Tai lieu chuyen de so phuc

CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC I IV SỐ PHỨC LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA o Một số phức biểu thức dạng z  a  bi với a, b   i  1 o i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo số phức z  a  bi Tập hợp số phức kí hiệu      a  bi / a, b  ; i  1 o Chú ý: - Khi phần ảo b   z  a số thực - Khi phần thực a   z  bi  z số ảo - Số   0i vừa số thực, vừa số ảo a  c  o Hai số phức nhau: a  bi  c  di   với a, b, c, d   b  d  o Hai số phức z  a  bi; z  a  bi gọi hai số phức đối SỐ PHỨC LIÊN HỢP Số phức liên hợp z  a  bi với a, b   a  bi kí hiệu z Một số tính chất số phức liên hợp: a) z  z b) z  z '  z  z ' c) z z '  z z ' z  z d)     z   z  c) z  z '  z  z ' z số thực  z  z ; z số ảo  z  z BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox trục thực, Oy trục ảo ), số phức z  a  bi với a, b   biểu diễn điểm M a;b  Page CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC MODULE CỦA SỐ PHỨC o Môđun số phức z  a  bi a, b    z  a  b o Như vậy, môđun số phức z z khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức  z  a  bi a, b    đến gốc tọa độ O mặt phẳng phức là: OM  a  b  zz o Một số tính chất mơđun:  z  0; z   z  0;  z  z , z  z , z  z  z1  z  z1 + z  z  z '  z z '  z  z '  z 1.z  z z  z1 z2  z1 z2 CÁC PHÉP TOÁN VỚI SỐ PHỨC: CỘNG – TRỪ – NHÂN – CHIA SỐ PHỨC Cho hai số phức z  a  bi ; z '  a ' b ' i với a, b, a ', b '   số k   o Tổng hai số phức: z  z '  a  a ' (b  b ')i o Hiệu hai số phức: z  z '  a  a ' (b  b ')i o Số đối số phức z  a  bi z  a  bi   o Nếu u, u ' theo thứ tự biểu diễn số phức z, z '   u  u ' biểu diễn số phức z  z '   u  u ' biểu diễn số phức z  z ' o Nhân hai số phức: z z '  a  bi a ' b ' i   a.a ' b.b '  a.b ' a '.b  i o Số phức nghịch đảo: z 1  z z o Chia hai số phức: Nếu z  z ' z '.z  , nghĩa muốn chia số phức z ' cho số phức z z tử mẫu thương z  ta nhân z' cho z z  Chú ý: i 4k  1; i 4k 1  i; i 4k 2  1; i 4k 3  i (k  ) CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC Page CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z  w gọi thức bậc w Mỗi số phức w  0 có hai bậc hai hai số phức đối ( z – z ) o Trường hợp w + Khi a > số thực ( w  a   ) w có hai bậc hai a  a + Khi a < nên a  (a )i , w có hai bậc hai a i  a i Ví dụ: Hai bậc −1 i –i Hai bậc a (a  0) ,  o Trường hợp w  a  bi (a, b  ;b  0) Cách 1: Gọi z  x  yi (x , y  ) bậc w z  w , tức là: (x  yi )2  a  bi x  y  a    x  ; y   2xy  b  ( ) Mỗi cặp số thực x ; y nghiệm hệ phương trình cho bậc hai z  x  yi số phức w  a  bi Cách 2: Có thể biến đổi w thành bình phương tổng, nghĩa w  z Từ kết luận bậc hai w z - z PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC Cho phương trình bậc 2: Az  Bz  C  (1) A, B,C số phức A ≠ Xét biệt thức   B  4AC o Nếu   phương trình (1) có nghiệm phân biệt: z1  B   ; 2A z2  B   2A Trong  bậc  o Nếu   phương trình (1) có nghiệm kép: z1  z  B 2A CHÚ Ý: o Mọi phương trình bậc n: A0z n  A1z n 1   An 1z  An  ln có n nghiệm phức (không thiết phân biệt) o Hệ thức Vi-ét phương trình bậc số phức hệ số thực: Cho phương trình bậc : Az  Bz  C  (A, B,C  ; A  0) có nghiệm phân   S  z  z  B  A biệt (thực phức) Ta có:   C P  z z    A   II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN Page CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỔNG QUÁT o Bước 1: Gọi số phức z cần tìm z  a  bi a, b    o Bước 2: Biến đổi theo điều kiện cho trước đề (thường liên quan đến mơđun, biểu thức có chứa z, z, z , ) để đưa phương trình hệ phương trình ẩn theo a b nhờ tính chất số phức ( phần thực phần ảo ), từ suy a b suy số phức z cần tìm Câu Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp tính mơđun số phức z : b) z  2  4i 5  2i   a ) z  2  4i   2i 1  3i   5i 2i Câu Cho số phức z   2i Tìm mơđun số phức w  zi  z 1  2i     Câu Tìm phần thực, phần ảo số phức sau:   i   i   1  i    1  i  20 Câu Tính S  1009  i  2i  3i   2017i 2017 Câu Cho số phức z   Câu Tìm số z  cho: z  (2  i )z   5i Câu Tìm số phức Câu Cho  1  i Tính w  1  z 1  z 1  z  1  z 2017  z thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: z  (2  i )  10 _ z z số phức liên hợp z Biết z z    z  z  Tìm z Câu Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z   2i  z   4i Câu 10 Cho số phức z có môđun 2018 Môđun số phức w w z z  25 z  2i z i số ảo số phức thỏa mãn biểu thức 1   z w z w bằng? Câu 11 Cho số phức z, w khác cho z  w  z  w Phần thực số phức u  Câu 12 Tính mơđun số phức z biết z  z z ? w có phần thực z z Page CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI VỀ SỐ PHỨC Để thực phép toán tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX cách bấm w2 o Bấm đơn vị ảo i cách bấm phím b o Tính mơđun số phức bấm qc o Để bấm số phức liên hợp z bấm q22để Conjg (liên hợp) PHÉP CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA Câu Tính z   i  (3  2i ) Ta bấm phím sau: Và ta kết là: Hướng dẫn: 1+bp(3+2b) Câu Tính z  (1  3i )(3  4i ) Hướng dẫn: Ta bấm phím tương tự ta thu kết sau: Câu Tính z  (2  i)  3i  7i Hướng dẫn: Ta nhập biểu thức z  (2  i)  3i vào máy ta thu  7i kết quả: Câu Cho số phức z  a  bi Số phức z có phần ảo : A a 2b • B 2a 2b C 2ab D ab Hướng dẫn: Vì đề cho dạng tổng quát nên ta tiến hành “cá biệt hóa” tốn cách chọn giá trị cho a, b (lưu ý nên chọn giá trị lẻ để tránh xảy trường hợp đặc biệt) Chọn a  1.25 b  2.1 ta có z  1.25  2.1i • Sử dụng máy tính Casio tính z + Vậy phần ảo b ) d = 21 Page CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC • 21 đáp án xác Ta có : Xem đáp số có giá trị Vậy 2ab  21  Đáp án C xác Câu Cho số phức z  a  bi Số phức z 1 có phần thực : b D a  b a  b2 Hướng dẫn:  Vì đề mang tính chất tổng quát nên ta phải cá