Tai lieu chuyen de khoi da dien va the tich khoi da dien

CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I KHỐI ĐA DIỆN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BÀI KHỐI ĐA DIỆN I LÝ THUYẾT Khái niệm hình đa diện • Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất i Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung ii Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác • Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện • Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện Khái niệm khối đa diện • Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện • Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện  Tập hợp điểm gọi miền khối đa diện • Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện ứng với đa diện gọi điểm khối đa diện  Tập hợp điểm gọi miền khối đa diện • Mỗi khối đa diện xác định hình đa diện ứng với Ta gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… khối đa diện theo thứ tự đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngồi…của hình đa diện tương ứng • Khối đa diện gọi khối lăng trụ giới hạn hình lăng trụ • Khối đa diện gọi khối chóp giới hạn hình chóp • Khối đa diện gọi khối chóp cụt giới hạn hình chóp cụt • Tương tự ta có định nghĩa khối n − giác; khối chóp cụt n − giác, khối chóp đều, khối hộp,… • Tên khối lăng trụ hay khối chóp đặt theo tên hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn Page CHUN ĐỀ I – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Ví dụ:  Các hình khối đa diện:  Các hình khối đa diện: Một số kết quan trọng  Kết 1: Một khối đa diện có mặt  Kết 2: Mỗi hình đa diện có đỉnh  Kết 3: Cho (H) đa diện mà mặt đa giác có p cạnh Nếu số mặt (H) lẻ p phải số chẵn Chứng minh: Gọi m số mặt khối đa diện (H) Vì mặt (H) có p cạnh nên m mặt có pm cạnh Nhưng cạnh cạnh chung hai đa giác nên số cạnh (H) pm Vì m lẻ nên p phải số chẵn  Kết 4: (suy từ chứng minh kết 3): Cho (H) đa diện có m mặt, mà mặt c = pm  Kết 5: Mỗi khối đa diện có mặt tam giác tổng số mặt phải số chẵn đa giác p cạnh Khi số cạnh (H) c = Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Chứng minh:Gọi số cạnh số mặt khối đa diện c m Vì mặt có ba cạnh cạnh cạnh chung hai mặt nên ta có số cạnh đa diện 3m 3m c = (có thể áp dụng ln kết để suy c = ) 2 = 2c ⇒ 3m số chẵn ⇒ m số chẵn Suy 3m Ví dụ + Khối tứ diện ABCD có mặt mà mặt tam giác + Xét tam giác BCD hai điểm A, E hai phía mặt phẳng ( BCD ) Khi ta có lục diện ABCDE có mặt tam giác + Khối bát diện ABCDEF có mặt tam giác + Xét ngũ giác ABCDE hai điểm M , N hai phía mặt phẳng chứa ngũ giác Khi khối thập diện MABCDEN có 10 mặt tam giác  Kết 6: Mỗi khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện  Kết 7: Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung cạnh  Kết 8: Nếu khối đa diện có đỉnh đỉnh chung cạnh số đỉnh phải số chẵn Tổng quát : Một đa diện mà đỉnh đỉnh chung số lẻ mặt tổng số đỉnh số chẵn  Kết 9: Mỗi hình đa diện có cạnh  Kết 10: Khơng tồn hình đa diện ó cạnh  Kết 11: Với số nguyên k ≥ ln tồn hình đa diện có 2k cạnh  Kết 12: Với số