S6 chuyên đề 4 chủ đề 3 các phương pháp tìm ưcln và bcnn

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 111Equation Chapter Section ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 4- ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CHỦ ĐỀ 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM ƯCLN, BCNN PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Kiến thức cần nhớ Ước chung hai hay nhiều số ước tất số Ước chung lớn (ƯCLN) hai hay nhiếu số số lớn ước chung số Muốn tìm ƯCLN hai hay nhiếu số lớn , ta thực ba bước sau: - Phân tích mổi số thừa số nguyên tố - Chọn thừa số nguyên tố chung - Lập tích thừa số chọn, thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƯCLN phải tìm Để tìm ước chung nhiều số, ta tìm ƯCLN số tìm ước ƯCLN Bội chung hai hay nhiều số bội tất số Bội chung nhỏ (BCNN) hai hay nhiều số số nhỏ khác bội chung số Muốn tìm BCNN hai hay nhiều số lớn , ta thực ba bước sau: - Phân tích số thừa số nguyên tố - Chọn thừa sổ nguyên tố chung riêng - Lập tích thừa số chọn, thừa số lấy với số mũ lớn Tích BCNN phải tìm Để tìm bội chung nhiều số, ta tìm BCNN số nhân BCNN với 0,1, 2,3, Các tính chất (a, b) (a, b) , viết BCNN (a, b) [a, b] Khi cần kí hiệu gọn, ta viết ƯCLN Nếu abc (b, c) 1 a c Nếu a m a n a BCNN (m, n) Đặc biệt, a m, a n (m, n) 1 a mn Nếu ƯCLN (a, b) d a dm, b dn với (m, n) 1 Nếu BCNN (a, b) c c am, c bn với (m, n) 1 Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ƯCLN (a, b) BCNN (a, b) a.b Người ta chứng minh rằng: Cho hai số tự nhiên a b dó a  b + Nếu a chia hết cho b ƯCLN (a, b) b + Nếu a không chia hết cho b ƯCLN (a, b) ƯCLN b số dư phép chia a cho b Từ đó, ta có thuật tốn Euclide tìm ƯCLN hai số mà khơng cần phân tích số thừa số nguyên tố sau: - Chia số lớn cho số nhỏ - Nếu phép chia dư, lấy số chia đem chia cho số dư - Nếu phép chia dư, lại lấy số chia chia cho số dư - Cứ tiếp tục làm số dư số chia cuối ƯCLN phải tìm PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Phương pháp phân tích thừa số nguyên tố I Phương pháp giải Muốn tìm ƯCLN, BCNN hai hay nhiều số ta làm sau Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố với số mũ tương ứng Bước 2: Tìm thừa số chung riêng Bước 3: ƯCLN tích thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ BCNN tích thừa số nguyên tố chung riêng với số mũ lớn II Bài tốn Bài 1: Tìm số tự nhiên n lớn cho chia 364, 414,539 cho n , ta ba số dư Lời giải: 364, 414,539 chia cho n có số dư nên hiệu hai số ba số chia hết cho n Ta có: 539  414n , tức 125n , 539  364n , tức 175n , 414  364n , tức 50n Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Để n lớn n ƯCLN (125, 175, 50) Phân tích thừa số nguyên tố: 125 53 175 52.7 50 52.2 ƯCLN (125, 175, 50) 5 25 Vậy n 25 Bài 2: Tìm số tự nhiên n nhỏ 30 để số 3n  5n  có ước chung khác Lời giải: Gọi d ước chung 3n  5n  Ta có 3n  4d 5n  1d nên 5(3n  4)  3(5n  1)d , tức 17d Suy d  {1;17} Để 3n  5n  có