biệt hóa, ta chọn a  1;b  1.25 A a  b 1  Với z  B a a  b2 C 2 Sử dụng máy tính Casio z a R + b = Ta thấy phần thực số phức z 1 : 16 giá trị dương Vì ta 41 chọn b  a  nên ta thấy đáp số C D sai Thử đáp số A có a  b   1.25   Câu Cho số phức z   i A 211 16  đáp số A sai  Đáp án xác B 41   1  i    1  i  Phần thực số phức 22 B 211  C 211  Hướng dẫn:   z : D 211 Dãy số cấp số nhân với U   i , số số hạng 21 công bội  i Thu gọn z ta n  1  i  : z  U 1  q  1  i  1q  1  i  21  Sử dụng máy tính Casio tính z (1+b)dOa1p(1+b)^21R1p(1+b)= Vậy z  2050  2048i  Phần ảo số phức z 2050  211   Đáp số xác C TÍNH MƠĐUN Câu Tìm mơđun số phức (1  2i )z  2i  6 Page CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC Hướng dẫn: (1  2i )z  2i  6  z  z  6  2i Nên ta thực bấm sau:  2i qcap6p2bR1p2b= Ta thu kết quả:  4i  2(1  i )3  Câu Tìm số phức   2.z1.z2 Biết z1   3i  (1  i )3, z2  1i Hướng dẫn: - Tính z   3i  (1  i )3 lưu vào biến A: 4p3b+(1pb)^3qJz  4i  2(1  i )3 lưu vào biến B 1i a2+4bp2(1pb)^3R1+bqJx - Tính z2  - Tính   2.z1.z2 : 2q22q22Qz)OQx)= Page CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Câu Tìm mơđun số phức A z  z thỏa mãn: 1  3i  z  3i  7i  B z  C z  D z  Hướng dẫn: Ta chuyển z dạng: z  7i   3i tìm mơđun  3i Quy trình bấm máy: Qca7bp2p3bR1p3b= Màn hình hiển thị: >>> Chọn C Câu Cho số phức w A z thỏa mãn (3  i )(z  1)  (2  i )(z  3i )   i Tìm môđun số phức i z 1z 82 B 82 C 82 D 82 Hướng dẫn: Ở cho phím X đại diện cho số phức z Đây phương trình bậc số phức Bước 1: Các em nhập lại phương trình với máy tính sau: (3  i )(X 1)  (2  i )(C onjg(X )  3i )  (1  i ) (3pb)(Q)+1)+(2pb)(q22Q))+3b)p(1pb) Màn hình hiển thị: Bước 2: Tìm số phức z  a  bi nghĩa tìm a b Ta cho trước a=10000 b=100 từ suy ngược lại mối quan hệ a b hệ phương trình ẩn theo a b, lúc tìm a b Cho z  10000  100i cách nhập r10000+100b= Màn hình cho kết quả: Nghĩa là: (3  i )(z  1)  (2  i )(z  3i )  (1  i )  50005  19894i  5a   (2a  b  6)i Cho nên: (3  i )(z  1)  (2  i )(z  3i )  (1  i )   5a   5a        a  1, b   z  1  8i 2a  b    2a  b    Page CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC Từ tính mơđun w : >>> Chọn B Câu Cho số phức z  a  bi thỏa mãn điều kiện ( − 3i ) z + ( + i ) z = − (1 + 3i ) Tìm P  2a  b B 1 A    C Giải:     Phương trình   3i z   i z   3i  Nhập vế trái vào máy tính Casio CALC với X  1000  100i D Đáp án khác 0 ( p b ) Q ) + ( + b ) q 2 Q ) + ( + b ) d r 0 + 0 b = ) Vậy vế trái  6392  2194i với 6392  6.1000  4.100   6a  4b    2194  2.1000  2.100   2a  2b   6a  4b     Để vế trái    a  2;b  2a  2b    Vậy z  2  5i  P  2a  b   Đáp số xác C Page CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC BIỄU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC Câu Các điểm M , N , P điểm biểu diễn cho số phức z  4i ; z  1  i 1  2i  i 1 ; z  1  2i A Tam giác vuông • Rút gọn z Casio a