thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com CHUYÊN ĐỀ 3 PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Chủ đề 2 Dùng các dấu hiệu để chứng minh bài toán chia hết PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Phép chia hết Với a, b là số TN[.]
thuvienhoclieu.com CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Chủ đề 2: Dùng dấu hiệu để chứng minh tốn chia hết PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Phép chia hết Với a, b số TN b khác Ta nói a chia hết b tồn số TN q cho Tính chất chung 1) a ⋮ b b ⋮ c a ⋮ c 2) a ⋮ a với a khác 3) ⋮ b với b khác 4) Bất số chia hết cho Tính chất chia hết tổng, hiệu - Nếu a, b chia hết cho m a + b chia hết cho m a - b chia hết cho m - Tổng số chia hết cho m số chia hết cho m số cịn lại chia hết cho m - Nếu số a, b chia hết cho m số không chia hết cho m tổng, hiệu chúng khơng chia hết cho m Tính chất chia hết tích - Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n a.b chia hết cho m.n - Nếu a chia hết cho b thì: an ⋮ bn *) Chú ý: chẵn Dấu hiệu chia hết a) Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho chữ số tận số số chẵn b) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 9) - Một số chia hết cho (hoặc 9) tổng chữ số số chia hết cho (hoặc 9) - Chú ý: Một số chia hết cho (hoặc 9) dư tổng chữ số chia cho (hoặc 9) dư nhiêu ngược lại c) Dấu hiệu chia hết cho - Một số chia hết cho chữ số số có tận d) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 25) - Một số chia hết cho (hoặc 25) hai chữ số tận số chia hết cho (hoặc 25) e) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 125) - Một số chia hết cho (hoặc 125) ba chữ số tận số chia hết cho (hoặc 125) thuvienhoclieu.com Trang f) Dấu hiệu chia hết cho 11 thuvienhoclieu.com - Một số chia hết cho 11 chi hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11 PHẦN II CÁC DẠNG BÀI TOÁN CHIA HẾT Dạng 1: Chứng minh biểu thức chia hết cho số I Phương pháp giải: Chứng minh biểu thức A chia hết cho số m - Viết biểu thức A thành tổng (hiệu) số số chia hết cho m từ suy A chia hết cho m - Viết biểu thức A thành tích thừa số có thừa số chia hết cho m từ suy A chia hết cho m - Viết m thành tích thừa số nguyên tố biểu thức A chia hết cho thừa số m từ suy A chia hết cho m - Viết biểu thức A m thành tích thừa số thừa số A chia hết cho thừa số m từ suy A chia hết cho m - Viết A thành tổng hiệu số mà có tổng hiệu số dư chia hết cho m từ suy A chia hết cho m Cụ thể ta vận dụng PHƯƠNG PHÁP sau: + PHƯƠNG PHÁP 1: Nếu số A số cụ thể ta vận dụng dấu hiệu chia hết ; ; ; ; ; 11 ; để chứng minh + PHƯƠNG PHÁP 2: Nếu số A có tổng hiệu số, ta cần phân tích số A để đưa số A hiệu tích số có dấu hiệu chia hết áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) tích để chứng minh + PHƯƠNG PHÁP 3: Để chứng minh A chia hết cho p, ta xét trường hợp số dư chia A cho p + PHƯƠNG PHÁP 4: Ngồi ta dùng cách tìm chữ số tận A để chứng minh A chia hết cho số + PHƯƠNG PHÁP 5: Nếu A ⋮ m A ⋮ n, đồng thời m n hai số nguyên tố A chia hết cho tích m.n II Bài tốn Bài 1: Tìm tất cặp số cho a) b) c) d) Lời giải: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com a) Ta có Vậy căp số b) Ta có c) Ta có có cặp số d) Ta có thỏa mãn tốn hay Bài 2: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho 9, biết tổng hai số thỏa mãn điều kiện sau a) b) c) d) Là số có ba chữ số Là số chia hết cho Tổng chư x số hàng trăm chữ số hàng đơn vị số chia hết cho Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng chữ số hàng chục số chia hết cho Lời giải: Tổng hai số tự nhiên chia hết tận Mà tổng chữ số hàng trăm hàng đơn vị nên chữ số hàng trăm phải Vậy tổng hai số tự nhiên có dạng: Mà Tổng hai số là: Bài 3: Tìm chữ số a, b cho Lời giải: Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = để Xét thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Nếu ta có số Nếu