S6 chuyên đề 3 chủ đề 2 dung dau hieu de cm bai toan chia het

CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Chủ đề 2: Dùng dấu hiệu để chứng minh tốn chia hết PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Phép chia hết Với a, b số TN b khác Ta nói a chia hết b tồn số TN q cho a b.q Tính chất chung 1) a ⋮ b b ⋮ c a ⋮ c 2) a ⋮ a với a khác 3) ⋮ b với b khác 4) Bất số chia hết cho Tính chất chia hết tổng, hiệu - Nếu a, b chia hết cho m a + b chia hết cho m a - b chia hết cho m - Tổng số chia hết cho m số chia hết cho m số lại chia hết cho m - Nếu số a, b chia hết cho m số khơng chia hết cho m tổng, hiệu chúng khơng chia hết cho m Tính chất chia hết tích - Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n a.b chia hết cho m.n - Nếu a chia hết cho b thì: an ⋮ bn *) Chú ý: a n  b n (a  b)n 2 a n  b n (a  b)n chẵn Dấu hiệu chia hết a) Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho chữ số tận số số chẵn b) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 9) - Một số chia hết cho (hoặc 9) tổng chữ số số chia hết cho (hoặc 9) - Chú ý: Một số chia hết cho (hoặc 9) dư tổng chữ số chia cho (hoặc 9) dư nhiêu ngược lại c) Dấu hiệu chia hết cho - Một số chia hết cho chữ số số có tận d) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 25) Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ - Một số chia hết cho (hoặc 25) hai chữ số tận số chia hết cho (hoặc 25) e) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 125) - Một số chia hết cho (hoặc 125) ba chữ số tận số chia hết cho (hoặc 125) f) Dấu hiệu chia hết cho 11 - Một số chia hết cho 11 chi hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11 PHẦN II CÁC DẠNG BÀI TOÁN CHIA HẾT Dạng 1: Chứng minh biểu thức chia hết cho số I Phương pháp giải: Chứng minh biểu thức A chia hết cho số m - Viết biểu thức A thành tổng (hiệu) số số chia hết cho m từ suy A chia hết cho m - Viết biểu thức A thành tích thừa số có thừa số chia hết cho m từ suy A chia hết cho m - Viết m thành tích thừa số nguyên tố biểu thức A chia hết cho thừa số m từ suy A chia hết cho m - Viết biểu thức A m thành tích thừa số thừa số A chia hết cho thừa số m từ suy A chia hết cho m - Viết A thành tổng hiệu số mà có tổng hiệu số dư chia hết cho m từ suy A chia hết cho m Cụ thể ta vận dụng PHƯƠNG PHÁP sau: + PHƯƠNG PHÁP 1: Nếu số A số cụ thể ta vận dụng dấu hiệu chia hết ; ; ; ; ; 11 ; để chứng minh + PHƯƠNG PHÁP 2: Nếu số A có tổng hiệu số, ta cần phân tích số A để đưa số A hiệu tích số có dấu hiệu chia hết áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) tích để chứng minh + PHƯƠNG PHÁP 3: Để chứng minh A chia hết cho p, ta xét trường hợp số dư chia A cho p + PHƯƠNG PHÁP 4: Ngồi ta dùng cách tìm chữ số tận A để chứng minh A chia hết cho số + PHƯƠNG PHÁP 5: Nếu A ⋮ m A ⋮ n, đồng thời m n hai số nguyên tố A chia hết cho tích m.n II Bài tốn Bài 1: Tìm tất cặp số a) 34 x5 y36 Trang  x; y  cho CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ b) 423 x7 y45 c) 1x8 y 236  4,9 d) 21xy60 Lời giải: a) Ta có 34 x5 y 36  4,  y 4  y   