B.Tam giác cân C.Tam giác vuông cân D.Tam giác Hướng dẫn: b R b p = Ta z   2i điểm M 2; 2 • Rút gọn z Casio ( p b ) ( + b ) = Ta z   i điểm N 3;1 Tương tự z  1  2i điểm P 1;2 • Để phát tính chất tam giác MNP ta nên biểu diễn điểm M , N , P hệ trục tọa độ Dễ thấy tam giác MNP vuông cân P  đáp án C xác Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M điểm biểu diễn số phức z   4i , điểm M ' điểm biểu diễn số phức z '  1i z Tính diện tích OMM ' Page 10 CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC Câu 62: Cho z1 , z2 nghiệm phương trình − 3i + iz = z − − 9i thỏa mãn z1 − z2 = Giá trị lớn z1 + z2 A 56 28 B C D Lời giải x1 + y1i, z2 = x2 + y2i , với x1 , y1 , x2 , y2 ∈  Gọi z1 = 8 Do z1 − z2 =⇒ ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) i =⇒ 5 Gọi M ( x1 ; y1 ) , M ( x2 ; y2 ) ⇒ M 1M = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) 2 = = Mà z1 nghiệm phương trình − 3i + iz = z − − 9i ( x1 − ) + ( y1 − ) i ⇒ ( − y1 ) + ( x1 − 3) i= ⇒ ( − y1 ) + ( x1 − 3)= 2 ( x1 − ) + ( y1 − ) 2 ⇔ x12 + y12 − x1 − y1 + 24 = ⇒ M ( x1 ; y1 ) ∈ đường tròn (C ) : x + y − x − y + 24 = Tương tự M ( x2 ; y2 ) ∈ ( C ) Đường trịn (C ) có tâm I ( 3; ) , bán kính R = Goị M trung điểm M 1M 2 4 ⇒ IM ⊥ M 1M , IM =R − M 1M =1 −   =, 5 2 z1 + z2 = 2OM Mà OM ≤ OI + IM , dấu xảy O, I , M thẳng hàng Khi OM ⊥ M 1M , OM =OI + IM = 28 ⇒ z1 + z2 đạt giá trị lớn ( OI + IM ) , 56 Page 48 CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC Hoặc đánh giá chọn đáp án sau: Gọi N ( − x2 ; − y2 ) ⇒ NM = ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) 2 = z1 + z2 Và N đối xứng với M qua gốc tọa độ O , N ∈đường tròn (C1 ) : x + y + x + y + 24 = (C1 ) có tâm I1 ( −3; −4 ) , bán kính R1 = , (C1 ) đối xứng với ( C ) qua gốc tọa độ O Có I1 I = 10 ⇒ I1 I − R − R1 = Nhận xét: với điểm M ∈ ( C ) , N ∈ ( C1 ) M N ≥ I1 I − R − R1 Loại đáp án B,C,D ⇒ z1 + z2 = M N đạt giá trị lớn 56 z Câu 63: Cho số phức z w thỏa mãn ( − i )= z + − i Tìm giá trị lớn T= w + i w −1 Page 49 CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC A B z ( − i )= C D Lời giải z z z = z − + (1 − z ) i ⇒ +1− i ⇔ = w −1 w −1 w −1 ( z − 1) + (1 − z ) 2 Đặt t = z ; t > trở thành: t = w −1 = ⇔ w −1 ( 3t − 1) + (1 − t ) = 10 − + t t ⇔ w −1 = 1  2 − 2 + t  Ta có: w + i ≤ w − + + i ≤ ≤ t 10t − 8t + ; ∀t > + ⇒ w+i ≤ 2  t z= =    z = i Dấu = xảy ⇔  w − 1= k (1 + i ) ⇒    w= + i   w+i = 2  Vậy: Giá trị lớn T = 2 Câu 64: Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z + + i + z − 3 + 2i + z − 3i B A 12 ( ) ( Gọi M ( x; y ) , F1 − 2; , F2 − 2, C Lời giải D 10 ) 2; , điểm biểu diễn cho số phức z= x + yi , Page 50 CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC Có z − + z + = , có > F1F2 = 2 ⇔ MF1 + MF2 = Suy M ( x; y ) chạy ( E ) có tiêu cự 2c = 2 , độ dài trục lớn 2a = , độ dài trục nhỏ x y2 + = 2b = phương