ta có số Vậy: a = b = ta có số 7560 a = b = ta có số 2560 Bài 4: Biết tổng chữ số số không đổi nhân số với Chứng minh số chia hết cho Lời giải: Gọi số cho a Ta có: a 5a chia cho có số dư Vậy Bài 5: CMR số Lời giải: Ta thấy: Có Mà tổng có tổng chữ số Vậy: Bài 6: Tìm chữ số x, y cho thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com a b Lời giải: a) Để Nếu ta có số Nếu ta có số Vậy: x = y = ta có số 34156 x = y = ta có số 34452 b) = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17 x = Bài 7: Cho số N = CMR a b với b chẵn c Lời giải: a Ta có: b thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com với b chẵn c.Ta có: Bài 8: Tìm tất số có chữ số cho số gấp lần tích chữ số số Lời giải: Gọi số có chữ số Theo ta có: Thay vào (1) Bài 9: Viết liên tiếp tất số có chữ số từ 19 đến 80 ta số chia hết cho 1980 khơng ? Vì sao? Hỏi số A có Lời giải: Có Vì chữ số tận a Tổng số hàng lẻ Tổng số hàng chẵn Có Bài 10: Tổng 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 khơng? Vì sao? Lời giải: Có 46 số tự nhiên liên tiếp có 23 cặp số cặp có tổng số lẻ tổng 23 cặp không chia hết cho Vậy tổng 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46 Bài 11: Chứng tỏ số tích số tự nhiên liên tiếp thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải: Có = Mà = = (Đpcm) Dạng 2: Chứng minh biểu thức chia hết cho biểu thức I Phương pháp giải: - Biến đổi biểu thức bị chia thành tích biểu thức nhỏ có biểu thức chia hết cho biểu thức chia II Bài toán Bài 1: Cho Chứng minh rằnga) b) c) Lời giải: a) Ta có: có tổng chữ số = nên chia hết cho b) Ta có (n-2 chữ số 0) có tổng chữ số = nên chia hết cho số chẵn nên chia hết cho Vậy chia hết cho 18 c) Ta có Vì có tận suy chia hết cho 10 tận Bài 2: Cho lẻ Chứng minh rằng: b) Lời giải: Ta có Bài 4: Giả sử S(a) tổng chữ số số tự nhiên a Chứng minh a) b) Nếu a chia hết cho 9, điều ngược lại có khơng? Lời giải: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com a) Đặt b Ví dụ: Bài 5: Số tự nhiên a có 26 chữ số, người ta đổi chỗ chữ số A để số B lớn gấp lần số A Chứng minh Lời giải: Mà Và đpcm Bài 6: Viết số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 99 ta số A Số A có chia hết cho 99 khơng? Lời giải: Ta có 90 số thảo mãn toán: Tổng chữ số hàng đơn vị là: Tổng chữ số hàng chục là: Tổng chữ số A là: Bài 7: Chứng minh với n STN lẻ số Lời giải: Vì n lẻ, ta đặt thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com - Ta có hai số TN liên tiếp có số chẵn nên Lại có chia dư Dạng 3: Cho biểu thức chia hết cho m chứng minh biểu thức khác chia hết cho m I Phương pháp giải - Vận dụng tính chất: từ tìm giá trị p q thích hợp II Bài toán Bài 1: Chứng minh với a , b số tự nhiên Lời giải: Vì nên Vì nên với a với b Nên: Chứng minh tương tự ta có: ⇒ Mà với a, b với a , b số tự nhiên Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu Lời giải a, Ta có: hay Khi có Bài 3: Chứng minh rằng: a, CMR: b, Cho cmr thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải: a, Ta có: b, Ta có : Nên Bài 4: Chứng minh rằng: a, Nếu b, Nếu c, Nếu thì Lời giải: a, Ta có : b, Ta có : c, Ta có : Câu 5: Chứng minh rằng: với Lời giải thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com Ta có: tích Do số nguyên liên tiếp Câu 6: Chứng minh rằng: chia hết cho Lời giải Ta có: Vì chia hết cho 2010 (1) Vì Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh chia hết cho 2010 (2) Câu a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho cho b) Tìm số nguyên n để tổng lập phương chúng chia hết chia hết cho Lời giải a) Gọi số phải tìm , ta có chia hết cho Ta có: Vì chia hết Do vậy, b) Ta có: chia hết cho chia hết cho thuvienhoclieu.com Trang 11 thuvienhoclieu.com Hay Xét hai trường hợp: khơng có giá trị n thỏa mãn Câu 8: Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho Lời giải Gọi số phải tìm b, ta có chia hết cho Ta có: Vì chia