n  1d 6n  3d      6n  5d 6n  5d 6n  5d   6n  5   n  3 d  d  d  ¦(2)=  1;2 Do n  1d , mà n  lại số lẻ nên d 2 loại, d 1 Vậy hai số 14n+3 21n+4 hai số nguyên tố Bài 7: Chứng minh với n  N số 7n  10 5n  ngyên tố Lời giải: Gọi d ¦CLN  7n  10,5n   ,  d  N * Khi dó ta có :   35n  50    35n  49  d  1d Do d 1 Vậy hai số 7n  10 5n  hai số nguyên tố Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Bài 8: Chứng minh với n  N số 2n  4n  ngyên tố Lời giải:  2n  3d 2  2n  3 d     4n  8d d ¦CLN  2n  3, n   ,  d  N 4n  8d    Gọi Khi ta có: *   4n     4n   d  2d  d   1; 2 Vì 2n  3d , mà 2n  số lẻ nên d 2 (loại) Khi d 1 Vậy hai số 2n  4n  hai số nguyên tố Bài 9: Cho ¦CLN  a, b  1 Chứng minh ¦CLN  a, a  b  1 Lời giải: Ta có đặt d ¦CLN  a  b, a  ,  d  N * a  b d  a  b  a d  bd  d  ¦C  a, b  d ¦  1  d 1  a d mà a d nên hay Bài 10: CMR: ¦CLN  12 n  1,30n  1 1 với số tự nhiên n Lời giải: Gọi ¦CLN  12n  1,30n  1 d 5  12n  1 d 12n  1d     30n  1d 2  30n  1 d * , suy d  N ta có : 60n  5d  60n  2d   60n    60n   d  3d  d   1;3 Trang 14  4n  6d   4n  8d CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Vì 12n  số không chia hết d 3 loại ¦CLN  12n  1,30n  1 1 Vậy d 1 , Bài 11: Cho a, b hai số nguyên tố CMR số sau nguyên tố : a) a a  b b) ab a  b Lời giải: a) Giả sử a a  b chia hết cho số nguyên tố d Khi ad , b d  a, b chia hết cho số nguyên tố d , trái với giả thiết ¦CLN  a;b  =1 Vậy a a  b hai số nguyên tố b) Giả sử ab a  b chia hết cho số nguyên tố d Suy tồn hai số a b chia hết cho d Khi a d  b d , b d  a d a b chia hết cho d , trái với  a, b  1 Vậy ab a  b nguyên tố Dạng 3: Tìm điều kiện để hai số nguyên tố Bài 1: Tìm n  N để: n  10 5n  hai số sau ngyên tố Lời giải: Gọi d  7n 10;5n    d  N * Khi dó ta có: Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN 7 n  10d   5n  d 5  n  10  d 35n  50d    35n  49d 7  5n   d   35n  50    35n  49  d  1d Do d 1 Vậy với n  N hai số n  10 5n  hai số nguyên tố  2n  3  4n  8 hai số sau ngyên tố Bài 2: Tìm n  N để: Lời giải : Gọi d  2n  3; 4n    d  N * Khi ta có: 2  2n  3 d  2n  3d     4n  8d  4n  8d 4n  6d   4n  8d   4n     4n   d  2d  d   1; 2 Vì  2n  3 d , mà  2n  3 số lẻ nên d 2 (loại) Khi d 1  2n  3  4n  8 hai số nguyên tố Vậy với n  N hai số Bài 3: Tìm n  N để: 18n  21n  hai số nguyên tố Lời giải: Gọi UCLN  18n  3, 21n   d  d  N * Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN 7  18n  3 d 18n  3d    21n  d 6  21n   d Khi ta có:    126n  42    126n  21 d  21d  d  ¦  21  1; 3; 7; 21 Do  21n   7 , mà 21n  không chia hết d 1 d 7 Để hai số 18n  21n  hai số nguyên tố d khác 7, hay   18n   21    18n  18    18  n  1    n  1   n  7 k  n 7 k  18n   Vậy n 7 k  với k số tự nhiên 18n  21n  hai số nguyên tố * Bài 3: Tìm ¦CLN(7n  3,8n  1) với (n  N ) Khi hai số ngun tố Lời giải: Gọi d ¦CLN  7n  3,8n  1 ,  d  N * Khi ta có: 7 n  3d   8n  1d 8  n  3 d   7  8n  1 d 56n  24d  56n  d  56n  24  56n  d  31d  d 1 d 31 Để d 1 d 31 hay 7n  31  7n   3131  7n  28 31   n   31  n  31 Hay n  31k  n 31k  ( k số tự nhiên) Vậy để 7n  8n  hai số nguyên tố n  31k  ( k số tự nhiên) Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Bài 4: Tìm n để 9n  24 3n  hai số nguyên tố (n  N ) Lời giải: Gọi d ¦CLN  9n  24,3n   9n  24d 9n  24d     3n  4d 3(3n  4)d   9n  24    9n  12  d  12 d  d   1; 2; 3; 4; 6; 12 Nếu d   2; 4; 6; 12  9n  24 d   2; 4; 6; 12 chẵn và, 3n  chẵn  loại Nếu d 3  3n  43 Vô lý  d=3(loại) Nếu d 1  9n  24,3n  số lẻ  9n  24 lẻ  n lẻ 3n  lẻ  n lẻ Vậy n lẻ Bài 5: Tìm số tự nhiên n để 4n  2n  nguyên tố Lời giải: Gọi ƯCLN( 4n+3; 2n+3) =d,  d  N*  4n  3d    2n  3d  4n  3d  4n  6d   4n     4n  3 d  3d  d   1;3 Để 4n  2n  hai số nguyên tố d khác hay   2n  3 n   n 3k ( k  ) 2n   Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Vậy n 3k (k  ) 4n  2n  hai số nguyên tố Bài 6: Tìm số tự nhiên n để 7n  13 n  nguyên tố Lời giải: b, Gọi ¦CLN  7n  13, n   d  d  N * , 7 n  13d    2n  4d 14n  26d  14n  28d   14n  28    14 n  26  d  2d  d   1; 2 Để 7n  13 n  hai số nguyên tố d khác hay   n 2  n 2  n chẵn n  13  Vậy n chẵn 7n  13 n  hai số nguyên tố Bài 7: Tìm số tự nhiên n để số 18n  21n  nguyên tố Lời giải: Gọi d ¦CLN  18n  3,21n   18n  3d    21n  7d 7(18n  3)d   6  21n   d 126 n  21d  126 n  42 d   126 n  42    126 n  21 d  21d  d ¦  21  1;3;7;21 Nếu d 3  21n  3 (Vô lý) d   1;7 Nếu , để số nguyên tố   18n   21    n  1   n 7 k  d 7  18n   Vậy với Trang 19 n 7 k 1 k  N  hai số nguyên tố CHUYÊN ĐỀ 4: ƯCLN, BCNN Bài 8: Chứng minh rằng: có vô số số tự nhiên n để n  15 n  72 số nguyên tố Lời giải: Gọi d  ¦C  n  15, n  72   57d , n  15d ,57d , Nên tồn n cho n  15 57 k  d 1 , với k 1;2;3; Vậy có vơ số n  HẾT Trang 20