trình tắc ( E )  3≤x≤ − Có M ( x; y ) ∈ ( E ) ⇒  −1 ≤ y ≤ Có P = z + + i + z − 3 + 2i + z − 3i ≥ = ( ≥ ( x + ) + ( y + 1) + (3 x+2 ) 2 (x + +3 − x ( + ( y + 1) + x −3 ) + ( y + 3) 2 3−x ) + ( y + 2) ) + ( y + 2) 2 + x + ( y − 3) + ( y − 3) + y − (1) y + 12 y + 84 + − y = Đặt f (= y ) y + 3y + 21 + − y , với −1 ≤ y ≤ Có f ′ ( y ) = 2y + y + 3y + 21 −1 () f ′ ( y ) = ⇔ y + 3y + 21 = y + ,  y = ( nhaän ) 0⇔ Có −1 ≤ y ≤ ⇒ (1) ⇔ 3y + y − 12 =  y = −4 ( loại ) Có f ( −1) = + 19 , f (1) = 12 Suy Min f ( y= ) 12 ⇒ P ≥ 12 y∈ −1;1 = x 0,= y  Đẳng thức (1) xảy  x + y + ⇒ x= 0, y= = >  3 − x y + Thử lại: Khi= x 0,= y có P = 12 Vậy MinP = 12 khi= x 0,= y 16 Biểu thức P = Câu 65: Cho số phức z= x + yi , x , y ∈  thỏa mãn z + y = z − i − z − đạt giá trị lớn ( x0 ; y0 ) với x0 < 0, y0 > Khi đó: x02 + y02 A 20 − B 20 + C Lời giải 20 + D 20 − 2 Ta có: z + y = 16 ⇔ x + y = 16 Page 51 CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC x + ( y − 1) − P= ≤ ( x − 2) ( x + − x) + ( y −1− y ) Pmax 2 + y2 = x + ( y − 1) − (2 − x) + (− y) =5  x= − y  x ( − y ) = ( − x )( y − 1) x + y − =    2 ( − y ) + y − 16 =  x ( − x ) < x (2 − x) <   y −1 − y < ( ( y − 1) ( − y ) < x (2 − x) < )( ) = ⇔ ⇔ 5⇔ 2 16 16  x2 + y = x + y = ( y − 1) ( − y ) <  x <  x <  x <  y >  y >  y >  x0 = −  1+ 20 − y =  2 x y ⇔ ⇒ + = ⇒ 0 1+ y = x= 1−    Nhận xét: Bài ta dùng bất đẳng thức véc tơ sau     Cho a = a1 ; a2 , b = ( b1 ; b2 ) ⇒ a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ) , ta có: ( )     a+b ≥ a − b ⇔ ( a1 + b1 ) + ( a2 + b2 ) 2 ≥ a12 + a22 − b12 + b22 a1b2 = a2b1    Dấu “ = ” xãy ⇔ a , b ngược hướng ⇔ a1b1 <  a2b2 < Câu 66: Cho số phức z= a + bi ( a, b∈  ) thỏa mãn z + + z − = 10 z − lớn Tính S= a + b A S = 11 B S = −5 C S = −3 Lời giải D S = Trong mp tọa độ Oxy , Ta gọi điểm biểu diễn số phức: z= x + yi M ( x ; y ) ; z =−4 + 0i F1 ( −4;0 ) ; z= + 0i F2 ( 4;0 ) 10 Ta có: z + + z − = 10 ⇒ MF1 + MF2 = 2  8x  MF1 =( x + ) + y ⇒ MF12 − MF2 =16 x ⇒ MF1 − MF2 =  2   MF2 =( x − ) + y Từ và, suy MF1= + 4x 4x  x2 y 2  Mặt khác MF =( x + ) + y ⇒  +  = ( x + ) + y ⇒ + =1  25  2 Page 52 CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC 10 Elip có phương Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn z + + z − = trình ( E ) : x2 y + = 25 Theo đề, ta cần tìm điểm thuộc ( E ) sau cho z − lớn Ta gọi điểm biểu diễn số phức: z= + 0i A ( 6;0 ) ; z= a + bi M ( a ; b ) ∈ ( E ) ; z =−5 + 0i C ( −5;0 ) Do đó, z − lớn MA lớn −5; b = 0⇒ S = −5 Dựa, vào hình vẽ ta thấy để MA lớn M ≡ C ( −5;0 ) ⇒ a = a + bi ( a, b ∈  ) thỏa z + + z − = 10 z − lớn Tính S= a + b ? Câu 67: Cho số phức z = A S = −3 C S = −5 B S = D S = 11 Lời giải a + bi ( a, b ∈  ) Gọi M ( a; b ) điểm biểu diễn số phức z = z − + z + = 10 ⇔ ( a − ) + bi + ( a + ) + bi = 10 ⇔ ( a − 4) + b2 + ( a + 4) + b2 = 10 (*) 10 Xét F1 ( −4;0 ) F2 ( 4;0 ) Khi (*) ⇔ MF1 + MF2 = c = ⇒ b= Suy M thuộc Elip có  a = 10 ⇒ a =  Ta có: z − 6= ( a − 6) a − c 2= IA′ hay điểm + b 2= IM , I ( 6;0 ) , suy max z − = M ≡ A′ ( −5;0 ) ⇒ z =−5 + 0i ⇒ S =−5 Page 53 CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC Câu 68: Cho số phức z thỏa mãn z = , M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A = + z + − z Giá trị biểu thức M + m C + B A + D Lời giải Gọi z= x + yi với x , y ∈  z =1 ⇒ x + y =1 ⇔ x + y =1 ⇒ A = 1+ z + 1− z = Xét hàm số f ( x ) = ( x + 1) + y + (1 − x ) + y = + x + 2 − x 2 + x + 2 − x với x ∈ [ −1;1] Hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ −1;1] f ′ ( x ) = 1− x − 1+ x − = + 2x − 2x (1 − x ) f ′ ( x ) = ⇔ − x − + x = ⇔ x = − ∈ [ −1;1]  3 4; f −  = Khi f ( −1) = ; f (1) =  5  3 Do M = max f ( x ) = f  −  = ; m = f ( x ) = f (1) = Suy M + m= + [ −1;1] [ −1;1]  5 x + yi ( x, y ∈  ) thỏa mãn điều kiện z − z = (1 + i )( + 2i ) Câu 69: Xét tập hợp S số phức z = Biểu thức Q =− x0 + y0i Tính giá trị z z ( − x ) đạt giá trị lớn M đạt z= T = M x0 y02 A T = − B T = C T = Lời giải D T = − Ta có: z − z = (1 + i )( + 2i ) ⇔ x + 16 y =16 ⇔ x + y = ⇔ y = − x Do đó, Q = z − z ( − x ) = y ( − x ) = − x ( − x ) = f ( x ) , ( −2 ≤ x ≤ ) = f ′( x) 2x2 − x − , ( −2 < x < ) − x2  x = −1 f ′( x) = 0⇔ ⇔x= −1 x 2 ; = ∉ − ( )  Mặt khác, f ( −2= ) 0, f ( 2=) 0, f ( −1=) 3 −1, y02 = Suy M = 3 x0 = Vậy T = −9 Page 54 CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC Giá trị lớn Câu 70: Cho z1 , z2 hai số phức thỏa mãn z − + 3i = z1 − z2 = z1 + z2 A B D + C Lời giải Gọi M , N điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 ( M , N ∈ C : x − + y +  z1 − + 3i = z2 − + 3i =  ) ( ) ( Do  nên   z1 − z2 =  MN= 4= 2.2 ( ) = 22 ) Như MN đường kính đường trịn ( C ) với tâm I 3; − , bán kính R = , I trung điểm MN , OI = 12 Ta có z1 + z2 = OM + ON ≤ (1 + 1) ( OM + ON ) =  MN   2OI +  =   = ON ⇔ MN đường kính ( C ) vng góc với OI Dấu " = " xảy OM Tìm giá trị Câu 71: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + − i + z1 − − 7i = iz2 − + 2i = nhỏ biểu thức T= z1 + z2 A 2 + B −1 C 2 − Lời giải D +1 Trên mặt phẳng Oxy , gọi M ( a; b ) điểm biểu diễn cho số phức z1 ; A ( −2;1) , B ( 4;7 ) điểm biểu cho số phức −2 + i + 7i ⇒ AB = Từ ta MA + MB = = AB nên tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z1 đoạn thẳng AB nằm đường thẳng d : x − y + = Đặt z3 = − z2 , Page 55 CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC iz2 − + 2i = ⇔ −iz3 − + 2i = ⇔ z3 − − i = Gọi N ( c; d ) điểm biểu diễn cho z3 ; I ( 2;1) điểm biểu diễn cho số phức + i , IN = nên tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z3 đường tròn ( C ) : ( x − ) + ( y − 1) = 2 z1 + z2 = z1 − z3 = MN Dễ thấy hình chiếu vng góc điểm I ( 2;1) đường thẳng ( d ) điểm K ( 0;3) thuộc đoạn AB suy MN ≥ KH với H giao điểm IK với ( C ) thuộc