2;6  x   4;0;9 Vậy căp số  x; y   4;  ;  0;6  ;  9;6  b) Ta có 423 x7 y 45  5,9  y   0;5  x   2;6 c) Ta có 1x8 y 236  4,9  y 24  y   1;3;5;7;9  x   6; 4; 2;0;9; 7  có cặp số  x; y  thỏa mãn tốn d) Ta có 21xy60 hay 2100  xy 60  xy 00; xy 60 Bài 2: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho 9, biết tổng hai số thỏa mãn điều kiện sau a) b) c) d) Là số có ba chữ số Là số chia hết cho Tổng chư x số hàng trăm chữ số hàng đơn vị số chia hết cho Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng chữ số hàng chục số chia hết cho Lời giải: Tổng hai số tự nhiên chia hết tận Mà tổng chữ số hàng trăm hàng đơn vị nên chữ số hàng trăm phải Vậy tổng hai số tự nhiên có dạng: 4a5 Mà a  44  a   0; 4;8 Tổng hai số là: 405 202  203; 445 222  333;485 242  243 Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Bài 3: Tìm chữ số a, b cho a56b 45 Lời giải: Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = để a56b 45  a56b 5;9 Xét a56b 5  b   0;5 Nếu b 0 ta có số a56b 9   a     9   a  11 9  a 7 Nếu b 5 ta có số a56b 9   a     9   a  16  9  a 2 Vậy: a = b = ta có số 7560 a = b = ta có số 2560 Bài 4: Biết tổng chữ số số khơng đổi nhân số với Chứng minh số chia hết cho Lời giải: Gọi số cho a Ta có: a 5a chia cho có số dư   5a  a  9  4a 9  a 9 Vậy a9 Bài 5: CMR số 111  …  111  81 81 sè Lời giải: Ta thấy: 1111111119   72 63 111    111  111111111 10  10   10  81 sè Có Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ  10 Mà tổng 72  1063   109   có tổng chữ số   1072  1063   109  9   111    111  81 81 sè Vậy: Bài 6: Tìm chữ số x, y cho a 34x5y 4;9 b 2x7817 Lời giải: a) Để 34x5y 4  5y 4  y   2, 6 Nếu y 2 ta có số 34x5y 9       x  9   x  14  9  x 4 Nếu y 6 ta có số 34x5y 9   x     9   x  17  9  x 1 Vậy: x = y = ta có số 34156 x = y = ta có số 34452 b) 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17  x = Bài 7: Cho số N = dcba CMR a N 4   a  2b  4 b N 16   a  2b  4c  8d  16 c N 29   a  3b  9c  27d  29 Lời giải: a Ta có: Trang với b chẵn CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ N 4  ba 4   10b  a  4  8b   2b  a  4   2b   4 b N 16  1000d  100c  10b  a 16   992d  96c  8b    8d  4c  2b  a  16   a  2b  4c  8d  16 với b chẵn c.Ta có: 100  d  3c  9b  27 a   dbca 29  1000; 29  1; dbca 29   d  3c  9b  27 a  29 Bài 8: Tìm tất số có chữ số cho số gấp lần tích chữ số số Lời giải: Gọi ab số có chữ số Theo ta có: ab 10a  b 2ab(1) ab 2  b   0; 2; 4; 6;8 Thay vào (1) a 3; b 6 Bài 9: Viết liên tiếp tất số có chữ số từ 19 đến 80 ta số A 192021 7980 Hỏi số A có chia hết cho 1980 khơng ? Vì sao? Lời giải: 2 Có 1980 2 5.11 Vì chữ số tận a 804  A 4;5 Tổng số hàng lẻ       10  279 Tổng số hàng chẵn        279 Có 279  279 5589  A 9 279  279 011  A 11 Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Bài 10: Tổng 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 khơng? Vì sao? Lời giải: Có 46 số tự nhiên liên tiếp  có 23 cặp số cặp có tổng số lẻ  tổng 23 cặp không chia hết cho Vậy tổng 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46 Bài 11: Chứng tỏ số 11 11 22 22 …      