nguyên k ≥ ln tồn hình đa diện có 2k + cạnh  Kết 13: Không tồn hình đa diện có + Số mặt lớn số cạnh + Số đỉnh lớn số cạnh  Kết 14: Tồn khối đa diện có 2n mặt tam giác Khối tứ diện có mặt tam giác Ghép hai khối tứ diện (một mặt tứ diện ghép vào mặt tứ diện kia) ta khối đa diện H có mặt tam giác Ghép thêm vào H khối tứ diện ta khối đa diện H có mặt tam giác Bằng cách ta khối đa diện 2n mặt tam giác H6 H8 Page CHUYÊN ĐỀ I – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN II Câu 1: HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Mỗi hình sau gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), số hình đa diện A B C D Câu 2: Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung mặt? A Năm mặt B Ba mặt C Bốn mặt D Hai mặt Câu 3: Lăng trụ tam giác có mặt? A B D Câu 4: Gọi n số hình đa diện bốn hình Tìm n A n = B n = C C n = Câu 5: Cho hình đa diện Tìm khẳng định sai khẳng định sau: A Mỗi đỉnh đỉnh chung ba cạnh B Mỗi đỉnh đỉnh chung ba mặt C Mỗi cạnh cạnh chung ba mặt D Mỗi mặt có ba cạnh Câu 6: Hình sau khơng phải hình đa diện? A Hình trụ B Hình tứ diện C Hình lập phương Câu 7: Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Mỗi hình đa diện có bốn đỉnh B Mỗi hình đa diện có ba đỉnh C Số đỉnh hình đa diện lớn số cạnh D Số mặt hình đa diện lớn số cạnh Câu 8: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? D n = D Hình chóp Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A Tồn hình đa diện có số cạnh số đỉnh B Tồn hình đa diện có số cạnh số mặt C Số đỉnh số mặt hình đa diện ln D Tồn hình đa diện có số đỉnh số mặt Câu 9: Cho hình đa diện Khẳng định sau sai? A Mỗi cạnh cạnh chung ba mặt B Mỗi đỉnh đỉnh chung ba cạnh C Mỗi đỉnh đỉnh chung ba mặt D Mỗi mặt có ba cạnh Câu 10: Khối lăng trụ ngũ giác có tất cạnh? A 20 B 25 C 10 D 15 Câu 11: Cắt khối trụ ABC A′B′C ′ mặt phẳng ( AB′C ′ ) ( ABC ′ ) ta khối đa diện nào? A Hai khối tứ diện khối chóp tứ giác B Một khối tứ diện hai khối chóp tứ giác C Ba khối tứ diện D Hai khối tứ diện hai khối chóp tứ giác Câu 12: Gọi n số cạnh hình chóp có 101 đỉnh Tìm n A n = 202 B n = 200 C n = 101 D n = 203 Câu 13: Hình lăng trụ có 45 cạnh có mặt? A 15 B 20 C 18 D 17 Câu 14: Tổng số đỉnh, số cạnh số mặt hình lập phương A 16 B 26 C D 24 Câu 15: Khối lăng trụ ngũ giác có mặt? B mặt A mặt D mặt C mặt Câu 16: Khối đa diện có tất mặt hình vng có đỉnh A B C 16 D 20 Câu 17: Một hình chóp có tất 2018 mặt Hỏi hình chóp có đỉnh? A 1009 B 2018 C 2017 D 1008 Câu 18: Một hình đa diện có mặt tam giác có số mặt M số cạnh C đa diện thỏa mãn hệ thức A 3C = M B C = M C 3M = 2C D 2C = M Page CHUYÊN ĐỀ I – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BÀI KHỐI ĐA DIỆN LỒI – KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU I LÝ THUYẾT Khối đa diện lồi Khối đa diện gọi khối đa diện lồi với hai điểm A B điểm thuộc đoạn thẳng AB thuộc khối đa diện E D A C B F Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi Lưu ý: Một khối đa diện khối đa diện lồi miền ln nằm phía mặt phẳng qua mặt (Hình 2.2) Cơng thức Ơ-le : Trong đa diện lồi gọi D số đỉnh, C số cạnh, M số mặt D −C + M = 2 Khối đa diện a Định nghĩa Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: + Các mặt đa giác n cạnh + Mỗi đỉnh đỉnh chung p mặt Khối đa diện gọi khối đa diện loại {n, p} b Định lý Chỉ có loại khối đa diện Đó loại {3;3} , loại {4;3} , loại {3; 4} , loại {5;3} ,loại {3;5} Tùy theo số mặt chúng, khối đa diện có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt Bảng tóm tắt loại khối đa diện Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Số Số Số Khối đa diện Loại đỉnh cạnh mặt Tứ diện {3;3} Khối lập phương 12 {4;3} Bát 12 {3; 4} Mười hai mặt 20 30 12 {5;3} Hai mươi mặt 12 30 20 {3;5} diện Chú ý: Giả sử khối đa diện loại {n, p} có D đỉnh, C cạnh M mặt: p= D 2= C nM B MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG Kết 1: Cho khối tứ diện Khi đó: + Các trọng tâm mặt đỉnh tứ diện đều; + Các trung điểm cạnh đỉnh khối bát điện (khối tám mặt đều) Kết 2: Tâm mặt khối lập phương đỉnh bát diện Kết 3: Tâm mặt bát diện đỉnh hình lập phương Kết 4: Hai đỉnh bát diện gọi hai đỉnh đối diện chúng không thuộc cạnh khối Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đường chéo khối bát diện Khi đó: + Ba đường chéo cắt trung điểm đường; + Ba đường chéo đơi vng góc với nhau; + Ba đường chéo Page CHUYÊN ĐỀ I – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN II Câu HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng SA vng góc với ( ABCD ) Hình chóp có mặt đối xứng nào? A Khơng có B ( SAB ) C ( SAC ) D ( SAD ) Câu Hình đa diện khơng có tâm đối xứng? Câu A Tứ diện B Bát diện C Hìnhlập phương D Lăng trụ lục giác Gọi n1 , n2 , n3 số trục đối xứng khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác khối lập phương Mệnh đề sau đúng? A n1  0, n2  0, n3  B n1  0, n2  1, n3  C Câu D n1  3, n2  1, n3  n1  0, n2  1, n3  Cho hình lập phương ABCD.A B C D  tâm O (tâm đối xứng) Ảnh đoạn thẳng A′B qua phép đối xứng tâm A DC ′ DO đoạn thẳng B CD′ C DB′ D AC ′ Câu Trung điểm cạnh tứ diện A Các đỉnh hình tứ diện C Các đỉnh hình mười hai mặt Câu Chọn khẳng định khẳng định sau: A Tâm tất mặt hình lập phương tạo thành hình lập phương B Tâm tất mặt hình tứ diện tạo thành hình tứ diện C Tâm tất mặt hình tứ diện tạo thành hình lập phương D Tâm tất mặt hình lập phương tạo thành hình tứ diện B Các đỉnh hình bát diện D Các đỉnh hình hai mươi mặt Page CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN III Câu 1: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP (Đề Tham Khảo 2017) Hình đa diện hình vẽ có mặt? A 12 Câu 2: B 11 C D 10 C 20 D 16 C Năm D Mười Hình đa diện sau có cạnh? A 15 B 12 Câu 3: Hình chóp ngũ giác có mặt? A Bảy B Sáu Câu 4: Trong khối đa diện, mệnh đề sau đúng? A Hai cạnh có điểm chung B Ba mặt có đỉnh chung C Hai mặt có điểm chung D Mỗi đỉnh đỉnh chung ba mặt Câu 5: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Tồn hình đa diện có số đỉnh số mặt B Số đỉnh số mặt hình đa diện ln C Tồn hình đa diện có số cạnh số mặt D Tồn hình đa diện có số cạnh số đỉnh Câu 6: Hình sau khơng phải hình