ước chung khác , ta phải có 3n  417 tức 3n   3417 hay 3(n  10)17 Ta lại có (3,17) 1 nên n  1017 Do n  30 nên n 10 n 27 Thử lại n 10 , n 27 thỏa mãn Vậy n 10 , Bài 3: Tổng năm số tự nhiên 156 Ước chung lớn chúng nhận giá trị lớn bao nhiêu? Lời giải: Gọi năm số tự nhiên cho a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , ước chung lớn chúng d Ta có: a1 dk1 , a2 dk , a3 dk3 , a4 dk , a5 dk5 nên a1  a2  a3  a4  a5 d  k1  k2  k3  k4  k5  156 d  k1  k2  k3  k4  k5  Suy d ước 156 Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Ta lại có k1  k  k3  k4  k5 5 nên d 156 , suy d 31 Phân tích thừa số nguyên tố: 156 2 3.13 Ước lớn 156 không vượt 31 26 Giá trị lớn d 26 , xảy chẳng hạn a1 a2 a3 a4 26 a5 52 hoán vị chúng Bài 4: Có ba đèn tín hiệu, chúng phát sáng lúc vào sáng Đèn thứ phút phát sáng lần, đèn thứ hai phút phát sáng lấn, đèn thứ ba phút phát sáng lần Thời gian để ba đèn phát sáng sau 12 trưa lúc giờ? Lời giải: Gọi thời gian để sau đó, ba đèn lại phát sáng a (phút) Ta có a BCNN (4, 6, 7) 2 Phân tích thừa số nguyên tố: 2 , 2.3, 7 nên BCNN (4, 6, 7) 2 3.7 84 Sau 84 phút, ba đèn phát sáng Chúng phát sáng vào lúc 24 phút, 10 48 phút, 12 12 phút Thời gian sau 12 trưa để ba đèn phát sáng lúc 12 12 phút *** Bài 5: Điền chữ số thích hợp vào dấu * để số A 679 chia hết cho tất số 5, 6, 7, Lời giải: Điều kiện để A chia hết cho tất số 5, 6, 7, A chia hết cho BCNN (5, 6, 7,9) BCNN (5, 6, 7,9) 2.32 5.7 630 Ta thấy 679999 chia 630 1079 , dư 229 nên 679999  229 679770 chia hết cho 630 , 679770  630 679140 chia hết cho 630 Đáp số: 679770 679140 Bài 6: Tìm số tự nhiên a b (a  b) biết ƯCLN ( a, b) 12, BCNN ( a, b) 240 Lời giải:  1 Ta có ab  ƯCLN (a, b).BCNN (a, b) 12.240 2880 ƯCLN ( a, b) 12 nên a 12m, b 12n (m, n) 1 Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ  2 Suy ab 12m.12n 144mn Từ  1  2 suy 144mn 2880 hay mn 20 Ta có a  b nên m  n Các số m, n ngun tố có tích 20 nên m n 20 12 48 Suy a b 240 60  a, b  ;  a, b, c  ;  a, b ;  a, b, c  Từ kiểm tra công thức Bài 7: Cho a 24, b 70, c 112 Tìm ƯCLN ( a, b, c)  ƯCLN(ƯCLN (a, b), c ); BCNN (a, b, c) BCNN ( BCNN (a, b), c ) Lời giải: Ta có: a 24 23.3; b 70 2.5.7; c 112 24.7;( a, b) 2;( a, b, c) 2;  a, b  2 3.35.7 840  a, b, c  24.3.5.7 1680 ƯCLN (a, b, c) 2; ƯCLN (a, b) 2  ƯCLN(ƯCLN ( a, b), c)  ƯCLN (2,112) 2 BCNN (a, b, c ) 1680; BCNN ( BCNC (a, b ), c) BCNN (840,112) 1680 Bài 8: Tìm ƯCLN, BCNN số sau a) 793016, 308, 3136 b) 1323,19845,1287,315 Lời giải: 3 2 a) Ta có: 793016 2 17 ; 308 2 7.11 ; 3136 2  ƯCLN  793016,308,3136  2 28; BCNN 2 11 17 b) Ta có 1323 33.7 ; 19845 34.5.7 ; 1287 32.11.13 ; 315 32.5.7  ƯCLN  1323,19845,1287,315  3 9; BCNN 3 5.7 11.13 Bài 9: Một trường tổ chức cho khoảng 700 800 học sinh tham quan Tính số học sinh biết xếp 40 người 50 người lên xe tơ vừa đủ Trang CHUN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải: Gọi số học sinh trường là: n n N*  Theo ta