100 sè 100 sè tích số tự nhiên liên tiếp Lời giải: Có Mà 11 11 22 22    …   100 sè 100    02  99 sè 100 sè = 100 sè 100 sè 99 sè 33   34 99 sè 11 11 22 22        = 11 11 100   02     100 sè = 33   33 33   34 100 sè 99 sè (Đpcm)Đpcm)) Dạng 2: Chứng minh biểu thức chia hết cho biểu thức I Phương pháp giải: - Biến đổi biểu thức bị chia thành tích biểu thức nhỏ có biểu thức chia hết cho biểu thức chia II Bài toán n Bài 1: Cho n  , n  Chứng minh rằnga) 10  9 n b) 10  2618 n1 c)  110 Lời giải: n a) Ta có: 10  9 có tổng chữ số = nên chia hết cho n b) Ta có 10  26 100 026 (n-2 chữ số 0) có tổng chữ số = nên chia hết cho số chẵn nên chia hết cho Vậy chia hết cho 18 n1 c) Ta có  có tận suy chia hết cho 10 n1 Vì tận 2n  lẻ Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 10 11 * Bài 2: Cho n   Chứng minh rằng: A (2  1) 25 1001 b) B 39  211000 10 Lời giải: 10 11 11 Ta có A (2  1) 1025 25 Bài 4: Giả sử S(a) tổng chữ số số tự nhiên a Chứng minh a) a  S (a )9 b) Nếu S  a  S  a  a chia hết cho 9, điều ngược lại có khơng? Lời giải: n a) Đặt a an an  a1a0 an 10   a1.10  a0  S (a ) an  an   an    a1  a0  a  S (a) an (10 n  1)  an  1.(10 n   1)   a1         (10  1) (10  1) 9  a  S (a)9 b S (a) S (2a)  a  2a  S (2a )    a  S (a )           9 9  a 9 Ví dụ: a 18  S (a ) 9  a  S (a ) 99; 2a 36  S (2a ) 9 Bài 5: Số tự nhiên a có 26 chữ số, người ta đổi chỗ chữ số A để số B lớn gấp lần số A Chứng minh B27 Lời giải: B 3 A  B 3  S ( A)3  S ( A)3  A3 B 3 A   B 9  S ( B)9  S ( A)9  A9 A   Mà B 3 A   B 27  Và A9  đpcm Bài 6: Viết số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 99 ta số A Số A có chia hết cho 99 không? Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Lời giải: Ta có 90 số thảo mãn tốn: 10,11, ;99 Tổng chữ số hàng đơn vị là: (0     9).9 45.9 405 Tổng chữ số hàng chục là: (1    9).10 45.10 450   A 9 Tổng chữ số A là: 405  450 855  Bài 7: Chứng minh với n STN lẻ số A n  4n  5/ Lời giải: Vì n lẻ, ta đặt n 2k  ( k  )  A (2k  1)  4(2k  1)  4k (k  1)  8( k  1)  - Ta có k k  hai số TN liên tiếp có số chẵn nên 4k (k  1)8   A chia dư Lại có 8(k  1)8;  Dạng 3: Cho biểu thức chia hết cho m chứng minh biểu thức khác chia hết cho m I Phương pháp giải - Vận dụng tính chất: AC ; B C  pA  qB C từ tìm giá trị p q thích hợp II Bài tốn Bài 1: Chứng minh  495a 1035b  45 với a , b số tự nhiên Lời giải: Vì 4959 nên 1980.a 9 với a Vì 10359 nên 1035.b9 với b Nên:  495a 1035b  9 Chứng minh tương tự ta có: Mà  9;5 1 ⇒  495a  1035b  5 với a, b  495a 1035b  45 với a , b số tự nhiên Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu ab  cd 11 abcd 11 Lời giải a, Ta có: ab  cd a.10  b  10c  d Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ (a  c )10  b  d (a  c)(b  d ) 11 hay  a  c    b  d  11 a  c    b  d  11 Khi abcd 11 có  Bài 3: Chứng minh rằng: a, CMR: ab 2.cd  abcd 67 b, Cho abc27 cmr bca27 Lời giải: a, Ta có: abcd 100ab  cd 200cd  cd 201cd 67 b, Ta có : abc 27  abc027  1000a  bc027  999a  a  bc027  27.37 a  bca 27 Nên bca27 Bài 4: Chứng minh rằng: a, Nếu (ab  cd  eg )11 abcdeg 11 b, Nếu