hết Do chia hết cho chia hết cho Câu 9: Chứng minh chia hết cho với Lời giải Vì tích ba số ngun liên tiếp nên chia hết cho 3, nên chia hết cho , suy điều phải chứng minh thuvienhoclieu.com Trang 12 thuvienhoclieu.com Câu 10: Chứng minh rằng: chia hết cho Lời giải Vậy Câu 11: a) Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho b) Chứng minh với số tự nhiên Lời giải a) Ta phải chứng minh Nhận thấy với Vậy b) Vì Vậy thuvienhoclieu.com Trang 13 thuvienhoclieu.com Câu 12: Chứng minh a) chia hết cho 17 b) chia hết cho 44 Lời giải a) Ta có: chia hết cho 17 b) Ta có: chia hết cho 44 Câu 13: Chứng minh Lời giải Do tích số ngun liên tiếp chia hết cho số nguyên liên tiếp có ba số ngun liên tiếp mà tích chúng chia hết cho Suy Vậy Câu 14: Cho a, b hai số tự nhiên Biết a chia cho dư b chia cho dư Hỏi tích a.b chia cho dư bao nhiêu ? Lời giải a chia cho dư nên tồn số tự nhiên m cho (1) b chia cho dư nên tồn số tự nhiên n cho (2) Từ (1) (2) suy Suy chia cho dư thuvienhoclieu.com Trang 14 thuvienhoclieu.com Câu 15: Cho số nguyên Đặt rằng: S chia hết cho P chia hết cho Chứng minh Lời giải HD: Xét hiệu: với số nguyên a Chứng minh: Sau sử dụng tính chât chia hết tổng suy đpcm Câu 16: Chứng minh rằng: chia hết cho 45 Lời giải Chứng minh rằng: chia hết cho 45 HD: Đặt Nhận xét 45 = 5.9 mà hai số nguyên tố (1) Vậy để c/m ta cần c/m Thật vậy, (2) (Vì Mặt khác, ) Do đó, (3) Từ (1), (2) (3) suy đpcm * Chú ý: Câu 17: Chứng minh rằng: chia hết cho Lời giải Chứng minh rằng: chia hết cho Ta có: Vì nên chia hết cho (đpcm) thuvienhoclieu.com Trang 15 thuvienhoclieu.com chia hết cho Câu 18: Chứng minh: Với n số tự nhiên chẵn biểu thức: chia hết cho chia hết cho Lời giải Chứng minh: Với n số tự nhiên chẵn biểu thức: chia hết cho Ta có: Ta cần c/m: Ta có Mà ( n số chẵn ) hay Từ (1) (2) suy Và Tương tự, Mà ( n số chẵn ) Và Từ (3) (4) suy chia hết cho (đpcm) Câu 19: a)Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho b) Chứng minh với số tự nhiên Lời giải a) Ta phải chứng minh: Nhận thấy với Vậy thuvienhoclieu.com Trang 16 thuvienhoclieu.com Vậy Câu 20: Cho số tự nhiên có tổng chia hết cho Chứng minh rằng: chia hết cho Lời giải Dễ thấy Xét hiệu: tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Các hiệu chia hết cho , A chia hết cho Câu 21: Cho hai số nguyên, số thứ chia cho dư 1, số thứ hai chia cho dư Hỏi tổng bình phương chúng có chia hết cho khơng ? Lời giải Vì số thứ chia cho dư nên có dạng , số thứ hai chia cho dư nên có dạng ( Ta có tổng bình phương hai số là: Vậy tổng bình phương hai số chia hết cho Câu 22: Chứng minh chia hết cho Lời giải Ta có: Vì (1) Từ (1) (2) ta có dpcm Câu 23: Chứng minh rằng: chia hết cho 40 Lời giải thuvienhoclieu.com Trang 17 thuvienhoclieu.com Vậy A40 Câu 24: Chứng minh chia hết cho Lời giải Vì Và có chữ số tận Nên Vậy chia hết cho 10 chia hết cho 100 Câu 25: Chứng minh chia hết cho 2010 Lời giải Ta có: Vì chia hết cho 2010 (1) Vì chia hết cho Từ (1) (2) ta có đpcm Câu 26: Chứng minh rằng: a) b) chia hết cho 17 chia hết cho 44 thuvienhoclieu.com Trang 18 thuvienhoclieu.com Lời giải Ta có: Rõ ràng kết chia hết cho 17 Áp dụng đẳng thức: với n lẻ Ta có: chia hết cho 44 Câu 27: a) Chứng minh rằng: với số nguyên Lời giải Ta có: Vì n số ngun nên: chia hết cho ba số nguyên liên tiếp Do có số chia hết cho 2, số hay với số nguyên n b)Tìm số nguyên n cho: Lời giải Để Vậy Ư Câu 28: Cho số tự nhiên Chứng minh tích chia hết cho Lời giải thuvienhoclieu.com Trang 19 thuvienhoclieu.com Ta có: Ta chứng minh Thật , từ đẳng thức Đặt có chữ số tận ta có: Nếu tận Suy Từ suy Câu 30: Cho n số nguyên dương, chứng minh rằng chia hết cho 225 Lời giải Với n = ta có: Giả sử bài toán đúng với n = k tức là ta có: Ta chứng minh bài toán đúng với Thật vậy: Vậy chia hết cho 225 với mọi n là số nguyên dương Câu 31: Chứng minh chia hết cho Lời giải HẾT thuvienhoclieu.com Trang 20