có: 700 n 800 Vì n 45; n 40  n  BC (40, 45)  n  B ( BCNN (40, 45)) Ta có: 40 2 5; 45 3 BCNN (40, 45) 23.32.5 360 n  B(360)    n 700 700 n 800 Vậy Số học sinh 700 Dạng 2: Thuật tốn EUCLID để tìm ƯCLN Trong tốn học, giải thuật Euclid (hay thuật toán Euclid) giải thuật để tính ước chung lớn (ƯCLN) hai số nguyên, số lớn chia hai số ngun với số dư khơng Giải thuật đặt tên theo nhà toán học người Hy Lạp cổ đại Euclid, người viết Cơ sở ơng (khoảng năm 300 TCN) Nó ví dụ thuật tốn, chuỗi bước tính tốn theo điều kiện định số thuật toán lâu đời sử dụng rộng rãi Giải thuật Euclid dựa nguyên tắc ước chung lớn hai số nguyên không thay đổi thay số lớn hiệu với số nhỏ Chẳng hạn, 21 ƯCLN 252 105 (vì 252 21 12 105 21 ) ƯCLN 105 252  105 147 Khi lặp lại trình hai số cặp số ngày nhỏ đến chúng nhau, chúng ƯCLN hai số ban đầu Bằng cách đảo ngược lại bước, ƯCLN biểu diễn thành tổng hai số hạng, số hạng hai số cho nhân với số nguyên dương âm (đồng thức Bézout), chẳng hạn, 21 5.105     252 Dạng ban đầu giải thuật tốn nhiều bước thực phép trừ để tìm ƯCLN hai số lớn nhiều so với số lại Một dạng khác giải thuật rút ngắn lại bước này, thay vào số lớn số dư chia cho số nhỏ (dừng lại số dư khơng) Dạng thuật tốn tốn số bước nhiều năm lần số chữ số số nhỏ hệ thập phân Gabriel Lamé chứng minh điều vào năm 1844, đánh dấu đời lý thuyết độ phức tạp tính tốn Nhiều phương pháp khác để tăng hiệu thuật toán phát triển kỷ 20 Giải thuật Euclid có nhiều ứng dụng lý thuyết thực tế Nó dùng để rút gọn phân số dạng tối giản thực phép chia số học module Thuật toán thành phần then chốt giao thức mật mã để bảo mật kết nối Internet dùng để phá vỡ hệ thống mật mã qua phân tích số ngun Nó áp dụng để giải phương trình Diophantine, chẳng hạn tìm số thỏa mãn nhiều biểu thức đồng dư theo định lý số dư Trung Quốc, để xây dựng liên phân số hay tìm xấp xỉ gần cho số thực Cuối cùng, cơng cụ để chứng minh nhiều định lý lý thuyết số định lý Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ bốn số phương Lagrange tính phân tích số nguyên thừa số nguyên tố Thuật toán Euclid ban đầu giới hạn số tự nhiên độ dài hình học (số thực), đến kỷ 19 mở rộng cho nhiều dạng số khác số nguyên Gauss đa thức biến, dẫn đến khái niệm đại số trừu tượng miền Euclid Giải thuật Euclid dùng để tính ước chung lớn (ƯCLN) hai số tự nhiên a b Ước chung  a, b  lớn g số lớn chia a b mà không để lại số dư ký hiệu ƯCLN  a, b  Nếu ƯCLN  a, b  1 a b gọi hai số nguyên tố Tính chất không khẳng định b số nguyên tố Chẳng hạn, 35 số ngun tố chúng phân tích thành tích thừa số nguyên tố: 2.3 35 5.7 Tuy nhiên, 35 nguyên tố chúng khơng có thừa số chung  a, b  Vì a b bội g nên chúng viết thành a mg b ng Gọi g  ƯCLN , không tồn số G  g để biểu thức Hai số tự nhiên m n phải nguyên tố phân tích thừa số chung từ m n để g lớn Do đó, số c chia a b chia g Ước chung lớn g a b ước chung (dương) chúng chia ước chung c ƯCLN minh họa sau: Xét hình chữ nhật có kích thước a b ước chung c chia hết a b Cả hai cạnh hình chữ nhật chia thành đoạn thẳng có độ dài c để chia hình chữ nhật thành hình vng có cạnh c Ước chung lớn g giá trị lớn c để điều xảy Chẳng hạn, hình chữ nhật có kích thước 24 60 chia thành hình vng có cạnh 1, 2, 3, 4, 12 , nên 12 ước chung lớn 24 2 24 60 , tức hình chữ nhật có hai hình vng nằm cạnh ( 12 ) năm hình 60 5 vng nằm cạnh cịn lại ( 12 ) Ước chung lớn hai số a b tích thừa số nguyên tố chung hai số cho, thừa số nhân lên nhiều lần, tích thừa số chia a b Chẳng hạn, ta phân tích 1386 2.3.3.7.11 3213 3.3.3.7.17 nên ước chung lớn 1386 3213 63 3.3.7 (là tích thừa số ngun tố chung) Nếu hai số khơng có thừa số nguyên tố chung ước chung lớn chúng (một trường hợp tích rỗng), hay nói cách khác chúng ngun tố Một ưu điểm quan trọng giải thuật Euclid tính ƯCLN mà khơng cần phân tích thừa số ngun tố Bài tốn phân tích số ngun lớn khó tính bảo mật nhiều giao thức mật mã phổ biến dựa tính chất Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ƯCLN ba số trở lên tích thừa số nguyên tố chung ba số cho, tính cách tìm ƯCLN cặp số ba số Chẳng hạn, ƯCLN  a, b, c  ¦CLN  a, ¦CLN  b, c   ¦CLN  ¦CLN  a, b  , c  ¦CLN  ¦CLN  a, c  , b  Vì vậy, giải thuật Euclid, vốn dùng để tính ƯCLN hai số nguyên áp dụng để tính ƯCLN số lượng số nguyên Giải thuật Euclid gồm dãy bước mà đó, đầu bước đầu vào bước Gọi k số nguyên dùng để đếm số bước thuật tốn, số khơng (khi bước tương ứng với k 0 , bước k 1 , ) Mỗi bước bắt đầu với hai số dư không âm rk  rk  Vì thuật tốn giúp đảm bảo số dư giảm dần theo bước nên rk  nhỏ rk  Mục tiêu bước thứ k tìm thương qk số dư rk thỏa mãn rk  qk rk   rk rk  rk  Nói cách khác, từ số lớn rk  , trừ bội số nhỏ rk  đến phần dư rk nhỏ rk  Ở bước ( k 0 ), số dư rk  rk  a b , hai số cần tìm ƯCLN Đến bước ( k 1 ), hai số dư b số dư r0 bước đầu tiên, Do đó, thuật tốn viết thành dãy bước: a q0b  r0 b q1r0  r1 r0 q2 r1  r2 r1 q3r2  r3 Nếu a nhỏ b thuật tốn đảo ngược vị trí hai số Chẳng hạn, a  b thương q0 khơng số dư r0 a Do đó, rk nhỏ rk  với k 0 Vì số dư ln giảm dần theo bước số âm nên số dư sau rn phải khơng thuật tốn dừng lại Số dư khác khơng cuối rn  ước chung lớn a b Số n vô hạn có số lượng hữu hạn số nguyên dương nằm số dư ban đầu r0 Tính đắn giải thuật Euclid chứng minh qua hai bước lập luận Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bước thứ nhất, cần chứng minh số dư khác không cuối rn  chia a b Vì rn  ước chung nên phải nhỏ với ước chung lớn g Bước thứ hai, cần chứng minh ước chung a b , có g cần phải chia rn  ; từ đó, g phải nhỏ rn  Hai kết luận mâu thuẫn trừ rn   g Để chứng tỏ rn  chia a b , cần biết rn  chia số dư liền trước rn  : rn  qn rn  số dư cuối rn không rn  chia số dư rn  : rn  qn  1rn   rn  chia hai số hạng vế phải phương trình Chứng minh tương tự, rn  chia tất số dư liền trước kể a b Khơng có số dư liền trước rn  , rn  , chia a b cho số dư khơng Vì