abc  deg 37 abc deg 37 c, Nếu abcd 99 ab  cd 99 Lời giải: a, Ta có : abc deg 10000.ab 100cd  eg 9999ab  99cd  (ab  cd  eg)11 b, Ta có : Trang 10 abc deg 1000abc  deg CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 999abc  (abc  deg)37 c, Ta có : abcd 100.ab  cd   99.ab  ab  cd 99  ab  cd9 Câu 5: Chứng minh rằng: với n   A  n3  n    36n  7   Lời giải A  n3  n    36n    Ta có: n  n  n      n  n     n  n3  n    n  n   n  n3  n  6n    n  n  6n   n   n  1   n  1   n  n  1   n  1  n  n  1  n  n    n  1  n  n   n  n  1  n    n  3  n  1  n    n    A7 n   Do A tích số nguyên liên tiếp 2008 2010 Câu 6: Chứng minh rằng: 2009  2011 chia hết cho 2010 Lời giải Ta có: Vì 20092008  20112010  20092008  1   20112010  1 2009 2008   2009  1  20092007   2010   chia hết cho 2010 (1) 2011   2011  1  2011  . 2010  . Vì chia hết cho 2010 (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh 2010 2009 Câu a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Tìm số nguyên n để n  chia hết cho n  Lời giải Trang 11 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ a) Gọi số phải tìm a b , ta có a  b chia hết cho a  b3  a  b   a  ab  b   a  b    a  b   3ab    Ta có: a  b   3ab Vì a  b chia hết  chia hết cho  a  b    a  b  Do vậy, b) Ta có:  3ab   chia hết cho n5  1 n  1   n5  n  n  1  n3  1  n  n3  1   n  1  n3  1   n  1  n  1  n  1  n  n  1  n  1n  n   n  n  1 n  n  2 Hay n  n n  n    n  n  1  1 n  n  1  1n  n  Xét hai trường hợp:  n 0 TH 1: n  n  1  n  n 0    n 1 TH : n  n    n  n  0, khơng có giá trị n thỏa mãn Câu 8: Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho Lời giải Gọi số phải tìm a b, ta có a  b chia hết cho Ta có: a  b  a  b   a  ab  b   a  b    a  2ab  b   3ab   a  b    a  b   3ab    a  b   3ab Vì a  b chia hết  chia hết cho Do Trang 12  a  b    a  b   3ab   chia hết cho CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Câu 9: Chứng minh n  17n chia hết cho với n   Lời giải n3  17 n n3  n  18n n  n  1  n  1  18n Vì n  n  1  n  1 tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3,  2,3 1 nên chia hết cho 18n6 , suy điều phải chứng minh Câu 10: Chứng minh rằng: A    32  33   311 chia hết cho 40 Lời giải A    32  33   311     32  33    34  35  36  37    38  39  310  311      32  33   34    32  33   38    32  33   40  34 40  38 40    40  34  38 40 Vậy A40 Câu 11: a) Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho n 2 n n 1 b) Chứng minh với số tự nhiên n A 5  26.5  59 Lời giải a) Ta phải chứng minh A n3   n  1   n   9 với n   A n3  n3  3n  3n   n3  6n  12n  3n3  9n  15n  3n3  3n  9n  18n  3n  n  1  n  1   n  2n  1 Nhận thấy n  n  1  n  1 3  3n  n  1  n  1 9 Vậy A9 n 2 n n 1 25.5n  26.5n  8.82 n b)  26.5  Trang 13  n  2n  1 9 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 5n  59    8.64n 59.5n   64n  5n  n  64n  5n   64   59 59.5  59 Vì n 2 n n 1 Vậy  26.5  59 Câu 12: Chứng minh 11 a)  chia hết cho 17 19 19 b) 19  69 chia hết cho 44 Lời giải a) Ta có: 85  211  23   211 215  211 211  24  1 211.17 chia hết cho 17 b) Ta có: 1919  6919  19  69   1918  