đa diện? A Hình lăng trụ B Hình chóp Câu 7: Cho mệnh đề sau: I/ Số cạnh khối đa diện lồi lớn II/ Số mặt khối đa diện lồi lớn C Hình lập phương D Hình vng III/ Số đỉnh khối đa diện lồi lớn Trong mệnh đề trên, mệnh đề mệnh đề đúng? A II III B I II C Chỉ I Câu 8: D Chỉ II Cho khối đa diện Khẳng định sau sai? A Số đỉnh khối lập phương B Số mặt khối tứ diện Page CHUYÊN ĐỀ I – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN C Khối bát diện loại {4;3} D Số cạnh khối bát diện 12 Câu 9: Có tất khối đa diện A B C D Câu 10: Số cạnh hình 12 mặt là: A 20 B 30 C 16 D 12 C Hình D Hình C Lập phương D Tứ diện C D 10 Câu 11: Hình khơng phải hình đa diện? A Hình Câu 12: Câu 13: B Hình Khối đa diện loại {3;5} khối A Hai mươi mặt B Tám mặt Hình vẽ bên có mặt A B Câu 14: Biết ( H ) đa diện loại {3;5} với số đỉnh số cạnh a b Tính a − b 18 A a − b = Câu 15: B a − b =−8 C a − b =−18 10 D a − b = Gọi n số hình đa diện bốn hình Tìm n A n = B n = C n = D n = Câu 16: Khối đa diện loại {4;3} là: A Khối tứ diện B Khối lập phương C Khối bát diện D Khối hộp chữ nhật Câu 17: Khối đa diện sau có mặt khơng phải tam giác ? A Tám mặt B Tứ diện C Mười hai mặt D Hai mươi mặt Câu 18: Số hình đa diện lồi hình Page 10 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VSOGC SG 2 a3 a3 = = ⇒ VSOGC = VSOIC = = Khi đó: VSOIC SI 3 24 36 Câu 84: Cho khối hộp ABCD A′B′C ′D′ tích V Lấy điểm M thuộc cạnh AA′ cho MA = MA′ Thể tích khối chóp M ABC A V B V V 18 Lời giải C D V Chọn B Thể tích hình hộp V = B h Gọi diện tích tam giác ABC B′ , ta có: B′ = B Gọi A′H đường cao hạ từ A′ xuống mặt phẳng đáy: A′H ⊥ ( ABCD ) H , đặt h = A′H MK MA = = A′H A′A 1 Gọi V thể tích hình chóp M ABC , ta có: = B= h V′ B ′ h′ = 3 Dựng MK ⊥ ( ABCD ) K , ta có MK //A′H có tỉ số ( gt ) ⇒ h′ =h V B h = 9 Câu 85: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' tích V Gọi M trung điểm BB ' , điểm N thuộc cạnh CC ' cho CN  2C ' N Tính thể tích khối chóp A.BCMN theo V 7V 7V 5V V A VA BCMN  B VA BCMN  C VA BCMN  D VA BCMN  12 18 18 Lời giải Chọn B Cách 1: Page 61 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1 Ta có: VB ' BAC  d ( B ', ( ABC )).SABC  V 3 Theo cơng thức tỷ số thể tích: Ta có: BB '  BM  VB.MAC BM 1 1 V    VB.MAC  VB B ' AC  V  VB B ' AC BB ' 2 3 NC  BM  NC BM d (C , BB ')   NC.d ( M , CC ')  SBMC SNMC  S BCNM V 7     A BCNM  3 SBMC VA BMC 7 V 7V Vậy: VA BCNM  VA BMC   3 18 Cách 2: Gọi h, k độ dài đường cao hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' hình chóp A.BCMN , S diện tích tam giác ABC  độ dài đường cao hình chóp M ABC là: h hS h (1) VMABC  S  h hS Mặt khác: VMABC  S  k SBCM  k SBCM  3 Ta có SMNC  4 SBCM (vì tam giác MNC BCM có chiều cao CN  BM ) 3 1 4 hS 2hS VAMNC  k SMNC  k SBCM  k SBCM  (2)  3 9 Page 62 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Từ (1) (2) ta có: VA BCMN  VMABC  VAMNC  hS 2hS hS 7V    18 18 = CSA = 60°, SA = a, SB = 2a, SC = 4a Tính thể tích Câu 86: Cho khối chóp S ABC có  ASB= BSC khối chóp S ABC theo a A 8a B 2a C Lời giải 4a D a3  SM  SB = Lấy M ∈ SB, N ∈ SC