đoạn IK Do MN= KH= d ( I , AB ) − R= 2 − Vậy z1 + z2 = 2 − Câu 72: Cho số phức z , z1 , z2 thỏa mãn z1 − − 5i = z2 − = z + 4i = z − + 4i Tính z1 − z2 P = z − z1 + z − z2 đạt giá trị nhỏ A B C 41 D Lời giải Gọi A điểm biểu diễn số phức z1 Suy A thuộc đường tròn ( C1 ) tâm I1 ( 4;5 ) , R = Gọi B điểm biểu diễn số phức z2 Suy B thuộc đường tròn ( C2 ) tâm I (1;0 ) , R = Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z= x + yi Theo giả thiết z + 4i = z − + 4i ⇔ x − y = Suy M thuộc đường thẳng ( d ) x − y − = Gọi ( C2 ') có tâm I ' ( 4; −3) , R = đường tròn đối xứng với đường tròn ( C2 ) tâm I (1;0 ) , R2 = qua đường thẳng d Gọi B ' điểm đối xứng với đối xứng với B qua đường thẳng d Ta có P= z − z1 + z − z2 = MA + MB= MA + MB ' ≥ AB '= I1 I '− R1 − R2 = Page 56 CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC   Dấu = xảy A, B ', I1 , I ', M thẳng hàng Khi I1 A = I1 I ' suy A ( 4; )   I B ' = I ' I1 suy B ' ( 4; −2 ) ⇒ B ( 2;0 ) AB = Vậy z1 − z2 = Câu 73: Cho số phức z ω thỏa mãn ( + i ) z = A B z ω + − i Tìm giá trị lớn T = ω + − i C 2 D Lời giải (2 + i) z ⇔ z ω = = z ω +1− i ⇔ z ω = (2 + i) z − + i z ( z − 1) + ( z + 1) i ⇒ ω = ( z − 1) + ( z + 1) 2 ⇔ω= z 2 z −2 z +2 t2 −2t + 4t f (t ) = t ≥ ⇒ f ' t = ⇒ f '(t ) = 0⇔t= 0∨t = ( ) ( ) 2 5t − 2t + − + t t ( ) Bảng biến thiên Ta có T = ω + − i ≤ z + − i ≤ + 2= Giá trị nhỏ Câu 74: Cho số phức z gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z + 8i = biểu thức P = z − z1 + z2 − z + z + z1 + z2 viết dạng m n + p q Tổng m + n − p − q A B C Lời giải D z + 8i = ⇒ z1= − 2i z2 =−2 + 2i P = z − z1 + z2 − z + z + z1 + z2 z = z − z1 + z − z2 + z + z1 + = MA + MB + MC 2 Page 57 CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC Trong M , A ( 2; −2 ) , B ( −2; ) , C ( −3; −3) điểm biểu diễn cho số phức z , z1 , z2 , ω =−2 z1 − z2 =−3 − 3i Gọi H hình chiếu vng góc M OC Ta có MA + MB ≥ HA + HB ⇒ MA + MB + MC ≥ HA + HB + HC Do Pmin = ( MA + MB + MC )min = HA + HB + HC ⇔ M ≡ H ⇒ M ∈ OC : y = x Gỉa sử M ( x; x ) ( x ∈ [ −3;0 ) ) ⇒ P = MA + MB + MC = P′ ⇒= + 2 x x +4 ⇒ P′ = ⇒ x =− ( x + 3) + 2 ( x + ) ∈ [ −3;0 )      = +  − +  + 2  − +  3        Vậy Pmin = Suy m = , n = , p = , q = ⇒ m + n − p − q = Câu 75: Trong số phức z thỏa mãn z + = z gọi z1 z2 số phức có mơđun nhỏ 2 lớn Giá trị biểu thức z1 + z2 A B 2 C Lời giải D Đặt z = a + bi ; a , b ∈  z + = a − b + + 2abi = (a − b + 1) + 4a 2b ; = z a + b2 Ta có z + 1= z ⇒ ( a − b + 1) + 4a 2b 2= ( a + b ) ⇔ ( a − b ) + 4a 2b + ( a − b ) + − ( a + b ) = ⇔ ( a + b ) − 2a − 6b + = 2 ⇔ ( a + b ) − ( a + b ) + =−4a Vì −4a ≤ 0, ∀a ∈  nên ( a + b ) − ( a + b ) + ≤ ⇒ − 2 ≤ a + b ≤ + 2 Page 58 CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC = m − ≤ a + b2 ≤ + ⇒  =  M Suy −1 +1 ⇒ m + M =6 M= a = a = +1 ⇔  ⇒  ± 1+ a + b =3 + 2 b = m= a = a = −1 ⇔  ⇒  ± −1 a + b =3 − 2 b = ( ) ( ) Câu 76: Xét số phức w , z thỏa mãn w + i = 5w = ( + i )( z − ) Tìm giá trị lớn biểu thức P = z − 2i + z − − 2i A B 53 D 13 C 58 Lời giải Cách Ta có: 5w = ( + i )( z − ) ⇔ 5w + 5i =( + i )( z − ) + 5i ( + i )( z − ) + 5i ⇒ 5w + 5i = = Ta có: ⇒ ( z + z1 (1 + 2i )( z − + + 2i ) = z − + 2i z − + 2i ⇒ z − + 2= i z + z1 + z − z1= z + z1 ⇒ w+i = (z+ z ) ≥ ) ; ∀z, z 2 ; ∀z , z1 Ta có: P = z − 2i + z − − 2i = z − − 2i + + z − − 2i − Áp dụng và, ta có: 2 ( ) z − − 2i + + z − − 2i − = z − − 2i + z − − 2i + + z − − 2i − ( z − − 2i + + z − − 2i − ) ≥ Vậy, ta có: ( z − 2i + z − − 2i ) 2 ( ) ⇒ P ≤ ( z − − 2i + ) Do ( z − − 2i + 9= ) ( z − + 2i − 4i + 9) nên P ( z − 2i + z − − 2i ) = 2 ( ) ≤ z − − 2i + ⇒ ( z − 2i + z − − 2i ) ≤ z − − 2i + 2 2 2 2 ≤4 (( z − + 2i + −4i ) + 9) ⇒ P ≤ ( + )= 232 ⇒ P ≤ 58 Cách Page 59 CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC Ta có: 5w = ( + i )( z − ) thay w + i = ⇒ z − + 2i = Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y + ) = 2 Gọi M ∈ ( C ) Ta có: P = z − 2i + z − − 2i = AM + BM ; A ( 0; ) , B ( 6; ) ( ) Suy P ≤ AM + BM Gọi H trung điểm cạnh AB  AB   MH + =   Ta có: P ≤ ( AM + BM )= MH + AB Vậy, P = z − 2i + z − − 2i đạt giá trị lớn MH đạt giá trị lớn Dựa vào hình vẽ sau 58 Suy ra, MH đạt giá trị lớn M ≡ M ' ⇒ P ≤ 232 ⇒ P = z= z= Tính giá trị lớn biểu thức Câu 77: Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z= 2 P = z1 − z2 + z2 − z3 + z3 − z1 A P = B P = 10 C P = Lời giải D P = 12 Gọi A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) ; C ( x3 ; y3 ) điểm biễu diễn số phức z1 ; z2 ; z3 z= z= suy A ; B ; C thuộc đường trịn tâm O bán kính z= AB ; z2 − z3 = BC z3 − z1 = AC Ta có z1 − z2 = Page 60 CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC 2 Suy P = z1 − z2 + z2 − z3 + z3 − z1 = AB + BC + AC             = AO + OB + BO + OC + AO + OC = − OA.OB + OB.OC + OA.OC     =− OA + OB + OC = − 3OG = − OG ≤ ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) Dấu “ = “ xảy G ≡ O , hay ∆ABC Câu 78: Cho số phức z thỏa mãn z + z + z − z ≤ 12 Gọi M , m giá trị lớn nhất, nhỏ z − + 3i Giá trị M m bằng: A 28 B 24 C 26 D 20 Lời giải Gọi z = x + yi ; x; y ∈  Xét z + z + z − z ≤ 12 ⇔ x + y ≤ Ta có: P = z − + 3i = ( x − ) + ( y + 3) 2 (1) ( 2) Tập hợp điểm biểu diễn z = x + yi ; x; y ∈  thỏa mãn miền hình thoi ABCD với A ( 0;3) ; B ( −2;0 ) ; C ( 0; −3) ; D ( 2;0 ) tạo đường thẳng x + y = Điểm biểu diễn z thỏa mãn đường tròn tâm I ( 4; −3) bán kính R= P ≥ P đạt min, max bán kính đường trịn đạt min, max xét tương giao với miền hình thoi ABCD Ta có đường trịn giao với miền hình thoi điểm gần tâm đường tròn tiếp xúc cạnh CD: ứng có m = 3x − y − = tương hình thoi Do M = 3.4 + 2.3 − = 32 + 22 12 Điểm giao xa đỉnh A ( 0;3) 13 42 + 62 = 13 Page 61 CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC ⇒ M m = 24 Page 62