1917 , 69   6918  88  1918  1917 , 69   6918  Câu 13: Chứng minh chia hết cho 44 a  a 30  a   Lời giải a  a a  a  1 a  a  1  a  1 a  a  1  a  1   a    5   a  a  1  a  1  a    a    5a  a  1  a  1 Do tích số nguyên liên tiếp chia hết cho số ngun liên tiếp ln có ba số nguyên liên tiếp mà tích chúng chia hết cho Suy  6,5 1 a  a  1  a  1  a    a   30 5a  a  1  a  1 30 Vậy a  a 30 Câu 14: Cho a, b hai số tự nhiên Biết a chia cho dư b chia cho dư Hỏi tích a.b chia cho dư ? Lời giải Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ a chia cho dư nên tồn số tự nhiên m cho a 5m)  (1) b chia cho dư nên tồn số tự nhiên n cho b 5n  (2) Từ (1) (2) suy a.b (5m)  3).(5n  2) 5  5m)n  2m)  3n 1 1 Suy a.b chia cho dư 3 Câu 15: Cho số nguyên a1 , a2 , a3 an Đặt S a1  a2   an P a1  a2   an Chứng minh rằng: S chia hết cho P chia hết cho Lời giải HD: Xét hiệu: S  P Chứng minh: a  a  a  1 a  a  1 6 với số nguyên a Sau sử dụng tính chât chia hết tổng suy đpcm 30 21 Câu 16: Chứng minh rằng: 21  39 chia hết cho 45 Lời giải 30 21 Chứng minh rằng: 21  39 chia hết cho 45 30 21 HD: Đặt M 21  39 Nhận xét 45 = 5.9 mà hai số nguyên tố (1) Vậy để c/m M 45 ta cần c/m M 5 M 9 Thật vậy, M 2130  3921  2130  130    3921    1  5  21 (Vì  130   21  1 5 30 (2)  39    1   39    1  5 ) 21 21 30 Mặt khác, 213  21 9 393  39 9 Do đó, M 9 (3) Từ (1), (2) (3) suy đpcm * Chú ý: a n  b n   a  b  Câu 17: Chứng minh rằng: B n  6n  19n  24 chia hết cho Lời giải Chứng minh rằng: B n  6n  19n  24 chia hết cho Ta có: B n3  6n  19n  24 n3  n  6n  18n  24 Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ n  n  1   n  3n    n  1 n  n  1   n  3n   Vì  n  1 n  n 1 6  n  3n   6 nên B n  6n  19n  24 chia hết cho (đpcm) n n n Câu 18: Chứng minh: Với n số tự nhiên chẵn biểu thức: A 20  16   chia hết cho chia hết cho 323 chia hết cho Lời giải n n n Chứng minh: Với n số tự nhiên chẵn biểu thức: A 20  16   chia hết cho 323  17;19  1 Ta cần c/m: A17;19 Ta có: 323 17.19 Ta có Mà A 20n  16n  3n   20n  3n    16 n  1  20  16 Và n  3n   20  3 17  1  1  16  1 17   n Tương tự, Mà  20 Và  16 n n ( n số chẵn ) hay Từ (1) (2) suy A17 A 20n  16n  3n   20n  1   16n  3n   1  20  1 19  3  3n   16  3 19   ( n số chẵn ) Từ (3) (4) suy A19 A 20n  16n  3n  chia hết cho 323 (đpcm) Câu 19: a)Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho n 2 n n 1 b) Chứng minh với số tự nhiên n A 5  26.5  59 Lời giải a) Ta phải chứng minh: A n3  n3  3n  3n   n  6n  12n  3n3  9n  15n  3n3  3n  9n  18n  Trang 16 A n3   n  1   n   9 với n   CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 3n  n  1  n  1   n  2n  1 Nhận thấy Vậy A9 n  n  1  n  1 3  3n  n  1  n  1 9  n  2n  1 9 b)5n 2  26.5n  82 n 1 25.5n  26.5n  8.82 n 5n  59    8.64n 59.5n   64n  5n  n n 59.5n 59  64    64   59 n 2 n n 1 Vậy  26.5  59 Câu 20: Cho a1 , a2 , , a2016 số tự nhiên có tổng chia hết cho 3 3 Chứng minh rằng: A a1  a2   a2016 chia hết cho Lời giải a  a a  a  1  a  1 Dễ thấy tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Xét hiệu: A   a1  a2   a2016   a13  a23   a2016    a1  