rn  ước chung a b nên rn   g Trong bước thứ hai, số tự nhiên c chia a b (là ước chung a b ) chia số dư rk Theo định nghĩa a b viết thành bội c : a mc b nc với m n số tự nhiên Ta có r0 a  q0b mc  q0 nc  m  q0n  c nên c ước số dư ban đầu r0 Chứng minh bước thứ nhất, ta thấy c ước số dư liền sau r1 , r2 , Từ đó, ước chung lớn g ước rn  hay g rn  Kết hợp hai kết luận thu được, ta có g rn  Vậy g ước chung lớn tất cặp số liền sau: g ¦CLN  a, b  ¦CLN  b, r0  ¦CLN  r0 , r1   ¦CLN  rn  , rn   rn  I Phương pháp giải Muốn tìm ƯCLN a b (giả sử a b) Bước 1: Chia a cho b có số dư r Bước 2:  a, b  b Việc tìm ƯCLN dừng lại + Nếu r 0 ƯCLN + Nếu r  , ta chia tiếp b cho r , số dư r1 r ¦CLN  a, b  - Nếu r1 0 Dừng lại việc tìm ƯCLN - Nếu r1  ta thực phép chia r cho r1 lập lại trình ƯCLN  a, b  II Bài toán Trang số dư khác nhỏ dãy phép chia nói CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 1: Hãy tìm ƯCLN  1575,343 thuật tốn Ơclide Lời giải: Ta có: 1575 343.4  203 343 203.1  140 203 140.1  63 140 63.2  14 63 14.4  14 7.2  (chia hết) Vậy ƯCLN  1575,343 7 Trong thực hành làm sau: 1575 343 203 140 63 343 203 140 1 63 14 Vậy ƯCLN 14  1575,343 7 Bài 2: Tìm ƯCLN  58005, 2835 thuật tốn Euclide Lời giải: Ta có: 58005 20.2835  1305  (58005, 2835) (2835,1305); 2835 2.1305  225;1305 5.225  180 225 1.180  45;180 4.45  ƯCLN 45 Bài 3: Chứng minh ƯCLN ( n  1,3n  4) 1, n   Lời giải: Cách 1: 3n  4d d UCLN (n  1,3n  4), d  *    (3n  4)  3(n 1) d  1d  d 1 n   d  Gọi Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vậy ƯCLN ( n  1,3n  4) 1, n   Cách 2: Ta có: 3n  3n   3(n  1)  Mà 3( n  1)M( n  1)  3( n  1) 1 chia cho ( n  1) dư Suy ƯCLN (n  1,3n  4)  n  1;1 1, n   Bài 4: Chứng minh 2n  2n  hai số nguyên tố Lời giải: Cách 1:  2n  1d d UCLN (2n  1, 2n  3), d  *    (2n  3)  (2n  1) d  d  d   1; 2 n   d  Gọi Mà 2n  1d 2n  lẻ nên d lẻ Suy d 1 Vậy 2n  2n  hai số nguyên tố Cách 2: Ta có: 2n  2n 1   2n  chia cho 2n  dư Suy ƯCLN (2n  3, 2n  1)  2n  1;  1, n   (Vì 2n  lẻ , số chẵn) Vậy 2n  2n  hai số nguyên tố  A, B  Bài 5: Biết số A gồm 2015 chữ số B gồm chữ số Hãy tìm ƯCLN Lời giải: A 22 2.2  2.2      0    Ta có Vì 2015 2008 7.chu so.2 2.2  2.2    0     ( A, B) (2.2 2,    2.2 2)    2008 Ta có: 8 2.2    2.2      (2.2 2,    2.2 2)    (2.2 2,    2) 2  ( A, B) 2 8 7  X ,Y  Bài 6: Số X gồm 2002 chữ số , Y gồm chữ số Tìm ƯCLN Lời giải: Trang 11 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Có: 2002 222.9  4; X 99  9999; X BS (Y )  9999(1)      99    0000 2002 1998 4 Y 9999    9999 90       Y BS (9999)  9(2);9999 BS (9)(3) Từ (1)(2)(3)  ƯCLN ( X , Y ) 9 Bài 7: Tìm số tự nhiên n , biết chia 239 373 cho n số dư 14 23 Lời giải: Theo đầu ta có: 239  14 225n  2   n UC (225,350)  n  U (UCLN (225,350)); 225 3 ;350 2.5 373  23 350n  ƯCLN (225,350) 25  n  UC (25) n  23    n 25 n  U (25) n  23 373 Vì chia cho dư Vậy n 25 Bài 8: Người ta đếm số trứng trog rổ Nếu đếm theo chục theo