thoả mãn: SM = SN = SA = a⇒  SN =  SC   ASB = BSC = CSA = 600 ⇒ S AMN khối tứ diện cạnh a Theo giả thiết:  Do đó: VS AMN Mặt khác : a3 = 12 VS AMN SM SN 1 2a = = = ⇒ VS ABC = 8VS AMN = VS ABC SB SC    Câu 87: Cho khối chóp S ABC có góc ASB= BSC= CSA= 60° SA = , SB = , SC = Thể tích khối chóp S ABC A 2 B C Lời giải D Page 63 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN S C′ A O M B′ C B Gọi B′ SB cho SB′ = SB C ′ SC cho SC ′ = SC = SB =′ SC =′ ⇒ S AB′C ′ khối tứ diện Khi SA Ta có: AM = Nên SO = = SA2 − AO = Khi = VS AB′C ′ Mà ta lại có: ⇒ AO= 2 AM= 3 S AB′C ′ = 2 = S AB′C ′ SO 3 VS ABC SA SB SC = = ⇒ VS ABC = 3VS AB′C ′ = 2 VS AB′C ′ SA SB′ SC ′ Cách khác: VS ABC = SA.SB.SC  − cos CSB  + 2cos   cosCSB  ASB − cos BSC ASB.cos.BSC = 2 − cos  Câu 88: Cho khối tứ diện ABCD tích 2017 Gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác ABC , ABD , ACD , BCD Tính theo V thể tích khối tứ diện MNPQ A 2017 B 4034 81 C Lời giải 8068 27 D 2017 27 Page 64 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A N P M B E Q D F C G VAEFG S EFG 1 = = ⇒ VAEFG = VABCD VABCD S BCD 4 ( Do E , F , G trung điểm BC , BD, CD ) VAMNP SM SN SP 8 = = ⇒ VAMNP= VAEFG= VABCD= VABCD VAEFG SE SE SG 27 27 27 27 Do mặt phẳng ( MNP ) // ( BCD ) nên = VQMNP Câu 89: VQMNP VAMNP 1 =⇔ VQMNP = VAMNP 2 2017 = VABCD = VABCD 27 27 27 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA = a SA vng góc với đáy Gọi M trung điểm SB , N điểm thuộc cạnh SD cho SN = ND Tính thể tích V khối tứ diện ACMN 1 1 B V = a C V = a D V = a A V = a 12 36 Lời giải = VS ABCD Cách Ta có a3 = SA.S ABCD 3 1   a3 VNDAC = NH S ∆DAC a  a  = = 3   18 VMABC = 1 a   a3 MK S ∆ABC  a  = = 3   12 a3 d ( A, ( SMN ) ) S ∆SMN = 18 Suy= VNSAM 1  a  a3 NL.S ∆SAM a  a  = = 3  2  18 = Mặt khác VC SMN 1 a3 d ( C , ( SMN ) ) S ∆SMN = d ( A, ( SMN ) ) S ∆SMN = 3 18 Vậy VACMN = VS ABCD − VNSAM − VNADC − VMABC − VSCMN = a3 a3 a3 a3 a3 − − − − = a 18 18 12 18 12 Page 65 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN S M L A N B O D K H C Cách Gọi O giao điểm AC BD a3 = VS ABCD = SA.S ABCD Vì OM //SD nên SD // ( AMC ) Ta có 3 Do d= ( D; ( AMC ) ) d ( B; ( AMC ) ) ( N ; ( AMC ) ) d= ⇒ VACMN = VN MAC = VD.MAC = VB.MAC = VM BAC = (do d ( M ; ( ABC ) ) = a3 VS ABCD = 12 1 d ( S ; ( ABC ) ) S ∆ABC = S ABCD ) 2 Câu 90: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA = 2a Gọi B′; D′ hình chiếu vng góc A cạnh SB, SD Mặt phẳng ( AB′D′ ) a3 A cắt cạnh SC C ′ Tính thể tích khối chóp S AB′C ′D′ 16a B 45 Ta có VS AB′C ′D′ = 2VS AB′C ′ (1) mà a3 C Lời giải D 2a VSAB′C ′ SB′ SC ′ = ( *) VSABC SB SC Page 66 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ( ∆SAC vuông A nên SC =SA2 + AC =( 2a ) + a 2 ) =6a suy SC = a Ta có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB′ SB ⊥ AB′ suy AB′ ⊥ ( SBC ) nên AB′ ⊥ BC Tương tự AD′ ⊥ SC Từ suy SC ⊥ ( AB′D′ ) ≡ ( AB′C ′D′ ) nên SC ⊥ AC ′ SC ′ SA2 ′ Mà SC SC = SA suy = = SC SC SB′ SA2 SA2 4a = = = = SB SB SA2 + AB 4a + a Từ (*) ⇒ 4a 2 = Ta có 6a VSAB′C ′ 8 8 = VSAB′C ′ = VSABC = VSABCD