a2   a2016   a13  a1    a23  a2     a2016  a2016  Các hiệu chia hết cho , A chia hết cho Câu 21: Cho hai số nguyên, số thứ chia cho dư 1, số thứ hai chia cho dư Hỏi tổng bình phương chúng có chia hết cho khơng ? Lời giải Vì số thứ chia cho dư nên có dạng 5a  , số thứ hai chia cho dư nên có dạng 5b  ( a, b  ) Ta có tổng bình phương hai số là:  5a  1 2   5b  1 25a  10a   25b  10b  5  5a  5b  2a  2b  1 5 Vậy tổng bình phương hai số chia hết cho Câu 22: Chứng minh 2009 2008  20112010 chia hết cho 2010 Lời giải Ta có: Vì Trang 17 20092008  20112010  20092008  1   20112010  1 2009 2008   2009  1  20092007   2010 (1) CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 20112010   2011  1  20112009   2010 (2) Từ (1) (2) ta có dpcm Câu 23: Chứng minh rằng: A 1   32  33   311 chia hết cho 40 Lời giải A 1   32  33   311    32  33    34  35  36  37    38  39  310  311     32  33   34    32  33   38    32  33  40  34.40  38.40 40   34  38  40 Vậy A40 10 Câu 24: Chứng minh 11  chia hết cho 100 Lời giải 1110   11  1  119  118   11  1 10  119  118   11  1 Vì 1010  11 Và  118   11  1  11 Nên  118   11  1 có chữ số tận chia hết cho 10 10 Vậy 11  chia hết cho 100 2008 2010 Câu 25: Chứng minh 2009  2011 chia hết cho 2010 Lời giải Ta có: Vì 20092008  20112010  20092008  1   20112010  1 20092008   2009  1  20092007   2010   Vì chia hết cho 2010 (1) 20112010   2011  1  20112009  . Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 2010   chia hết cho 2020(2) Từ (1) (2) ta có đpcm Câu 26: Chứng minh rằng: 11 a)  chia hết cho 17 19 19 b) 19  69 chia hết cho 44 Lời giải Ta có: 85  211  23   211 215  211 211  24  1 211.17 Rõ ràng kết chia hết cho 17 Áp dụng đẳng thức: a n  b n  a  b   a n  a n  2b  a n 3b   ab n   b n   Ta có: với n lẻ 1919  6919  19  69   1918  1917.69   6918  88  1918  1917.69   6918  chia hết cho 44 Câu 27: a) Chứng minh rằng: n  3n  2n 6 với số nguyên n Lời giải Ta có: n3  3n  2n n  n  3n   n  n  n  2n   n   n  n    2n    n  n  1  n   Vì n số nguyên nên: n; n  1; n  ba số nguyên liên tiếp Do có số chia hết cho 2, số chia hết cho  n  n  1  n   6 hay n  3n  2n 6 với số nguyên n b)Tìm số nguyên n cho: 2n3  n2  n  1 2n  1 Lời giải  5 Để 2n  n  n  12n  52n  hay 2n  Ư Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ  2n    2n      2n  1   2n  5 Vậy n    2;0;1;3  n   n 0   n 1   n 3 2n  n  n  12n  Câu 28: Cho số tự nhiên n  Chứng minh 2n 10a  b  a, b  ,  b  10  tích ab chia hết cho Lời giải n Ta có: 10a  b  b 2  ab 2 Ta chứng minh ab3 (2) (1) n n Thật , từ đẳng thức 10a  b  có chữ số tận b Đặt n 4k  r  k , r  , r 3 n k r ta có: 16 2n  2r 2r  16k  1 10  2n r r  Nếu tận Suy Từ b 2r  10a 2n  2r 2r  16k  1 3  a 3  ab 3  1   suy ab6 n Câu 30: Cho n số nguyên dương, chứng minh 16  15n  chia hết cho 225 Lời giải Với n = ta có: 16  15  0225 k Giả sử toán với n = k tức ta có: 16  15k  1225 Ta chứng minh toán với n k  Thật vậy: 16k 1  15  k  1 16.16 k  15k  15  16  15  1  15k  15  16k  15k   15  15k  1 16k  15k   15 A  k  225 n Vậy 16  15n  chia hết cho 225 với n số nguyên dương Trang 20