tá theo 15 lần dư Tính số trứng rổ, biết số trứng lớn 150 nhỏ 200 Lời giải: * Gọi số trứng rổ n ( n  N ) Ta có: 150  n  200(1);(n  1) 10,12,15  (n  1)  BC (10,12,15)  n  1 B(60) Theo  1  149  n   199  n  180  n 181 Vạy số trứng rổ 181 Bài 9: Một trường học có số lượng học sinh khơng q 1000 Khi xếp hàng 20, 25,30 dư 15 Nhưng xếp hàng 41 vừa đủ Tính số học sinh trường? Lời giải: * Gọi số học sinh trường là: n ( n  N ) Theo ta có: n 1000 Lại có: n  1520, 25,30; n 41; n  15  BC (20, 25,30)  B( BCNN (20, 25,30) 300  n  15  B (300) n   315, 615,915 n  15 1000  15 985  n    300,600,900    n 615 n  41   Mà Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vậy số học sinh trường 615 (học sinh) Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết chia số cho 12,18, 23 số dư 11,17,9 Lời giải: Gọi số tự nhiên cần tìm là: a ( a  N ) Theo ta có: a 12k  18q  17 2.3 p  9(k , p, q  N ) Ta tìm số b cho: a  b12,18, 23 Nhận thấy: a  37 12k  4812; a  37 18q  54 18; a  37 23 p  46 23  a  37  BC (12,18, 23) Vì a nhỏ  a  37 BCNN (12,18, 23);12 2 2.3;18 2.32 ; 23 23  BCNN (12,18, 23) 2 2.32.23 828  a 828  37 791 Vậy số tự nhiên cần tìm 791 Bài 11: Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 11 dư , chia cho dư , chia cho 19 dư 11 Lời giải:  a   11;  a  1 4;  a  11 19 Gọi số cần tìm a , ta có:   a   33 11;  a   28  4;  a  11  38  19   a  27  11;  a  27  4;  a  27  19   a  27    a  27  BCNN  11, 4,9  Mà a nhỏ nhỏ Do ƯCLN  4;11;9  1  BCNN  11; 4;9  11.14.9 396  a  27 396  a 369 Vậy số tự nhiên cần tìm là: 369 a 1 b 1  a số tự nhiên Gọi d ƯCLN a, b Bài 12: Cho a, b số tự nhiên khác cho b Chứng minh rằng: a  b d Lời giải: d (a, b) , đặt Trang 13 a dm, b dn; 2 a 1 b 1 a  b2  a  b a  b  a  b ab   N    a  b  a  b d 2 b a ab ab d m.n d CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ a d m d   a  bd  a  b d  dpcm 2 2  b d n d  Bài 13: Một số tự nhiên chia cho dư , chia cho 13 dư Nếu đem số chia cho 91 dư bao nhiêu? Lời giải: Gọi số a Vì a chia cho dư , chia cho 13 dư  a  97; a  913 mà ƯCLN  7,13 1 nên   a   7.13 91   a   91k  a 91k  91k  91  82 91  k  1  82  k  N  Vậy a chia cho 91 dư 82 Bài 14: Tìm số tự nhiên a biết chia 355 cho a ta số dư 13 chia 836 cho a có số dư Lời giải: Theo đề chia 355 cho a ta số dư 13 nên ta có 355 a.m  13 với m  N * a  13 hay a.m 342 18.19 (1) chia 836 cho a có số dư  836 a.n   a.n 828 18.46 với n  N * (2) Từ (1) (2) suy a 18 số tự nhiên cần tìm Bài 15: Một số chia cho dư , chia cho 17 dư 12 , chia cho 23 dư Hỏi số chia cho 2737 dư bao nhiêu? Lời giải: Gọi số cho A Theo ta có: A 7a  17b  12 23c  Mặt khác: A  39 7a   39 17b  12  39 23c   39 7  a   17  b   23  c   Như A  39 đồng thời chia hết cho 7,17 23 Nhưng ƯCLN  7,17, 23 1   A  39  7.17.23   A  39  2737  A  39 2737.k  A 2737 k  39 2737  k  1  2698 Do 2698  2737 nên 2698 số dư phép chia số A cho 2737 Bài 16: Tìm số tự nhiên lớn có chữ số, cho chia cho dư chia cho 31 dư 