VSABCD mà suy ra= VSABC 15 15 15 30 2a = VSABCD = S ABCD SA 3 VSAB′C ′ Suy ra= a 8a = 30 45 2= VS AB′C ′ Từ (1) suy V= S AB′C ′D ′ 16a 45 Câu 91: Cho tứ diện ABCD có cạnh Trên cạnh AB CD lấy điểm M      N cho MA + MB = NC = −2 ND Mặt phẳng ( P ) chứa MN song song với AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh A tích V Tính V A V = 18 B V = 11 216 C V = Lời giải 216 D V = 108 Từ N kẻ NP //AC , N ∈ AD M kẻ MQ //AC , Q ∈ BC Mặt phẳng ( P ) MPNQ = Ta có VABCD = AH S ABCD 12 V = VACMPNQ = VAMPC + VMQNC + VMPNC Page 67 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Ta có VAMPC = AM AP VABCD = VABCD = VABCD 3 AB AD = VMQNC 1 CQ CN 11 = VAQNC VABCD = = VABCD VABCD 2 CB CD 22 = VMPNC 2 AM 11 VABCD = VMPCD VMACD = = VABCD = VABCD 32 3 3 AB 11 11 1 1 = V V= Vậy V =  + +  VABCD ⇒ ABCD 18 216 3 9 Câu 92: Cho hình chóp tứ giác S ABCD đáy hình bình hành tích V Lấy điểm B′ , D′ trung điểm cạnh SB SD Mặt phẳng qua ( AB′D′ ) cắt cạnh SC C ′ Khi thể tích khối chóp S AB′C ′D′ A V B 2V V3 Lời giải C D V Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD SO ∩ B′D′ = H Khi H trung C ′ AH ∩ SO điểm SO = Trong mặt phẳng ( SAC ) : Ta kẻ ( d ) //AC AC ′ cắt ( d ) K Khi áp dụng tính đồng dạng tam giác ta có: SC ′ = SC Vì V= V= S ABD S BCD SK SK SC ′ OH OA = = ⇔ = ; ⇒ SK = OA ⇒ = = AC AC CC ′ SH SK V SA SB′ SD′ 1 V nên ta có S AB′D′ = ⋅ ⋅ = ⇔ VS AB′D′ = V VS= ABCD VS ABD SA SB SD 2 VS B′C ′D′ SB′ SC ′ SD′ SC ′ SC ′ V = ⋅ ⋅ =⋅ ⇔ VS B′C= ⋅ ′D ′ VS BCD SB SC SD SC SC Suy VS AB′C ′D′ = VS AB′D′ + VS B′C ′D′ = SC ′ V V  SC ′  V ⋅ = V+ 1 + = SC 8  SC  Page 68 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Câu 93: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy, SA = a Một mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB , SD , SC B′ , D′ , C ′ Thể tích khối chóp S AB′C ′D′ là: A V = 2a 3 B V = 2a C V = Lời giải a3 D V = 2a 3 S C' D' B' D A O B C a3 Ta có: VS ABCD = a a = 3 Ta có AD′ ⊥ ( SDC ) ⇒ AD′ ⊥ SD ; AB′ ⊥ ( SBC ) ⇒ AB′ ⊥ SB Do SC ⊥ ( AB′D′ ) ⇒ SC ⊥ AC ′ Tam giác S AC vuông cân A nên C ′ trung điểm SC SB′ SA2 2a 2 = = = Trong tam giác vng S AB′ ta có SB SB 3a VS AB′C ′D′ VS ABCD = VS AB′C ′ + VS AC ′D′  SB′ SC ′ SD′ SC ′  SB′ SC ′ 1 =  + = = =  SB SC SD SC  SB SC 3 VS ABCD Vậy VS AB′C ′D′ = a3 Câu 94: Cho khối tứ diện ABCD tích V Gọi M , N , P , Q trung điểm AC , AD , BD , BC Thể tích khối chóp AMNPQ A V B V V Lời giải C D V Page 69 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VBPMQ Ta có VAMNPQ = 2VAPMQ (do MNPQ hình thoi), AB // MQ ⇒ VAPMQ = d ( D, ( ABC ) ) , đồng thời 1 = d ( D, ( ABC ) ) S ABC Mặt khác P trung điểm BD nên d ( P, ( ABC ) ) = 1 d ( P, ( ABC ) ) S BQM S ABC ⇒ VBPMQ = 1 V V = d ( D, ( ABC ) ) S ABC = ⇒ VAMNPQ = 8 S BQM = Câu 95: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA = a SA vng góc với đáy Gọi M trung điểm SB , N thuộc cạnh SD cho SN = ND Tính thể tích V khối tứ diện ACMN 1 1 A V = a3 B V = a3 C V = a3 D V = a3 36 12 Lời giải Cách 1: Phân rã hình: a3 Thể tích khối chóp S ABCD là: V = ⋅ a = 3 Page 70 