28 Lời giải: Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Gọi số cần tìm a ( a  N ,100 a 999 ) Vì a chia cho dư chia cho 31 dư 28 nên:  a  78 a   88 a  18 a   648 a  658       a  2831 a  28  3131 a  331 a   6231 a  6531 Vì  8,31 1   a  65 248  a 248k  65  k  N *  Vì a số có chữ số lớn nên k 4 , a 248.4  65 927 Vậy số cần tìm 927 Bài 17: Tìm số tự nhiên nhỏ có chữ số biết số chia cho 4,6,7 dư Lời giải: Gọi số cần tìm a điều kiện a  N , a 100   a  3 4, 6,7 Vì a chia cho 4,6,7 dư  a  BCNN  4,6,  Mà a nhỏ nên a  nhỏ Mà ƯCLN  4, 6,  1  BCNN  4, 6,  4.6.7 168  a  168  a 171 Vậy số cần tìm 171 Bài 18: Tìm số tự nhiên a nhỏ cho a chia cho dư , a chia cho dư Lời giải: Ta có a chia cho dư , a chia cho dư   a  3 5   a  17  5  a   7    a   20  5  a   21 21   a  17  7  a  17 bội chung Vì a số tự nhiên nỏ nên a  17 BCNN (5, 7) 35  a 18 Bài 19: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết số chia cho , cho , cho , cho dư , chia cho dư Lời giải: Gọi số tự nhiên cần tìm a  a  N , a  3 Ta có chia a cho , cho , cho , cho dư Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ  a   BC  3; 4;5;6   60;120;180;240;  Nên a nhận giá trị 62;122;182; 242;  a  3 số nhỏ chia hết cho Mặt khác a số nhỏ chia cho dư tức  a 122 (vì a 62 62  59 không chia hết cho ) PHẦN III BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG Bài 1: Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 84 ƯCLN Lời giải:  a  b a, b  ¥ * b a Gọi số cần tìm , giả sử   a; b  6 Vì ƯCLN Ta có a  b 84  6m  6n 84  m  n 14 Lập bảng: m n a b 11 18 30 13 78 Vậy hai số cần tìm 78 ; 18 66 ; 30 54  3n  14  chia hết cho  n 1 Bài 2: Tìm số tự nhiên n biết Lời giải: Ta có Vì  3n  14  3  n  1   n  1  n  1   n  1 nên để  3n  14   n  1 7 n  1  n  1   7;  1;1;7  n    6;0; 2;8 phải ước n   0; 2;8 Mà n  N , nên Vậy n   0; 2;8  3n  14  chia hết cho  n  1 n  15 Bài 3: Tìm số tự nhiên n biết n  số tự nhiên Lời giải: Trang 16 30 54 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ n  15  n 15 chia hết cho  n  3 Để n  số tự nhiên    n  15    n  3   n  3  12 chia hết cho  n  3 chia hết cho  n  3 phải số tự nhiên lớn đồng thời ước 12 Mà n  N nên  n    3; 4;6;12  n   0;1;3;9 Vậy n   0;1;3;9 n  15 n  số tự nhiên   n  3n   n  3 n Bài 4: Tìm số tự nhiên biết Lời giải: Ta có Vì n  3n  n  n  3  n  n  3  n  3 , nên để n  3n    n  3 6 n  3  n  3 phải số tự nhiên lớn đồng thời ước Mà n  N , nên   n  3   3;6  n   0;3 Vậy n   0;3 n  3n    n  3 n 1 Bài 5: Tìm số tự nhiên n biết n  có giá trị số nguyên Lời giải: n 1  n 1  n   Ta có n  số nguyên Ta có n   n    3,   n  2  n 1  n   3 n   ước   n      3;  1;1;3  n    1;1;3;5 Vậy n    1;1;3;5 n 1 n  có giá trị số nguyên Bài 6: Tìm hai số tự nhiên biết hiệu chúng 84 , ƯCLN chúng 28 số khoảng từ 300 đến 400 Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải: Gọi hai số tự nhiên cần tìm a, b giả sử a  b Đặt ƯCLN  a, b  d  a md ; b nd Mà ƯCLN  a, b   BCNN  