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Thể tích tứ diện SMNC là: VSMNC = 2 1 ⋅ VS BDC = ⋅ ⋅ V = V 3 2 1 Thể tích tứ diện NACD là: VNADC =⋅ V = V 1 Thể tích tứ diện MABC là: VMABC = ⋅ V = V 2 Thể tích tứ diện SAMN là: VSAMN = 2 1 ⋅ VS BDC = ⋅ ⋅ V = V 3 2 VS ABCD Mặt khác ta có: VSMNC + VNACD + VMABC + VSAMN + VAMNC = 1  a3 1 Suy VAMNC = V − (VSMNC + VNACD + VMABC + VSAMN ) = V − V + V + V + V  = V = 6  12 6 Câu 96: Cho khối hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ tích 2110 Biết A′M = MA , DN = ND′ , CP = 2C ′P hình vẽ Mặt phẳng ( MNP ) chia khối hộp cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ Page 71 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A 5275 B 8440 C Lời giải 7385 18 D 5275 12 Gọi Q giao điểm mặt phẳng ( MNP ) với BB′ Giả sử B′Q A′M C ′P D′N = t Khi x + y = z + t = x, = y, = z, BB′ AA′ CC ′ DD′ VA′B′D′.MQN VA′B′D′ ABD VC ′B′D′ PQN VC ′B′D′.CBD ⇒ = V ′ ′ ′ x+ z +t x+ z +t ⇒ A B D MQN = VA′B′C ′D′ ABCD = VC ′B′D′.PQN y+ z +t y+ z +t ⇒ = VA′B′C ′D′ ABCD VMNPQ A′D′C ′B′ VABCD A′D′C ′B′ = ( x + y) VMNPQ A′D′C ′B′  A′M C ′P   1  = + =  + =   VABCD A′D′C ′B′  AA′ CC ′    12 ⇒ VMNPQ A′D′C ′B=′ 5275 VABCD A′D′C ′B=′ 12 Câu 97: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Gọi E điểm cạnh SC cho EC = ES Gọi (α ) mặt phẳng chứa AE song song với BD , (α ) cắt SB, SD hai điểm M , N Tính theo V thể tích khối chóp S AMEN A 3V B V C 3V 16 D V Lời giải Page 72 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Gọi G giao điểm AE SO Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SOC ta có: ⇒ AC GO ES GO =1 ⇒ =1 AO GS EC GS SM SN SG ⇒ = = = SB SD SO Ta có: VS AMEN VS AME V 1 1 1 = + S AEN = + = V 2VS ABC 2VS ACD 2 2 Vậy VS AMEN = V Câu 98: Cho khối hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ tích 2110 Biết A′M = MA ; DN = ND′ ; CP = PC ′ Mặt phẳng ( MNP ) chia khối hộp cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ D′ A′ C′ B′ N P M C D B A A 7385 18 B 5275 12 C Lời giải 8440 D′ A′ 5275 C′ B′ N D P M Q C D A B Page 73 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Ta có: VMNPQ A′B′C ′D′ VABCD A′B′C ′D′ =  A′M C ′P   1  +  =  + =  A′A C ′C    12 5 5275 Vnho = VMNPQ A′B′C ′D′ = VABCD A′B′C ′D′ = ⋅ 2110 = 12 12 Câu 99: Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ tích 2018 Gọi M trung điểm AA′ ; N , P điểm nằm cạnh BB′ , CC ′ cho BN = B′N , CP = 3C ′P Tính thể tích khối đa diện ABC.MNP 32288 4036 40360 23207 B C D A 27 27 18 Lời giải Ta có VABC MNP  AM BN CP  23 23207 =  + + = Vậy VABC MNP =  VABC A′B′C ′  AA′ BB′ CC ′  36 18 Câu 100: Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ tích 6a Các điểm M , N , P thuộc AM BN CP = , = = cạnh AA′ , BB′ , CC ′ cho Tính thể tích V ′ đa diện AA′ BB′ CC ′ ABC.MNP 11 11 11 a A V ′ = B V ′ = a C V ′ = a D V ′ = a 16 27 18 Lời giải Lấy điểm Q ∈ AA′ cho PQ //AC Ta có MQ = AQ − AM = AA′ Page 74 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Dễ thấy VABC MNP = VABC A′B′C ′ , VM QNP = VABC A′B′C ′ 12 Vậy V ′ = VABC MNP − VM QNP = 11 11 V = a3 18 Page 75