a, b  23 nên d  m.n  1 23  với m, n  Z  ;UCLN  m, n  1, m  n  BCNN  a, b  dmn d d   1; 23 ước 23 hay  m, n  1 nên ta có trường hợp m, n sau: Xét d 1, ta có mn  23  mn 22 với ƯCLN Trường hợp 1: m 22, n 1  a 22, b 1 Trường hợp 2: m 11, n 2  a 11, b 2 Trường hợp 3: m 11, n 2  a 11, b 2 Xét d 3, ta có mn  1  mn 0 (không thỏa mãn) Bài 7: Cho n  N * Tìm ƯCLN 2n  9n  Lời giải: 2n  1d (1) d (2n  1,9n  4)(d  N * )    2(9n  4)  9(2n  1) d  17 d  n   d (2)  Gọi  d 1   d 17 -Nếu d 17  (9n  4)  4(2n  1) n  817  n 17  9k (k  N )  9n  9(17 k  9)  9.17 k  8517 2n  2(17 k  9)  2.17 k  17 17 17 k   k  N  UCLN  2n  1;9n   17 Vậy n có dạng Bài 8: Tìm ƯCLN      n, 2n 1 với n  N , n 2 Lời giải:  n(n  1)  , 2n  1 d      n(n  1) n(n  1)d     2n  1d 2n  1d Giả sử d  , p ước nguyên tố d  n p  n(n  1) d     n  1p  n  1p  np  ( n 1)  n 1p  1p  (vô lý)  d 1 Bài 9: Tìm ƯCLN 9n  24 3n  Lời giải: Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ  9n  24;3n   d  Gọi ƯCLN 9n  24d   Khi ta có: 3n  4d d  N* 9n  24d   9n  24    9n  12  d  12d  9n  12d  d  U  12   1; 2; 3; 4; 6; 12 Do  3n   d , mà 3n  không chia hết cho , nên d 3; 6;13 (loại) Do d   1; 2; 4 - Để d 2 n phải chẵn - Để d 4 n phải chia hết cho - Để d 1 n số lẻ Vậy n 4k   k  N  n 4k  k  N  ƯCLN n 2k  1 k  N  Bài 10: Biết ƯCLN  9n  24;3n   4 ƯCLN  a, b  95  9n  24;3n   2  9n  24;3n   1 Tìm  a  b, a  b  Lời giải:  a  b, a  b  d  Gọi ƯCLN d  N*  a  b d  2b d  d  U    d U  b   a  b d  a  bd  2a d   d U  2 d U  a  a  b  d  hoặc mà ƯCLN  a, b  95, Vậy ƯCLN nên d 95 d 2  a  b, a  b  2 d 95 Bài 11: Học sinh khối xếp hàng; xếp hàng 10 , hàng 12 , hàng 15 dư học sinh Nhưng xếp hàng 11 vừa đủ Biết số học sinh khối chưa đến 400 học sinh Tính số học sinh khối 6? Lời giải: Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ   a  400  Gọi số học sinh khối a Vì xếp hàng 10 , hàng 12 , hàng 15 dư học sinh  a  310;12;15  a   BC (10,12,15) Ta có: BCNN  10;12;15  60  a    60;120;180; 240;300;360; 420;   a   63;123;183; 243;303;363; 423;  mà a 11; a  400  a 363 Vậy số học sinh khối 363 học sinh Bài 12: Một người bán năm giỏ xoài cam Mỗi giỏ đựng loại với số lượng là: 65kg ; 71kg ; 58kg ; 72kg ; 93kg Sau bán giỏ cam số lượng xồi cịn lại gấp ba lần số lượng cam lại Hãy cho biết giỏ đựng cam, giỏ đựng xoài? Lời giải: Tổng số xoài cam lúc đầu: 65  71  58  72  93 359  kg  Vì số xồi cịn lại gấp ba lần số cam cịn lại nên tổng số xồi cam cịn lại số chia hết cho , mà 359 chia cho dư nên giỏ cam bán có khối lượng chia cho dư Trong số 65;71;58;72;93 có 71 chia cho dư Vậy giỏ cam bán giỏ 71kg Số xồi cam cịn lại: Số cam cịn lại: 359  71 288  kg  288 : 72  kg  Vậy: giỏ cam giỏ đựng 71kg ; 72kg Các giỏ xoài giỏ đựng 65kg ;58kg ;93kg Bài 13: Hai lớp 6A; 6B thu nhặt số giấy vụn Lớp 6A có bạn thu 26kg cịn lại bạn thu 11kg Lớp 6B có bạn thu 25kg lại bạn thu 10kg Tính số học sinh lớp biết số giấy lớp thu khoảng 200kg đến 300kg Lời giải: Trang 20